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培优点 5 平面向量“奔驰定理”
平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角、数列、几何等知识相结合考查．平
面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相
关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用．
考点一 平面向量“奔驰定理”
定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S ·PA＋S ·PB＋S ·PC＝0.
△PBC △PAC △PAB
例1 已知O是△ABC内部一点，满足OA＋2OB＋mOC＝0，且＝，则实数m等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 由奔驰定理得S ·OA＋S ·OB＋S ·OC＝0，
△BOC △AOC △AOB
又OA＋2OB＋mOC＝0，
∴S ∶S ∶S ＝1∶2∶m.
△BOC △AOC △AOB
∴＝＝，
解得m＝4.
易错提醒 利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P
为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数不是三角形的面积，而是面积之比．
跟踪演练1 设点O在△ABC内部，且AO＝AB＋AC，则＝________.
答案
解析 由AO＝AB＋AC，
得－12OA＝4(OB－OA)＋3(OC－OA)，
整理得5OA＋4OB＋3OC＝0，
所以＝.考点二 “奔驰定理”和三角形的“四心”(四心在三角形
内部)
(1)O是△ABC的重心
⇔S
△BOC
∶S
△AOC
∶S
△AOB
＝1∶1∶1
⇔OA＋OB＋OC＝0.
(2)O是△ABC的内心
⇔S
△BOC
∶S
△AOC
∶S
△AOB
＝a∶b∶c
⇔aOA＋bOB＋cOC＝0.
(3)O是△ABC的外心
⇔S
△BOC
∶S
△AOC
∶S
△AOB
＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C
⇔sin 2A·OA＋sin 2B·OB＋sin 2C·OC＝0.
(4)O是△ABC的垂心
⇔S
△BOC
∶S
△AOC
∶S
△AOB
＝tan A∶tan B∶tan C
⇔tan A·OA＋tan B·OB＋tan C·OC＝0.
考向1 “奔驰定理”与重心
例2 已知在△ABC中，G是重心，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且56aGA＋40bGB
＋35cGC＝0，则B＝________.
答案
解析 依题意，可得56a＝40b＝35c，
所以b＝a，c＝a，
所以cos B＝＝，
因为0
