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计算题培优练 3 数学归纳法解决多次碰撞问题
1.(14分)(2024·河南省信阳高级中学模拟)如图所示，质量为m的足够长的木板放在光滑的水平地面上，与
木板右端距离为x的地面上立有一柔性挡板，木板与挡板发生连续碰撞时速度都会连续发生衰减，当木板
与挡板发生第n次碰撞时，碰后瞬间的速度大小v '与第一次碰前瞬间的速度大小v 满足关系式v '=
n 1 n
1
v 。现有一质量为2m的物块以速度v =4√μgx从左端冲上木板，造成了木板与柔性挡板的连续碰
n(n+1) 1 0
撞(碰撞时间均忽略不计)，物块与木板间的动摩擦因数为μ。已知重力加速度为g，在木板停止运动前，物
块都不会和木板共速。
(1)(3分)物块刚滑上木板时，求物块和木板的加速度大小；
(2)(3分)从物块滑上木板到木板与柔性挡板第一次碰撞时，求物块与木板因摩擦产生的热量；
(3)(8分)从物块滑上木板到木板与柔性挡板第n次碰撞时，求物块运动的位移大小。
2.(16分)(2023·全国乙卷·25)如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为M的静止薄圆盘，圆盘与管的上端
1
口距离为l，圆管长度为20l。一质量为m= M的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向
3
下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球
与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求：
(1)(5分)第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小；
(2)(4分)在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离；
(3)(7分)圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数。答案精析
1.(1)μg 2μg (2)5μmgx
15 2 2
(3)( - - )x
2 n n2
解析 (1)对物块由牛顿第二定律有
μ×2mg=2ma
1
解得a =μg
1
对木板由牛顿第二定律有
μ×2mg=ma
2
解得a =2μg
2
1
(2)从木板开始运动到第一次碰撞挡板有x= a t 2
2 2 1
√ x
从木板开始运动到发生第一次碰撞时的时间为t =
1
μg
这段时间内，物块的位移
1
x =v t - a t 2
1 01 2 1 1
7
解得x = x
1 2
故摩擦产生的热量为
Q=μ×2mg(x -x)
1
解得Q=5μmgx
(3)第一次碰撞前，木板的速度大小
v =a t =2√μgx
1 21
第一次碰撞后的速度大小
1 1
v '= v =(1- )v
1 1×2 1 2 1
由对称性可知第二次碰前的速度
v =v '
2 1
故第一次碰撞到第二次碰撞的时间间隔为
v ' 1
1
Δt =2× =2(1- )t
1 a 2 1
2
故从木板开始运动到第二次碰撞时的时间间隔为
1
t =t +Δt =t +2(1- )t
2 1 1 1 2 1第二次碰撞后的速度
1 1 1
v '= v =( - )v
2 2×3 1 2 3 1
第三次碰前的速度
v =v '
3 2
故第二次碰撞到第三次碰撞的时间间隔为
v2' 1 1
Δt =2× =2( - )t
2 a 2 3 1
2
故从木板开始运动到第三次碰撞时的时间间隔为
1
t =t +Δt =t +2(1- )t
3 2 2 1 3 1
归纳可知，从木板开始运动到第n次碰撞时的时间间隔为
1 2
t =t +2(1- )t =(3- )t
n 1 n 1 n 1
该过程中，物块始终做匀减速运动，故对物块由运动学公式有
1
x =v t - a t 2
2 0n 2 1 n
代入数据解得
15 2 2
x =( - - )x。
2 2 n n2
√2gl √2gl
2.(1) (2)l (3)4
2 2
1
解析 (1)过程1：小球释放后自由下落，下降l，根据机械能守恒定律有mgl= mv 2
2 0
解得v =√2gl
0
过程2：小球以v =√2gl的速度与静止圆盘发生弹性碰撞，根据机械能守恒定律和动量守恒定律分别有
0
1 1 1
mv 2= mv 2+ Mv '2
2 0 2 1 2 1
mv =mv +Mv '
0 1 1
m-M √2gl
解得v = v =-
1 m+M 0 2
2m √2gl
v '= v =
1 m+M 0 2
√2gl √2gl
即第一次碰撞后瞬间小球速度大小为 ，方向竖直向上，圆盘速度大小为 ，方向竖直向下
2 2
(2)第一次碰撞后，小球做竖直上抛运动，圆盘所受摩擦力与重力平衡，匀速下滑，所以只要圆盘下降速度
比小球快，二者间距就不断增大，当二者速度相同时，间距最大，
则有v +gt=v '
1 1v '-v v
解得t= 1 1= 0
g g
根据运动学公式得最大距离为
1 v 2
d =x -x =v 't-(v t+ gt2)= 0 =l
max 盘 球 1 1 2 2g
(3)第一次碰撞后到第二次碰撞时，两者位移相等，
则有x =x
球1 盘1
1
即v t + gt 2 =v 't
11 2 1 1 1
2v
解得t = 0
1 g
3
此时小球的速度v =v +gt = v
2 1 1 2 0
圆盘的速度仍为v '，这段时间内圆盘下降的位移
1
v 2
x =v 't = 0 =2l
盘1 1 1
g
之后第二次发生弹性碰撞，根据动量守恒有
mv +Mv '=mv '+Mv ″
2 1 2 2
根据能量守恒定律有
1 1 1 1
mv 2+ Mv '2= mv '2+ Mv ″2
2 2 2 1 2 2 2 2
联立解得v '=0
2
v ″=v
2 0
同理可得当位移相等时x =x
盘2 球2
1
v ″t = gt 2
2 2 2 2
2v
解得t = 0
2 g
圆盘向下运动的位移大小
2v 2
x =v ″t = 0 =4l
盘2 2 2
g
此时圆盘距下端管口13l，之后二者第三次发生碰撞，碰前小球的速度v =gt =2v
3 2 0
由动量守恒有
mv +Mv ″=mv '+Mv ″
3 2 3 3
由机械能守恒有
1 1 1 1
mv 2+ Mv ″2= mv '2+ Mv ″2
2 3 2 2 2 3 2 3v
得碰后小球速度为v '= 0
3 2
3v
圆盘速度v ″= 0
3 2
当二者即将四次碰撞时x =x
盘3 球3
1
即v ″t =v 't + gt 2
3 3 3 3 2 3
2v
得t = 0=t =t
3 g 1 2
在这段时间内，圆盘向下移动
3v 2
x =v ″t = 0 =6l
盘3 3 3
g
此时圆盘距离下端管口长度为
20l-l-2l-4l-6l=7l
此时可得出圆盘每次碰后到下一次碰前，
下降距离逐次增加2l，
故若发生下一次碰撞，圆盘将向下移动x =8l
盘4
则第四次碰撞后圆盘落出管口外，
因此圆盘在管内运动的过程中，
小球与圆盘的碰撞次数为4次。
