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专题12 平面向量
【练基础】
一、单选题
1．已知 是边长为1的正三角形， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．1
2．已知平面非零向量 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．已知平面单位向量 ， ， 满足 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．
4．已知向量 ， ，若 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在边长为2的等边 中，点E为中线BD的三等分点（靠近点D），点F为BC的中点，则
（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．已知抛物线 的焦点为F，动点M在C上，圆M的半径为1，过点F的直线与圆M相切于点N，则
的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．87．已知双曲线 的上、下焦点分别是 ， ，若双曲线C上存在点P使得
， ，则其离心率的值是（ ）
A． B．2 C． D．3
8．如图，在 中，点D是边AB上一点且 ，E是边BC的中点，直线AE和直线CD交于点F，若
BF是 的平分线，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．
二、多选题
9．已知向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 ，则 的值为
C．若 ，则 的值为
D．若 ，则 与 的夹角为锐角
10．在菱形 中， ， ，点 为线段 的中点， 和 交于点 ，则（ ）
A． B．C． D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．
B．非零向量 和 ，满足 且与 同向，则
C．非零向量 满足
D．已知 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
12．已知 是半径为2的圆O的内接三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．若角 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则 ， 的夹角为
D．若 ，则 为圆O的一条直径
三、填空题
13．已知平面向量 满足 ，则 __________．
14．已知椭圆E： 的左、右焦点分别为 、 ，圆P： 分别交线段 、 于
M、N两点，则 ______.
15．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际，人们
设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形 的边长为2，
中心为 ，四个半圆的圆心均为正方形 各边的中点（如图2），若 在 的中点，则
___________.16．在四边形ABCD中， ， ， ， ，点E在线段CB的延长线上，且 ，则
______.
四、解答题
17．已知向量 ， 满足 ， ， ．
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若设 与 的夹角为 ，求 的大小．
18．如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N．
(1)若Q是BC的中点，求 的取值范围；
(2)若P是平面上一点，且满足 ，求 的最小值．
19．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的最小值．
20．已知函数 ，其中向量 ， ．(1)求 的解析式及对称中心和单调减区间；
(2)不等式 在 上恒成立，求实数m的取值范围．
【提能力】
一、单选题
21．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
22．已知圆 的方程为 ，点 在直线 上，线段 为圆 的直径，则 的最小值
为
A．2 B． C．3 D．
23．在 中，角 所对的边分别为 ，且点 满足 ，若 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
24．如图，在△ 中，点M是 上的点且满足 ，N是 上的点且满足 ， 与 交于
P点，设 ，则 （ ）
A． B．
C． D．25．已知 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是
A． B． C． D．
26．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，经过 的直线交椭圆于 ， ， 的内切
圆的圆心为 ，若 ，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
27．在△ 中，D为BC的中点， ， ，EF与AD交于G， ，则 （ ）
A． B． C． D．
28．设 中 边上的中线为 ，点 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
29．在 中，点 满足 ，过点 的直线与 ， 所在的直线分别交于点 ， ，若 ，
，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
30．如图，在平行四边形 中， ， ， 与 交于点 .设 ， ，若
，则 （ ）A． B． C． D．
二、多选题
31．对于给定的 ，其外心为 ，重心为 ，垂心为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．过点 的直线 交 于 ，若 ， ，则
D． 与 共线
32．下列说法中错误的为（ ）．
A．已知 ， 且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
B．向量 ， 不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量 ， ，满足 且 与 同向，则
D．非零向量 和 ，满足 ，则 与 的夹角为30°
33．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条
相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且 ，弦
AC、BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）A． 为定值 B． 的取值范围是
C．当 时， 为定值 D． 的最大值为12
34．在平面内有4点ABCD， 的面积是 面积的2倍，又数列 满足 ，当 时，恒有
，设 的前n项和为 ，则（ ）
A． 为等比数列 B． 为递减数列
C． 为等差数列 D．
三、填空题
35．已知向量 ， ， ， ，若 ，则 的最小值______.
36．如图，在平面四边形 中， ．若点 为边 上的动点，则
的最小值为_________．37．在 中， 是 的中点， 是 的中点，过点 作一直线 分别与边 ， 交于 (不与点
A重合），若 ，其中 ，则 的最小值是_____．
38．已知 ，若存在 ，使得 与 夹角为 ，且
，则 的最小值为___________.
四、解答题
39．在 中，角 的对边分别是 ， ， ，如图所示，点 在线段 上，满
足 .
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值.
40．在 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，且 .
（1）求角 ；（2）若向量 ， ，求 的取值范围.
41．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 为 的面积， .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 周长的取值范围.
42．如图，设 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知 且
， ．
(1)求b边的长度；
(2)求 的面积；
(3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G，且 的面积为 面积的 ，
求 的取值范围．
