文档内容
第 06 讲 函数 的图象及其应用
(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数 的图象变换
高频考点二：根据图象确定函数 的解析式
高频考点三：五点法作图
高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用
角度1：图象与性质的综合应用
角度2：函数的零点（方程的根）的问题
角度3：三角函数模型
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 06 讲 函数 的图象及其应用（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数 , 的图象上,五个关键点是:
(2)在余弦函数 , 的图象上,五个关键点是:
2、由 的图象变换得到 ( ， )的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·模拟预测）将函数 的图像向右平移 个单位长度后得到的
函数图像关于原点对称，则函数 图像的一条对称轴的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
将函数 的图像向右平移 个单位长度后得到 的图像，则由题
知 ， ，解得 ， ．又 ，故 ，所以 ．令 ，
解得 ，当 时，解得 ，当 时，解得 ，当 时，解得 ，
A、B、C错误，D正确.
故选：D．
2．（2022·北京通州·模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象对应的
函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
将函数 的图象向右平移 个单位长度后，
所得图象对应的函数为 .
故选：A.
3．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））将函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图
象，则函数 在 上的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
的图象向左平移 个单位可得 ，
，则 ，
正弦函数y=sint在 上有2个零点，故g(x)在 上有2个零点．
故选：B．
4．（2022·北京师大附中高一期中）要得到函数 的图象，只需把函数 的图象
（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位【答案】D
【详解】
由题设 ，
所以只需把函数 的图象向右平移 个单位.
故选：D
5．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（文））若函数 的部分图象
如图所示，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
因为 为五点作图法的第2点，
所以 ， ．
因为 ，所以 ，
又函数图象过点 ，所以 ，得 ．
所以 ，
即 ．
故选：D.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：函数 的图象变换例题1．（2022·河南·模拟预测（文））由函数 的图象经过图象变换得到函数 的
图象，则这个变换过程为（ ）
A．向左平移 个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）
B．向左平移 个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）
C．把所有点的横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），向左平移 个单位长度
D．把所有点的横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），向左平移 个单位长度
【答案】A
【详解】
的图象经过图象变换得到函数 的图象,
可先平移后伸缩：
将函数图象向左平移 个单位长度得 ，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍
（纵坐标不变），即可得到 的图象；
先伸缩后平移：
把所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到 ，再将图象左移 个单位，
得到 的图象.
故选：A
例题2．（2022·河南许昌·三模（文））要得到函数 的图像，只需把函数 的
图像上所有的点（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】B
【详解】
把函数 上所有的点向左平移 个单位长度可得：
.故选：B.
例题3．（2022·陕西·二模（理））要得到函数 的图象，只需将函数 的图象
（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】B
【详解】
因为函数 ，
，
所以要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向左平移 个单位长度.
故选：B.
例题4．（2022·江西上饶·二模（理））为得到函数 的图象，只需把函数
的图像（ ）
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】D
【详解】
对于A， 向左平移 个单位得： ，A错误；
对于B， 向左平移 个单位得：
，B错误；
对于C， 向右平移 个单位得： ，C错误；
对于D， 向右平移 个单位得：，D正确.
故选：D.
题型归类练
1．（2022·安徽·高一期中）要得到 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
解：将 向右平移 个单位长度得到 ．
故选：D．
2．（2022·北京八中高一期中）要得到 的图象，只要将 的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】C
【详解】
解：因为 ，
所以要得到 的图象，只要将 的图象向左平移 个单位，
故选：C.
3．（2022·湖北·高一期中）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有
的点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
B．横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度【答案】B
【详解】
由 可得 ，
把曲线 的上的点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，
则可得到 的图象，再将该图象向右平移 个单位，
则可得 的图象，故B正确.
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）要得到 的图象，需将 的图象（ ）
A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位
【答案】D
【详解】
，
由 向左平移 得到 .
故选：D
高频考点二：根据图象确定函数 的解析式
例题1．（2022·河南洛阳·一模（理））已知函数 在 上的图象如图所示，现
将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
根据变换可得 ，
对A， ，故A符合；
对B， ，故B不符合；
对C， ，故C不符合；
对D， ，故D不符合.
故只有A正确；
故选：A.
例题2．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知函数 的部
分图象大致如图所示．将函数 的图象向左平移 个单位后，所得
函数为偶函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由图可知， ， ，可得 ，又由五点画图法有 ，可得
，可得 ，，
函数 向左平移 个单位后，所得函数为
，由奇偶性及 ，
可得 ，可得 ．
故选：C
例题3．（2022·全国·高三专题练习）函数 的部分图象如图所示，若
，且 ，则 ________．
【答案】 ﹔
【详解】
由题意知，函数 中，
周期 ，所以 ，
又函数图象过点 ，
即 ，得 ，
又 ，所以 ，
所以 ；
由 ，得图象的最高点坐标为 ，因为 且 ，
所以 ，故 .
故答案为： .
题型归类练
1．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数 （其中 ， ， 的部分
图象如图所示；将函数 图象的横坐标伸长到原来的6倍后，再向左平移 个单位，得到函数 的
图象，则函数 在（ ）上单调递减．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
根据函数 的图象，可得 ， ，
则 ，则 ，故 ；
由 ，可得 ，解得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
将函数 图象的横坐标伸长到原来的6倍后，得到 ，
再向左平移 个单位后，得到 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，所以函数 单调递增区间为 ，
单调递减区间为 ，
所以函数 在 上先增后减，在 上先减后增，
在 上单调递增，在 上单调递减.
故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的部分图象如图所示，则下
列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于点 对称
B． 的图象向右平移 个单位后得到 的图象
C． 在区间 的最小值为
D． 为偶函数
【答案】D
【详解】
由图象知 ，又 ，故 ；
再由图象知 且 ，
故 ，解得 ，
即 ，
对于A：由 知A选项错误；又 的图象向右平移 个单位后得到的函数为 ，故B选项错误；
当 时， ，
所以 在 上的最小值为 ，故C错误.
由 ， 为偶函数，故D选项正确.
故选：D
3．（2022·天津·二模）如图所示的曲线为函数 （ ， ， ）的部分图象，
将 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 ，再将所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数
的图象，则（ ）
A．函数 在 上单调递减 B．点 为 图象的一个对称中心
C．直线 为 图象的一条对称轴 D．函数 在 上单调递增
【答案】D
【详解】
由图象知 ，
又 ，所以 的一个最低点为 ，而 的最小正周期为 ，
所以
又 ，则 ，
所以 ,即 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
将函数 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 得 的图象，
再把所得曲线向右平移 个单位长度得 ，
即 .
由 得 ，
所以 在 上单调递增，
在 上单调递减，
当 时，可知 在 递增，在 递减，所以 错误；
因为 ，
所以 不是 图象的一个对称中心，故B错误；
因为 ，
所以直线 不是 图象的一条对称轴，故C错误；
因为 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，故 正确；
故选： .4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的部分图象如图所示，
下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称
C．若方程 在 上有两个不相等的实数根，则实数
D．将函数 的图象向左平移 个单位可得到一个偶函数
【答案】C
【详解】
根据函数 的部分图象，
可得 ， ，∴ .
再根据五点法作图，可得 ，
∴ ， .
排除A；排除B；
在 上， ，
方程 在 上有两个不相等的实数根，则实数 ，故C正确；
将函数 的图象向左平移 个单位，可得 的图象，故所得函数为奇函数，故D错误；
故选C.
5．（2022·广西·柳州市第三中学高二阶段练习（文））已知函数 的部分图
象如图所示，将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 __________.
【答案】1
【详解】
由题图可知，周期 ， ，
所以 ，
因为 在 的图象上，
所以 ，所以 ，
得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故 .
故答案为：1
高频考点三：五点法作图
例题1．（2022·江西·南昌十五中高一阶段练习）某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0
x 5
0 2 0 0
(1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；
(2)将 的图象向右平行移动 个单位，得到 的图象.若 图象的一个对称中心为
，求 的最小值.
【答案】(1) (2)1
(1)由题意可得：
0
x -4 2 5 8
0 2 0 0
;
(2)由题意得： ，
则由 图象的一个对称中心为 得： ，
即 ，则当 时 的最小值为1.
例题2．（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高一阶段练习）已知函数 ， ．
(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
(2)求函数 的单调递减区间；(3)说明此函数图象可由 的图象经怎样的变换得到.
【答案】(1)图像见解析；(2) (3)见解析.
(1)列表如下图所示：
3 6 3 0 3
图像如下：
(2)由正弦函数的单调性得： ，解得 ，
故单减区间为： .
(3)把 的图像向左移动 个单位，再把各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；
再把各点的纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变；再把图像向上平移3个单位即可.
题型归类练
1．（2022·上海·华东师范大学附属天山学校高一期中）某同学用“五点法”画函数
在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：
x
0
0 1 0 -1 00 0 0
(1)请填写上表的空格处；画出函数在此周期内的图像，并写出函数 的解析式；
(2)若关于x的方程 在区间 上有解，求实数m的取值范围？
(3)将函数 的图像向右平移 个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，
得到函数 的图像，若函数 在区间 上恰有10条对称轴，求 的取值范围？
【答案】(1)表和图像见解析， (2) (3)
(1)解：
x
0
0 1 0 -1 0
0 0 0
画出函数图像如图：由表得： ，则 ，
，
则 ，
将点 代入得 ，
所以 ，
所以 ；
(2)解：当 时， ，
则 ，
所以 ，
因为关于x的方程 在区间 上有解，
所以 ；
(3)解：将函数 的图像向右平移 个单位，
得到函数 ，
再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，
得到函数 ，
则 ，
由 ，得 ，
因为函数 在区间 上恰有10条对称轴，
所以 ，
解得 .
2．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：
x
0
0 1 0 -1 0
0 0 0
(1)请填写上表的空格处，并画出函数 图像
(2)写出函数 的解析式，将函数 的图像向右平移 个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原
来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图像，求 的解析式．
(3)在（2）的条件下，若 在 上恰有奇数个零点，求实数a与零点
个数n的值．
【答案】(1)答案见解析(2) ；
(3) ， 在 共有 个不同的零点
(1)根据表中的数据可得 ，解得 ，
故 ，所以 ，
又 ，故 .
所以完善表如下：0 π 2π
0 1 0 -1 0
0 0 0
.
函数图像如图：
(2)由（1）知： ，将函数 的图像向右平移 个单位，所得图像的解析式为：
，
再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图像，
故 .
(3) ， 的周期为 ，
当 时，令 ，考虑方程 的根情况，
因为 ，故 在 必有两个不同的实数根 ，
因为 在 有奇数个零点，故 或 .
若 ，则方程 、 在 共有4个不同的实数根，
在 有0个实数根或2个实数根，
故 在 有 个根或 个根，
与 有奇数个零点矛盾，舍去.若 ，则 在 共有2个不同的实数根，在 有0个实数根或2个实数根，
故 在 有 个根或 ，
与 有奇数个零点矛盾，舍去.
同理 也不成立，所以 或 ，
若 ，则 ，此时 的根为 ，
方程 、 在 共有3个不同的实数根，而在 上， 有两个不同的根，
无解，
所以 在 有 个根，
与 有奇数个零点矛盾，舍去；
若 ，则 ，方程 的根 ，
方程 、 在 共有3个不同的实数根，而在 上， 无解， 有一个
根，
所以故 在 有 个根，符合题意.
综上， ， 在 共有 个不同的零点.
3．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高一阶段练习）已知函数 .
(1)其振幅为______，最小正周期为______，初相为_____；
(2)列表并作出函数f(x)在长度为一个周期闭区间上的简图；(3)说明这个函数图像可由y＝sinx的图像经过怎样的变换得到.
【答案】(1)振幅为2；最小正周期为 ；初相为 (2)见解析；
(3)先向左平移 个单位；再把每一点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变；再把每一点的纵坐标变为原
来的 倍，横坐标不变得到.
(1)由 可知，振幅为2；最小正周期为 ；初相为 ；
(2)列表如下：
0 2 0 0
图像如下：
(3)可以由y＝sinx的图像向左平移 个单位；再把每一点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变；再把每一点的纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变得到.
高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用
角度1：图象与性质的综合应用
例题1．（2022·四川遂宁·模拟预测（理））已知函数 的部分图
象如图所示，将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平
移 个单位长度，得到函数 的图象，则下列关于函数 的说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B． 在区间 上单调递增
C． 的图象关于直线x＝ 对称
D． 的图象关于点 中心对称
【答案】C
由函数图象知， ，所以 ，
所以 ，
因为函数图象过点 ，所以 ，则 ，
解得 ，又 ，所以 ，
所以 ，将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，得到 ，纵
坐标不变，再将所得函数图象向右平移 个单位长度，得到 ， 的最小正周期
，故A错误；
当 时， ，此时 单调递减，故B错误；令 ，则 ，当 时， ，故C正确；
因为 ，故D错误．
故选：C.
例题2．（多选）（2022·黑龙江·双鸭山一中高一期中）函数 ，
部分图象如图所示，下列说法不正确是（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 对称
C．将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象
D．若方程 在 上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
【答案】BD
从图象可以看出， ， ，
因为 ，所以 ，
解得： ，
将 代入解析式， ，
其中 ，解得： ，
所以 ，
当 时， ，故 不是 的对称轴，A错误；
从图象可以看出 的图象关于点 对称，B正确；
的图象向左平移 个单位后得到 ，
故C错误；
，则 ，
值域为 ，
且在 上单调递减，在 上单调递增，
画出函数y=2sinx对应图象如下：
显然方程 在 上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ，
D正确；
故选：B
角度1题型归类练
1．（2022·安徽淮南·二模（理））函数 （其中 ）的图象如图所示，
下列4个命题中错误的是（ ）A．向左平移 个单位长度后图象关于y轴对称
B．向右平移 个单位长度后的图象关于坐标原点对称
C． 是它的一个对称中心
D．单调递减区间是
【答案】D
根据图象可知 ， ，
，
，
根据 的图象可知 ，
所以 ， .
A选项，根据 图象可知， 关于直线 对称，
所以 向左平移 个单位长度后图象关于y轴对称，A选项命题正确.
B选项， 向右平移 个单位长度后得 ，
图象关于原点对称，B选项命题正确.
C选项， ，所以 是 的一个对称中心，C选项命题正确.
D选项， ，
所以 的减区间为 ，D选项命题错误.
故选：D
2．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知函数
的部分图象如图所示．将函数 的图象向右平移 个单位，得到 的图象，则下列有关与 的描述正确的有______．（填序号）
①方程 所有根的和为 ；
②不等式 的解集为 ，
③函数 与函数 图象关于 对称．
【答案】③
由图象可知： ， ， ；
又 ，由五点法可知： ，解得： ；
，
对于①，
，由 ，得 ，因为
，所以 ，所以 或 或 或 ，所以在给定范围内方程
根的和为 ，故①错误；
对于②， ，所以 ， ，解
得 ， ，故②错误；
对于③，因为 ，所以 与 图象关于 对称，故③正确．
故答案为：③
3．（2022·辽宁省康平县高级中学高一阶段练习）已知函数 的
部分图象如图所示.
(1)求函数 的解析式；
(2)将 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，求函数
的解的集合.
【答案】(1) (2)
(1)解：由函数 图象，可得 ， ，所以 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
又因为 图象过点 ，可得 ，即 ，
所以 ，解得 ，
又由 ，所以 ，所以函数 的解折式为 .
(2)解：将 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，得到 ，
由 ，可得 ，解得 ，
所以 ，
即不等式 的解集为 .
角度2：函数的零点（方程的根）的问题例题1．（2022·山东·日照青山学校高一期中）已知函数 ，将 的图象向右平移 个单
位长度，再把所有点的横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象.
(1)求函数 的解析式及单调递增区间；
(2)方程 在 上的根从小到大依次为 ，求 的值.
【答案】(1) ，单调递增区间为
(2)
(1) ， ；
令 ，解得： ，
的单调递增区间为
(2)令 ，即 ；
， ，
设 ，其中 ，即 ，
结合正弦函数 的图象可知：方程 在 有 个解 ，
其中 ， ；
即 ， ，
， ， .
例题2．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知函数 的图象相邻对称轴之间的距离是 ，若将 的图象向右移 个单位，所得函数 为奇函数．
(1)求 的解析式；
(2)若关于x的方程 在 上有三个解，求a的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1)解：因为图象相邻两对称轴之间的距离是 ，所以函数的最小正周期 ，解得 ，
即 ，
因为 为奇函数，
所以 ， ，即 ， ，
又因为 ，所以 ， ，
(2)解：因为 ， ，所以 ，所以 ，
当 时，解得 ， 时，解得 ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ， ，
，
函数 ， 的图象如下所示：
因为关于 的方程 在 上有三个解，
令 ，即 ， ，若 为方程 的根，此时 ，则 ，不符合题意；
依题意方程 在 有两不相等实数根 、 ，不妨令 ，且 ， ；
若 为方程 的根，此时 ，则 ，此时符合题意；
若 时，令 则 ，
即 ，解得 ，
综上可得 ；
例题3．（2022·河南焦作·高一期中）已知函数 （ ， ， ）的部分
图象大致如图．
(1)求 的单调递增区间．
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度得到曲线 ，把 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原
来的2倍得到函数 的图象．若关于 的方程 在 上有两个不同的实数解，求实数 的
取值范围．
【答案】(1) ， (2)
(1)根据图象，可得 ，由 ，得 ．所以 ，由 ，得 ，
所以 ．
令 ， ，得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， ．
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度得到曲线 ： ，再把
上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到 的图象．
由 在 上有两个不同的实数解，即 在 上有两个不同的实数解，
因为 ，设 ，则 ，则需直线 与 的图象在 两个不
同的公共点．
画出 在 时的简图如下：
所以实数 的取值范围为 ．
角度2题型归类练
1．（2022·辽宁省康平县高级中学高一阶段练习）已知函数 .
(1)若 ， ，求 的对称中心；
(2)已知 ，函数 图象向右平移 个单位得到函数 的图象， 是 的一个零点，若
函数 在 （m， 且 ）上恰好有10个零点，求 的最小值；
【答案】(1) 或 (2)(1)∵ 的最小正周期为 ，
又∵ ， ，∴ 的最小正周期是 ，
故 ，解得 ，
当 时， ，
由 ，
的对称中心为 ；
当 时， ，
由 ，
的对称中心为 ；
综上所述， 的对称中心为 或 .
(2)∵函数 图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，
∴ .
又∵ 是 的一个零点，
，即 ，
∴ 或 ， ，
解得 或 ，
由 可得
∴ ，最小正周期 .
令 ，则
即 或 ， ，解得 或 ， ；若函数 在 （ ）上恰好有10个零点，故
要使 最小，须m､n恰好为 的零点，故 .
2．（2022·陕西·西安中学高一期中）已知函数 的部分图象如图
所示．
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2
倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，若方程 在 上有三个不相等的实数根
，求m的取值范围及 的值．
【答案】(1) (2) ，
(1)由图示得： ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 过点 ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
所以 ；
(2)由已知得 ，当 时， ，令 ，则
，
令 ，则函数 的图象如下图所示，且 ， ，，
由图象得 有三个不同的实数根 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
故 ．
3．（2022·上海市七宝中学高一期中）已知函数 的最小正周期为 ，且直线
是其图象的一条对称轴.将函数 的图象向右平移 个单位，再将所得的图象上每一点的纵
坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作 ，令函数 .
(1)求函数 的函数解析式；
(2)求函数 的最大值及相对应的 的值；
(3)若函数 在 内恰有2021个零点，其中常数 ， ，求常数 与 的
值.
【答案】(1) ；(2)答案见解析；(3) .
(1)因为函数 的最小正周期为 ，
所以有 ，即 ，
又因为直线 是 图象的一条对称轴，
所以有 ，
因为 ，所以令 ，则 ，即 ，
因为函数 的图象向右平移 个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作 ，
所以 ；
(2)
，
当 时，即 时， ，
此时 ，即 或 ；
当 时，即 时， ，
此时 ，即 ；
当 时，即 时， ，
此时 ，即 ，
综上所述：当 时， ，此时
或 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
(3) ，
设 ，则 ，
该方程的判别式 ，
所以该方程有实根，设为 ， ，显然两根为异号，
若 时，则方程 在 内都有偶数个根，
所以方程 有偶数个根，不符合题意；
若 ，则 ，此时 ，
当 时， 只有一个根， 有两个根，
所以 有三个根，由于 ，所以 在 内有 个根，
由于方程 在 内只有一个根， 没有实根，
所以方程 在 时有 个实根，不符合题意；
若 ，则 ，此时 ，
当 时， 只有一个根， 有两个根，
所以 有三个根，由于 ，
所以 在 内有 个根，
由于方程 在 内没有实根根， 有两个实根，
所以方程 在 时有 个实根，符合题意；
若两个根有一个绝对值大于1，则另一个根绝对值大于零且小于1，有偶数个根，不符合题意，
综上所述： .
角度3：三角函数模型
例题1．（2022·江西景德镇·高一期中）某地种植大棚蔬菜，已知大棚内一天的温度（单位：℃）随时
间t（单位：h）的变化近似满足函数关系： ， ．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若某种蔬菜的生长要求温度不高于10.5℃，若种植这种蔬菜，则在哪段时间大棚需要降温？
【答案】(1)6℃(2)6时至22时
(1)解：由题意，函数 ，
根据正弦型函数的性质，可得 ，
所以 ，可得 ，
所以实验室这一天的最大温差为 ℃.
(2)解：由题意，令 ，即 ，即 ，
因为 ，可得 ，
所以 ，解得 ，
即在6时至22时这段时间内大棚需要降温.
例题2．（2022·陕西汉中·高一期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至
今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径
为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m，简车上均匀分
布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P装刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为
．
(1)求 ， ， ， 的值；
(2)盛水简出水后至少经过多长时间就可以到达最高点？
【答案】(1) ， ， ， ；(2) .
(1)由题易知 ，解得 ， ．
由题知 ，得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
∴ ， ， ， ．
(2)由 ，得 ，
∴ ， ，即 ， ．
∴当 时，盛水筒出水后第一次到达最高点，此时 ,
即盛水简出水后至少经过 就可以到达最高点.
角度3题型归类练
1．（2022·山东山东·高一期中）我国明朝科学家宋应星所著《天工开物》中记载了水车，水车是古代中国劳动人民发明的灌溉工具，体现了中华民族的创造力．如图是水车示意图，其半径为6m，中心O距水面
3m，一水斗从水面处的点 处出发，逆时针匀速旋转，80s转动一周，经t秒后，水斗旋转到点P处，此
时水斗距离水面高度为h．
(1)以O为坐标原点，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水
面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数；
(2)此水斗经过多长时间后再次到达水面？在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是多少？
【答案】(1) ；(2) 秒； 秒.
(1)依题意，当 时，以x轴非负半轴为始边， 为终边的角是 ，
因80s转动一周，则水斗转动的角速度为 ，
因此，水斗转动ts到点P时的角为 ，以x轴非负半轴为始边，OP为终边的角是 ，
于是得点P的纵坐标为 ，则 ，
所以所求函数关系为： .
(2)由（1）令 ，即 ，当再次到达水面时， ，
，
解得： ，则有 ，即此水斗经过 秒后再次到达水面，
在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是 秒.
2．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，
轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为 分钟．在圆周上均
匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计
时，旋转时间为t分钟．(1)当 时，求1号座舱与地面的距离；
(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在 这段时间内，H恰有三次取得最大值，
求 的取值范围．
【答案】(1) (2) 或 (3)
(1)解：设1号座舱与地面的距离 与时间 的函数关系的解析式为 ， ， ，
则 ， ，
所以
依题意 ，所以 ，
当 时 ，所以 ，故 ，
所以 ，
即当 时，求1号座舱与地面的距离为 ；
(2)解：令 ，即 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 或 ，解得 或 ，
即 或 时1号座舱与地面的距离为17米；
(3)解：依题意 ， ，
所以令 ，解 ，
所以当 时 取得最大值，
依题意可得
3．（2022·江西景德镇·高一期中）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖
水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港
口水深y（米）与时间 （单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：
t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1
该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该
曲线可近似地看成函数图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船
底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此
港时间段的建议．
【答案】(1) ；
(2)请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的.
(1)画出散点图，连线如下图所示：设 ，根据最大值13，最小值9，可列方程为： ，
再由 ，得 ，
；
(2) ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，或
解得 ，或 ，
所以请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的．
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（理））把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 的图象，再
把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到 的图象，
根据已知得到了函数 的图象，所以 ，
令 ,则 ,
所以 ,所以 ；
解法二：由已知的函数 逆向变换，
第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，
即为 的图象，所以 .
故选：B.
2．（2020·天津·高考真题）已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；
② 是 的最大值；
③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
因为 ，所以周期 ，故①正确；
，故②不正确；
将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，
故③正确.
故选：B.3．（2019·天津·高考真题（文））已知函数 是奇函数，将
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若 的最小
正周期为 ，且 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
因为 为奇函数，∴ ；
又
， ，又
∴ ，
故选C．
第五部分：第 06 讲 函数 的图象及其应用
（精练）
一、单选题
1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）将函数 图象上的所有点向左平移 个单位
长度，则所得图象的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解：将函数 图象上的所有点向左平移 个单位长度，则所得图象的函数解析式是
.
故选：A
2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校三模（文））要得到函数 的图像，只需把函数
的图像（ ）A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位 C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位
【答案】C
把函数 的图象向右平移 个单位得到
把函数 的图象向左平移 个单位得到
把函数 的图象向右平移 个单位得到 ，
把函数 的图象向左平移 个单位得到 ，
故C正确；
故选：C
3．（2022·河南南阳·高一阶段练习）已知函数 ， 恒成立，
且 的最小正周期为 ，将 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ．
将 的图象向左平移 个单位长度后得到函数
的图象，即 ．
故选：A.
4．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））将偶函数 的图象向右平移 个单位，得到 的图象，则 的一个单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
.
因为函数 是偶函数，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为函数 的图象向右平移 个单位，得到 的图象，
所以 ，
当 时，函数 单调递减，
即当 时，函数 单调递减，
当 时，函数 在 时单调递减.
故选：C
5．（2022·全国·模拟预测（文））若将函数 图象上点的横坐标变为原来的2倍、纵坐
标不变，然后将所得图象沿x轴向左移 个单位长度，最后将所得图象沿y轴向上平移2个单位长度得到
函数 的图象，则下列说法中错误的个数是（ ）
①函数 的最小正周期是 ；
②函数 的最大值是2；
③函数 图象的一个对称中心是点 ；
④函数 在区间 上单调递增．
A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A
据题意，得 ． ，①错误；
的最大值是3，②错误；
，故函数 图象一个对称中心的点 ，③正确；
令 ，解得： ，
当 时， ，当 时， ，故函数 在区间 上不单调，④错误.
综上，错误说法的个数是3，
故选：A．
6．（2022·上海市七宝中学高一期中）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为
“同形”函数，给出下列四个函数： ， ， ，
，则“同形”函数是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【答案】C
， ，
因为正弦型函数的图象经过若干次平移后，振幅不改变，
所以只有 与 的振幅相同，故只有这两个函数是“同形”函数，
故选：C
7．（2022·全国·模拟预测）将函数 的图象向左平移 个单位长度
后，得到函数 的图象，若 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解法一：
，
则 ，因为 满足 ，
所以函数 的图象关于直线 对称，
所以 ， ，所以 ， ，
因为 ，所以 的最小值为 ．故选:A．
解法二
，
则 ，
因为 满足 ，
所以函数 的图象关于直线 对称．
因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ， ，所以 ， ，
因为 ，所以 的最小值为 ．
故选：A．
8．（2022·广西贵港·模拟预测（文））已知函数 的部分图象如图
所示，下列说法错误的是（ ）
A． 在 上单调递减B．该函数的初相是
C．该图象可由 的图象向左平移 个单位得到
D． 的图象关于直线 对称
【答案】A
由图象可知 ， 所以 ， 解得 ，又图象过点 ，所以
，因为 ，所以 ，故
对A，当 时， ，所以 单调递增，A错误；
对B，由解析式知函数的初相是 ，故B正确；
对C， 的图象向左平移 个单位得到 ，故C正确；
对D，当 时， 为最小值，知 的图象关于直线 对
称，故D正确.
故选：A
二、填空题
9．（2022·陕西西安·三模（理））若函数 的图像向右平移 个单位长度后与函数
的图象重合，则 的一个可能的值为___________；
【答案】 （答案不唯一）
解：将函数 的图像向右平移 个单位长度后，
得到函数 的图
像，
即 与函数 的图像重合，
即 ， ，所以 ， ，
故答案为： （答案不唯一）．
10．（2022·河南·高三阶段练习（文））将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来
的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，若函数 在 时恒成立，则实数m的最
大值是___．
【答案】1
解：因为 ，将 的图象上所有点的横坐标缩短
到原来的 （纵坐标不变）得到 ，
．
∵ ，∴ ．
∴ ，即 ．
∴ ．故实数m的最大值是1，
故答案为：
11．（2022·全国·高三专题练习（理））定义运算“★”： ．设函数
，给出下列四个结论：① 是 的最小正周期；② 在
有2个零点；③ 在 上是单调递增函数；④ 的图象可以由 的图象向右平移 个单
位长度得到．其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①②
，
故 是 的最小正周期，①正确；
， ，故 在 或 时，即 或 时 ，故
在 有2个零点，②正确；， ，此时 在 上单调递增，在 上单调递减，故③错误；
的图象向右平移 个单位长度得到 ，故④错误.
故选：①②
12．（2022·江西·二模（理））把 的图象向右平移 个单位，再把所得图象各点的横坐
标缩短为原来的 倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长为原来的2倍．得到函数 的图象，若
对 成立．
① 的一个单调递减区间为 ；
② 的图象向右平移 个单位得到的函数是一个偶函数，则m的最小值为 ；
③ 的对称中心为 ；
④若关于x的方程 在区间 上有两个不相等的实根，则n的取值范围为
．
其中，判断正确的序号是_________．
【答案】①③④
根据题意得，函数经过平移伸缩变换后的解析式为： ，
，解得 ， ，
，
当 时， 在 上单调递减，①正确；
的图象向右平移 个单位得到的函数是 是一个偶函数，
则 ，②错误；
令 ，所以 的对称中心为 ，
故③正确；， ，所以 ，
令 ，则关于x的方程 在区间 上有两个不相等的实根等价于
在 上有两个不相等的实根，
设 ，则函数与 轴有两个交点，函数对称轴为 ，实数 满足 ，解
得： ，所以④正确.
故答案为：①③④.
三、解答题
13．（2022·江西赣州·高一期中）已知函数 ．
(1)当 时，函数 的图象关于直线 对称，求 的值；
(2)在第一问的条件下，将 的图像向右平移 个单位得到函数 ，求 在 上的单调递增区
间．
【答案】(1) (2) 和
(1)解：因为 ，
所以
，
由 的图象关于直线 对称，
所以 ，解得 ，
又因为 ，所以当 时， .
(2)解：由（1）可得 ，则将 的图像向右平移 个单位得到，
即 ，因为 ，所以 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上的单调递增区间为 和 .
14．（2022·甘肃酒泉·高一期末）函数 的部分图象如图所示.
(1)求A， ， 的值；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若 ，且 ，求
的值.
【答案】(1) ， ， (2) 或
(1)解：由图可知， ， ，所以 ，即 ，所以 .
将点 代入 得 ， ，
又 ，所以 ；
(2)解：由（1）知 ，
由题意有 ，
所以 ，即 ，因为 ，所以 ，
所以 或 ，即 或 ，
所以 的值为 或 .
15．（2022·安徽池州·高一期末）已知函数 .
(1)在下列坐标系中，作出函数 在 上的大致图象；
(2)将函数 图象的横坐标伸长为原来的 倍后，再向左平移 个单位，得到函数 的图象，求函数
在 上的值域.
【答案】(1)作图见解析；(2) .
(1)解：依题意， ，
列表如下：
作出函数 在 上的大致图象如下所示：(2)解：将函数 图象的横坐标伸长为原来的3倍后，得到 ，
再向左平移 个单位，得到
，
当 时， ，
而 ，
，
则 ，
故函数 在 上的值域为 .
16．（2022·四川·德阳五中高一阶段练习（文））已知函数 部分
图象如图所示．(1)求函数 的解析式．
(2)若将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，然后再向右平移 个长度单
位，得到函数 的图象关于y轴对称，求 的最小值．
(3)设函数 在区间 上有两个不同的零点 ，求 ．
【答案】(1) (2) (3)
(1)解：根据函数图象可得： ， ，可得 ，∴ ．
又图象过点 ，∴ ，解得 ， ．
由 ，∴ ，∴ ．
(2)解： 的图象关于y轴对称，
∴ ，∴ ，∴
∵ ，
∴ 时 最小值为 ．
(3)解：因为函数 在区间 上有两个不同的零点 ，
所以 在区间 上有两个不同的根 ，即 在区间 上有两个不同的根
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ， 单调递增，
，即 ， 单调递减，
因为 ，
所以，当 时， 在区间 上有两个不同的根 ，且所以，
