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高中数学二轮复习讲义——选填题部分
第 6 讲 三角函数
单独考查三角变换的题目较少，往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余
弦定理的同时，应用三角恒等变换进行化简，综合性比较强，但难度不大．也可能与三角函数等其他知识
相结合．
三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、
周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下．
题型一、三角恒等变换
考点1.同角之间的关系、诱导公式
1．已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点 P（2，1），则
α
π
tan(2α+ )=（ ）
4
1 1
A．﹣7 B．− C． D．7
7 7
1
【解答】解：根据题意，tan = ，
2
α
1
2×
2tanα 2 4
∴tan2 = = = ，
1−tan2α 1 2 3
1−( )
α 2
π 4
tan2α+tan +1
π 4 3
∴tan(2α+ )= = =−7．
4 π 4
1−tan2αtan 1− ×1
4 3
故选：A．
1
2．已知sin +cos ＝1，cos +sin ＝0，则sin（ + ）＝ − ．
2
α β α β α β【解答】解：sin +cos ＝1，
两边平方可得：sαin2 +2βsin cos +cos2 ＝1， ，
cos +sin ＝0， α α β β ①
两边α平方β可得：cos2 +2cos sin +sin2 ＝0， ，
由 + 得：2+2（sαin cosα+coβs sinβ）＝1，②即2+2sin（ + ）＝1，
∴①2sin（② + ）＝﹣1．α β α β α β
α β 1
∴sin（ + ）=− ．
2
α β
1
故答案为：− ．
2
3
3．若tan = ，则cos2 +2sin2 ＝（ ）
4
α α α
64 48 16
A． B． C．1 D．
25 25 25
3
【解答】解：∵tan = ，
4
α
3
1+4×
cos2α+4sinαcosα 1+4tanα 4 64
∴cos2 +2sin2 = = = = ．
sin2α+cos2α tan2α+1 9 25
+1
α α 16
故选：A．
π 3 π 4
4．已知 是第四象限角，且sin（ + ）= ，则tan（ − ）＝ − ．
4 5 4 3
θ θ θ
【解答】解：∵ 是第四象限角，
π θ π π π
∴− +2kπ＜θ＜2kπ，则− +2kπ＜θ+ ＜ +2kπ，k∈Z，
2 4 4 4
π 3
又sin（ + ）= ，
4 5
θ
π √ π √ 3 4
∴cos（ + ）= 1−sin2 (θ+ )= 1−( ) 2= ．
4 4 5 5
θ
π π 3 π π 4
∴cos（ −θ）＝sin（ + ）= ，sin（ −θ）＝cos（ + ）= ．
4 4 5 4 4 5
θ θπ 4
sin( −θ)
π π 4 5 4
则tan（ − ）＝﹣tan（ −θ）=− =− =− ．
4 4 π 3 3
cos( −θ)
θ 4 5
4
故答案为：− ．
3
考点2.两角和与差角公式、二倍角公式、辅助角公式
sinα+2cosα
→ → → →
1．已知向量 a=（1，sin ）， b=（2，cos ），且
a
∥
b
，计算： ＝ ．
cosα−3sinα
α α
→ →
【解答】解：∵
a
∥
b
，∴2sin ﹣cos ＝0，即cos ＝2sin ，
α α α α
sinα+2cosα sinα+4sinα 5sinα
则 = = =−5．
cosα−3sinα 2sinα−3sinα −sinα
2 2 2√14
2．已知sinx﹣siny =− ，cosx﹣cosy = 且x，y为锐角，则tan（x﹣y）＝ − ．
3 3 5
2 2
【解答】解：∵sinx﹣siny =− ，cosx﹣cosy = ，
3 3
5
两式平方相加得：cos（x﹣y）= ，
9
∵x、y为锐角，sinx﹣siny＜0，
∴x＜y，
2√14
∴sin（x﹣y）=−√1−cos2 (x−y)=− ，
9
2√14
−
sin(x−y) 9 2√14
∴tan（x﹣y）= = =− ．
cos(x−y) 5 5
9
2√14
故答案为：− ．
5
π π
3．已知sin +sin（ + ）＝1，则sin（ + ）＝（ ）
3 6
θ θ θ
1 √3 2 √2
A． B． C． D．
2 3 3 2
π
【解答】解：∵sin +sin（θ+ ）＝1，
3
θ
1 √3
∴sin + sin + cos ＝1，
2 2
θ θ θ3 √3
即 sin + cos ＝1，
2 2
θ θ
1 √3
得√3（ cos + sin ）＝1，
2 2
θ θ
π
即√3sin（θ+ ）＝1，
6
π √3
得sin（θ+ ）=
6 3
故选：B．
π 2 π
4．已知 （ ， ），并且sin +2cos = ，则tan（ + ）＝（ ）
2 5 4
α∈ π α α α
17 31 1
A．− B．− C．− D．﹣7
31 17 7
2 4
【解答】解：由sin +2cos = ，得sin2 +4sin cos +4cos2 = ，
5 25
α α α α α α
4
所以（1﹣cos2 ）+4sin cos +4（1﹣sin2 ）= ，
25
α α α α
121
整理得cos2 ﹣4sin cos +4sin2 = ，
25
α α α α
121
所以（cos ﹣2sin ）2= ，
25
α α
π {sinα＞0
因为 （ ， ），所以 ，
2 cosα＜0
α∈ π
11 2
所以cos ﹣2sin =− ，又sin +2cos = ，
5 5
α α α α
sinα+2cosα 2 tanα+2 2
则 =− ，即 =− ，
cosα−2sinα 11 1−2tanα 11
24
解得tan =− ，
7
α
π tanα+1 17
所以tan（ + ）= =− ．
4 1−tanα 31
α
故选：A．
π β √3 α 1
5．若α，β∈(0， )，cos(α− )= ，sin( −β)=− ，则cos（ + ）的值等于（ ）
2 2 2 2 2
α β
√3 1 1 √3
A．− B．− C． D．
2 2 2 2π
【解答】解：由α，β∈(0， )，
2
β π π α π π
则α− ∈(− ， )， −β∈(− ， )，
2 4 2 2 2 4
β √3 α 1
又cos(α− )= ，sin( −β)=− ，
2 2 2 2
β π α π
所以α− =± ， −β=−
2 6 2 6
π 1
解得α=β= ，所以cos（ + ）=− ，
3 2
α β
故选：B．
1 1
6．已知tan（ ﹣ ）= ，tanβ=− ，且 ， （0， ），则2 ﹣ ＝（ ）
2 7
α β α β∈ π α β
π π 5π
A． B． ，
4 4 4
3π π 5π 3π
C．− D． ， ，−
4 4 4 4
tanα−tanβ 1 1
【解答】∵tan（ ﹣ ）= = 且tan =−
1+tanαtanβ 2 7
α β β
1
即tan =
3
α
π 3π
∵ ， （0， ）且tan = 1，tan =−1
4 4
α β∈ π
π 3π
∴ （0， ）， （ ， ）
4 4
α∈ β∈ π
π
即2 ﹣ （﹣ ，− ）
4
α β∈ π
tanα+tan(α−β)
∴tan（2 ﹣ ）= = 1
1−tanαtan(α−β)
α β
3π
即2 ﹣ =−
4
α β
故选：C．
π
7．已知α∈(0， )，2sin2 ﹣cos2 ＝1，则cos ＝（ ）
2
α α α
1 √5 3 2√5
A． B． C． D．
5 5 5 5【解答】解：因为2sin2 ﹣cos2 ＝1，
所以4sin cos ﹣2cos2 +α1＝1，即α 2sin cos ＝cos2 ，
α α π α α α α
因为α∈(0， )，cos ＞0，
2
α
1
可得sin = cos ，
2
α α
1 4 2√5
所以sin2 +cos2 = cos2 +cos2 ＝1，可得cos2 = ，可得cos = ．
4 5 5
α α α α α α
故选：D．
α
8．若 （0， ），且sin ﹣2cos ＝2，则tan 等于（ ）
2
α∈ π α α
1 1
A．3 B．2 C． D．
2 3
【解答】解：∵sin ﹣2cos ＝2，
∴sin ＝2+2cos ，则 α 2sin αα cos α =2−2cos2 α =sin2 α ，
2 2 2 2
α α
α α
又 （0， ），∴cos ≠0，则tan =2．
2 2
α∈ π
故选：B．
考点3.三角恒等变换综合
1．若sin ＝3sin（2 ﹣ ），则2tan（ ﹣ ）+tan 的值为 0 ．
【解答β】解：∵sαin ＝β 3sin（2 ﹣ ）α，∴β sin[ ﹣α（ ﹣ ）]＝3sin[（ ﹣ ）+ ]，
∴sin cos（ ﹣ ）β﹣cos sin（α ﹣β ）＝3sin（α ﹣ α）coβs +3cos（ ﹣α ）β sinα，
∴﹣2αsin coαs（β﹣ ）＝α4cos sαin（β ﹣ ），即α taβn ＝﹣α2tan（ ﹣α ）β， α
∴2tan（α﹣ ）α+taβn ＝0， α α β α α β
故答案为α：0β． α
4 π 3π
2．已知2+5cos2 ＝cos ，cos（{2 + }）= ， （0， ）， （ ，2 ），则cos 的值为（ ）
5 2 2
α α α β α∈ β∈ π β
4 44 44 4
A．− B． C．− D．
5 125 125 5
【解答】解：因为2+5cos2 ＝2+5（2cos2 ﹣1）＝cos ，
整理可得：10cos2 ﹣cos ﹣α3＝0， α α
3 α 1 α
解得cos = ，或− ，
5 2
απ
又因为α∈(0， )，
2
3 4
所以cos = ，可得sin = ，
5 5
α α
π π
∴ ＜ ＜ ，
4 3
α
7 24
可得cos2 ＝2cos2 ﹣1 =− ，sin2 ＝2sin cos = ，
25 25
α α α α α
4 3π
因为cos(2α+β)= ，β∈( ，2π)，
5 2
2π
所以2 + （2 ，2 + ），
3
α β∈ π π
3
故sin（2 + ）= ，
5
α β
4 7 24 3 44
所以cos ＝cos[（2 + ）﹣2 ]＝cos（2 + ）cos2 +sin（2 + ）sin2 = ×（− ）+ × = ．
5 25 25 5 125
β α β α α β α α β α
故选：B．
3．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得： ,
即： ，
即：
所以
故选：C[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取 ，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β ，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
4．若 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题，又
.
故选：D.
5．已 ，且 则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 平方得 ，
，
.
故选:D.
6．已知角 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【详解】因为 ，
所以 ， ， ，
又 ，
所以 ，
所以 ，所以 .
故选：C.
题型二、三角函数的图像
考点1.伸缩变换
π
1．要得到函数y＝3sin（2x + ）的图象，只需要将函数y＝3cos2x的图象（ ）
3
π
A．向右平行移动 个单位
12
π
B．向左平行移动 个单位
12
π
C．向右平行移动 个单位
6
π
D．向左平行移动 个单位
6
π π π π π
【解答】解：函数y＝3sin（2x + ）＝3cos[ −（2x + ）]＝3cos（ −2x）＝3cos（2x− ）＝3cos2
3 2 3 6 6
π
（x− ），
12
π π
故把函数y＝3cos2x的图象向右平行移动 个单位，可得函数y＝3sin（2x + ）的图象，
12 3
故选：A．
2π
2．已知曲线C ：y＝cosx，C ：y＝sin（2x + ），则下面结论正确的是（ ）
1 2 3
π
A．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得
1 6
到曲线C
2
π
B．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得
1 12
到曲线C
2
1 π
C．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到
1 2 6
曲线C
21 π
D．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到
1 2 12
曲线C
2
2π π
【解答】解：曲线C ：y＝sin（2x + ）＝cos（2x + ），
2 3 6
1
把C ：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，可得y＝cos2x的图象；
1 2
π π 2π
再把得到的曲线向左平移 个单位长度，可以得到曲线C ：y＝cos（2x + ）＝sin（2x + ）的图象，
12 2 6 3
故选：D．
3．已知函数f（x）＝Asin（ x+ ）（A＞0， ＞0，| |＜ ）是奇函数，且f（x）的最小正周期为 ，将
y＝f（x）的图象上所有ω点的φ横坐标伸长ω到原来的φ2倍π（纵坐标不变），所得图象对应的函数π为 g
π 3π
（x）．若g（ ）=√2，则f（ ）＝（ ）
4 8
A．﹣2 B．−√2 C．√2 D．2
【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴ ＝0，
∵f（x）的最小正周期为 ， φ
2π π
∴ = ，得 ＝2，
ω
π ω
则f（x）＝Asin2x，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象
对应的函数为g（x）．
则g（x）＝Asinx，
π π π √2
若g（ ）=√2，则g（ ）＝Asin = A=√2，即A＝2，
4 4 4 2
3π 3π 3π √2
则f（x）＝Asin2x，则f（ ）＝2sin（2× = 2sin = 2× =√2，
8 8 4 2
故选：C．
π π
4．函数y＝cos（2x+ ）（﹣ ≤ ＜ ）的图象向右平移 个单位后，与函数y＝sin（2x + ）的图象重合，
2 3
φ π φ π
5π
则 ＝ ．
6
φ
π
【解答】解：函数y＝cos（2x+ ）（﹣ ≤ ＜ ）的图象向右平移 个单位后，得平移后的图象的函
2
φ π φ π数解析式为
π
y＝cos[2（x− ）+ ]＝cos（2x+ ﹣ ），
2
φ φ π
π π π
而函数y＝sin（2x + ）=cos(2x+ − )，
3 3 2
π π
由函数y＝cos（2x+ ）（﹣ ≤ ＜ ）的图象向右平移 个单位后，与函数y＝sin（2x + ）的图象重
2 3
φ π φ π
合，得
π π 5π
2x+ ﹣ =2x+ − ，解得： = ．
3 2 6
φ π φ
符合﹣ ≤ ＜ ．
π 5φπ π
故答案为 ．
6
π π
5．若y＝|3sin（ x + ）+2|的图象向右平移 个单位后与自身重合，且y＝tan x的一个对称中心为（
12 6
ω ω
π
，0），则 的最小正值为 2 4 ．
48
ω
π π
【解答】解：∵y＝|3sin（ x + ）+2|的图象向右平移 个单位后与自身重合，
12 6
ω
π 2π
∴ = k• ，k N，
6 ω
∈
则 ＝12k，k N，
ω ∈ ① kπ
∵y＝tanx的对称中心为（ ，0），
2
kπ
∴y＝tan x（ N*）的对称中心是（ ，0），
2ω
ω ω∈
π
又（ ，0）是函数y＝tan x（ N*）的一个对称中心，
48
ω ω∈
kπ π
∴ = （k Z），
2ω 48
∈
∴ ＝24k，k N，
由ω 知，∈的最②小正值为24．
故①答案②是：2ω4．π
6．将函数f（x）＝3sin2x的图象向右平移 （0＜ ＜ ）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f
2
φ φ
π
（x ）﹣g（x ）|＝6的x ，x ，有|x ﹣x | = ，则 ＝（ ）
1 2 1 2 1 2 min 6
φ
5π π π π
A． B． C． D．
12 3 4 6
π
【解答】解：由于函数f（x）＝3sin2x的图象向右平移 （0＜ ＜ ）个单位后得到函数g（x）＝3sin
2
φ φ
（2x﹣2 ）的图象，
所以|f（φx ）﹣g（x ）|＝3|sin2x ﹣sin（2x ﹣2 ）|＝6，
1 2 1 2
由于﹣1≤sin2x ≤1，﹣1≤sin（2x ﹣2 ）≤1．φ
1 2
所以sin2x 和sin（2x ﹣2 ）的值中，一φ个为1，一个为﹣1．
1 2
不妨设sin2x ＝1，sin（2xφ﹣2ϕ）＝﹣1，
1 2
π π
则2x =2k π+ ，2x ﹣2 =2k π− （k ，k Z）．
1 1 2 2 2 2 1 2
φ ∈
所以2x ﹣2x +2 ＝2（k ﹣k ） + （k ﹣k Z），
1 2 1 2 1 2
φ π ππ ∈
得到：|x −x |=|(k −k )π+ −φ|，
1 2 1 2 2
π π π
由于0＜φ＜ ，所以0＜ −φ＜ ．
2 2 2
π π π
故当k ﹣k ＝0时，|x −x | = −φ= ，解得 = ．
1 2 1 2 min 2 6 3
φ
故选：B．
考点2.求解析式
π 5π
1．图是函数y＝Asin（ x+ ）（x R）在区间[− ， ]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y
6 6
ω φ ∈
＝sinx（x R）的图象上所有的点（ ）
∈π 1
A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
3 2
π
B．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
3
π 1
C．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
6 2
π
D．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
6
【解答】解：由图象可知函数的周期为 ，振幅为1，
所以函数的表达式可以是y＝sin（2x+ ）π．
π πφ
代入（− ，0）可得 的一个值为 ，
6 3
φ
π
故图象中函数的一个表达式是y＝sin（2x + ），
3
π
即y＝sin2（x + ），
6
π
所以只需将y＝sinx（x R）的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到
3
∈
1
原来的 倍，纵坐标不变．
2
故选：A．
π
2．已知函数f（x）＝Asin（ x+ ）（其中A， ， 为常数，且A＞0， ＞0，|φ|＜ ）的部分图象如
2
ω φ ω φ ω
3 π
图所示，若f(α)= ，则sin(2α+ )的值为（ ）
2 6
3 1 1 1
A．− B．− C． D．
4 8 8 37π 2π
【解答】解：由题设图象知，A＝2，周期T＝4（ − ）＝2 ，
6 3
π
2π
∴ = = 1．
T
ω
2π
∵点（ ，2）在函数图象上，
3
2π 2π
∴2sin（ + ）＝2，即sin（ + ）＝1．
3 3
φ φ
π π
又∵− ＜ ＜ ，
2 2
φ
2π π π
∴从而 + = ，即 =− ．
3 2 6
φ φ
π
故函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x− ）．
6
3 π 3 π 3
由f(α)= ，可得f（ ）＝2sin（ − ）= ，即sin（ − ）= ，
2 6 2 6 4
α α α
π π π π π 9 1
那么sin(2α+ )= cos（ −2 − ）＝cos（2 − ）＝1﹣2sin2（ − ）＝1﹣2× =−
6 2 6 3 6 16 8
α α α
故选：B．
π π
3．已知函数f(x)=Asin( x+ϕ)，x∈R，A＞0，0＜ϕ＜ ．y＝f（x）的部分图象如图所示，
3 2
2π
P，Q分别为该图象的最高点和最低点，PR垂直x轴于点R，R的坐标为（1，0），若∠PRQ = ，则f
3
（0）＝（ ）
1 √3 √3 √2
A． B． C． D．
2 2 4 4
2π
= =
【解答】解：由题意得，函数f（x）的最小正周期T π 6，
3
由R的坐标为（1，0），点P的坐标为（1，A），
设点Q的坐标为（4，﹣A），过点Q做x轴的垂线，设垂足为M，则RM＝3，
2π 2π π
∵∠PRQ = ，∴∠MRQ = = ，
3 3 6
π
∴|MQ|＝A＝3×tan =√3，
6
2π
= =
由题意得，T π 6
3
π
∵P（1，A）在函数f（x）＝Asin （ x+ ）的图象上，
3
Φ
π
∴sin （ + ）＝1，
3
Φ
π
又∵0＜ ＜ ，
2
Φ
π
∴ = ，
6
Φ
π π π √3
∴f（x）=√3sin （ x + ），f（0）=√3sin = ．
3 6 6 2
故选：B．
π
4．已知函数f（x）＝Atan（ x+ ）（ ＞0，| |＜ ）的部分图象如图所示，下列关于函数 g（x）＝
2
ω φ ω φ
Acos（ x+ ）（x R）的表述正确的是（ ）
ω φ ∈
π
A．函数g（x）的图象关于点（ ，0）对称
4π 3π
B．函数g（x）在[− ， ]递减
8 8
π
C．函数g（x）的图象关于直线x = 对称
8
π
D．函数h（x）＝cos2x的图象上所有点向左平移 个单位得到函数g（x）的图象
4
π
【解答】解：根据函数f（x）＝Atan（ x+ ）（ ＞0，| |＜ ）的部分图象知，
2
ω φ ω φ
3π π π π
最小正周期为T＝2×（ − ）= ，∴ = = 2；
8 8 2 T
ω
π π π
又 • + = + k ，k Z， = + k ，k Z；
8 2 4
ω φ π ∈ φ π ∈
π π
∴ = ，∴f（0）＝Atan = A＝1，
4 4
φ
π
∴函数g（x）＝cos（2x + ）；
4
π π π π √2
x = 时，g（ ）＝cos（ + ）=− ≠0，
4 4 2 4 2
π
g（x）的图象不关于点（ ，0）对称，A错误；
4
π 3π π
x [− ， ]时，2x + [0， ]，
8 8 4
∈ ∈ π
π 3π
g（x）在[− ， ]上单调递减，B正确；
8 8
π π π π
x = 时，g（ ）＝cos（ + ）＝0，
8 8 4 4
π
g（x）的图象不关于直线x = 对称，C错误；
8
π
h（x）＝cos2x的图象上所有点向左平移 个单位，
4
π π π
得h（x + ）＝cos2（x + ）＝cos（2x + ）的图象，
4 4 2
不是函数g（x）的图象，D错误．
故选：B．
题型三、三角函数的最值、取值范围1 π π
1．函数f（x）= sin（x + ）+cos（x− ）的最大值为（ ）
5 3 6
6 3 1
A． B．1 C． D．
5 5 5
1 π π 1 π π 1 π
【解答】解：函数f（x）= sin（x + ）+cos（x− ）= sin（x + ）+cos（﹣x + ）= sin（x + ）
5 3 6 5 3 6 5 3
π
+sin（x + ）
3
6 π 6
= sin（x + ）≤ ．
5 3 5
故选：A．
3√3
2．已知函数f（x）＝2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 − ．
2
【解答】解：由题意可得T＝2 是f（x）＝2sinx+sin2x的一个周期，
故只需考虑f（x）＝2sinx+sin2xπ在[0，2 ）上的值域，
先来求该函数在[0，2 ）上的极值点，π
求导数可得f′（x）＝π2cosx+2cos2x
＝2cosx+2（2cos2x﹣1）＝2（2cosx﹣1）（cosx+1），
1
令f′（x）＝0可解得cosx = 或cosx＝﹣1，
2
π 5π
可得此时x = ， 或 ；
3 3
π
π 5π
∴y＝2sinx+sin2x的最小值只能在点x = ， 或 和边界点x＝0中取到，
3 3
π
π 3√3 5π 3√3
计算可得f（ ）= ，f（ ）＝0，f（ ）=− ，f（0）＝0，
3 2 3 2
π
3√3
∴函数的最小值为− ，
2
3√3
故答案为：− ．
2
π π π π π
3．已知函数f（x）＝2sin2（ + x）−√3cos2x，x [ ， ]．若不等式|f（x）﹣m|＜2在x [ ， ]上恒成
4 4 2 4 2
∈ ∈
立，则实数m的取值范围为 1 ＜ m ＜ 4 ．
【 解 答 】 解 ： 已 知 函 数π π π
f(x)=2sin2 ( +x)−√3cos2x=1−cos( +2x)−√3cos2x=sin2x−√3cos2x+1=2sin(2x− )+1
4 2 3
π π π π 2
∵x∈[ ， ]，∴2x− ∈[ ， π]，
4 2 3 6 3
π 1
∴sin(2x− )∈[ ，1]，
3 2
1
∴f(x) =2× +1=2，f（x） ＝2×1+1＝3．
min 2 max
π π π π
∵不等式|f（x）﹣m|＜2在x∈[ ， ]上恒成立，∴﹣2＜f（x）﹣m＜2在x∈[ ， ]上恒成立，
4 2 4 2
π π
即f（x）﹣2＜m＜f（x）+2在x∈[ ， ]上恒成立．
4 2
π π
因为f（x）在[ ， ]上的最小值是2，最大值是3，
4 2
∴1＜m＜4．
4．已知函数 ，下列说法错误的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是周期为π的函数
C． 在区间 上单调递减 D． 的最大值为
【详解】对选项A， ，定义域为R，
，
所以 为偶函数，故A正确.
对选项B，因为 ，
所以
所以 ，
所以 的周期为 ，故B正确.对选项C， ， ，
因为 ， 所以 在区间 上单调递减，
故C正确.
对选项D，当 时， ，
因为 ， ，此时 .
当 时， ，
因为 ， ，此时 .
因为 是周期为π的函数，所以 ，故D错误.
故选：D
题型四、三角函数的性质
考点1.三角函数的单调性
π π 5π
1．函数y=sin(−2x+ )的单调递减区间为 [ k − ， k + ] ， k z ．
3 12 12
π π ∈
π π π
【解答】解：由于函数y=sin(−2x+ )=−sin（2x− ），本题即求函数t＝sin（2x− ）的增区间．
3 3 3
π π π π 5π
令2k − ≤2x− ≤2k + ，k z，可得 k − ≤x≤k + ，
2 3 2 12 12
π π ∈ π π
π π 5π
故函数y=sin(−2x+ )的单调递减区间为[k − ，k + ]，
3 12 12
π π
π 5π
故答案为[k − ，k + ]，k z．
12 12
π π ∈
π π
2．已知 ＞0，函数 f（x）＝sin（ x + ）在区间（ ， ）上单调递减，则实数 的取值范围是
4 2
ω ω π ω（ ）
1 5 1 3 1
A．[ ， ] B．[ ， ] C．(0， ] D．（0，2]
2 4 2 4 2
π 5π 9π
【解答】解：法一：令：ω=2⇒(ωx+ )∈[ ， ]不合题意 排除（D）
4 4 4
π 3π 5π
ω=1⇒(ωx+ )∈[ ， ]合题意 排除（B）（C）
4 4 4
π π π π π π 3π
法二：ω(π− )≤π⇔ω≤2，(ωx+ )∈[ ω+ ，πω+ ]⊂[ ， ]
2 4 2 4 4 2 2
π π π π 3π 1 5
得： ω+ ≥ ，πω+ ≤ ⇔ ≤ω≤ ．
2 4 2 4 2 2 4
故选：A．
ωx ωx π 2π
3．已知函数f（x）＝4sin •cos （ ＞0）在区间[− ， ]上是增函数，且在区间[0， ]上恰好取
2 2 2 3
ω π
得一次最大值，则 的取值范围为（ ）
ω 3 1 3
A．（0，1] B．（0， ] C．[ ， ] D．[1，+∞）
4 2 4
ωx ωx
【解答】解：函数f（x）＝4sin •cos = 2sin x（ ＞0），
2 2
ω ω
π π
则f（x）在[− ， ]上是含原点的递增区间；
2ω 2ω
π 2π
又f（x）在[− ， ]上单调递增，
2 3
π π π 2π
则[− ， ] [− ， ]，
2ω 2ω 2 3
⊇
π π
{− ≤−
2ω 2
得不等式组 ，
2π π
≤
3 2ω
又 ＞0，
ω 3
∴解得0＜ ≤ ；
4
ω
又函数f（x）在区间[0， ]上恰好取得一次最大值，
π π
根据正弦函数的性质可知 x＝2k + ，k Z，
2
ω π ∈2kπ π π
即函数在x = + 处取得最大值，可得0≤ ≤ ，
ω 2ω 2ω
π
1
∴ ≥ ，
2
ω
1 3
综上所述，可得 [ ， ]．
2 4
ω∈
故选：C．
考点2.三角函数的奇偶性
1．已知f（x）＝sin（x+ ）+cos（x+ ）为奇函数，则 的一个取值是（ ）
π φ π φ π φ π
A． B．− C． D．−
2 2 4 4
【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，
∴f（0）＝0，即f（0）＝sin +cos ＝0，
得sin ＝﹣cos ， φ φ
即tanφ＝﹣1，φ
φ π
即 =− + k ，k Z，
4
φ π ∈
π
则当k＝0时， =− ，
4
φ
故选：D．
π
2．已知f（x）＝3sin2x+acos2x，其中a为常数．f（x）的图象关于直线x= 对称，则f（x）在以下区间上
6
是单调函数的是（ ）
3 1 7 1 1 1 1
A．[− ，− ] B．[− ，− ] C．[− ， ] D．[0， ]
5 6 12 3 6 3 2
π π π π π π π
【解答】解：由题意知：y＝3sin2x+acos2x=√9+a2sin（2x+ ），
φ
π
当x = 时函数y＝3sin2x+acos2x取到最值±√9+a2，
6
π π π 3√3+a
将x = 代入可得：3sin（2× ）+acos（2× ）= =±√9+a2，
6 6 6 2
解得：a=√3，
π
故f（x）＝3sin2x+√3cos2x＝2√3sin（2x + ），
67 1 5π π 7 1
由于[− ，− ] [− ，− ]，根据正弦函数的图象可知函数在[− ，− ]上是单调递减的，
12 3 6 3 12 3
π π ∈ π π
故选：B．
3．已知函数f（x）＝sin x+cos x（ ＞0），x R，若函数f（x）在区间（﹣ ， ）内单调递增，且函数
ω ω ω ∈ ω ω
√π
y＝f（x）的图象关于直线x＝ 对称，则 的值为 ．
2
ω ω
π
【解答】解：∵f（x）＝sin x+cos x=√2sin（ x + ），
4
ω ω ω
∵函数f（x）在区间（﹣ ， ）内单调递增， ＞0
ω ω ω 3π π
π π π 2kπ− 2kπ+
∴2k − ≤ x + ≤2k + ，k Z 可解得函数 f（x）的单调递增区间为：[ 4 ， 4 ]，
2 4 2
ω ω
π ω π ∈
k Z，
∈ 3π π
2kπ− 2kπ+
∴可得：﹣ 4 ， 4 ，k Z，
≥ ≤
ω ω
ω ① ω ② ∈
3π π
∴解得：0＜ 2≤ −2kπ且0＜ 2≤2kπ+ ，k Z，
4 4
ω ω ∈
1 3
解得：− ＜k＜ ，k Z，
8 8
∈
∴可解得：k＝0，
π
π π kπ+
又∵由 x + = k + ，可解得函数f（x）的对称轴为：x 4 ，k Z，
4 2 =
ω
ω π ∈
π √π
∴由函数y＝f（x）的图象关于直线x＝ 对称，可得： 2= ，可解得： = ．
4 2
ω ω ω
√π
故答案为： ．
2
考点3.三角函数的周期性与对称性
π π π
1．已知函数f（x）＝sin（ x + ）（ ＞0）在（ ， ）上有最大值，但没有最小值，则 的取值范围
4 12 3
ω ω ω
3
是 （ ， 3 ）
4
π π π
【解答】解：要求函数f（x）＝sin（ x + ）（ ＞0）在（ ， ）上有最大值，但没有最小值，
4 12 3
ω ωπ π π 2π
所以 − ＜T，即 ＜ ，解得0＜ ＜8．
3 12 4 ω
ω
π π π π π π 3π
且存在k Z，使得− + 2k ＜ • + ＜ + 2k ＜ • + ＜ + 2k ．
2 12 4 2 3 4 2
∈ π ω π ω π
π π π π
{ +2kπ＞ω⋅ + ＞
2 12 4 4
因为0＜ ＜8，所以 ．
π π π 11π
− +2kπ＜ω⋅ + ＜
ω 2 12 4 12
1 17
所以− ＜k＜ ，所以k＝0，
8 24
π π π π π π 3π
所以− ＜ • + ＜ ＜ • + ＜ ，
2 12 4 2 3 4 2
ω ω
π π π π
由− ＜ • + ＜ 解得﹣9＜ ＜3．
2 12 4 2
ω ω
π π π 3π 3 15
由 ＜ • + ＜ ，解得 ＜ ＜ ，
2 3 4 2 4 4
ω ω
3
所以 ＜ ＜3．
4
ω
3
故答案为（ ，3）．
4
π
2．已知函数f（x）＝2sin（ x + ）（ ＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则 的取值范围为
4
ω ω ω
（ ）
19π 27π 9π 13π 17π 25π
A．[ ， ） B．[ ， ） C．[ ， ） D．[4 ，6 ）
4 4 2 2 4 4
π π
π
【解答】解：函数f（x）＝2sin（ x + ）（ ＞0），
4
ω ω
∵x [0，1]上，
∈ π π π
∴ x + [ ，ω+ ]，
4 4 4
ω ∈
图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，
9π π π
∴ ≤ω+ ＜6π+ ，
2 4 2
17π 25π
解得： ≤ω＜ ．
4 4故选：C．
π π
3．设函数f（x）＝Asin（ x+ ）（A， ， 是常数，A＞0， ＞0）若f（x）在区间[ ， ]上具有单调
6 2
ω φ ω φ ω
π 2π π
性，且f（ ）＝f（ ）＝﹣f（ ），则f（x）的最小正周期为 ．
2 3 6
π
π 2π
π 2π +
【解答】解：由f（ ）＝f（ ），可知函数f（x）的一条对称轴为x 2 3 7π，
2 3 = =
2 12
π 7π π π
则x = 离最近对称轴距离为 − = ．
2 12 2 12
π π π
又f（ ）＝﹣f（ ），则f（x）有对称中心（ ，0），
2 6 3
π π
由于f（x）在区间[ ， ]上具有单调性，
6 2
π π 1 2π 7π π T
则 − ≤ T T≥ ，从而 − = T＝ ．
2 6 2 3 12 3 4
⇒ ⇒ π
故答案为： ．
π π π π
4．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|≤ )，x=− 为 y＝f（x）图象的对称轴，x= 为 f
2 4 4
π π
（x）的零点，且f（x）在区间( ， )上单调，则 的最大值为（ ）
12 6
ω
A．13 B．12 C．9 D．5
π π
【解答】解：∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|≤ )，x=− 为y＝f（x）图象的对称轴，
2 4
π
x= 为f（x）的零点，
4
π π π π π 2π π
f（x）在区间( ， )上单调，∴周期T≥2×（ − ）= ，即 ≥ ，∴ ≤12．
12 6 6 12 6 ω 6
ω
π π 2n+1 2π π
∵x =− 为y＝f（x）图象的对称轴，x= 为f（x）的零点，∴ • = ，n Z，∴ ＝2n+1．
4 4 4 ω 2
∈ ω
π π π
当 ＝11时，由题意可得 ×11+ ＝k ， = ，函数为y＝f（x）＝sin（11x + ），
4 4 4
ω φ π φ
π π π 7π 25π π π
在区间( ， )上，11x + （ ， ），f（x）在区间( ， )上不单调，∴ ≠11．
12 6 4 6 12 12 6
∈ ωπ π π
当 ＝9时，由题意可得 ×9+ ＝k ， =− ，函数为y＝f（x）＝sin（9x− ），
4 4 4
ω φ π φ
π π π π 5π π π
在区间( ， )上，9x− （ ， ），f（x）在区间( ， )上单调，满足条件，
12 6 4 2 4 12 6
∈
则 的最大值为9，
故选ω：C．
π π π
5．已知函数f（x）＝sin（ x+ ），其中 ＞0，| |≤ ，− 为f（x）的零点：且f（x）≤|f（ ）|恒
2 4 4
ω φ ω φ
π π
成立，f（x）在区间（− ， ）上有最小值无最大值，则 的最大值是（ ）
12 24
ω
A．11 B．13 C．15 D．17
π
【解答】解：由题意知函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0，| |≤ ），
2
ω φ ω φ
π π
x = 为y＝f（x）图象的对称轴，x =− 为f（x）的零点，
4 4
2n−1 2π π
∴ • = ，n N*，∴ ＝2n+1，n N*，
4 ω 2
∈ ω ∈
π π
f（x）在区间（− ， ）上有最小值无最大值，
12 24
π π π 2π π
∴周期T≥（ + ）= ，即 ≥ ，∴ ≤16．
24 12 8 ω 8
ω
∴要求 的最大值，结合选项，先检验 ＝15，
ω π ω π π
当 ＝15时，由题意可得− ×15+ ＝k ， =− ，函数为y＝f（x）＝sin（15x− ），
4 4 4
ω φ π φ
π π π 3π 3π
在区间（− ， ）上，15x− （− ， ），
12 24 4 2 8
∈
π π
此时f（x）在15x− =− 时取得最小值，∴ ＝15满足题意．
4 2
ω
则 的最大值为15，
故选ω：C．
π
6．已知 ＞0，函数f（x）＝acos2 x﹣4cos x+3a，若对任意给定的a [﹣1，1]，总存在x ，x [0， ]
1 2 2
ω ω ω ∈ ∈
（x ≠x ），使得f（x ）＝f（x ）＝0，则 的最小值为（ ）
1 2 1 2
A．2 B．4 ω C．5 D．6【解答】解：由f（x）＝acos2 x﹣4cos x+3a＝2acos2 x﹣4cos x+2a．
令cos x＝t，a [﹣1，1]， ω ω ω ω
ω ∈ 4t
令f（x）＝0，可得：2a= [﹣2，2]
t2+1
∈
∴t [﹣1，1]
即c∈os x [﹣1，1]上有两个解．
ω ∈ π
那么x ，x [0， ]（x ≠x ）上至少有两个解，
1 2 2 1 2
∈
π 6π
∴ ω≥
2 2
∴ ≥6
故ω选：D．
题型五、三角函数的零点
1 π
1．已知函数f（x）=√3sin xcos x+cos2 x− ，（ ＞0，x R），若函数f（x）在区间（ ，π）内没有
2 2
ω ω ω ω ∈
零点，则 的取值范围（ ）
ω5 5 5 11
A．（0， ] B．（0， ]∪[ ， ]
12 12 6 12
5 5 11
C．（0， ] D．（0， ]∪[ ，1）
8 6 12
1 √3 1+cos2ωx 1 π
【解答】解：函数f（x）=√3sin cos x+cos2 x− = sin2ωx+ − =sin(2ωx+ )，
2 2 2 2 6
ω ω ω
π
函数f（x）在区间（ ，π）内没有零点，
2
π
所以：f( )⋅f(π)＞0，
2
π π
即：sin(πω+ )⋅sin(2ωπ+ )＞0，
6 6
所以： ¿，
① 5
解得：ω∈(0， ]，
12
¿，
② 5 11
解得： [ ， ]，
6 12
ω∈5 5 11
综上所述： （0， ]∪[ ， ]，
12 6 12
ω∈
故选：B．
π π √3 π
2．已知函数f（x）＝2sin（ x− ）sin（ x + ）（ ＞0），若函数g（x）＝f（x）+ 在[0， ]上有
6 3 2 2
ω ω ω
且只有三个零点，则 的取值范围为（ ）
11 ω 11 7 10 7 10
A．[2， ） B．（2， ） C．[ ， ） D．（ ， ）
3 3 3 3 3 3
π π π π π
【解答】解：f（x）＝2sin（ x− ）sin（ x + ）＝2sin（ x− + ）sin（ x + ）
6 3 2 3 3
ω ω ω ω
π π 2π
＝﹣2cos（ x + ）sin（ x + ）＝﹣sin（2 x + ），
3 3 3
ω ω ω
√3 √3
由g（x）＝f（x）+ =0得f（x）=− ，
2 2
2π √3
即﹣sin（2 x + ）=− ，
3 2
ω
2π √3
得sin（2 x + ）= ，
3 2
ω
π
∵0≤x≤ ，
2
2π 2π 2π
∴0≤2 x≤ ，则 ≤2 x + ≤ + ，
3 3 3
ω πω ω πω
2π √3
∵sin = ，
3 2
2π √3 π
∴要使sin（2 x + ）= ，在0≤x≤ 上有三个根，
3 2 2
ω
2π 2π π
∴ + 2 ≤ + ＜ + 4 ，
3 3 3
π ωπ π
11π 11
得2 ≤ ＜ ，即2≤ ＜ ，
3 3
π ωπ ω
11
即 的取值范围是[2， ），
3
ω
故选：A．π π π
3．函数f（x）＝2sin（2x + ），g（x）＝mcos（2x− ）﹣2m+3＞0，m＞0，对任意x [0， ]，存在
3 6 1 4
∈
π 4
x [0， ]，使得g（x ）＝f（x ）成立，则实数m的取值范围是 [1， ] ．
2 4 1 2 3
∈
π
【解答】解：由题意：f（x）＝2sin（2x + ），
3
π
当x [0， ]时，
2 4
∈
π π 5π
则有：2x + [ ， ]，
2 3 3 6
∈
π π
当2x + ）= 时，函数f（x）取得最大值为2，
2 3 2
π 5π
当2x + ）= 时，函数f（x）取得最小值值为1，
2 3 6
π
所以：对于x [0， ]，f（x）的值域为[1，2]．
2 4
∈
π
函数g（x）＝mcos（2x− ）﹣2m+3，m＞0，
6
π
当x [0， ]时，
1 4
∈
π π π
则有：2x − [− ， ]，
1 6 6 3
∈
π π 3
当2x − = 时，函数g（x）取得最小值为：− m+3．
1 6 3 2
π
当2x − = 0时，函数g（x）取得最大值为：﹣m+3．
1 6
π 3
所以：对于x [0， ]，g（x）的值域为[− m+3，﹣m+3]．
1 4 2
∈
π π 3
任意x [0， ]，存在x [0， ]，使得g（x ）＝f（x ）成立，则有：[− m+3，﹣m+3] [1，2]．
1 4 2 4 1 2 2
∈ ∈ ⊆{ 3
− m+3≥1
即： 2
−m+3≤2
4
解得：1≤m≤
3
4
故答案为[1， ]
3
4．设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：依题意可得 ，因为 ，所以 ，
要使函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，又 ， 的图象如下所示：
则 ，解得 ，即 ．
故选：C．
一、单选题
1．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，所以 ， ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
，
故选：B．
2．函数 的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】函数 的定义域为 ，
因为 ，
所以函数 为奇函数，函数图像关于原点对称，故排除C，D，
当 时， ，故 ,
而 ，故此时 ，故排除B．
故选：A．
3．在平面直角坐标系中，角 的顶点为坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边过点 ，且，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为角 的终边经过点 ，且 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
故选：B
4．设 ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意 ，
则 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，
则 ，
所以 .故选：C
5．函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，
将函数图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，所以最小正周期为 .
故选：C.
6．将函数 （ ）的图象向左平移 个单位长度，得到偶函数 的图象，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】将 的图象向左平移 个单位长度，得到 的图象，
因为 为偶函数，且 ，所以 ，得 .
故选：A
7．将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，若直线 是
图象的一条对称轴，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意 ，
因为直线 是 图象的一条对称轴，所以 ，则 ，
对比选项可知当 时， ．
故选：B．
8．已知函数 ，若 在区间 上的值域是 ，则a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由 可得 ，
当 时， ，
要使 在区间 上的值域是 ，
则 ，解得 ，
故选：A
9．已知函数 在 上存在最值，且在 上单调，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当 时，因为 ，则 ，因为函数 在 上存在最值，则 ，解得 ，
当 时， ，
因为函数 在 上单调，
则 ，
所以 其中 ，解得 ，
所以 ，解得 ，
又因为 ，则 ．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
又因为 2，因此 的取值范围是 ．
故选：C．
10．如图，直线 与函数 的图象的三个相邻的交点为A，B，
C，且 ， ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为 ， ，
所以相邻两对称轴间的距离 ，即周期 ，所以 ，
排除BD，
当 时，代入 ，可得 ，满足题意，
代入 ，可得 ，不符合题意，
故A正确C错误.
故选：A
11．将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到函数 的图像，再将 的图像上各点的
纵坐标不变、横坐标变为原来的 （ ）倍，得到函数 的图像，且 在区间 上恰有两个
极值点、两个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】法一：由题意，得 ，所以 ．令
， ，则 ．设 ，则 在 上恰有两个极值点和
两个零点．结合图像知 ，解得 ．法二：验证排除法.由题意可知 ，所以 ，根据四个选项
的特点，只有选项C中不含 ，所以只需要验证 时的情况，若 ，则 ，令
，因为 ，所以 ，结合图像知此范围内由两个零点，一个极小值点，不符合题
意，所以 ，故选C.
法三：由题可知， ，所以 ，令 ， ，则
， ，分别令 ，则 ， ， ，由题意知 解得 .
， ，则 ， ，分别令 ，则 ， ， ，由题意知
解得 ，综上所述， .
故选：C．
12．已知函数 ，则下列说法中正确的是（ ）A．若函数 的最小正周期为π，则 在 上不单调
B．若函数 的最小正周期为π，则直线 是函数 图象的一条对称轴
C．若函数 在 上恰有3个极值点，则
D．若函数 在 上单调，则
【答案】C
【详解】 ．
对于A，若 的最小正周期为π，则 ，
，令 ，
因为 ，所以 ，
则 在 上为增函数，故A错误；
对于B，由于 ，则 ，
直线 不是 图象的对称轴，故B错误；
对于C，令 ，
因为 ，所以 ，
由 在 上恰有3个极值点，
则当 时， 取极值，
则有 ，得 ，故C正确；对于D，令 ，
因为 ，所以 ，
由于 在 上单调，则 ，
解得 ，故D错误．
故选：C.
13．将函数 图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，再向右平移 个单位长度，得到函数
的图象，若 在 上有两个不同的零点 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将函数 图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，得到 的图象，
再向右平移 个单位长度，得到 的图象．
当 时， ，令 ， ，
则关于t的方程 在 上有两个不等的实数根 ， ，所以 ，
即 ，则 ，所以 ．
故选：B
14．已知函数 ，若函数 的最小正周期为 ，且
对任意的 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】由 ，
所以函数 的最小正周期是 ，
于是函数 的最小正周期是 ，
因此函数 的最小正周期为 ，
所以 ，则 ，
因此 ．由于 对任意的 恒成立，
所以 在 处取得最小值，
于是 ，
即 ，因为 ，所以 的最小值为 ．
故选：C
二、多选题
15．已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称C．函数 在 的值域为
D．将函数 的图象向右平移 个单位，所得函数为
【答案】ACD
【详解】由图可知 ，又 ，
所以 ，所以 ，
又函数图象最低点为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
由题意 ，所以只能 ，所以
由A选项分析可知 ，但 ，从而函数 的图象关于直线
对称，故A选项正确；
但 ，从而函数 的图象不关于 对称，故B选项错误；
当 时， ，
而函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 在 的值域为 ，故C选项正确；
若将函数 的图象向右平移 个单位，则得到的新的函数解析式为 ，故D选项正确.
故选：ACD.
16．函数 的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是
（ ）
A．
B． 的图象向右平移 个单位长度后得到的新函数是偶函数
C． 的图象向右平移 个单位长度后得到的新函数是奇函数
D．若方程 在 上有且只有6个根，则
【答案】ACD
【详解】对于A项：由 ，得 ，则 或 ，
又 ，所以 ．因为 的图象过点 ，
所以 ，
又 在 的单调递增区间内，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ．故A项正确．
对于B、C项： 的图象向右平移 个单位长度后
得到 ，为奇函数，
故B项错误，C项正确．
对于D项：由 得 或 ， ，
该方程在 上有 个根，从小到大依次设为 ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
， ， ．
若存在第 个根，则 ，所以 ．故D项正确.
故选：ACD.
17．已知函数 ，则（ ）
A． 为偶函数
B． 是 的一个单调递增区间
C．
D．当 时，
【答案】ACD
【详解】因为 的定义域为 ，关于原点对称，且 ，所以 是偶函数，故A正确；
因为 ，所以 ，
且 ，所以 不是函数的递增区间，故B不正确；
，故C正确；
因为当 时， ，所以 ，
同理，当 时， ，即 时， ，故D正确.
故选：ACD.
18．已知函数 ，则（ ）
A． 的图象关于直线 轴对称
B． 的图象关于点 中心对称
C． 的所有零点为
D． 是以 为周期的函数
【答案】AC
【详解】对于A：因为 ，
所以 的图象关于直线 轴对称，故A正确；
对于B：因为 ， ，所以 的图象不关于点 中心对称，B错误.对于C：因为 ，
注意到 ，
令 ，得 ，即 ，
故 的所有零点为 ，故C正确；
对于D：因为 ，所以 不是 的周期，故D错误；
故选：AC.
19．已知函数 ， ， ， ，它们的最小正周期均为 ，
的一个零点为 ，则（ ）
A． 的最大值为2
B． 的图象关于点 对称
C． 和 在 上均单调递增
D．将 图象向左平移 个单位长度可以得到 的图象
【答案】BCD
【详解】因为 的最小正周期为 ， ，故 ，所以 ，
所以 ，
又 的一个零点为 ，
所以 ，即 ，又 ， ，故 ，所以 ，
所以 ， ，
所以
，
故 ，故A错误；
又 ，故 的图象关于点 对称， B正确；
对于 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递增，
对于 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递增，故C正确；
将 的图象向左平移 个单位长度，
得 ，故D正确.
故选：BCD．
20．已知点 是函数 的图象的一个对称中心，则（ ）
A． 是奇函数
B． ，C．若 在区间 上有且仅有 条对称轴，则
D．若 在区间 上单调递减，则 或
【答案】BC
【详解】依题意，点 是函数 的图象的一个对称中心，
所以 ，且 ①，B选项正确.
则 ，
所以
，
由于 是奇数，所以 是偶函数，
A选项错误.
C选项， ，
将 代入得：
，
整理得 ，
由于 在区间 上有且仅有 条对称轴，
所以 ，解得 ，由于 ，所以 ，对应 ，所以C选项正确.
D选项， 在区间 上单调递减，
，
将 代入得：
，
整理得 ，
则 ，解得 ，而 ，所以 或 ，
时， ，符合单调性，
时， ，不符合单调性，所以 舍去
所以 ，所以D选项错误.
故选：BC
三、填空题
21．已知函数 ， ，且 ，都有 ，若函数 在
上有且只有一个零点，则 的最大值为 .
【答案】
【详解】由题意得 为函数的最大值点或最小值点，
当 为函数的最大值点时， ， ，
解得 ， ，令 得 ，故 上有且只有一个最大值点，
故 ，解得 ，
令 ，解得 ，
又 ，所以 的最大值为 ，此时 ，
当 为函数的最小值点时， ， ，
解得 ， ，
令 得 ，故 上有且只有一个最大值点，
故 ，解得 ，
令 ，解得 ，
又 ，所以 的最大值为2，此时 ，
综上， 的最大值为
故答案为：
22．若 ，则 ．
【答案】
【详解】因为
，所以 ，
所以 ．
故答案为：
23．已知函数 （ ）的图象与 的图象的两相邻公共点间的距离为 ，将
的图象向左平移 （ ）个单位长度得到 的图象，则 的最小值为
.
【答案】 /
【详解】由函数 的图象与 的图象的两相邻公共点间的距离为 ，
可得 ，所以 ，解得 ，所以 ，
又由 ，其向左平移 （ ）个单位长度得：
，则 ，
解得 ，当 时， 取最小值 .
故答案为： .
24．已知函数 在 上是增函数，且 ，则 的取值的集
合为 .
【答案】
【详解】由 可知， ，得 ，所以 ，
又函数 在 上是增函数，
所以 ，即 ，所以 ，
所以， 的可能取值为 .
当 时，由 解得 ，
经检验， 时不满足题意；
当 时，由 解得 ，
经检验， 时满足题意.
所以， 的可能取值为 .
故答案为：
25．已知函数 在区间 上有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论：
① 的值可能是3； ② 的最小正周期可能是 ；
③ 在区间 上单调递减； ④ 图象的对称轴可能是 .
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①②③
【详解】函数 ，
， ，
函数 在区间 上有且仅有3个对称中心，则 ，
，即 的取值范围是 ，
而 ，故①正确；
周期 ，由 ，
得 ， ，
的最小正周期可能是 ，故②正确；
， ，
， ，
又 ，
在区间 上单调递减，故③正确；
当 ，即 ，
又 ，
，
当 时， ，
当 时， ，故④不正确.
故答案为：①②③.
