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第五章 一元一次方程（易错题归纳）
易错点一：方程的解
技巧点拨：方程的解，掌握代入计算法
1．小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师
告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据方程的解是x＝9，把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，解出方程即可．
【解答】解：把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，得
2×（9﹣3）﹣■＝9+1，
解得■＝2；
故选：C．
【点评】本题考查了方程的解，掌握代入计算法是解题关键．
易错点二：等式的性质
技巧点拨：等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
2．下列等式变形错误的是（ ）
A．若a＝b，则
B．若a＝b，则3a＝3b
C．若a＝b，则ax＝bx
D．若a＝b，则
【答案】D
【分析】根据等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．即可判断．
【解答】解：根据等式的性质可知：
A．若a＝b，则 ＝ ．正确；
B．若a＝b，则3a＝3b，正确；
学科网（北京）股份有限公司C．若a＝b，则ax＝bx，正确；
D．若a＝b，则 ＝ （m≠0），所以原式错误．
故选：D．
【点评】本题考查了等式的性质，解决本题的关键是掌握等式的性质．
3．下列方程的变形，正确的是（ ）
A．由3+x＝5，得x＝5+3 B．由7x＝﹣4，得x＝
C．由 y＝0，得y＝2 D．由x+3＝﹣2，得x＝﹣2﹣3
【答案】D
【分析】分别对所给的四个方程利用等式性质进行变形，可以找出正确答案．
【解答】解：A、由3+x＝5，得x＝5﹣3，因为移项时没有变号，所以原变形错误，故此选项不符合题
意；
B、由7x＝﹣4，得x＝﹣ ，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、由 y＝0，得y＝0，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、由x+3＝﹣2，得x＝﹣2﹣3，原变形正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查等式的性质．解题的关键是明确方程的变形一般包括去分母，去括号，移项，合并同
类项，系数化为1等．移项时注意变号．
4．下列利用等式的基本性质变形错误的是（ ）
A．如果x﹣3＝7，那么x＝7+3
B．如果 ＝ ，那么a＝﹣b
C．如果x+3＝y﹣4，那么x﹣y＝﹣4﹣3
D．如果﹣ x＝4，那么x＝﹣2
【答案】D
【分析】等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，
结果仍得等式．
【解答】解：如果x﹣3＝7，那么x＝7+3，故A选项正确；
学科网（北京）股份有限公司如果 ＝ ，那么a＝﹣b，故B选项正确；
如果x+3＝y﹣4，那么x﹣y＝﹣4﹣3，故C选项正确；
如果﹣ x＝4，那么x＝﹣8，故D选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了等式的性质，解题时注意：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果
仍得等式．
5．如图，天平中的物体a、b、c使天平处于平衡状态，则物体a与物体c的重量关系是（ ）
A．2a＝3c B．4a＝9c C．a＝2c D．a＝c
【答案】B
【分析】根据图形得出2a＝3b，2b＝3c，根据等式性质得出4a＝6b，6b＝9c，推出4a＝6b＝9c，即可
求出答案．
【解答】解：∵由图可知：2a＝3b，2b＝3c，
∴4a＝6b，6b＝9c，
∴4a＝6b＝9c，
即4a＝9c，
故选：B．
【点评】本题考查了对等式的性质的应用，关键是能根据等式的性质得出 4a＝6b，6b＝9c，题目比较
好，但是一道比较容易出错的题目．
易错点三：一元一次方程的定义
技巧点拨：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一
般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0），高于一次的项系数是0
6．若关于x的方程mxm﹣2﹣m+3＝0是一元一次方程，则这个方程的解是（ ）
A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝2
【答案】A
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般
形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0），高于一次的项系数是0．
学科网（北京）股份有限公司【解答】解：由一元一次方程的特点得m﹣2＝1，即m＝3，
则这个方程是3x＝0，
解得：x＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系
数不是0，这是这类题目考查的重点．
易错点四：解一元一次方程
技巧点拨：熟悉解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1
7．小明在解方程 去分母时，方程右边的﹣1没有乘3，因而求得的解为x＝2，则原方程
的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
【答案】A
【分析】已知小明在解方程去分母时，方程右边的﹣1这个项没有乘3，则所得的式子是：2x﹣1＝x+a
﹣1，把x＝2代入方程即可得到一个关于a的方程，求得a的值，然后把a的值代入原方程，解这个方
程即可求得方程的解．
【解答】解：根据题意，得：2x﹣1＝x+a﹣1，
把x＝2代入这个方程，得：3＝2+a﹣1，
解得：a＝2，
代入原方程，得： ，
去分母，得：2x﹣1＝x+2﹣3，
移项、合并同类项，得：x＝0，
故选：A．
【点评】此题考查了一元一次方程的解法以及方程的解的定义．熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤
是解题的关键．
8．方程 去分母得（ ）
A．3（2x+3）﹣x＝2（9x﹣5）+6
B．3（2x+3）﹣6x＝2（9x﹣5）+1
C．3（2x+3）﹣x＝2（9x﹣5）+1
学科网（北京）股份有限公司D．3（2x+3）﹣6x＝2（9x﹣5）+6
【答案】D
【分析】利用等式的性质乘以分母的最小公倍数，注意x和1不要漏乘，就可以得到去分母的式子．
【解答】解：方程的两边都乘以6可得：
3（2x+3）﹣6x＝2（9x﹣5）+6．
故选：D．
【点评】本题考查一元一次方程去分母的知识，去分母乘以分母各项的最小公倍数，关键不要漏乘．
9．现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足a*b＝ ，譬如5*3＝3×5﹣3＝12，
，若有理数x满足x*3＝12，则x的值为（ ）
A．4 B．5 C．21 D．5或21
【答案】B
【分析】根据“*”的定义，分别当x≥3和x＜3时写出对应的方程并求解即可．
【解答】解：若x≥3，3x﹣3＝12，解得x＝5；
若x＜3，x﹣9＝12，解得x＝21（不符合题意，舍去）．
综上，x＝5，
故选：B．
【点评】本题考查解一元一次方程等，熟练掌握求解一元一次方程的方法是本题的关键．
10．在1+ + + + +…中，“…”代表按规律不断求和．设1+ + + + +…＝x，则有x＝
1+ x，解得x＝2，故1+ + + + +…＝2．类似地1+ +…的结果是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】仿照题目中的例题进行解答即可．
【解答】解：设1+ +…＝x，
学科网（北京）股份有限公司则1+ +…＝1+ （1+ +...），
∴x＝1+ x，
∴x＝1+ x，
∴x＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次方程，理解题目中的例题解答方法是解题的关键．
11．解方程﹣2（x﹣1）﹣4（x﹣2）＝1，去括号的结果正确的是（ ）
A．﹣2x+2﹣4x﹣8＝1 B．﹣2x+1﹣4x+2＝1
C．﹣2x﹣2﹣4x﹣8＝1 D．﹣2x+2﹣4x+8＝1
【答案】D
【分析】根据去括号法则去掉括号，即可选出选项．
【解答】解：﹣2（x﹣1）﹣4（x﹣2）＝1，
去括号为：﹣2x+2﹣4x+8＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了去括号法则和解一元一次方程，注意：①括号前是负号，把括号和它前面的负号
去掉，括号内各个项都改变符号，②﹣2（x﹣1）＝﹣2x+2，不是﹣2x+1．
12．已知关于x的方程2mx﹣6＝（m+2）x有正整数解，则整数m的值是 3 ， 4 ， 5 ， 8 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先求出方程2mx﹣6＝（m+2）x的解，得出用含m的代数式表示x的式子，然后根据x是正
整数，m是整数，即可得出结果．
【解答】解：解关于x的方程2mx﹣6＝（m+2）x，
得：x＝ ．
∵x为正整数，
∴ 为正整数，
又∵m是整数，
∴m﹣2是6的正约数，
学科网（北京）股份有限公司∴m﹣2＝1，2，3，6，
∴m＝3，4，5，8．
【点评】本题主要考查了字母系数的一元一次方程的解法，有一定难度，要注意不要漏解．
13．解下列一元一次方程
（1）﹣3x+7＝4x+21；
（2） ﹣1＝ +x；
（3）9y﹣2（﹣y+4）＝3；
（4） ﹣ ＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先熟悉解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．
【解答】解：（1）移项得：﹣3x﹣4x＝21﹣7，
合并得：﹣7x＝14，
系数化为1得：x＝﹣2；
（2）去分母得：2（x+4）﹣10＝5（x﹣2）+10x，
去括号得：2x+8﹣10＝5x﹣10+10x，
移项得：2x﹣15x＝﹣8，
系数化为1得：x＝ ；
（3）去括号得：9y+2y﹣8＝3，
移项合并得：11y＝11，
系数化为1得：y＝1；
（4）方程可变形为 ﹣ ＝4﹣8x，
去分母得：9（30x﹣15）﹣2（20x﹣10）＝18（4﹣8x）
整理得：270x﹣135﹣40x+20＝72﹣144x
移项合并得：374x＝187
系数化为1得：x＝ ．
学科网（北京）股份有限公司【点评】熟悉解一元一次方程的步骤，尤其是第四小题注意首先对各个分式进行化简整理，小数化为整
数，在进行解方程的步骤：去分母．
14．王聪在解方程 去分母时，方程左边的﹣1没有乘3，因而求得方程的解为x＝2，你能
正确求出原先这个方程的解吗？
【答案】见试题解答内容
【分析】去分母时，方程左边的﹣1没有乘3，即x+a﹣1＝2x﹣1，此方程的解为x＝2，代入可先求得
a．再把a＝2代入已知方程，从而求出原方程的解．
【解答】解：由题意可得：x+a﹣1＝2x﹣1
把x＝2代入得出方程：2+a﹣1＝2×2﹣1
解得：a＝2，
再把a＝2代入已知方程
去分母可得：x+2﹣3＝2x﹣1，
解得x＝0．
【点评】本题考查解一元一次方程的知识，中间结合很多知识点，注意审清题意．
15．设x、y是任意两个有理数，规定x与y之间的一种运算“ ”为：若对任意有理数x、y，运算
⊕
“ ”满足x y＝y x，则称此运算具有交换律．x y＝
（⊕ 1）试求1 ⊕（﹣1 ⊕）的值； ⊕
（2）试判断⊕该运算“ ”是否具有交换律，说明你的理由；
（3）若2 x＝0，求x⊕的值．
【答案】见⊕试题解答内容
【分析】（1）根据新定义代入算式即可求解；
（2）根据新定义，分情况讨论说明是否具有交换律即可；
（3）根据新定义分情况求x的值即可．
【解答】解：（1）1 （﹣1）
＝2×1+3×（﹣1）﹣7⊕
＝2﹣3﹣7
＝﹣8
答：1 （﹣1）的值为﹣8．
（2）⊕该运算具有交换律
学科网（北京）股份有限公司理由：分三种情况
当x＞y时，x y＝2x+3y﹣7，y x＝3y+2x﹣7，此时x y＝y x
当x＝y时，x⊕y＝2x+3y﹣7，y⊕x＝2y+3x﹣7，此时x⊕y＝y⊕x
当x＜y时，x⊕y＝3x+2y﹣7，y⊕x＝2y+3x﹣7，此时x⊕y＝y⊕x
所以该运算“⊕”具有交换律 ⊕ ⊕ ⊕
（3）当x≤2时⊕，2 x＝0，
2×2+3x﹣7＝0 ⊕
解得x＝1
当x＞2时，2 x＝0
3×2+2x﹣7＝0⊕
解得x＝ （舍去）
答：x的值为1．
【点评】本题考查了有理数的混合运算、一元一次方程，解决本题的关键是分情况讨论解决问题．
16．用“ ”规定一种新运算：对于任意有理数 a 和 b，规定 a b＝ab2+2ab+a．如：1 3＝
1×32+2×1×⊗3+1＝16 ⊗ ⊗
（1）求3 （﹣1）的值；
（2）若（⊗a+1） 2＝36，求a的值；
⊗
（3）若m＝2 x，n＝（ x） 3（其中x为有理数），试比较m、n的大小．
【答案】见试⊗题解答内容 ⊗
【分析】（1）根据“a b＝ab2+2ab+a”，把a＝3，b＝﹣1代入计算即可；
（2）根据“a b＝ab2+⊗2ab+a”，把a+1，2代入即可得到关于a的一元一次方程，解之即可；
（3）根据“a⊗b＝ab2+2ab+a”，分别求出m和n的值，依据m﹣n＞0，即可得到答案．
【解答】解：⊗（1）3 （﹣1）
＝3×（﹣1）2+2×3×（⊗﹣1）+3
＝3﹣6+3
＝0；
（2）（a+1） 2＝36，
（a+1）×22+2（⊗a+1）×2+（a+1）＝36，
4a+4+4a+4+a+1＝36，
9a+9＝36，
学科网（北京）股份有限公司9a＝27，
∴a＝3；
（3）由题可得，m＝2x2+2×2x+2＝2x2+4x+2，n＝ x×32+2× x×3+ x＝4x，
∵m﹣n＝2x2+2＞0，
∴m＞n．
【点评】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，解题的关键是：（1）正确掌握有理数的混
合运算顺序，（2）正确掌握解一元一次方程，（3）正确掌握整式的加减．
易错点五：同解方程
技巧点拨：解关于x的方程，根据同解的定义建立方程
17．已知关于x的方程：2（x﹣1）+1＝x与3（x+m）＝m﹣1有相同的解，求以y为未知数的方程
的解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据方程1可直接求出x的值，代入方程2可求出m，把所求m和x代入方程3，可得到关于y
的一元一次方程，解答即可．
【解答】解：解方程2（x﹣1）+1＝x
得：x＝1
将x＝1代入3（x+m）＝m﹣1
得：3（1+m）＝m﹣1
解得：m＝﹣2
将x＝1，m＝﹣2代入
得： ，
解得： ．
【点评】本题解决的关键是能够求解关于x的方程，根据同解的定义建立方程．
易错点六：由实际问题抽象出一元一次方程
技巧点拨：解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出方程．
学科网（北京）股份有限公司18．有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1
人不能上车，有下列四个等式：①40m+10＝43m﹣1；② ；③ ；④40m+10
＝43m+1，其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【答案】D
【分析】首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进行分析从而得到
正确答案．
【解答】解：根据总人数列方程，应是40m+10＝43m+1，①错误，④正确；
根据客车数列方程，应该为 ，②错误，③正确；
所以正确的是③④．
故选：D．
【点评】此题的关键是能够根据不同的等量关系列方程．
19．某工程要求按期完成，甲队单独完成需40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天，后两队
合作，则正好按期完工．问该工程的工期是几天？设该工程的工期为x天．则方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】关系式为：甲4天的工作量+甲乙合作（x﹣40）天的工作量＝1，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：甲4天的工作量为： ；
甲乙合作其余天数的工作量为： ，
∴可列方程为： + + ＝1，
故选：D．
【点评】找到工作量之间的等量关系解决本题的关键；易错点是得到甲乙合作的工作时间．
20．为了倡导居民节约用水，自来水公司规定：居民每户用水量在8立方米以内，每立方米收费0.8元；
超过规定用量的部分，每立方米收费1.2元．小明家12月份水费为18元，求小明家12月份的用水量，
设小明家12月份用水量为x立方米，根据题意，可列方程为 8×0.8+1. 2 （ x ﹣ 8 ）＝ 1 8 ．
学科网（北京）股份有限公司【答案】见试题解答内容
【分析】先计算8立方米时的水费：8×0.8＝6.4，与18对比，说明小明家12月份的水量x＞8，可列方
程即可．
【解答】解：∵8×0.8＝6.4＜18，
∴x＞8，
根据题意，可列方程为：8×0.8+1.2（x﹣8）＝18，
故答案为：8×0.8+1.2（x﹣8）＝18．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程的问题，解题时首先正确理解题意，然后利用
题目的数量关系列出方程．
易错点七：一元一次方程的应用
技巧点拨：解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题。
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动，
点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，二点同时出发，待P点到达D点
为止，在这段时间内，线段PQ有（ ）次平行于AB．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】易得两点运动的时间为12s，PQ∥AB，那么四边形ABQP是平行四边形，则AP＝BQ，列式可
求得一次平行，算出Q在BC上往返运动的次数可得平行的次数．
【解答】解：∵矩形ABCD，AD＝12cm，
∴AD＝BC＝12cm，
∵PQ∥AB，AP∥BQ，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∴AP＝BQ，
∴Q走完BC一次就可以得到一次平行，
∵P的速度是1cm/秒，
∴两点运动的时间为12÷1＝12s，
学科网（北京）股份有限公司∴Q运动的路程为12×4＝48cm，
∴在BC上运动的次数为48÷12＝4次，
∴线段PQ有4次平行于AB，
故选：D．
【点评】解决本题的关键是理解平行的次数就是Q在BC上往返运动的次数．
22．一商家进行促销活动，某商品的优惠措施是“第二件商品半价”．现购买2件该商品，相当于这2
件商品共打了（ ）
A．5 折 B．5.5折 C．7折 D．7.5折
【答案】D
【分析】根据题意设第一件商品x元，买两件商品共打y折，利用价格列出方程即可求解．
【解答】解：设第一件商品x元，买两件商品共打了y折，根据题意可得：
x+0.5x＝2x• ，
解得：y＝7.5
即相当于这两件商品共打了7.5折．
故选：D．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，找到正确的等量关系是解题关键．
23．中百超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过
100元，但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折．王波两次购物分别付款80
元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款（ ）
A．288元 B．332元
C．288元或316元 D．332元或363元
【答案】C
【分析】按照优惠条件第一次付80元时，所购买的物品价值不会超过100元，不享受优惠，因而第一
次所购物品的价值就是80元；300元的9折是270元，8折是240元，因而第二次的付款252元所购买
的商品价值可能超过300元，也可能超过100元而不超过300元，因而应分两种情况讨论．计算出两次
购买物品的价值的和，按优惠条件计算出应付款数．
【解答】解：（1）若第二次购物超过100元，但不超过300元，
设此时所购物品价值为x元，则90%x＝252，解得x＝280
两次所购物价值为80+280＝360＞300
所以享受8折优惠，
因此王波应付360×80%＝288（元）．
学科网（北京）股份有限公司（2）若第二次购物超过300元，设此时购物价值为y元，则80%y＝252，解得y＝315
两次所购物价值为80+315＝395，
因此王波应付395×80%＝316（元）
故选：C．
【点评】能够分析出第二次购物可能有两种情况，进行讨论是解决本题的关键．
24．有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图①，测得其底面半径为a，高为h，其内装蓝色液体若干．
若如图②放置时，测得液面高为 h；若如图3放置时，测得液面高为 h．则该玻璃密封容器的容积
（圆柱体容积＝底面积×高）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆柱体的体积公式和图②和图③中的溶液体积相等，可以列出相应的方程，从而可以得
出结论．
【解答】解：设该玻璃密封容器的容积为V，
×a2× h＝V﹣ ×a2×（h﹣ h），
π π
解得V＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的思
想解答．
25．如图是某月的日历，在此月历上可以用一个“十”字图出 5个数（如3，9，10，11，17）照此方法，
若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为38，则这5个数的和为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．50 B．85 C．95 D．100
【答案】C
【分析】可以设中间数为x，根据日历的特征列出其上下左右四个数的式子解题即可．
【解答】解：设中间数为x，则最大的数（下面的数）为：x+7，最小的数（上面的数）为：x﹣7，左边
的数为：x﹣1，右边的数为：x+1，
∴总和为：x+x﹣7+x+7+x﹣1+x+1＝5x，
∵最大数与最小数的和为38，
∴x+7+x﹣7＝38，
解得：x＝19，
和为：5×19＝95，
故选C．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，能够根据日历的特征列代数式是解题关系．
26．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/小时，水速为2
千米/时，则A港和B港相距 50 4 千米．
【答案】见试题解答内容
【分析】轮船航行问题中的基本关系为：
（1）船的顺水速度＝船的静水速度+水流速度；
（2）船的逆水速度＝船的静水速度一水流速度．若设A港和B港相距x千米，则从A港顺流行驶到B
港所用时间为 小时，从B港返回A港用 小时，根据题意列方程求解．
【解答】解：设A港和B港相距x千米．
根据题意，得 ，
解之得x＝504．
故填504．
【点评】本题的相等关系，逆流航行时间﹣顺流航行时间＝3．注意：船的顺水速度、逆水速度、静水
学科网（北京）股份有限公司速度、水流速度之间的关系．
27．按下面的程序计算：
若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x值为 2 2 或 11 1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由5x+1＝556，解得x＝111，即开始输入的x为111，最后输出的结果为556；当开始输入的x
值满足5x+1＝111，最后输出的结果也为556，可解得x＝22；当开始输入的x值满足5x+1＝22，最后输
出的结果也为556，但此时解得的x的值为小数，不合题意．
【解答】解：当输入一个正整数，一次输出556时，
5x+1＝556，
解得：x＝111；
当输入一个正整数，两次后输出556时，
5x+1＝111，
解得：x＝22；
当输入一个正整数，三次后输出556时，
5x+1＝22，
解得：x＝4.2（不合题意）
故答案为：22或111．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据程序框图列出方程，求出符合条件的 x的
值．
28．一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需2小时50分，逆风飞行需要3小时．
（1）求无风时飞机的飞行速度；
（2）求两城之间的距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】应先设出飞机在无风时的速度为x，从而可知在顺风时的速度为飞机在无风中的速度加上风速，
飞机在逆风中的速度等于飞机在无风中的速度减去风速，又已知了顺风飞行和逆风飞行所用的时间，再
根据路程相等，列出等式，求解即可．
【解答】解：（1）设无风时飞机的速度为x千米每小时，两城之间的距离为S千米．
则顺风飞行时的速度v ＝x+24，逆风飞行的速度v ＝x﹣24
1 2
顺风飞行时：S＝v t
11
学科网（北京）股份有限公司逆风飞行时：S＝v t
22
即S＝（x+24）× ＝（x﹣24）×3
解得x＝840，
答：无风时飞机的飞行速度为840千米每小时．
（2）两城之间的距离S＝（x﹣24）×3＝2448千米
答：两城之间的距离为2448千米．
【点评】此题主要考查一元一次方程的实际运用，关键在于根据飞机在顺风时的速度为风速加上在无风
中的速度，飞机在逆风中的速度等于在无风中的速度减去风速，列出等式．
29．A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米．
（1）若两人同时出发相向而行，则需经过几小时两人相遇？
（2）若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？
（3）若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）如果两人同时出发相向而行，那么是相遇问题，设两人同时出发相向而行，需经过 x小
时两人相遇，即x小时他们共同走完64千米，由此可以列出方程解决问题；
（2）此小题有两种情况：①还没有相遇他们相距16千米；②已经相遇他们相距16千米．但都可以利
用相遇问题解决；
（3）若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，此时是追及问题，设z小时后乙超过甲10千米，那么z
小时甲走了14z千米，乙走了18z千米，然后利用已知条件即可列出方程解决问题．
【解答】解：（1）设两人同时出发相向而行，需经过x小时两人相遇，
根据题意得：14x+18x＝64，
解方程得：x＝2（小时）．
答：两人同时出发相向而行，需经过2小时两人相遇；
（2）设两人同时出发相向而行，需y小时两人相距16千米，
①当两人没有相遇他们相距16千米，
根据题意得：14y+18y+16＝64，
解方程得：y＝1.5（小时）；
②当两人已经相遇他们相距16千米，
依题意得14y+18y＝64+16，
学科网（北京）股份有限公司∴y＝2.5（小时）．
答：若两人同时出发相向而行，则需1.5或2.5小时两人相距16千米；
（3）设甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则z小时后乙超过甲10千米，
根据题意得：18z＝14z+64+10，
解方程得：z＝18.5（小时）．
答：若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则18.5小时后乙超过甲10千米．
【点评】此题是一个比较复杂行程问题，既有相遇问题，也有追及问题．解题的关键是读懂题意，正确
把握已知条件，才能准确列出方程解决问题．
30．已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从
点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 ﹣ 4 ；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是 1 ．
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为
10．即可得点B表示的数；进而可得当点P运动到AB的中点时，它所表示的数；
（2）①根据追及问题的等量关系，利用动点P的运动距离减去动点Q的运动距离，列方程即可求解；
②根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为8个单位长度，分两种情况列方程即可求解．
【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为
10，
∴得B点表示的数为﹣4，
当点P运动到AB的中点时，它所表示的数为1．
故答案为﹣4、1．
（2）①根据题意，得
6t﹣2t＝10
解得t＝2.5
答：当P运动2.5秒时，点P追上点Q．
②根据题意，得
学科网（北京）股份有限公司当点P与点Q相遇前，距离8个单位长度：
2t+（10﹣6t）＝8，
解得t＝0.5；
当点P与点Q相遇后，距离8个单位长度：
（6t﹣10）﹣2t＝8，
解得t＝4.5．
答：当点P运动0.5秒或4.5秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程．
31．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作盒身15个或盒底42个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，
现有144张白铁皮，用多少张制作盒身，多少张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据配套问题列一元一次方程即可求解．
【解答】解：设用x张制作盒身，（144﹣x）张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒．
根据题意，得
2×15x＝42（144﹣x）
解得x＝84，
∴144﹣x＝60（张）．
答：用84张制作盒身，60张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找等量关系．
32．汽车上坡时每小时走28km，下坡时每小时走35km，去时，下坡路的路程比上坡路的路程的2倍还
少14km，原路返回比去时多用了12分钟．求去时上、下坡路程各多少千米？
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知设去时上坡路为x千米，则下坡路为（2x﹣14）千米，根据已知分别表示出去时和原路
返回的时间，由原路返回比去时多用了12分钟列出方程求解．
【解答】解：设去时上坡路为x千米，则下坡路为（2x﹣14）千米，根据题意得：
+ ﹣（ + ）＝ ，
解得：x＝42，
则2x﹣14＝2×42﹣14＝70，
答：去时上、下坡路程各为42千米、70千米．
【点评】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题的关键设去时上坡路为x千米，表示出下坡路，
再根据原路返回比去时多用了12分钟列出方程求解．
学科网（北京）股份有限公司33．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市民“一户一表”生活用
水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨及以下 a 0.90
超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.90
超过30吨的部分 6.00 0.90
（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用+污水处理费）
已知小王家2018年7月用水16吨，交水费43.2元．8月份用水25吨，交水费75.5元．
（1）求a、b的值；
（2）如果小王家9月份上交水费156.1元，则小王家这个月用水多少吨？
（3）小王家10月份忘记了去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水50吨，其中10月份用
水超过30吨，一共交水费215.8元，其中包含30元滞纳金，求小王家11月份用水多少吨？（滞纳金：
因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）16吨小于17吨，用16乘以自来水每吨的销售价格与污水处理单价之和，等于 432元，
得方程①；25＝17+8，按照两段的价格计算，得出方程②，解方程组即可求得a和b；
（2）设小王家这个月用水x吨，分17吨以下、17～30吨、30吨以上三部分相加计算，让其等于
156.1，解方程即可；
（3）设小王家11月份用水y吨，由于两个月一共用水50吨，其中10月份用水超过30吨，则分y≤17
和17＜y＜30，分别列方程求解，再结合问题的实际意义可得本题答案．
【解答】解：（1）由题意得：
解①，得a＝1.8，
将a＝1.8代入②，解得b＝2.8
∴a＝1.8，b＝2.8．
（2）1.8+0.9＝2.7，2.8+0.9＝3.7，6.00+0.9＝6.9
设小王家这个月用水x吨，由题意得：
2.7×17+3.7×13+（x﹣30）×6.9＝156.1
解得：x＝39
∴小王家这个月用水39吨．
学科网（北京）股份有限公司（3）设小王家11月份用水y吨，
当y≤17时，2.7y+2.7×17+3.7×13+（50﹣30﹣y）×6.9＝215.8﹣30
解得y＝11
当17＜y＜30时，17×2.7+（y﹣17）×3.7+2.7×17+3.7×13+（50﹣30﹣y）×6.9＝215.8﹣30
解得y＝9.125（舍去）
∴小王家11月份用水11吨．
【点评】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，理清题目中的数量关系，并
正确分段是解答本题的关键．
34．某工厂现有15m3木料，准备制作各种尺寸的圆桌和方桌，如果用部分木料制作桌面，其余木料制作
桌腿．
（1）已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，如果 1m3木料可制作40个桌面，或制作20条桌腿．
要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，直接写出制作桌面的木料为多少m3．
（2）已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．根据所给条件，解答下列问题：
①如果1m3木料可制作50个桌面，或制作300条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好
配套？
②如果3m3木料可制作20个桌面，或制作320条桌腿，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设用x m3木料制作桌面，则用（15﹣x）立方米木料制作桌腿恰好配套，根据条件的数
量关系建立方程求出其解即可．
（2）①设用am3木料制作桌面，则用（15﹣a）立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意建立方程求出
其解即可．②设用y m3木料制作桌面，则用（15﹣y）m3木料制作桌腿恰好配套，由题意建立方程求
出其解即可．
【解答】解：（1）设用x m3木料制作桌面，则用（15﹣x）立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意得
40x＝20（15﹣x），
解得：x＝5，
答：制作桌面的木料为5m3．
（2）①设用am3木料制作桌面，则用（15﹣a）立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意得
4×50a＝300（15﹣a），
解得：a＝9，
∴制作桌腿的木料为：15﹣9＝6（m3）．
学科网（北京）股份有限公司答：用9m3木料制作桌面，用6m3木料制作桌腿恰好配套．
②设用y m3木料制作桌面，则用（15﹣y）m3木料制作桌腿能制作尽可能多的桌子，由题意得
4×20× ＝320× ，
解得y＝12，
∴15﹣12＝3m3，
答：用12m3木料制作桌面，用3m3木料制作桌腿能制作尽可能多的桌子．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，寻找配套问题的等量关系建立方程是解决问题
的关键．
35．从2004年8月1日起，浙江省城乡居民生活用电执行新的电价政策，小聪家今年安装了新的电表，
他了解到安装”一户一表”的居民用户，按用抄见电量（每家用户电表所表示的用电量）实行阶梯式累
进加价，其中低于50千瓦时（含50千瓦时）部分电价不调整；51﹣200千瓦时部分每千瓦时电价上调
0.03元；超过200千瓦时的部分每千瓦时电价再上调0.10元．已知调整前电价统一为每千瓦时0.53元．
（1）若小聪家10月份的用电量为130千瓦时，则10月份小聪家应付电费多少元？
（2）已知小聪家10月份的用电量为m千瓦时，请完成下列填空：
①若m≤50千瓦时，则10月份小聪家应付电费为 0.5 3 m 元；
②若50＜m≤200千瓦时，则10月份小聪家应付电费为 （ 0.5 6 m ﹣ 1. 5 ） 元；
③若m＞200千瓦时，则10月份小聪家应付电费为 （ 0.6 6 m ﹣ 21. 5 ） 元．
（3）若10月份小聪家应付电费为96.50元，则10月份小聪家的用电量是多少千瓦时？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）读懂题意，列式计算；
（2）读懂题意，用代数式表示；
（3）设10月份小聪家的用电量是m千瓦时，根据题意得0.56m﹣1.5＝96.5，求解即可．
【解答】解：（1）50×0.53+（130﹣50）×0.56＝26.5+44.8＝71.3（元）
答：10月份小聪家应付电费71.3元．
（2）①0.53m，
②0.53×50+0.56（m﹣50）＝（0.56m﹣1.5），
③0.53×50+0.56×150+0.66（m﹣200）＝（0.66m﹣21.5），
故答案为：0.53m；（0.56m﹣1.5）；（0.66m﹣21.5）；
（3）设10月份小聪家的用电量是m千瓦时，
根据题意得：0.56m﹣1.5＝96.5，
解得m＝175．
学科网（北京）股份有限公司答：10月份小聪家的用电量是175千瓦时．
【点评】结合生活实际，化实际问题为数学问题从而解决实际问题，体现了数学学习的目的和意义．
36．数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合
的方法解决一些问题．
如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点 A表示﹣10，点B表
示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒
的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原
速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速
度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点 P到达点C时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．
问：
（1）t＝2秒时，点P在“折线数轴”上所对应的数是 ﹣ 6 ；点P到点Q的距离是 2 2 个单位长度；
（2）动点P从点A运动至C点需要 1 9 秒；
（3）P、Q两点相遇时，t＝ 秒；此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是 ；
（4）如果动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等，直接写出 t 的
值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由路程、速度、时间三者关系，数轴上两点之间的距离与有理数的关系求出对应数为﹣
6，距离为22个单位长度；
（2）由路程、速度、时间三者关系分三段求出各段时间，再相加求出总时间为19秒；
（3）由路程、速度、时间三者关系求出P、Q两点相遇的时间为 秒，确定相遇点M对应的数是 ；
（4）由路程、速度、时间三者关系，根据PO＝QB分类求出三种情况下的时间为2秒或 秒或11秒
或17秒．
【解答】解：如图所示：
学科网（北京）股份有限公司（1）设动点P从点A出发，运动2秒后的点对应数为x，
∵点P以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，
∴AP＝2×2＝4，
又∵x﹣（﹣10）＝4，
解得：x＝﹣6，
又∵同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，
∴QC＝2×1＝2，
又∵AC＝28，AC＝AO+OB+BC，
∴点P到点Q的距离＝28﹣4﹣2＝22；
故答案为﹣6，22；
（2）由图可知：动点P从点A运动至C分成三段，分别为AO、OB、BC，
AO段时间为 ，OB段时间为 ＝10，BC段时间为 ＝4，
∴动点P从点A运动至C点需要时间为5+10+4＝19（秒），
故答案为19秒；
（3）设点Q经过8秒后从点B运动到OB段，再经进y秒与点P在OB段相遇，
依题意得：
3+y+2y＝10，
解得：y＝ ，
∴P、Q两点相遇时经过的时间为8+ ＝ （秒），
此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是为3+ ＝ ；
故答案为 ， ；
（4）当点P在AO，点Q在BC上运动时，依题意得：
10﹣2t＝8﹣t，
解得：t＝2，
学科网（北京）股份有限公司当点P、Q两点都在OB上运动时，
t﹣5＝2（t﹣8）
解得：t＝11，
当P在OB上，Q在BC上运动时，
8﹣t＝t﹣5，
解得：t＝ ；
当P在BC上，Q在OA上运动时，
t﹣8﹣5+10＝2（t﹣5﹣10）+10，
解得：t＝17；
即PO＝QB时，运动的时间为2秒或 秒或11秒或17秒．
【点评】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者
的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏．
37．某市两超市在元旦期间分别推出如下促销方式：
甲超市：全场均按八八折优惠；
乙超市：购物不超过300元，不给与优惠；超过300元而不超过600元一律打九折；超过600元时，其
中的600元优惠10%，超过的部分打八折；已知两家超市相同商品的标价都一样．
（1）当一次性购物总额是500元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？
（2）当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同？
（3）某顾客购物总额相同，其在乙超市实付款584元，问其在甲超市需实付款多少元？
【答案】（1）在甲超市购买实付款为440元，在乙超市购买实付款为450元；
（2）750元；
（3）576.4元．
【分析】（1）根据两超市的促销方式，可分别求出在甲、乙两超市购买所需费用；
（2）设当购物总额是x元时，甲、乙两家超市实付款相同，根据两超市的促销方式及实付款相同，即
可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）设该顾客购物总额为y元，利用在乙超市购买实付款＝600×0.9+0.8×超过600元的部分，即可得出
关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再将其代入0.88y中即可求出结论．
【解答】解：（1）在甲超市实付款为：500×0.88＝440（元）；
在乙超市实付款为：500×0.9＝450（元）．
∴在甲超市购买实付款为440元，在乙超市购买实付款为450元；
学科网（北京）股份有限公司（2）设当购物总额为x元时，两家超市实付款相同，显然x＞600，根据题意得：0.88x＝600×0.9+0.8
（x﹣600），
解之得，x＝750．
∴当购物总额为750元时，两家超市实付款相同．
（3）设该顾客购物总额为y元，显然y＞600，
根据题意得：600×0.9+0.8（y﹣600）＝584，
解之得，y＝655；
∴0.88y＝0.88×655＝576.4（元），
∴其在甲超市需实付款576.4元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
38．如图，已知数轴上两点A，B表示的数分别为﹣2，6，用符号“AB”来表示点A和点B之间的距离．
（1）求AB的值；
（2）若在数轴上存在一点C，使AC＝3BC，求点C表示的数；
（3）在（2）的条件下，点C位于A、B两点之间．点A以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，
2秒后点C以2个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，到达B点处立刻返回沿着数轴的负方向运动，
直到点A到达点B，两个点同时停止运动．设点A运动的时间为t，在此过程中存在t使得AC＝3BC仍
成立，求t的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）数轴上点B在点A的右侧，故用点B的坐标减去点A的坐标即可得AB的值；
（2）设点C表示的数为x，根据AC＝3BC，列绝对值方程并求解即可；
（3）点C位于A，B两点之间，分两种情况来讨论：点C到达B之前，即2＜t＜3时；点C到达B之后，
即t＞3时列方程并．解方程，然后结合问题的实际意义加以取舍．
【解答】解：（1）∵数轴上两点A，B表示的数分别为﹣2，6，
∴AB＝6﹣（﹣2）＝8，
答：AB的值为8．
（2）设点C表示的数为x，由题意得，
|x﹣（﹣2）|＝3|x﹣6|，
∴|x+2|＝3|x﹣6|，
∴x+2＝3x﹣18或x+2＝18﹣3x，
∴x＝10或x＝4，
学科网（北京）股份有限公司答：点C表示的数为4或10．
（3）∵点C位于A，B两点之间，
∴点C表示的数为4，点A运动t秒后所表示的数为﹣2+t，
①点C到达B之前，即2＜t＜3时，点C表示的数为4+2（t﹣2）＝2t，
∴AC＝t+2，BC＝6﹣2t，
∴t+2＝3（6﹣2t），
解得t＝ ，
②点C到达B之后，即t＞3时，点C表示的数为6﹣2（t﹣3）＝12﹣2t，
∴AC＝|﹣2+t﹣（12﹣2t）|＝|3t﹣14|，BC＝6﹣（12﹣2t）＝2t﹣6，
∴|3t﹣14|＝3（2t﹣6），
解得t＝ 或t＝ ，其中 ＜3，不符合题意舍去，
答：t的值为 和 ．
【点评】本题考查了数轴上的动点问题，需利用一元一次方程和绝对值方程来求解，本题难度较大．
39．工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元，按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价
降低35元销售该工艺品12件所获利润相等，求该工艺品每件的进价、标价分别是多少元．
【答案】见试题解答内容
【分析】从题意中可得到相等关系有：每件商品的标价﹣每件商品的进价＝45元；8件工艺品的利润＝
12件工艺品的利润．如果设进价为x元，则标价为（x+45）元，可列一元一次方程求解．
【解答】解：设该工艺品每件的进价为x元，则标价为（x+45）元，
依题意有：[85%（x+45）﹣x]×8＝12（x+45﹣35﹣x），
解得x＝155，
所以x+45＝200．
所以每件工艺品的进价为155元，标价为200元．
【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，是一道和商品的进价、标价和利润有关的实际问题，难度
中等．
40．如图，射线OM上有A、B、C三点，满足OA＝40cm，AB＝30cm，BC＝20cm．点P从点O出发，
沿OM方向以2cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，
当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．
（1）当点P与点Q都同时运动到线段AB的中点时，求点Q的运动速度；
学科网（北京）股份有限公司（2）当PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点Q的运动速度；
（3）自点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求 的值．
【答案】（1） cm/s；
（2）v＝ 或v＝ cm/s；
（3）2．
【分析】（1）设经过ts，点P与点Q都同时运动到线段AB的中点，根据线段中点的定义得到BQ＝
15cm，求得CQ＝35cm，于是得到结论；
（2）设Q的速度为v，经过ts后，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，点O对应数轴上的0，点
A对应数轴上的40，点B对应数轴上的70，点C对应数轴上的90，点P对应数轴上的2t，点Q对应数
轴上的90﹣vt，根据题意列出方程即可求出v的值；
（3）设经过ts时，点P在AB之间，点O对应数轴上的0，点A对应数轴上的40，点B对应数轴上的
70，点C对应数轴上的90，点P对应数轴上的2t，由于OP和AB的中点E，F，所以点E对应数轴上的
t，点F对应数轴上的55，从而可知EF＝55﹣t，AP＝2t﹣40，OB＝70，代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）设经过t s，点P与点Q都同时运动到线段AB的中点，
∴OP＝OA+PA＝40+15＝55（cm），
∴t＝ （s），
∵点Q是线段AB的中点，
∴BQ＝15cm，
∴CQ＝BC+BQ＝35cm，
∴点Q的运动速度＝35÷ ＝ （cm/s）；
答：点Q的运动速度为 cm/s；
（2）设Q的速度为v，经过t s后，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点
点O对应数轴上的0，点A对应数轴上的40，点B对应数轴上的70，点C对应数轴上的90，
∴点P对应数轴上的2t，点Q对应数轴上的90﹣vt，
∵点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，
学科网（北京）股份有限公司∴ ＝90﹣vt，
∴vt＝55，
∵2PB＝PA，
∴2|2t﹣70|＝|2t﹣40|，
∴解得：t＝50或t＝30，
当t＝50s时，
此时v＝ ，
而点Q到达O点所需要时间为 s＞50s，
当t＝30时，
此时v＝ ，
而点Q到达O点所需要的时间为 ＞30s，
综上所述，当v＝ 或v＝ cm/s；
（3）设经过ts时，点P在AB之间，
点O对应数轴上的0，点A对应数轴上的40，点B对应数轴上的70，点C对应数轴上的90，
∴点P对应数轴上的2t，
∵OP和AB的中点E，F，
∴点E对应数轴上的t，点F对应数轴上的55，
∴EF＝55﹣t，AP＝2t﹣40，OB＝70，
∴原式＝ ＝2．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，两点间距离、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的
关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
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