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专题 17 函数与导数压轴解答题常考套路归类
【命题规律】
函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，
通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点：
（1）含参函数的单调性、极值与最值；
（2）函数的零点问题；
（3）不等式恒成立与存在性问题；
（4）函数不等式的证明．
（5）导数中含三角函数形式的问题
其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩
应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点．
【核心考点目录】
核心考点一：含参数函数单调性讨论
核心考点二：导数与数列不等式的综合问题
核心考点三：双变量问题
核心考点四：证明不等式
核心考点五：极最值问题
核心考点六：零点问题
核心考点七：不等式恒成立问题
核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题
核心考点九：利用导数解决一类整数问题
核心考点十：导数中的同构问题
核心考点十一：洛必达法则
核心考点十二：导数与三角函数结合问题
【真题回归】
1．（2022·天津·统考高考真题）已知 ，函数
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若 和 有公共点，
（i）当 时，求 的取值范围；
（ii）求证： ．
2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数 ．(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
3．（2022·浙江·统考高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证
明：
（ⅰ）若 ，则 ；
（ⅱ）若 ，则 ．
（注： 是自然对数的底数）
4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．6．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个
交点的横坐标成等差数列．
【方法技巧与总结】
1、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：（1）定函数（极
值点为 ），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x．
0
（2）构造函数，即根据极值点构造对称函数 ，若证 ，则令
．
（3）判断单调性，即利用导数讨论 的单调性．
（4）比较大小，即判断函数 在某段区间上的正负，并得出 与 的大小关系．
（5）转化，即利用函数 的单调性，将 与 的大小关系转化为 与 之间
的关系，进而得到所证或所求．
【注意】若要证明 的符号问题，还需进一步讨论 与x 的大小，得出 所在
0的单调区间，从而得出该处导数值的正负．
构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿
于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内
在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单
调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个
适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能
获得简洁明快的思路，有着非凡的功效
2、应用对数平均不等式 证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到 ；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题．
3、 比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明
题中的不等式即可．
【核心考点】
核心考点一：含参数函数单调性讨论
【规律方法】
1、导函数为含参一次型的函数单调性
导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0，导函数的符号易于判断，当一次项系数
不为雩，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调
区间．
2、导函数为含参二次型函数的单调性
当主导函数（决定导函数符号的函数）为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次
函数在给定区间上根的判定问题．对于此二次函数根的判定有两种情况：
（1）若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域；
（2）若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判
定导函数的符号，从而判断原函数的单调性．
3、导函数为含参二阶求导型的函数单调性
当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰．
“再构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器．
在此我们首先要清楚 之间的联系是如何判断原函数单调性的．
（1）二次求导目的：通过 的符号，来判断 的单调性；
（2）通过赋特殊值找到 的零点，来判断 正负区间，进而得出 单调性．
【典型例题】
例1．（2023春·山东济南·高三统考期中）已知三次函数 .(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程，
(2)讨论 的单调性.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，讨论函数 单
调性；
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，求 的单调区间.
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .求函数 的单调区
间；
核心考点二：导数与数列不等式的综合问题
【规律方法】
在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过
程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可
以达到减少运算量的目的．
【典型例题】
例5．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)若不等式 在 上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明： .例6．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若不等式 对 恒成立，求实数a的范围；
(3)证明：当 ．
例7．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知函数 （ ）.
(1) ，求证： ；
(2)证明： .( )
核心考点三：双变量问题
【规律方法】
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的
不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
【典型例题】
例8．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)若过原点的一条直线 与曲线 相切，求切点的横坐标；
(2)若 有两个零点 ，且 ，证明：
① ；
② .例9．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)讨论 极值点的个数；
(2)若 有两个极值点 ，且 ，证明: .
例10．（2023·全国·高三专题练习）巳知函数 .
(1)求函数f（x）的最大值;
(2)若关于x的方程 有两个不等实数根 证明:
核心考点四：证明不等式
【规律方法】
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
【典型例题】
例11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性
(2)设 为 的两个不同零点，证明：当 时， ．例12．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知 ．
(1)求 的单调递增区间；
(2)若 ，且 ，证明 ．
例13．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数 在 处的切线方程为 .
(1)求实数m和n的值；
(2)已知 ， 是函数 的图象上两点，且 ，求证： .
核心考点五：极最值问题
【规律方法】
利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．
只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定
单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，
对新函数再用导数进行求值、证明等操作．
【典型例题】
例14．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 在 上的最值；
(2)讨论 的极值点的个数.
例15．（2023·江西景德镇·高三统考阶段练习）已知函数 ，其中a为大于0的常数，若 ．
(1)讨论 的单调区间；
(2)若 在 取得极小值，求 的最小值．
例16．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知 ，函数 的最小值为2，其中
， ．
(1)求实数a的值；
(2) ，有 ，求 的最大值．
核心考点六：零点问题
【规律方法】
函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参
数的值或取值范围．
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与 轴（或直线 ）在某区间上的
交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．
【典型例题】
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若存在 ，使得 成立，求 的取值范围；
(2)若函数 有三个不同的零点，求 的取值范围．
例18．（2023·全国·高三专题练习）设 ，已知函数 ，和 .
(1)若 与 有相同的最小值，求a的值；(2)设 有两个零点，求a的取值范围.
例19．（2023春·广西·高三期末）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的最大值；
(2)若关于x的方 1有两个不同的实根，求实数a的取值范围.
核心考点七：不等式恒成立问题
【规律方法】
1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数
后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论
法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ．
3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ， ， ， ．
（1）若 ， ，有 成立，则 ；
（2）若 ， ，有 成立，则 ；
（3）若 ， ，有 成立，则 ；
（4）若 ， ，有 成立，则 的值域是 的值域的子集．
【典型例题】例20．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知函数 .
(1)若函数 的图象在 处的切线与直线 平行，求函数 在 处的切线方程；
(2)求证：当 时，不等式 在 上恒成立.
例21．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 且 为常数）.
(1)当 ，求函数 的最小值；
(2)若函数 有2个极值点，求 的取值范围；
(3)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
例22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若不等式 在区间 上有解，求实数 的取值范围．
核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题
【规律方法】
1、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对
x=x
称性．若函数f (x) 在 0 处取得极值，且函数y=f(x) 与直线y=b交于A(x ,b),B(x ,b)两点，则
1 2
x +x x +x
的中点为M( 1 2,b)，而往往x ≠ 1 2 ．如下图所示．
AB 2 0 2图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
x
极值点偏移的定义：对于函数y=f(x) 在区间 (a,b) 内只有一个极值点 0 ，方程f (x) 的解分别为
x +x
，且 ，（1）若 1 2 ≠x ，则称函数 在区间 上极值点x 偏移；
x 、x ax ，则函数 在区间 上极值点x 左偏，简称极值点x 左偏；（3）若
2 0 y=f(x) (x ,x ) 0 0
1 2
x +x
1 2
①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”： ， ；寻找“亲戚函数”是
关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、 、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围．
（3）在解析几何中的应用：如果 满足的方程为同构式，则 为方程所表示曲
线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线 的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于 与 的同
构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
【典型例题】
例29．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）设a，b为两个不相等的正数，且 ，证明： ．
例30．（2022·河南郑州·二模（文））已知函数 ， ．
（1）求函数 的极值；
（2）当x>0时，证明：
例31．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知函数 ．
（1）讨论f（x）的单调性．
（2）若a＝0，证明：对任意的x>1，都有 ．核心考点十一：洛必达法则
【规律方法】
法则1、若函数 和 满足下列条件：
（1） 及 ；
（2）在点 的去心邻域 内， 与 可导且 ；
（3） ，那么 = ．
法则2、若函数 和 满足下列条件：（1） 及 ；
（2） ， 和 在 与 上可导，且 ；
（3） ，
那么 = ．
法则3、若函数 和 满足下列条件：
（1） 及 ；
（2）在点 的去心邻域 内， 与 可导且 ；
（3） ，
那么 = ．
注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
（1）将上面公式中的 ， ， ， 洛必达法则也成立．
（2）洛必达法则可处理 ， ， ， ， ， ， 型．
（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足 ， ， ， ， ， ， 型定式，否
则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，
应从另外途径求极限．（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．
，如满足条件，可继续使用洛必达法则．
【典型例题】
例32．已知函数 在 处取得极值，且曲线 在点 处的
切线与直线 垂直．
（1）求实数 的值；
（2）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
例33．设函数 ．
（1）证明：当 时， ；
（2）设当 时， ，求 的取值范围．
例34．设函数 ．如果对任何 ，都有 ，求 的取值范围．
核心考点十二：导数与三角函数结合问题
【规律方法】分段分析法
【典型例题】
例35．（2023·河南郑州·高三阶段练习）已知函数 ， ．
(1)求证： 在 上单调递增；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围．
例36．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数 （a为常数），
函数 .
(1)证明：（i）当 时， ；
（ii）当 时， ；
(2)证明：当 时，曲线 与曲线 有且只有一个公共点.
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若 ，判断函数 的单调性；
(2)证明： .
【新题速递】
1．（2023·北京·高三专题练习）已知 是函数 的一个极值点．
(1)求 值；(2)判断 的单调性；
(3)是否存在实数 ，使得关于 的不等式 的解集为 ?直接写出 的取值范围．
2．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知 ．
(1)若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)若函数 有两个极值点 ，证明： ．
3．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数 ，其中 ，若 的图象
在点 处的切线方程为 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 在区间 上的最值．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， .
(1)若直线 与 在 处的切线垂直，求 的值；
(2)若函数 存在两个极值点 ， ，且 ，求证： .
5．（2023·北京·高三专题练习）已知函数 ，直线 与曲线 相切．
(1)求实数 的值；
(2)若曲线 与直线 有两个公共点，其横坐标分别为 ．
①求实数 的取值范围；
②证明： ．6．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 ， ，求实数a的取值范围．
7．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，过点 作曲线 的切线l，求l的方程；
(2)当 时，对于任意 ，证明： ．
8．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)若 单调递增，求a的取值范围；
(2)若 有两个极值点 ，其中 ，求证： ．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若存在 ，使得 ，设函数 的图像与 轴的交点从左到右分别为 ， ，
， ，证明：点 ， 分别是线段 和线段 的黄金分割点.（注：若线段上的点将线段分割成两部分，
且其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，则称此点为该线段的黄金分割点）10．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数 ， ，
，其中 为常数，若 .
(1)讨论 的单调区间；
(2)若 在 取得极小值，且 恒成立，求实数 的取值范围.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C： 的焦点为F，过点P(2，0)作直线 交抛物线于
A，B两点．
(1)若 的倾斜角为 ，求△FAB的面积；
(2)过点A，B分别作抛物线C的两条切线 ， 且直线 与直线 相交于点M，问：点M是否在某定直线上？
若在，求该定直线的方程，若不在，请说明理由．
12．（2023春·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知函数 ，
，
(1)求函数 的单调区间；
(2)若对于定义域内任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
