文档内容
第一章 三角形的证明
1.3 直角三角形
第 2 课时 直角三角形全等的判定
【素养目标】
1. 掌握“斜边、直角边”的判定方法.(重点)
2. 能初步应用“斜边、直角边”条件判定两个直角三角形全等.(难点)
3. 经历探索直角三角形全等的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程，
发展数学思维。
【复习导入】
问题1: 我们学过哪些判定三角形全等的方法？
问题2: 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？如果其
中一组等边所对的角是直角呢？
【合作探究】
探究点、直角三角形全等的判定
问题：如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B =∠E = 90∘ ，
且AC = DF,BC = EF ，现在能判定△ABC≌△DEF吗？
【画一画】
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形。
已知：如图，线段 a , c (a < c) ，直角 α .
求作：Rt△ABC ，使∠C =∠α , BC = a , AB = c .
第 1 页【 验 证 结 论 】 已 知 ： 如 图 ， 在 △ABC与 △A′B′C′中 ，
∠C′ =∠C = 90∘,AB = A′B′,
AC=A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′
【知识要点】
“斜边、直角边”判定方法
文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
(简写成“斜边、直角边”或“HL”).
几何语言：
在 Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，
{AB=A′B′,
BC=B′C′,
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL) .
判断：满足下列条件的两个三角形是否全等？为什么？
1. 一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形。
2. 一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形。
3. 两直角边对应相等的两个直角三角形。
4. 有两边对应相等的两个直角三角形。
第 2 页例1 已知：如图，AC⊥BC,BD⊥AD,AC = BD , 求证：BC = AD .
变式1：如图，∠ACB =∠ADB = 90∘，要证明△ABC ≌△BAD，还需一个什
么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由。
(1) _________________( )
(2) _________________( )
(3) _________________( )
(4) _________________( )
例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的
长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
【练一练】如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，若AD =AF ，
AC = AE ，求证：BC = BE .
第 3 页当堂反馈
1.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断 Rt△ABD≌Rt△CDB的
理由是( )
A.HL B.ASA C.SAS D.SSS
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，已知 AB⊥CD，垂足为 B，BC＝BE.若直接应用“HL”判定
△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是______________.
3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直
线的垂线BD，CE.若BD＝4 cm，CE＝3 cm，则DE＝______ cm.
4.如图，点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为 E，
F，且BF＝CE.求证：△ABC是等腰三角形。
5. 如图，有一直角三角形 ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线
段 PQ＝AB，P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ
上运动，问 P 点运动到 AC 上什么位置时 △ABC 才能和△APQ 全等？
第 4 页参考答案
探究点、直角三角形全等的判定
【画一画】
作法：1. 作射线 CN .
2. 过点作射线 CN 的垂线 CM .
3. 在射线 CM 上截取 CB=a .
4. 以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点 A .
5. 连接 AB . △ABC 就是所要作的直角三角形。
【验证结论】
证明： 在 △ABC 中，∵∠C=90∘∴BC2 = AB2 −AC2 (勾股定理).
同理， B′C′2 −A′B′2 = A′C′2.
∵AB =A′B′, AC=A′C′, ∴BC = B′C′.
∴△ABC ≌△A′B′C′ (SSS) .
判断 1. 全等(AAS) 2. 全等 (ASA) 3. 全等 (SAS)
4. 情况 1：全等 (SAS) 情况 2：全等 (HL)
例1 证明：∵AC⊥BC,BD⊥AD , ∴∠C与∠D都是直角。
在 Rt △ABC 和 Rt △BAD 中，{ AB = BA
AC = BD
∴Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴BC = AD .
变式1: (1) AD = BC ( HL ) (2) BD =AC (HL)
(3) ∠DAB=∠CBA (AAS) (4) ∠DBA=∠CAB (AAS)
例2 解： 根据题意， 可知∠CAB=∠FDE=90∘,
BC = EF, AC = DF,∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL) .
∴∠B =∠DEF (全等三角形的对应角相等).
∵∠DEF+∠F = 90∘ (直角三角形的两锐角互余), ∴∠B+∠F = 90∘ .
【练一练】证明： ∵AD , AF 分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，
且 AD =AF，AC =AE ，∴Rt△ADC≌Rt△AFE ( HL ).
∴CD = EF .∵AD =AF,AB =AB ,∴Rt△ABD≌Rt△ABF ( HL ).
第 5 页∴BD =BF .∴BD−CD = BF−EF ，即BC = BE .
当堂反馈
1.A. 2. AC=DE . 3. 7 cm.
4.证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴△BDF与△CDE均为直角三角形。
在Rt△BDF和Rt△CDE中，{BF＝CE，
BD＝CD，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL).
∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形。
5. 解：(1)当 P 运动到 AP＝BC 时，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中，
∵ PQ＝AB，AP＝BC，
∴ Rt△ABC ∴ △QPA (HL). ∴ ARtP＝BC＝5 cm.
(2) 当 P 运动到与 C 点重合时，AP＝AC.
在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中，
∵ PQ＝AB，AP＝AC，
∴ Rt△QAP△∴Rt∴BCA (HL)，
∴ AP＝AC＝10 cm.
∴ 当 AP＝5 cm 或 10 cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等.
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