文档内容
1.3 线段的垂直平分线
第2课时 三角形三边的垂直平分线与作图
教学内容 第 1 课时 等腰三角形的性质 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界：经历探索、猜测、能够证明线段的垂直平分
线相交于一点这一定理，进一步发展学生的推理证明意识和能力.
核心素养 2.会用数学的思维思考现实世界：会用尺规作出“已知底边及底边上的高”的
目标 等腰三角形，体会解决问题的方法，发展实践能力和创新意识.
3.会用数学的语言表示现实世界：有意识地培养学生对文字语言、符号语言和
图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.
1. 理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题.
知识目标 2.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线.
教学重点 理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题.
教学难点 理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境 一、创设情境，导入新知
导入 教师叙述：某学校为了方便学生生活，计划在三
个宿舍楼 A、B、C 之间修建 设计意图：用简单的实际
C
一个食堂，试问该食堂应建于 生活问题引入新课，让学
何处，才能使得它到宿舍楼的 生感悟数学问题在实际生
距离相等？证一证. 活中的应用，激发学生的
学习兴趣，为下一步探究
师生活动：教师留时间给学生 铺垫．
A B
思考，再把实际生活问题转
化成数学模型： C
在△ABC中，如何找到一点
P使得它到三角形三个顶点
距离相等？
追问：在△ABC中，如何找
A B
到一点P使得它到三角形三
个顶点距离相等？
师生活动：引导学生根据上节课学习的线段的垂
直平分线的判定，推断这个点是否是在三边的垂
直平分线上.
设计意图：逐步拆解问
然后实际求证：
题，让学生学会倒推分析
三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点
的思维方法，引出本节内
到三角形三个顶点的距离相等.
容的重点．
老师点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证
明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.
二、探究
新知
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：三角形三边的
垂直平分线的性质
合作探究：
已知：如图，在△ABC
中，边 AB 的垂直平分 设计意图：让学生利用证
线与边 BC 的垂直平分 明的方法掌握三角形三边
线相交于点 P. 垂直平分线的性质，并掌
1求证：边 AC 的垂直平分线经过点 P，且 PA = 握其证明的方法和步骤.
PB = PC.
师生活动：教师写出已知和求证，引导学生分
析：
鼓励学生试试看，你会写出证明过程吗？
证明：连接 PA，PB，PC.
∵点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上，
∴PA = PB，PA = PC
( 线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等 ).
∴ PB = PC.
∴点 P 在 BC 的垂直平分线上
(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线
上).
师生活动：学生书写证明过程的时候教师进行巡
视，寻找有代表性的做法安排板书.
然后共同归纳：
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，
并且这一点到三个顶点的距离相等.
应用格式：
∵ 点 P 为 △ABC 三边垂
直平分线的交点，
∴ PA = PB = PC．
试一试：
1. 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角
形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
师生活动：让学生自己尝试用尺规作图，小组讨
论交流得出结论.
设计意图：加深学生对任
意“三角形三条边的垂直
平分线相交于一点并且这
一点到三个顶点的距离相
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 等”这一定理的认知.
直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边中点
处；
钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.
知识点二：尺规作图
做一做： (1) 已知三角形的一条边及这条边上的
高，你能作出三角形吗? 如果能，能作几个? 所
作出的三角形都全等吗?
2已知：三角形的一条边 a 和这边上的高 h.
求作：△ABC，使 BC = a，BC 边上的高为 h.
设计意图：(1) 这样的三
角形能画出无数个，由于
高的位置可以不同，因此
所画出的三角形不都全
等.
提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全
等.
(2) 已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用
尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
这样的等腰三角形只有两个，并且它
们是全等的，分别位于已知底边的两
侧．
师生活动：学生自己尝试用尺规作出
所求作的三角形，小组讨论交流得出 设计意图：(2) 能作出两
结论.
个三角形，由于等腰三角
形底边上高的位置只能在
想一想：如何作出一个已知底及底边上的高的等 底边的垂直平分线上，因
腰三角形呢？ 此可以在已知边的两侧作
两个三角形，这两个三角
形全等.
典例精析
例 已知：线段 a，h.
求作：△ABC，使 AB = AC，BC = a，
高 AD = h.
作法：1. 作线段 BC = a；
2. 作线段 BC 的垂直平分线 l 交 BC 于点 D；
3. 在 l 上作线段 DA，使 DA＝h .
4. 连接 AB，AC. 设计意图：回忆线段的垂
则△ABC 为所求的等腰三角形. 直平分线的作法，锻炼和
巩固学生的作图能力，培
养学生联系和应用能力．
2. 已知直线 l 和线外一点 P，利用尺规作 l 的
垂线，使它经过点 P.
作法：
(1) 先以 P 为圆心，大于点 P 到直线 l 的垂
直距离 R 为半径作圆，交直线 l 于A，B.
(2) 分别以 A、B 为圆
心，大于 R 的长为半径
作圆，相交于 C、D 两
点.
(3) 过两交点作直线 l' ，
此直线为 l 过 P 的垂线.
三、当堂
练习，巩
固所学 师生活动：学生尝试作图，学生代表展示并阐述
作法，教师进行梳理.
3教师总结：常用尺规作图法作线段的垂直平分线.
回顾导入：食堂应建在三个宿舍楼 A、B、C的
垂直平分线上，才能使得它到宿舍楼的距离相等.
请画出这个位置.
师生活动：学生在教师的引
导下，得出解题思路：如图
所示，连接AB、BC、AC，
分别作三条线段的垂直平分
线，即点P为所求. 然后完
成作图.
三、当堂练习，巩固所学
设计意图：首尾呼应，让
学生感悟数学知识在生活
1. 如图，等腰△ABC 中，AB = AC，∠A =
中的重要性，在问题的引
20°．线段 AB 的垂直平分线 导下，理解作图过程的合
交 AB 于 D，交 AC 于 E， 理性，提高作图能力.
连接 BE，则∠CBE 等于 (
)
A．80° B．70°
C．60° D．50°
2. 如图所示，在△ABC 中，∠B＝22.5°，AB 的
垂直平分线交 BC 于点 D，DF⊥AC 于点 F，
并与 BC 边上的高 AE 交于 G.
设计意图：考查作三角形
求证：EG＝EC.
中线段垂直平分线的运
用．
3. 已知：线段 a.
求作：△ABC，使∠ACB = 90°，AC = BC = a.
设计意图：考查作三角形
中线段垂直平分线的运
用．
设计意图：考查线段垂直
平分线性质的运用，以及
垂直平分线的作图能力.
1.1.1等腰三角形
1.定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点， 并
且这一点到三个顶点的距离相等.
板书设计
应用格式：
∵ 点 P 为 △ABC 三边垂直平分线的交点，
∴ PA = PB = PC．
41. 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的
距离相等.
2. 已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角
课后小结 形.
第2课时运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题，主要内
容包括：证明“三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三
个顶点的距离相等”；已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形；用尺
规过一点作已知直线的垂线.
教学反思
本节课作图时要学会分析一般先画一个满足题自己知条件的草图，有时
结合基本作图和己知条件可作一个与求作三角形相关联的三角形，然后应用
有关条件结合基本作图作出其余的图形.
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