文档内容
第一章 三角形的证明
1.3 直角三角形
第 1 课时 直角三角形的性质与判定
【素养目标】
1. 复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定。 (难点)
2. 学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题.(重点)
3. 理解逆命题、互逆命题的概念，能准确写出命题的逆命题，判断其真假，通
过实例体会互逆命题的应用，提升逻辑推理能力
4. 能从实际问题中抽象出几何模型以及发现内在的数量关系，发展抽象能力，
培养用数学眼光观察世界的习惯。
【复习导入】
问题：前面我们探究过直角三角形的哪些性质？
【合作探究】
探究点一、利用角判定直角三角形
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
已知： △ABC 是直角三角形， ∠C = 90∘ .
求证： ∠A+∠B = 90∘ .
问题2: 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什
么？
已知：在 △ABC中，∠A+∠B = 90∘ .
求证：△ABC是直角三角形。
第 1 页【知识要点】
定理 直角三角形的两个锐角互余。 ①
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。 ②
上面两个定理的条件和结论有什么关系？
探究点二、利用三边数量关系判定直角三角形
我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理。
勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 即 a2+b2=c2 .
勾股定理的证明：
如图，在△ABC 中，∠C=90∘,BC=a,AC=b,AB= c.分别以Rt △ABC的三
边为边长作正方形 AHIB,ACDE , CBFG. 连接 EB,CH . 过点C作AB的垂线，分
别交 AB和HI于点M,N .
证法 赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为_______ ;
也可以表示为 ___________ .
第 2 页勾股定理反过来，怎么叙述呢？这个命题是真命题吗？为什么？
【典例精析】
例1 证明此命题：
已知：如图，在△ABC中， AB2+AC2=BC2 . 求证：△ABC是直角三角形。
【知识要点】
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 ③
定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直
角三角形。④
上面两个定理的条件和结论有什么关系？
【练一练】
1.如图，在四边形ABCD中，AB=8 , BC = 6, AC = 10, AD = CD = 5√2 ，
求四边形 ABCD的面积。
第 3 页探究点三、互逆命题与互逆定理
【合作探究】
观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？
第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流。
说出下列命题的条件和结论：
1.如果两个角是对顶角， 那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
2.如果 a = b ，那么a2=b2 ;
如果 a2 = b2 ，那么a = b .
3.一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等。
观察上面三组命题， 你发现了什么？
【知识要点】
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条
件， 那么这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
【想一想】你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆
命题吗？ 它们都是真命题吗？
【练一练】
1. 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？
(1) 两条直线平行，内错角相等；
(2) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
【归纳总结】
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一
个定理的逆定理。如：“定理①与定理②”，“定理③与定理④”都为互逆定
理。
注意：(1) 命题有真有假，而定理都是真命题；
第 4 页(2) 每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理；
(3) 原命题的真假与其逆命题的真假没有关系。
当堂反馈
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则∠A的度数是( )
A.66° B.36° C.56° D.46°
2.已知a，b，c是△ABC的三条边长，下列条件中，不能判断△ABC为直角三
角形的是 ( )
A.a2=1, b2 =2, c2 = 3 B.a∶b∶c = 3∶4∶5
C.∠A+∠B=∠C D.∠A∶∠B∶∠C = 3∶4∶5
3. 写 出 命 题 “ 直 角 三 角 形 的 两 个 锐 角 互 余 ” 的 逆 命 题 ：
______________________.
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB.若∠1＝50°，则∠B＝_________.
5.如果一个三角形的三边长 a，b，c满足(c－24)2＋｜2a－20｜＋(b－26)2＝0，
那么这个三角形的形状是_________.
6.如图，已知AC＝4，BC＝3，BD＝12，AD＝13，∠ACB＝90°，求阴影部分的
面积。
第 5 页参考答案
复习导入
问题：直角三角形的两个锐角互余。
在直角三角形中，如果一个锐角等于30∘，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
探究点一、利用角判定直角三角形
问题1：证明：∵△ABC 是直角三角形，
∠A+∠B+∠C = 180∘ ，又 ∵∠C = 90∘ ,∴∠A+∠B = 90∘ .
问题2: 证明：∵∠A+∠B+∠C = 180∘ ，又 ∵∠A+∠B = 90∘ ,
∴∠C = 90∘ .∴ △ ABC 是直角三角形
探究点二、利用三边数量关系判定直角三角形
勾股定理的证明：
∵EA = CA ,∠EAB =∠CAH = 90∘+∠CAB , AB = AH
∴△EAB≌△CAH (SAS)，又 ∵S = 2S ,
正方形ACDE △EAB
， 同 理
S = 2S ,∴b2 = S
长方形 AHNM △CAH 长方形AHNM
.
a2 = S , ∴c2 = a2+b2
长方形MNIB
证法 赵爽弦图
1
大正方形的面积可以表示为 c2 ；也可以表示为 4× ab+(b−a) 2 .
2
1
∵c2= 4× ab+(b−a) 2,c2=2ab+b2 −2ab+a2, c2=a2+b2,∴a2+b2=c2 .
2
例1 证明：如图，作 Rt△A′ B′C′ ，使 ∠A′=90∘ ,
A′B′= AB, A′C′= AC ，则A′B′2+A′C′2=B′C′2 (勾股定理).
∵AB2+AC2=BC2 ,∴BC2=B′C′2 . ∴ BC = B′C′ .
∴△ABC≌△A′B′C′ (SSS).∴∠A =∠A′= 90∘
(全等三角形的对应角相等). 因此，△ABC是直角三角形。
【练一练】1. 解：∵AB2+BC2=62+82=100,AC2=100 , ∴AB2+BC2=AC2 .
∴△ABC是直角三角形且∠B是直角。∵AD2+DC2=(5√2) 2+(5√2) 2=100,
∴ AD2+DC2 = AC2 .∴△ADC是直角三角形且∠D是直角。
1 1
∴S = ×6×8+ ×5√2×5√2 = 49.
四边形ABCD 2 2
探究点三、互逆命题与互逆定理
第 6 页【想一想】 逆命题： 如果两个有理数的平方相等， 那么这两个有理数相等。
举特例：命题：2=2,22=22;→ 真命题逆命题： (2) 2=(−2) 2,2≠−2→ 假命题
总结：一个命题是真命题；逆命题不一定是真命题。
【练一练】1. (1) 内错角相等，两条直线平行。 成立
(2) 如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等。不成立
当堂反馈
1. B 2. D. 3.有两个角互余的三角形是直角三角形。 4. 40°.
5. 直角三角形 .
6.解：如图，连接AB.
∵∠ACB = 90°,∴AB =√AC2+BC2=5.
∵AD = 13, BD = 12,
∴AB2+BD2=132=AD2.
∴△ABD为直角三角形，且∠ABD＝90°.
1 1 1 1
∴S阴影＝ AB∙BD－ AC∙BC＝ ×5×12－ ×4×3＝24.
2 2 2 2
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