文档内容
3 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
1.复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判
定．
2.学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．
3.理解逆命题、互逆命题的概念，能准确写出命题的逆命题，判断
其真假．通过实例体会互逆命题的应用，提升逻辑推理能力．
4.能从实际问题中抽象出几何模型以及发现内在的数量关系，发展
抽象能力，培养用数学眼光观察世界的习惯．
重点：掌握直角三角形的性质和判定定理，灵活运用勾股定理及其
逆定理解决问题．
难点：能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角
形．知识链接
直角三角形有哪些性质？
直角三角形的两个锐角互余；直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方．
创设情境——见配套课件
探究点一：利用角判定直角三角形
填一填：在△ABC中，∠A=90°．
（1）∠B= 6 0 °，∠C=30°；（2）∠B=55°，∠C= 3 5 °；
（3）∠B= 4 7 °，∠C=43°； （4）∠B=76°，∠C= 1 4 °．
问题1：∠B和∠C的和有什么规律？你能根据规律再写出一个∠B
和∠C的度数吗？
它们的和都是90°．例如∠B=45°，∠C=45°．
问题2：如果一个三角形的两个内角互余，那么这个三角形是什么
三角形？
直角三角形论证：在△ABC中，如果∠B和∠C互余，求证：△ABC是直角三
角形．
证明：∵∠B和∠C互余，∴∠B＋∠C=90°．∴∠A=180°－（∠B＋
∠C）=90°．∴△ABC是直角三角形．
归纳总结：直角三角形的两个锐角互余，两个锐角之和是90°；有两
个角互余的三角形是直角三角形．
下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（C）
A．∠B=2∠C B．∠A=36°，∠B=64°
C．∠A＋∠B=∠C D．∠A=∠B=60°
探究点二：利用三边数量关系判定直角三角形
活动1：做一做
类似古埃及人画直角的故事，我们准备三根绳子来模仿操作，看看
能否得到和古埃及人相同的结果．
（1）让一根绳子的一端与0刻度线重合，分别在3 cm，7 cm，12
cm处做标记，得到长度分别为3 cm，4 cm，5 cm的三段，然后以
这三段为边围成一个三角形，量量看是不是直角三角形．是直角三角形．
（2）类似（1）的操作，以2.5 cm，6 cm，6.5 cm和4 cm，7.5
cm，8.5 cm的三段为边分别围成一个三角形，量量看是不是直角三
角形．
是直角三角形．
思考：求出直角三角形各边长的平方，观察它们之间有什么关系．
归纳总结：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个
三角形是直角三角形．
如图，BA⊥DA于A，AD=12，DC=9，CA=15，求证：
BA∥DC．
证明：在△ADC中，AD=12，DC=9，CA=15.∴AD2＋
DC2=225=CA2.∴△ADC是直角三角形．∴AD⊥CD．∵BA⊥DA，
∴BA∥DC．
探究点三：互逆命题和互逆定理观察下面4个命题：
（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等； （2）如果两个角
相等，那么它们是对顶角；
（3）同位角相等，两直线平行； （4）两直线平行，同位角相
等．
命题（1）和（2），（3）和（4），它们的条件和结论之间有怎样
的关系？与同伴交流讨论．
上面各组中两个命题的条件和结论互换了位置．
问题1：在前面的学习中还有类似的命题吗？举例说明一下．
有，比如直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直
角三角形．
总结：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命
题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，如果把其中一个
命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题．
问题2：上面4个命题是真命题还是假命题？（1）是真命题；（2）是假命题；（3）是真命题；（4）是真命
题．
问题3：所有的互逆命题都是真命题或者都是假命题吗？
不一定，有可能一个是真命题，一个是假命题．
归纳总结：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是
一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
（1）四边形是多边形；
（2）两直线平行，同旁内角互补；
（3）如果ab=0，那么a=0，b=0.
解：（1）多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．
（2）同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为真．
（3）如果a=0，b=0，那么ab=0.原命题是假命题，而逆命题是真命
题．
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A的度数是（B）
A.66° B.36° C.56° D.46°2.已知a，b，c是△ABC的三条边长，下列条件中，不能判定△ABC
为直角三角形的是（D）
A．a2=1，b2=2，c2=3 B．a∶b∶c=3∶4∶5
C．∠A＋∠B=∠C D．∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
3.写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： 有两个角
互余的三角形是直角三角形 ．
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，EF∥AB．若∠1=50°，则∠B= 4 0
°．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
直角三角形的性质与判定
{直角三角形的性质{两个锐角互余
勾股定理
直角三角形的判定{有两个角互余的三角形是直角三角形
勾股定理的逆定理
互逆命题与互逆定理后续教学中，将持续以学生为中心，围绕知识本质与能力发展，优
化教学环节．通过更精准的分层、更创新的方法、更深入的拓展，
让不同水平学生都能在直角三角形知识的学习中，实现知识掌握与
能力提升的双重突破，真正理解数学知识的逻辑与价值，为后续几
何学习筑牢基础．
