文档内容
思维突破 / 初二 / 寒假
第 1 讲 圆
例题练习题答案
例1 【答案】2
OE = 3 AE = 5−3 = 2
【解析】利用勾股定理， ， ．
例2 【答案】C
【解析】最长的弦是直径10；
−−
最短的弦为垂直OP的弦，长 2√15 ；
故整数弦长为8（2条）、9（2条）、10，共5条．
例3 【答案】A
–
【解析】x等于0或直径时，DE约为 √2r ，
–
√2
x = r− r 时，DE有最大值为 2r ．
2
例4 【答案】（1）连接OA，
1
AC = OB = OC = BC
∵
2
∠OAC = ∠AOC ∠CAB = ∠CBA
∴ ，
∠OAC +∠CAB = ∠AOC +∠CBA
∴
1
= ×180∘ = 90∘
2
∴OA⊥AB，即AB为圆O的切线
AC = OC = OA
（2）∵
∠AOC = 60∘
∴
∠ADC = 30∘
∴ ，
作AH⊥CD于H，
∠ACD = 45∘ OC = 2
∵ ，
–
CH = AH = √2
∴
∠ADC = 30∘
∵
–
DH = √6
∴
– –
DC = √2+√6
∴ .例5 【答案】（1）证明：∵OD=OC，∠DOC=90°，
∴∠ODC=∠OCD=45°．
∵∠DOC=2∠ACD=90°，
∴∠ACD=45°．
∴∠ACD+∠OCD=∠OCA=90°．
∵点C在圆O上，
∴直线AC是圆O的切线．
（2）解：方法1：
∵OD=OC=2，∠DOC=90°，
–
√2
∴CD=2 ．
∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，
∴∠BCD=30°，
作DE⊥BC于点E，
则∠DEC=90°，
–
√2
∴DE=DCsin30°= ．
∵∠B=45°，
∴DB=2．
方法2：连接BO
∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，
∴∠BCD=30°，∴∠BOD=60°∵OD=OB=2
∴△BOD是等边三角形
∴BD=OD=2．
【解析】（1）证明OC⊥AC即可．根据∠DOC是等腰直角三角形可得∠DCO=45°．又∠ACD=45°，
所以∠ACO=90°，得证；
1
（2）如果∠ACB=75°，则∠BCD=30°；又∠B= ∠O=45°，解斜三角形BCD求解．所以作
2
DE⊥BC，把问题转化到解直角三角形求解．先求CD，再求DE，最后求BD得解．
例6 【答案】（1）连接OF，∵FH∥BC，FH是⊙O的切线，
∴OF⊥FH，OF⊥BC
⌢ ⌢
BF = FC
∴
∠BAF = ∠FAC
∴
即AF平分∠BAC.
（2）∵∠ABC的平分线BD交AF于D，
∠ABD = ∠DBC
∴
∠BAF = ∠FBC
∵
∠BDF = ∠BAF +∠ABD = ∠FBC +∠DBC = ∠FBD
∴
BF = FD
∴
EF = 4 DE = 3
（3）∵ ，
BF = FD = 7
∴
∠BAF = ∠FBC ∠BFE = ∠AFB
∵ ，
∴△FBE∽△FAB
FB FE
=
∴
FA FB
FB2 = FE⋅FA
∴
72 49
FA = =
∴
4 4
49 21
DA = −7 =
∴
4 4
例7 【答案】（1）连接MO，
∵ AB = AC ，AE是角平分线
∴AE⊥CB∵ OM = OB ，BM平分 ∠ABC
∠OMB = ∠OBM = ∠CBM
∴
∴OM∥BC
∴OM⊥AE
∴AE与⊙O相切．
（2）设半径为r，根据题意知： BE = 2 ，
AB = 6 OM = r AO = 6−r
， ，
∵OM∥BC
AO OM 6−r r 3
= = r =
∴ ，即 ，解得 ．
AB BE 6 2 2
例8 【答案】（1）连接OD，
OD = OA ∠OAD = ∠ODA
∵ ，∴ ，
∵AD平分∠BAC，∴ ∠BAD = ∠CAD
∠ODA = ∠CAD
∴
∴AE∥OD
∵DE⊥AE，∴ED⊥DO
∵OD是⊙O的半径
∴ED是⊙O的切线；
（2）连接CB，过点O作OG⊥AC于点G
∵AB是⊙O的直径
∠ACB = 90∘
∴∵OG⊥AC
AG AC
∴OG∥CB，∴ =
AO AB
5AC = 3AB
∵
AG 3
=
∴
AO 5
AG = 3x AO = 5x
设 ，
∵DE⊥AE，ED⊥DO
∴四边形EGOD是矩形
EG = OD = AO = 5x
∴
AE = 8x
∴
由（1）知，OD∥AE
∴△AEF∽△DOF
EF AE 8 EF 13
= = =
∴ ,∴ ．
OF DO 5 OF 5
例9 【答案】（1）连接OD，
OD = OA ∠OAD = ∠ODA
∵ ，∴ ，
∵AD平分∠BAC，∴ ∠BAD = ∠CAD
∠ODA = ∠CAD
∴
∴AE∥OD
∵DE⊥AE，∴ED⊥DO
∵OD是⊙O的半径
∴ED是⊙O的切线；
（2）连接BD
−−−−−−−−−−
BD = √AB2 −AD2 = 6
∴
∠BAD = ∠DAE = ∠DBC ∠ADB = ∠BDF
∵ ，
∴△ADB∽△BDF
AB BF AB⋅BD 10×6 15
= BF = = =
∴ ，
AD BD AD 8 2
AD BD BD⋅BD 6×6 9
= DF = = =
，
BD DF AD 8 2
9 7
AF = AD−DF = 8− =
∴
2 2
∠CAF = ∠DBF ∠ACF = ∠BDF
∵ ，
∴△ACF∽△BDFAF BF AF ⋅DF 21
= CF = =
∴ ，∴ ．
CF DF BF 10
1 【答案】（1）连接OD，∵AB是⊙O的直径
∠ADB = 90∘
∴
∠ABD = 90∘ −∠A = 60∘
∴
1
∠BDC = ∠ABD = 30∘
∴
2
OD = OB
∵
∠ODB = ∠ABD = 60∘
∴
△BOD是等边三角形
∠ODC = ∠ODB+∠BDC = 90∘
∴
∴OD⊥CD
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵AD⊥BD，OF∥AD
∴OF⊥BD
∴Rt△OBE中， OE = OB⋅sin∠ABD
–
= 2×sin60∘ = √3
∵△BOD是等边三角形
1
∠DOF = ∠BOF = ∠BOD = 30∘
∴
2
OD
∴Rt△DOF中， cos∠DOF = ，
OF
4 –
OF = √3
∴ ,
3
∠C = 180∘ −∠A−∠ADC
= 180∘ −∠A−∠ADB−∠BDC
∠C = 180∘ −30∘ −90∘ −30∘ = 30∘
∠C = ∠BOF
∴
4 –
CF = OF = √3
∴ ．
3思维突破 / 初二 / 寒假
第 1 讲 圆
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】D
3 【答案】（1）连接OD，D是弧AB的中点，由垂径定理知OD⊥AB，
又 ∠ABC = 90∘ ，EF⊥EC，
故BA∥EF，OD⊥EF，
即EF是⊙O的切线；
（2）设OD与AB交于P．由勾股定理知 FC = 10 ．
易证△BCA∽△ECF∽△PBO．
6
设 圆 O 的 半 径 为 r ， 由 相 似 关 系 易 知 ： BC = r ，
5
3 2
PD = r−OP = r− r = r
；
5 5
2
另外易证四边形BPDE为矩形，即有 BE = DP = r ，
5
6 2 8
CE = CB+BE = r+ r = r = 6
故 ，
5 5 5
15
r =
得 ．
4
4 【答案】（1）证明△OCE≌△OBE即可；
（2）过点D作DM⊥AB，垂足为M，可知△ADM∽△AFB，
–
DM = 2√5 OM = 4
可求得： ， ，
AM DM
=
∴ ，
AB BF
–
36√5
BF =
得 ．
13
思维突破 / 初二 / 寒假
第 1 讲 圆
课堂落实答案
1 【答案】（1）考虑到等腰三角形AOD与角平分线AF，得OD∥AE，故OD⊥DE．
−− −−
（2）在Rt△ADB中， AD = 3√10 ， BD=√10 ， AB = 10 ，
10
△ABD∽△AFB， BF = ．
32 【答案】（1）连接OD，则 ∠CAO = 2∠DAB = ∠DOB ，
∴OD∥AC，
∠AED = ∠CDB = 90∘
∴ ，
∴DE是⊙O的切线；．
（2）过O点作OM⊥AC，设 AM = CM = 4x ， AB = 10x ，
在△AOM中，可知 OM = 3x ，
所以在长方形CDOM中， ED = OM = 3x ， CE = OD = 5x ，
CE = EM −CM = x
∴ ，
DF OD 5x 5
由△AFE∽△DFO可得： = = = ．
AF AE 9x 9
思维突破 / 初二 / 寒假
第 2 讲 四点共圆
例题练习题答案
例1 【答案】（1）∵AD、BE是锐角△ABC的高
∠HDC +∠HEC = 180∘
∴
∴C、D、E、H共圆
（2）∵C、D、E、H共圆
∠CED = ∠CHD
∴
又H为△ABC的垂心
∠ABC +∠BCF = 90∘
∴ ，
∠CHD+∠BCF = 90∘
又
∠ABC = ∠CHD
∴
∠CED = ∠ABC
∴
∴A、E、D、B共圆．
例2 【答案】∵AHG是 ∠BAD 的平分线，DHE是 ∠ADC 的平分线，
CFE是 ∠DCB 的平分线，BFG是 ∠ABC 的平分线，
∠BAG = ∠DAG ∠ADE = ∠CDE
∴ ， ，
∠BCE = ∠DCE ∠ABG = ∠CBG
， ，
∠ABC +∠BCD+∠CDA+∠DAB = 360∘
∵ ，
∠BAG+∠ABG+∠CDE+∠DCE = 180∘
∴ ，
∠G = 180∘ −∠BAG−∠ABG
∵ ，
∠E = 180∘ −∠CDE−∠DCE
，
∠E+∠G = 180∘
∴ ，∴E、F、G、H共圆．
例3 【答案】连结BR、CR，
∵ AB = AC ，AD是高，
∠ABC = ∠ACB
∴ ，
AD为BC的中垂线，
∠RBD = ∠RCD
∴ ，
∠ABR = ∠ACR
∴ ，
∵RQ为CP的中垂线，
∠RCA = ∠RPC
∴ ，
∠ABR = ∠RPC
∴ ，
∴A、P、R、B共圆．
例4 【答案】连接GE
∵A、F、G、E共圆，C、E、G、D共圆
∠AFG = ∠GEC = ∠GDB
∴
∴B、D、G、F四点共圆
例5 【答案】连结AM、CD
∠AFC = ∠A+∠AMC
∵
1 ⌢ ⌢
∠AFC = (MB +AC)
∴ 的弧度
2
⌢ ⌢ ⌢
AB MA = MB
∵M为 的中点∴
1 ⌢ ⌢
∠D = (AC +AM)
∵ 的弧度
2
1 ⌢ ⌢
∠D = (AC +BM)
∴ 的弧度
2
∠D = ∠AFC
∴
∴C、D、E、F四点共圆
∠CAD=∠CBO
例6 (1)【答案】∵ ，
∴A、O、B、C四点共圆，
∵OC为 ∠DAB 的平分线，
∠AOC = ∠BOC
∴ ，
AC = BC
∴ ；
∠AOB = ∠AMB = 90∘
(2)【答案】∵ ，
∠AOB+∠AMB = 180∘
∴ ，
∴A、O、B、M四点共圆，∠AOM = ∠ABM = 45∘
∴ ，
∴直线OM的解析式为 y = x ．
例7 【答案】连结KM，
∠DAM = ∠CBK
∵ ，
∴A、B、M、K四点共圆，
∠ABC = ∠DKM ∠AKB = ∠AMB
∴ ， ，
AB//CD
∵ ，
∠ABC +∠DCB = 180∘
∴ ，
∠DKM +∠DCB = 180∘
∴ ，
∴C、D、K、M四点共圆，
∠CKD = ∠CMD
∴ ，
∠DMA = ∠CKB
∴ ．
例8 【答案】连接AF
∠AEC = ∠ADB
∵
∴A、E、D、F共圆
∠AFE = ∠ADE
∴
∠ABC = ∠ADE
又
∠AFE = ∠ABC
∴
∴A、F、C、B共圆
∠BAC = ∠BFC = ∠EFD = ∠DAE
∴
例9 【答案】连结BE，∵AB是圆的直径，弦CD⊥AB，
⌢ ⌢
AC = AD
∴ ，
∠ABC = ∠AED
∴ ，
∴B、E、F、G四点共圆，
∠BEF +∠BGF = 180∘
∴ ；
∵AB为直径，
∠AEB = 90∘
∴ ，
∠FGB = 90∘ FG⊥AB
∴ ，即 ．
例10 【答案】解：
如图，过O作AC垂线交BC于H，则 OH // AB
AD⊥BC OH⊥AC
∴ ，∠DAC +∠C = 90∘ ∠CHO+∠C = 90∘
∵ ，
∠CHO = ∠DAC
∴
∠BOA+∠HOB = 90∘ ∠HOB+∠HOE = 90∘
∵ ，
∠BOA = ∠HOE
∴
△ OEH ∽△ OFA
∴
3
OH =
易得
2
OF OA 3 4
= = 2÷ =
∴
OE OH 2 3
例11 【答案】连结OB、OC、OM，
（1）∵AB、AC切⊙O于B、C，M为PQ中点，
∠ABO = ∠ACO = ∠AMO = 90∘
∴ ，
∴A、B、O、M四点共圆，A、C、O、M四点共圆；
（2）∵A、B、O、M四点共圆，A、C、O、M四点共圆，
∴A、C、O、M、B五点共圆，
∴B、C、O、M四点共圆．
1 【答案】连结PH、MQ，延长AB、CQ交于点E，
∵AQ平分 ∠BAC ，AQ⊥EC，
EQ = CQ
∴ ；
∵M为BC上的中点，
∴ MQ ∥BE，
∠AQM = ∠BAD
∴ ；
∵AH⊥BD，BP⊥AD，
∠AHB = ∠APB = 90∘
∴ ，
∴A、B、H、P四点共圆，
∠BAD = ∠DHP
∴ ，
∠DHP = ∠DQM
∴ ，
∴H、P、M、Q四点共圆．
思维突破 / 初二 / 寒假
第 2 讲 四点共圆
自我巩固答案
1 【答案】连结BC，由弦切角定理得 ∠HBR = ∠BCR ，
由BR∥AQ得 ∠HBR = ∠BAQ ，∠BCR = ∠BAQ
∴ ，
∴A、B、C、M四点共圆．
2 【答案】由 ∠ADC = ∠BEC = 90∘ ，得H、E、C、D四点共圆，
∠ACF = ∠ADE
∴ ；
由 ∠ADC = ∠AFC = 90∘ ，得F、A、C、D四点共圆，
∠ACF = ∠ADF
∴ ，
∠ADE = ∠ADF
∴ ，
证毕．
3 【答案】∵EM、FM分别平分 ∠AEC 和 ∠AFC ，
∠AEM = ∠CEM ∠AFM = ∠CFM
∴ ， ；
∠M −∠A = ∠AEM +∠AFM
∵ ，
∠ECF −∠M = ∠CEM +∠CFM
，
∠ECF +∠A = 2∠M = 180∘
∴ ，
∠ABF +∠ADE = 180∘
∴ ，
∴A、B、C、D四点共圆．
4 【答案】延长CP交圆于E，∵ ∠CPA = ∠DPB = ∠BPE ，
⌢ ⌢
BD = BE
∴ ，（此处模型需具体说明，由直径平分的等角对应的弧相等）．
1 ⌢ ⌢
∠DCE = DE = DB = ∠DOB
∴ ，
2
∴C、D、P、O四点共圆．
思维突破 / 初二 / 寒假
第 2 讲 四点共圆
课堂落实答案
∠AED = ∠AFD = 90∘
1 【答案】∵ ，
∴ ∠AED+∠AFD = 180∘ ，即A、E、D、F四点共圆，
∠AEF = ∠ADF
∴ ，
在Rt△ADC中， ∠ADF = ∠C ，
∠AEF = ∠C
∴ ，
∴B、E、F、C四点共圆．
2 【答案】连结AE、AC，由AC⊥BD，BA⊥AD，
∠D = ∠BAC
可得 ，
∠BEC = ∠BAC
∵ ，∠D = ∠BEC
∴ ，
∴E、C、D、F共圆．
思维突破 / 初二 / 寒假
第 3 讲 圆幂定理
例题练习题答案
例1 【答案】（1）10；（2）2．
例2 【答案】连结AC、BC，
∵PC为⊙O的切线，
∠PCA = ∠PBC
∴ ；
∠P = ∠P
∵ ，
∴△PAC∽△PCB，
PA PC
=
∴ ，
PC PB
PC2 = PA⋅PB
∴ ．
例3 【答案】2
例4 【答案】∵PC切⊙A于C点，PD切⊙B于D点，
PC2 = PM ⋅PN PD2 = PM ⋅PN
∴ ， ，
PC = PD
∴ ．
PD = 8 r = 7
例5 【答案】 ， ．
由相交弦定理 PD = 8 ，P对于⊙O的幂 r2 −PO2 = 24 ，可知 r = 7 ．
−−
2√14
例6 【答案】大圆半径是 9 ，小圆半径是
例7 【答案】设大圆半径为R，小圆半径为r，
PA2 = PO2 −R2 PB2 = PO2 −r2
由圆幂定理 ， ，
PA2 −PB2 = R2 −r2 = OC2 −OB2 = BC2
两式相减： ．
例8 【答案】∵A、B、C、D共圆，C、D、E、F共圆，
PA⋅PB = PD⋅PC PD⋅PC = PE⋅PF
∴ ， ，
PA⋅PB = PE⋅PF
∴ ，
∴A、B、F、E共圆．
MB⋅MA = MP ⋅MQ MC ⋅MD = MP ⋅MQ
例9 【答案】由题意可知， ， ，
MA⋅MB = MC ⋅MD
∴ ，
∴A、C、B、D四点共圆．
1 【答案】∵BP∥AC，AP为圆的切线，
∠CPB = ∠PCA = ∠KAP
∴ ，∴△EKP∽△PKA，
KP2 = AK ⋅KE
∴ ，
KB2 = KE⋅KA
由圆幂定理： ，
KP = KB
∴ ，
∵BP∥AC，
∴△ACE∽△KPE，
AC CE
=
∴ ，
KP PE
AC ⋅PE = CE⋅KP
∴ ，
AC ⋅PE = CE⋅KB
∴ ．
思维突破 / 初二 / 寒假
第 3 讲 圆幂定理
自我巩固答案
PA⋅PB = PC ⋅PD
1 【答案】由相交弦定理，知 ，
– –
PD = √6 PC = 3√6
得 ， ，
–
CD = 4√6
得 ．
2 【答案】对⊙O用切割线定理： PN2 = NB⋅NA ，
O′ NB⋅NA = NM ⋅NQ
对⊙ 用割线定理： ，
PN2 = NM ⋅NQ
∴ ．
27 15
3 【答案】解：由切割线定理 CF = ， DF = ，
2 2
11 11
EF = AE =
，由相交弦定理 ．
2 5
∠FEA = ∠EAD = ∠FCE
4 【答案】 ，
可得△FEB∽△FCE， EF2 = FB⋅FC ，
GF2 = FB⋅FC
由切割线定理： ，
EF = FG
∴ ．
思维突破 / 初二 / 寒假
第 3 讲 圆幂定理
课堂落实答案
−−
PC ⋅PD = PA⋅PB PC = √14
1 【答案】由割线定理： ，得 ；−−
CP AC 6√14
由△ACP∽△DBP， = ，得 AC = ．
BP BD 7
AP ⋅PB = PE⋅PF PF = 12 CF = 21
2 【答案】由相交弦定理： ， ； ．
PA2 = PB⋅PC
3 【答案】由圆幂定理： ，
PB = 2 CD = BD = 3
得 ，故 ，
−−
r = √10
由垂径定理可得， ．
思维突破 / 初二 / 寒假
第 4 讲 圆综合
例题练习题答案
例1 【答案】（1）∵CE⊥AB，
1 ⌢
∠BCE = 90∘ −∠CBE = BC
∴ 的度数，
2
⌢
∵C是 BD 的中点，
⌢ ⌢
CD = BC
∴ ，
1 ⌢
∠CBF = BC
∵ 的度数，
2
∠CBF = ∠FCB
∴ ，
CF = FB
∴ ；
（2）连结OC交BD于M，
⌢
∵C是 BD 的中点，
∴OC⊥DB，
∵AB为直径，
∠ADB = 90∘
∴ ，
∴OC∥AD，
AO = OB
∵ ，
1
OM = AD = 1 CM = OC −OM = 2
∴ ， ，
2
由勾股定理可知：
−−−−−−−−−− −−−−−− –
BD = √AB2 −AD2 = √62 −22 = 4√2
，
−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−− – –
BC = √BM2 +CM2 = √(2√2)2 +22 = 2√3
．
例2 【答案】（1）连结OA，
∵CA平分∠BCD，
⌢ ⌢
AB = AD
∴ ，
∴OA⊥BD，
∵AE为圆O的切线，∴AE⊥OA，
∴AE∥BD；
（2）∵AE∥BD，
∠E = ∠DBC = ∠DAC
∴ ，
∵AE为圆O的切线，
∠EAB = ∠ADB
∴ ，
∴△AEB∽△DAF，
AE AB
=
∴ ，
AD DF
⌢ ⌢
AB = AD
∵ ，
AB = AD
∴ ，
AE AD
=
∴ ，
AD DF
AD2 = DF ⋅AE
∴ ．
例3 【答案】（1）连结OC，∵OA为直径，
∠OCA = 90∘ OC = 4
∴ ，可得 ，
∴△OCA∽△BCO，
OA OB
=
∴ ，
AC OC
5 OB
=
∴ ，
3 4
20
OB =
∴ ，
3
20
B(0, )
即 ；
3
（2）O，P，C，D四点共圆．
理由是：连接OC，PC．因OA是直径，故OC⊥AB，于是在Rt△OBC中，D是斜边中点，
CD是斜边中线，故 CD = DO，故 ∠DCO = ∠DOC ，故
∠DCP = ∠DCO+∠OCP = ∠DOC +∠COP= 90∘ ，故四点共圆．且圆心E
即为直径DP的中点．
25
E为DP中点，由射影定理， AB = ，
a
−−−−−−
25
BO = 5√ −1
∴ ，
a2
−−−−−
⎛ 5√25 −1⎞
a2
D⎜0, ⎟
∴ ，
2
⎝ ⎠
5
P ( ,0)
∵ ，
2
−−−−−−
5 5 25
E( . √ −1)
∴ ，
4 4 a2
−−−−−−
25√25−a2
k =
∴ ．
16a例4 【答案】连结OA，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，PO⊥AB， PA2 = PC ⋅PD ，
PA2 = PO⋅PE
由射影定理可知： ，
PC ⋅PD = PE⋅PO
∴ ，
∴O、D、C、E四点共圆，
∠CEO+∠CDO = 180∘
∴ ．
例5 【答案】A
【解析】连CD、BC，过点C作CE⊥BD，
∵弧AC沿弦AC折叠交直径AB与点D，
⌢ ⌢
AC = ADC
∴ ，
∠ABC = ∠ACD+∠CAD
∴ ，
∠ABC = ∠BDC
∴ （利用外角），
BC = DC
∴ ，
1 1 1
BE = BD = OB = AB = 1
∴ ，
2 4 8
AC2 = AB⋅AE = 7×8 = 56
∴ （射影定理），
−−
AC = 2√14
∴ ．
d(O,P) = |0+1|+|0−3| = 1+3 = 4
例6 【答案】（1） ；
d(C,D) = |x−1|+|x+2−0| = |x−1|+|x+2|
（2）① ．
|a|+|b| ≥ |a−b| |x−1|+|x+2| ≥ |x−1−x−2| = 3
由绝对值的性质 ， ，
d (C,D) = 3
∴ min
②点C与点E的直角距离的最小值即由点O向直线 y = x+2 作垂线交圆于点E，此时E
– –
√2 √2
(− , )
，距离
2 2
– –
d = (√2 – )2 −r = 2−d =
∣
∣−1+
√2∣
∣+
∣
∣1−
√2∣
∣ = 2−√2 –
．
∣ 2 ∣ ∣ 2 ∣
1 (1)【答案】①
如图，⊙P即为所求．
(7,0)
②【解析】①作AB、BC两边的中垂线交于点P，以P为圆心，AP为半径作圆即为所求．
②根据圆的轴对称性，由①中图可知，D坐标为 (7,0) ．
−−−
(√mn,0)
(2)【答案】
【解析】如图， ∠APB 最大时，即过A，B两点的⊙M与x轴相切时，切点为P．
过M作MH⊥AB，连MB、MP．
AH = BC ∠O = ∠MHB = ∠MPO = 90∘
∴ ，
∴四边形OHMP为矩形
MH = OP MP = OH
∴ ，
A(0,m) B(0,n)
∵ ，
AO = m BO = n
∴ ，
AB = m−n
∴
m−n
BH =
∴
2
m+n
OH = BH +OB =
∴
2
m+n
MP = MB = OH =
∴
2
在Rt△HBM中
−−−−−−−−−−
MH = √MB2 −BH2
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
m+n 2 m−n 2
= √( ) −( )
2 2
−−−
= √mn
−−−
OP = √mn
∴
−−−
P (√mn,0)
∴ ．
思维突破 / 初二 / 寒假
第 4 讲 圆综合
自我巩固答案
1 【答案】A
–
2 【答案】（1）由OA⊥OB， ∠OAB = 30∘ ， OA = 12√3cm ，可得： AB = 2OB ；在Rt△AOB中，由勾股定理得：
–
OB = 12 AB = 24 B(0,12) OA = 12√3cm
， ， ， ，
–
A(12√3,0)
故 ；
–
√3
直线AB的解析式为： y = − x+12 ；
3
（2）连接CD，过F作FM⊥x轴于点M，则 CB = CD ，△CBD是等边三角形；
1
BD = CB = OB = 6 ∠BCD = 60∘ ∠OCD = 120∘
故 ， ， ，
2
∠COE = ∠CDE = 90∘ ∠OEC = ∠DEC
， ，
∠OED = 360∘ −∠COE−∠CDE−∠OCD = 60∘
，
∠OEC = ∠DEC = 30∘ CE = 2CO = 12
， ；
−−−−−−−−−−
–
在Rt△COE中， OE = √CE2 −CO2 = 6√3 ；
∵BG⊥EC于F，∴ ∠GFE = 90∘ ；
∠GBO+∠BGO = ∠OEC +∠BGO
∵ ，
∠GBO = ∠OEC = 30∘
∴ ；
1 15
FC = BC = 3 EF = FC +CE = 15 FM = EF =
得 ， ， ，
2 2
–
– 15√3
ME = √3FM =
；
2
– – –
15√3 – 3√3 3√3 15
MO = −6√3 = F (− , )
∴ ， ；
2 2 2 2
（3）设点Q移动的速度为v cm/s，由题意分两种情况讨论：
①PQ在BC右侧，如图3.1，点P运动到AB中点，点Q运动到AO中点，
PQ∥BC，且 PQ = BC ，此时四边形CBPQ为平行四边形，点Q与点E重合；
AP
AP = 12 t = = 3
可得： ， ，
4
–
AE 6√3 –
v = = = 2√3
∴ （cm/s）；
t 3
②PQ在BC右侧，如图3.2，点P运动到BG中点，点Q运动到OG中点，
PQ∥BC， PQ = BC ，此时四边形CBPQ为平行四边形，
– –
OG=4√3 BG = 8√3
可得： ， ；
– –
PB = 4√3 OQ = 2√3
从而 ， ；
–
AB+BP 24+4√3 –
t = = = 6+√3
∴ ，
4 4
– – –
AQ 12√3+2√3 28√3−14
v = = =
– ；
t 6+√3 11
–
– 28√3−14
点Q的速度为 2√3 cm/s或 cm/s．
11思维突破 / 初二 / 寒假
第 4 讲 圆综合
课堂落实答案
1 【答案】（1）①延长CD至E，使得 CD = DE ，连接BE，则 ∠E = 20∘ ；
②作∠BAD和∠EBD的平分线，两平分线交与F，则 ∠AFB = 20∘ ．
（2）利用图2的方法，作∠A平分线和∠B外角的平分线，交于点D，则 ∠D = 30∘ ，作过
A、B、D的圆，与直线交于P、F两点，则 ∠APB = ∠AFB = 30∘ ．
2 【答案】（1）连结DE，则DE⊥AD，故△AEC为等腰三角形， AE = CE ；
–
（2）易证△ADE∽△AEF，即有 AE2 = AD⋅AF ，故 AE = 2√3 ，即圆的直径为
–
2√3
；
BC AD
（3）连结DE，易证△ABC∽△DEA，故 = ，
AC AE
AE2 = AD⋅AF
由（2）的结论知， ，
−−−−−
−−−−− BC 1 √n+2
故
AE = √n+2AD
，则
=
−−−−−
=
．
AC √n+2 n+2
思维突破 / 初二 / 寒假
第 5 讲 三角形的五心
例题练习题答案例1 【答案】原命题可改如下：
已知：△ABC，AC、AB边上的中线BE、CF交于点G，AG的延长线交BC于点D．
BD = CD AG = 2DG BG = 2EG CG = 2FG
求证： ， ， ， ．
证：延长GE至P，使得 EP = EG ，连结PC、PA，
则四边形AGCP为平行四边形，
则 PC = AG ，PC∥AG， AP = CG ，AP∥GC，
∵F为AB中点，FG∥AP，
AP = 2FG BG = GP = 2GE
∴ ， ，
CG = 2FG
∴ ，
∵DG∥PC， BG = GP ，
BD = CD CP = 2DG
∴ ， ，
AG = 2DG
∴ ，证毕．
例2 【答案】（1）原命题可改如下：
已知：△ABC，AC、AB边上的高BE、CF交于点H，AH的延长线交BC于点D．
求证：AD⊥BC．
证：连结EF，
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴A、E、H、F四点共圆，B、C、E、F四点共圆，
∠HAE = ∠HFE = ∠HBC
∴ ，
∵BE⊥AC，
∠HBC +∠ACB = 90∘
∴ ，
∠HAE+∠ACB = 90∘
∴ ，
∴AD⊥BC，证毕．
（2）六组四点共圆分别为AFHE，BCEF，BDHF，CAFD，CDHE，ABDE．
1
例3 【答案】（1） ∠BIC = 90∘ + ∠A = 111∘ ，
2
∠BOC = 2∠A = 84∘
，
∠BHC = 180∘ −∠A = 138∘
；
1
∠BIC = 90∘ + ∠A = 120∘
（2） ，
2
∠BOC = 2∠A = 120∘
，
∠BHC = 180∘ −∠A = 120∘
．
例4 【答案】由内心和旁心的定义易知，
∠ICI = ∠ICI = 90∘
b a ，
则 I a、C、 I b三点共线， I c C ⊥ I a I b，
同理可证：
I a、C、 I c三点共线， I b B ⊥ I a I c，I c、C、 I b三点共线， I a A ⊥ I c I b，
故I为△ I a I b I c的垂心．
例5 【答案】∵BE⊥AC，CF⊥AB，AD⊥BC，
∴A、E、H、F四点共圆，B、D、H、F四点共圆，
∠DAC +∠ACB = ∠EBC +∠ACB = 90∘
，
∠HAE = ∠HFE ∠HFD = ∠HBD ∠DAC = ∠EBC
∴ ， ， ，
∠HFE = ∠HFD
∴ ，
∠HDF = ∠HDE ∠HEF = ∠HED
同理可证： ， ，
∴H是△DEF的内心．
AH ⋅HD = BH ⋅HE = CH ⋅HF
例6 【答案】∵ ，
∴ABDE、BCEF、CAFD四点共圆（圆幂定理逆定理），
∠AEB = ∠ADB ∠BFC = ∠BEC ∠AFC = ∠ADC
∴ ， ， ，
∠ADB+∠ADC = ∠BEC +∠BEA = ∠CFA+∠CFB = 180∘
∵ ，
∠ADB+∠ADC +∠BEC = 270∘
∴ ，
∠BEC = 90∘
∴ ，
∠ADC = ∠CFB = 90∘
∴ ，
∴H是△ABC的垂心．
例7 【答案】连结QN，
∵PM∥AC，PN∥AB，
∠MPB = ∠ACB ∠NPC = ∠ABC
∴ ， ，
AB = AC
∵ ，
∠ABC = ∠ACB
∴ ，
∠ABC = ∠MPB ∠ACB = ∠NPC
∴ ， ，
BM = PM NP = NC
∴ ， ，
∵点Q、P关于MN对称，
QM = PM QN = PN
∴ ， ，
MB = MP = MQ NQ = NP = NC
∴ ， ，
∴M、N分别是△BPQ、△CPQ的外心．
例8 【答案】（1）连结OB、OC，
∠BOC = 2∠A = 120∘ ∠BHC = 180∘ −∠A = 120∘
易知 ， ，
∴BCHO四点共圆；
OB = OC ∠BOC = 120∘
（2）∵ ， ，
∠OBC = ∠OCB = 30∘
∴ ，
∵BCHO四点共圆，
∠OHB = ∠OCB = 30∘
∴ ，
∠BHE = 180∘ −∠BHC = 60∘
∵ ，∠OHE = 30∘
∴ ，
∴OH平分BD、CE形成的交角．
例9 【答案】分别取AB、DE的中点M、N，连结CM交XY于P，
则CM为△ABC的中线，
∵M、N分别为AB、DE的中点，AD⊥XY，BE⊥XY，
∴MN为梯形ABED的中位线，
1
∴ MN = (AD+BE) ，MN⊥XY，
2
CF = AD+BE
∵ ，
1
MN = CF
∴ ，
2
∵MN⊥XY，CF⊥XY，
∴CF∥MN，
∴ CP = 2MP ，P即为△ABC的重心，
∴XY过△ABC的重心．
1 【答案】则 EM = AC = 10 ， EC = AH ，
∵△AEF的两条高相交于M，
∴M为△AEF的垂心，
∴AM⊥EF，EM⊥AF，FM⊥AE，
AE⊥BC AF⊥CD
∵ ， ，
∴BC∥MF，EM∥CD，
∴四边形CEMF为平行四边形，
∴ MF = EC = AH ，MF∥EC∥AH，
∴四边形AHFM为平行四边形，
∴FH∥AM， FH = AM ，
∴FH⊥EF，
−−−−−−−−−−
FH = √EH2 −EF2 = 6
由勾股定理易知： ，
AM = 6
∴ ．
思维突破 / 初二 / 寒假
第 5 讲 三角形的五心
自我巩固答案
1 【答案】过点I作IM⊥AC，M是垂足，由面积相等可知：
1 1
r(AC +AB+BC) = S = ×6×8 = 24
2 ΔABC 2 ，
–
IM = r = 2 AM = 6−2 = 4 AI = 2√5
求得： ，得 ， ．2 【答案】连结AI，BI，CI，CM，CN，易证得△AIN≌△AIC，△BIM≌△BIC，
∠ANI = ∠ACI ∠BCI = ∠BMI ∠ACI +∠BCI = ∠C
则 ， ，又 ，
∠MIN = 180∘ −∠C
故 ．
3 【答案】易知F点是重心， AF : AD = 2 : 3 ，又 AE = BE ， BD = DC ，
2 2 1 2 1 1
S = S = ⋅ S = ⋅ ⋅ S = 20
故 △AEF 3 △ADE 3 2 △ABD 3 2 2 △ABC ．
4 【答案】连结BO、CO，
由BA、BC与⊙O相切，可得BO平分∠ABC
再由 AB = BC ，可得BO⊥AC，同理可得CO⊥BD，
于是△PBC中，O为垂心，故PO⊥BC．
思维突破 / 初二 / 寒假
第 5 讲 三角形的五心
课堂落实答案
∠DAC = 120∘ ∠QAP = 60∘
1 【答案】由四边形内角和得： ，故 ．
2 【答案】因为O为外心，可求得 ∠BOC = 2∠BAC = 120∘ ，
1
因为I为内心，可求得 ∠BIC = 90∘ + ∠BAC = 120∘ ．则 ∠BOC = ∠BIC ．
2
设I、O中间的交点为P，则 ∠OPB = ∠IPC ，故 ∠IBO = ∠ICO ．
3 【答案】过点G作GM⊥BC，分别过A点作AQ⊥BC，交BC的反向延长线于Q，
连结AG并延长交BC于P，
GM PG
∴AQ∥GM，∴ = ，
AQ AP
PG 1 GM 1
= =
由重心的性质可知： ，可知 ，
AP 3 AQ 3
GM = 3
∵ ，
AQ = 9
∴ ，
1
∴△ABC的面积为 ×9×10 = 45 ．
2
思维突破 / 初二 / 寒假
第 6 讲 操作问题
例题练习题答案
例1 【答案】（1）作直线l，在直线l上在截取 AB = a ，再截取 BC = a ，再截取 CD = a ，AD即为
所求；a
（2）以大于 长为半径，分别以线段a两个端点为圆心作圆，连结两圆交点，交点连线与
2
a的交点为M；
∠MBN = ∠A ∠NBP = ∠A ∠PBM = 2∠A
（3）作 ，再向外作 ，则 即为所求；
（4）设 ∠A 的两边分别为AX、AY，过A作 AP ⊥AY，则 ∠PAX 即为所求．
例2 【答案】以C为圆心，适当长为半径作圆，
交直线l于M、N，分别以M、N为圆心，
MC为半径作弧交直线下方于D，则点D即为所求．
例3 【答案】（1）先画最长边，分别两顶点、两其他两边为半径画圆；
（2）画等角，等线段，连结；
（3）先画一等角A，在一边取等线段AB，另一边画另一等角，交直线AB于F，过B作平行
线；
（4）先画一等角A，在一边取等线段AB，再以B为顶点画另一等角；
（5）画直角边，以两顶点分别为圆心，一斜边一半为半径画圆取一个交点，与其中一端
点连结，倍长．
例4 【答案】先作∠BAC的平分线AM，
过A作AN⊥AM（向左上方向），且 AN = a ，
过N作NQ∥AM交AB于点Q，
过Q作QP交AM于点P，即可．
（即构造ANQP为矩形）
例5 【答案】构造8字型相似即可．
任意作直线AB、CD相交于点O，
OM = a ON = c OQ = b
截取 ， ， ，
连接QN，过M作MP∥QN，交CD于点P，
ab
OP =
则 ．
c
例6 【答案】设线段a为AB，过线段a端点A作射线l，
截取 AC = CD = DE ，连结EB，
分别过点C、点D作 l 1、 l 2平行EB交AB于M、N，M、N为三等分点．
例7 【答案】（1）设线段a为AB，过线段a端点A作射线l，
截取 AC = CD = DE ，连结EB，
分别过点C、点D作 l 1、 l 2平行EB交AB于M、N，
M、N为三等分点；
（2）①在∠AOB的平分线上找一点P即可，
②在∠AOB的边OA、OB上取点M、N，使 OM = ON ，
连结MN，利用（1）的方法作出MN靠近点N的三等分点P，
点P即满足 PM = 2PN ．
例8 【答案】（1）正确，△NOP≌△MOP（HL）．
（2）作法：①利用刻度尺在OA，OB上分别截取 OG = OH ．
②连结GH，利用刻度尺作出GH的中点Q．
③作射线OQ，则OQ为∠AOB的平分线．
例9 【答案】（1）方法如题干；
（2）连接对角线，把四边形分成两个三角形，
把两个三角形分别用题干的方法拼成两个长相等的矩形，
然后把这两个矩形拼在一起即可．
BE = 3 AE = 1
1 【答案】（1）由题意： ， ，
−−
则在Rt△ABE中， AB = √10 ，
S = 5
∴ ；
（2）作AD⊥ l 2，以AD为边向右作等边△ADE，
过点E作BE⊥AE，交 l 3于点B，
过点D在 l 2上截取 DC = BE ，
∵△AEB≌△ADC，且△ADE为等边三角形
∴△ABC是求作的等边三角形，
连接AF，在Rt△ADF中， ∠DAF = 30∘ ， AD = 2 ，–
2√3
DF = EF =
∴
3
BF = EF
∵ ，
–
4√3
BE =
∴ ，
3
−−
2√21
∴在Rt△AEB中， AB = ，
3
–
7√3
S =
∴ ΔABC 3 ．
思维突破 / 初二 / 寒假
第 6 讲 操作问题
自我巩固答案
1 【答案】作∠EDF等于∠A，在∠D的一边DE上，向外作∠EDG等于∠C，则∠GDF就是所求角．
2 【答案】作AB等于已知边，分别以A、B为顶点作角等于已知的底角，交于一点C，
则△ABC就是所求三角形．
3 【答案】（1）如图；
−−
2√21
（2）5； ．
3
思维突破 / 初二 / 寒假
第 6 讲 操作问题
课堂落实答案
1 【答案】作线段AB长度等于 a+b ，再做线段AB的中点C，则线段AC即为所求．
2 【答案】作直线l，在l外取一点P，作PA⊥l，取AB等于已知三角形的高，以B为圆心，等腰三角形
的腰长为半径作圆，与l交于C、D点，则△BCD是所求三角形．
3 【答案】作水平直线l，在上任取一点H；
以H为垂足，向上作l的垂线MH，并且在MH上截取点C，使 CH = h ；
以C为圆心，a为半径作圆弧，与l交与点B（B在H左侧）；以C为圆心，b为半径作圆弧，与l交与点A（A在H右侧）；
△ABC即为所求作的三角形．
思维突破 / 初二 / 寒假
第 7 讲 阶段自检
期末试卷答案
1 【答案】D
2 【答案】C
3 【答案】A
4 【答案】B
5 【答案】D
6 【答案】A
7 【答案】D
8 【答案】A
9 【答案】14
10 【答案】9
11 【答案】8
40∘
12 【答案】
90∘
13 【答案】直径所对圆周角为
14 【答案】1
82
15 【答案】
5
16 【答案】10
1
17 【答案】①连接OP；②作OP中垂线交OP于C;③以C为圆心， OP 为半径作圆，交圆O于A、B，
2
则A、B即为所求
18 (1)【答案】 ∵ ∠OPB = ∠OAB = 45∘
∴
A、B、O、P四点共圆；
(2)【答案】36
19 (1)【答案】成立
【解析】证：连接CO
OE⊥AC， AO = CO
∠COF = ∠AOF
∴
在AOF和COF中⎧CO = AO
⎨∠COF = ∠AOF
⎩
OF = OF
∴AOF≌COF(SAS)
∠OCF = ∠OAF
∴
∵AF是圆O的切线
∠FAO = 90∘
∴
∠OCF = 90∘
∴PC是圆O的切线
(2)【答案】1
【解析】∵CP,AF是圆O的切线
∠PCO = ∠PAE = 90∘
∴
∠P = ∠P
∵
∴PAF∽PCD
PA AF
=
∴
PC CO
1
AF = CO
∴
2
AB = 4
∵
AO = CO = 2
∴
AF = 1
∵由于（1）中已经证明
COF∽AOF
CF = AF = 1
∴
20 (1)【答案】成立
【解析】证明
∵D是弧BC中点
⌢ ⌢
BD = CD
∴
∠BCD = ∠CAD
∴
∠ADC = ∠CDE
∵
∴CDE∽ADC
CD AD
=
∴
DE DC
CD2 = DE⋅DA
∴
(2)【答案】3
AE = 3,DE = 1
【解析】解：∵
AD = 4
∴
CD2 = DE⋅DA
∵
CD = 2
∴DF = x
设
∵BF和圆O相切
BF2 = FD⋅FC
∴
DF = x
∵
CF = DF +CD = (x+2)
∴
3=x(x+2)
∴
x2 +2x−3 = 0
x = 1
或-3
∵x＞0
x = 1
∴
CF = x+2 = 3
∴
