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2025二轮复习专项训练12
三角函数的概念与三角恒等变换
[考情分析] 三角函数的概念与三角恒等变换是高考常考内容，主要考查三角函数的概念、
同角三角函数关系式、诱导公式，以及三角恒等变换的综合应用，给值求值问题．试题难
度中等，常以选择题、填空题的形式出现．
【练前疑难讲解】
一、三角函数的定义、诱导公式及基本关系式
1．同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2．(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
二、两角和与差的三角函数
两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
tan(α±β)＝.
三、三角恒等变换
1．二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan 2α
＝.
2．半角公式：sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝.
3．辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数 在区间 单调递增，
直线 和 为函数y=f (x)的图像的两条相邻对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·浙江·阶段练习）已知 ， ，则
（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022·广东·模拟预测）已知函数 ，则下列结论正确的
是（ ）
A．f（x）的最大值为2
B．f（x）在 上单调递增
C．f（x）在 上有4个零点
D．把f（x）的图象向右平移 个单位长度，得到的图象关于直线 对称
4．（2023·广东深圳·模拟预测）若函数 ，则下列结
论正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为 B．函数 在区间 上单调递增
C．函数 图象关于 对称 D．函数 的图象关于点 对称
三、填空题
5．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）若 、 是关于 的方程 的两
个根，则 .
6．（22-23高三下·湖北孝感·阶段练习）若两个锐角 ， 满足 ，
学科网（北京）股份有限公司则 .
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D D ACD BCD
1．D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入 即可得到答
案.
【详解】因为 在区间 单调递增，
所以 ，且 ，则 ， ，
当 时， 取得最小值，则 ， ，
则 ， ，不妨取 ，则 ，
则 ，
故选：D.
2．D
【分析】
先对两式进行平方，进而可求出 的值，根据二倍角公式求出结论.
【详解】解：因为 ， ，
所以平方得， ， ，
即 ， ，
两式相加可得 ，
即 ，
学科网（北京）股份有限公司故 ，
.
故选：D.
3．ACD
【分析】先对函数化简变形得 ，然后利用余弦函数的性质逐个分析判
断即可
【详解】因为 ，所以A正确；
当 时， ，函数 在 上先增后
减，无单调性，故B不正确；
令 ，得 ，故 ，因为 ，所以
，故C正确；
把 的图象向右平移 个单位长度，得到
的图象，当 时． 取得最小值－
2，故D正确．
故选：ACD
4．BCD
【分析】利用三角恒等变换、诱导公式化简得 ，根据正弦型函数的性质判
断A、B，代入法验证函数的对称轴、对称中心判断C、D.
【详解】由
学科网（北京）股份有限公司，
所以 最小正周期为 ，A错误；
当 ，则 ，故 在 上递增，B正确；
由 ，故 是 的一条对称轴，C正确；
由 ，故 是 的一个对称点，D正确.
故选：BCD
5． /
【分析】先根据韦达定理得到 ，进而求得 ， ，再结合诱导公
式化简求值即可.
【详解】由题意得， ，则 或 ，
又 ，即 ，解得 或 （舍去），
则 ，
所以
.
故答案为： .
学科网（北京）股份有限公司6．
【分析】根据二倍角的正弦、余弦公式，化简可得角 ， 的关系，代入
即可求解.
【详解】因为 ，
所以
所以 ，
因为 ， 为锐角，所以有 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
因为 ， 为锐角，所以有 ，即 ，
所以
故答案为：
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·北京延庆·一模）“ ”是“ 为第一或第三象限角”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·湖北武汉·三模）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司3．（2024·广东江苏·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东济南·一模）已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2021·黑龙江哈尔滨·模拟预测）函数 的图象的一个
对称中心是（ ）
A． B． C． D．
6．（2004·广东·高考真题）函数 是（ ）
A．最小正周期为 的奇函数
B．最小正周期为 的偶函数
C．最小正周期为 的奇函数
D．最小正周期为 的偶函数
二、多选题
7．（2023·辽宁·模拟预测）设 为第一象限角, ,则（ ）
A．
B．
C．
学科网（北京）股份有限公司D．
8．（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知 ，且 是方程
的两根，下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·广东广州·三模）已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．函数 的最小正周期为
C．函数 的图象的对称轴方程为
D．函数 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到
三、填空题
10．（2023·湖北武汉·一模）锐角 满足 ，则 .
11．（2023·山东烟台·二模）已知 ，则 的值为 ．
12．（2023·广东江门·一模）已知 ， ，则 的值为 .
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C C A A A A BD AD AB
学科网（北京）股份有限公司1．C
【分析】由二倍角公式、充分必要条件的定义即可得解.
【详解】因为 或 ，
所以“ ”是“ 为第一或第三象限角”的充分必要条件.
故选：C.
2．C
【分析】利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解.
【详解】 ， ， ，
， ，
，所以 .
故选：C
3．A
【分析】根据两角和的余弦可求 的关系，结合 的值可求前
者，故可求 的值.
【详解】因为 ，所以 ，
而 ，所以 ，
故 即 ，
从而 ，故 ，
故选：A.
4．A
【分析】由题设条件和正弦定理化边为角，再利用和角公式进行拆角化简，即可得到
，利用三角形内角范围即得.
学科网（北京）股份有限公司【详解】由 以及正弦定理可得： ，
因 ，代入整理得 ，
因 ,则得 ，又因 ，故 .
故选：A.
5．A
【分析】利用两角和的正弦公式、降幂公式，辅助角公式，化简可得 ，
令 ，即可求得对称中心，对k赋值，即可求得答案.
【详解】函数
=
令 ，解得 ，即对称中心为 .
令 ，可得一个对称中心为 ，
无论k取任何整数， ，故BCD错误.
故选：A
6．A
【分析】利用三角函数恒等变换公式对函数化简，然后再求其最小正周期，判断奇偶性即
可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以
学科网（北京）股份有限公司，
最小正周期为 ，
，
所以函数 是最小正周期为 的奇函数．
故选：A
7．BD
【分析】首先由题意得 是第一象限角,所以 ,再利用诱导公式和同角
三角函数关系式对选项逐个计算确定正确答案.
【详解】由题意得 ,
则 ,
若 在第四象限,则 ,
所以 也是第一象限角,即 ,
,A项错误;
,B项正确;
,C项错误;
,D项正确.
故选:BD.
学科网（北京）股份有限公司8．AD
【分析】由方程解出 ，利用两角和与差的正弦余弦正切公式和同角三角函数的
商数关系，求解各选项中的算式，验证选项.
【详解】 是方程 的两根，又 ，
解得 ，
，A选项正确；
，B选项错误；
，C选项错误；
， ，则 ，有 ，
，
，D选项正确.
故选：AD.
9．AB
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数 ，再结合正弦函数的性质逐项判断作
答.
【详解】
，故A正确；
学科网（北京）股份有限公司函数 的最小正周期为 ，故B正确；
由 ，得 ，故C错误；
由 的图象向左平移 个单位长度，
得
，故D错误.
故选：AB
10．
【分析】利用二倍角公式和诱导公式实现角之间的转化，代入数值即可求得结果.
【详解】由题意可知， ，
又 ，且 为锐角，所以 ，
即 .
故答案为：
11．
【分析】根据 利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.
【详解】因为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以
.
故答案为：
12．
【分析】根据二倍角的余弦公式，结合角的范围，即可求得结果．
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 .
故答案为： .
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余
割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数
，正割函数 ，余割函数 ，正矢函数 ，
余矢函数 .如图角 始边为 轴的非负半轴，其终边与单位圆交点 ， 、
分别是单位圆与 轴和 轴正半轴的交点，过点 作 垂直 轴，作 垂直 轴，垂
足分别为 、 ，过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线分别交 的终边于 、 ，
其中 、 、 、 为有向线段，下列表示正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
2．（2023·广东广州·一模）已知 为第一象限角. ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·安徽安庆·三模）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖北·二模）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 在 上有且
仅有两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·河南新乡·模拟预测）设 ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
7．（2024·安徽合肥·三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2022·甘肃兰州·一模）已知 、 是方程 的两个根，且
，则 等于（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
二、多选题
9．（2023·江苏常州·模拟预测）已知角 的终边与单位圆交于点 ，则
（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·湖南邵阳·三模）下列说法正确的有（ ）
A．若角 的终边过点 ，则角 的集合是
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若扇形的周长为 ，圆心角为 ，则此扇形的半径是
11．（22-23高三上·吉林·阶段练习）2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，
“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交
学科网（北京）股份有限公司叉 就 会 形 成 像 鱼 鳞 一 样 的 涌 潮 ． 若 波 状 涌 潮 的 图 像 近 似 函 数
的图像，而破碎的涌潮的图像近似 （ 是
函数 的导函数）的图像．已知当 时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷
为－4，则（ ）
A． B．
C． 是偶函数 D． 在区间 上单调
三、填空题
12．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知 且 ，则
．
13．（2023·陕西西安·一模）已知在 中，角 所对边分别为 ，满足
，且 ，则 的取值范围为 .
14．（22-23高一下·江苏南京·期中）已知 ，则 的值为
.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D B C D B AC ABC
题号 11
答案 BC
1．C
【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知 ， ， ，然后
结合新定义简单计算可判断各个选项.
【详解】根据题意，易得 ，
对于A，因为 ，即 ，故A错误；
学科网（北京）股份有限公司对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，
，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得
，故D错误.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函
数定义结合相似三角形相似比求解，注意有向线段.
2．D
【分析】根据给定条件，两边平方求出 ，判断 的正负并求出，再利用同角公式
计算作答.
【详解】因为 为第一象限角， ，则 ，
，
，即 ，解得 ， ，
所以 .
故选：D
3．B
【分析】利用二倍角正切公式求得 ，再利用拆角的方法结合两角差的正切公式，
即可求得答案.
【详解】由 得， ，
学科网（北京）股份有限公司而 ，
故
，
故选：B
4．D
【分析】首先根据公式 化解条件等式，再结合二倍角和两角差的正弦公式，
即可化解求值.
【详解】由条件等式可知， ，
整理为 ，则 ，
又 ， ，
所以 ， ，
所以
.
故选：D
5．B
【分析】利用降幂公式降幂，结合余弦函数的图象特征，可得关于 的不等式，即可求得
实数 得取值范围.
【详解】函数 ，
学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，
要使函数 在 上有且仅有两个零点，
所以 ，则 ，得 ，
即 的取值范围是 .
故选：B.
6．C
【分析】先“切化弦”，再利用和角公式和倍角公式化简即可.
【详解】
.
故选：C
7．D
【分析】先由辅助角公式得 ，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可求解.
【详解】由 得 ，即 ，
所以 ，
故选：D
8．B
【分析】根据给定条件，利用韦达定理、和角的正切求解作答.
【详解】方程 中， ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司于是 ，显然 ，
又 ，则有 ， ，
所以 .
故选：B
9．AC
【分析】点 代入单位圆的方程求出点 可得 ，再由弦化切可得答案.
【详解】 角 的终边与单位圆交于点 ，
， ， ，
当 时， ；
当 时， ．
故选：AC.
10．ABC
【分析】由三角函数的定义判断A，根据诱导公式判断B，根据“1”的代换和弦切互化求解
判断C，根据扇形弧长公式求解判断D.
【详解】因为角 的终边过点 ，为第一象限角，
所以由三角函数的定义知 ，所以角 的终边与 终边相同，
所以角 的集合是 ，故A选项正确；
因为 ，所以B选项正确；
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以C选项正确；
设扇形的半径为 ，圆心角为 ，因为扇形所对的弧长为 ，
所以扇形周长为 ，故 ，所以D选项不正确．
故选：ABC
11．BC
【分析】
由 ，求得 ， 由题意得 ，由 ， ，解出 ，由破碎
的涌潮的波谷为-4，解得 ，得到 和 解析式，逐个判断选项.
【详解】
， 则 ， 由 题 意 得 ， 即
， 故 ， 因 为 ， ， 所 以 ， 所 以
，则选项A错误；
因为破碎的涌潮的波谷为 ，所以 的最小值为 ，即 ，得 ，所以
， 则
， 故选
项B正确；
因为 ，所以 ，所以 为偶函数 ，
则选项C正确；
学科网（北京）股份有限公司， 由 ， 得 ， 因 为 函 数 在
上单调递增，在 上单调递减，所以 在区间 上不单调，则选
项D错误.
故选：BC
12．
【分析】利用同角的三角函数关系结合诱导公式化简得 ，再利用
二倍角公式化简得出 ，即可求得答案.
【详解】由 得 ，
即 ，
由于 ，故 ，则 ，
故 ，即 ，
则 ，即 ，即 ，
故答案为：
13．
【分析】根据已知利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式可得 ，从而可表示出
学科网（北京）股份有限公司的表达式，利用辅助角公式化简结合三角函数的性质，即可求得答案.
【详解】由题意在 中，满足 ，即
,
即 ，而 ，
故 ，又 ,
则 ，同理 ，
故
，
又 ,故 ，
则 ，
故答案为：
14．
【分析】根据同角的基本关系可得 ，再根据正弦的二倍角公式，可得
，再根据诱导公式可得 ，由此即可求出结果.
【详解】因为 ， ， ,又因为
，
所以
学科网（北京）股份有限公司所以 ,
所以 ,
.
故答案为： .
学科网（北京）股份有限公司
