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专题 15 周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用
【命题规律】
从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内
容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充
分运用转化思想和数形结合思想．
【核心考点目录】
核心考点一：函数单调性的综合应用
核心考点二：函数的奇偶性的综合应用
核心考点三：已知 奇函数
核心考点四：利用轴对称解决函数问题
核心考点五：利用中心对称解决函数问题
核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题
核心考点七：类周期函数
核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
核心考点九：函数性质的综合
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ，
则 （ ）
A． B． C．0 D．1
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记
，若 ， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·统考高考真题）若 是奇函数，则 _____， ______．
【方法技巧与总结】1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设 ， 是 定义域内一个区间上的任意两个量，且 ；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与 的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调
区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若 是增函数，则 为减函数；若 是减函数，则 为增函数；
②若 和 均为增（或减）函数，则在 和 的公共定义域上 为增（或减）函
数；
③若 且 为增函数，则函数 为增函数， 为减函数；
④若 且 为减函数，则函数 为减函数， 为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数 是偶函数 函数 的图象关于 轴对称；
函数 是奇函数 函数 的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数 在 处有意义，则有 ；
偶函数 必满足 ．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对
称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数 的定义域关于原点对称，则函数 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．
记 ， ，则 ．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所
得的函数，如 ．
对于运算函数有如下结论：奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 偶=非奇非偶；
奇 奇=偶；奇 偶=奇；偶 偶=偶．（7）复合函数 的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数 或函数 ．
②函数 ．
③函数 或函数
④函数 或函数 ．
注意：关于①式，可以写成函数 或函数 ．
偶函数：①函数 ．
②函数 ．
③函数 类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；
（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，
且 ．
5、对称性技巧
（1）若函数 关于直线 对称，则 ．
（2）若函数 关于点 对称，则 ．
（3）函数 与 关于 轴对称，函数 与 关于原点对称．
【核心考点】
核心考点一：函数单调性的综合应用
【典型例题】
例1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数 是
上的减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，则满足
的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且满足 ，则下列正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
核心考点二：函数的奇偶性的综合应用
【典型例题】
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 在 上单调递增，且 为偶函
数，则不等式 的解集为（ ）A． B．
C． D．
例5．（2023·全国·高三专题练习）设 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数 的定义域为 ，且当 时， ，则使不
等式 成立的实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例7．（2023·全国·高三专题练习）定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等
式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
例8．（2023春·广西·高三期末） 是定义在R上的函数， 为奇函数，则
（ ）
A．－1 B． C． D．1
例9．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）若函数f（x）= ，则满足
恒成立的实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
核心考点三：已知 奇函数+M
【典型例题】
例10．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知 （a，b为实数），
，则 ______．
例11．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数 ，且 ，则（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
例12．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对 ，有 ，函数
在区间 上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
核心考点四：利用轴对称解决函数问题
【典型例题】
例13．（2022·全国·高三专题练习）若 满足 ， 满足 ，则 等于
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例14．（2021春·高一单元测试）设函数 ，则不等式 的
解集为（ ）
A．（0，2] B．
C．[2，＋∞） D． ∪[2，＋∞）
例15．（2021春·西藏拉萨·高三校考阶段练习）已知函数 ，则
的大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
核心考点五：利用中心对称解决函数问题
【典型例题】
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是 上的偶函数，且 的图象关于点 对称，当
时， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
例17．（2021春·安徽六安·高三校考阶段练习）已知函数，函数 为奇函数，若函数 与
图象共有 个交点为 、 、 、 ，则 （ ）
A． B． C． D．
例18．（2021春·贵州黔东南·高一凯里一中校考期中）已知函数 是奇函数，若函数 与
图象的交点分别为 ， ，…， ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为
（ ）
A． B． C． D．
例19．（2022春·湖北恩施·高一恩施市第一中学校考阶段练习）已知定义在R上的奇函数 的图象与
轴交点的横坐标分别为 ， ， ， ， ，且 ，则不等式 的解
集为（ ）
A． B．
C． D．
例20．（2021春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数
，函数 满足 ，若函数
恰有 个零点，则所有这些零点之和为（ ）
A． B． C． D．
核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题
【典型例题】
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，
且当 时， ．若 ，则 （ ）
A． B．0 C． D．
例22．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数 的定义域为R， 为偶函数，
，当 时， （ 且 ），且 ．则
（ ）
A．16 B．20 C．24 D．28例23．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R上的偶函数 满足
，且当 时， ．若直线 与曲线 恰有三个公共点，那
么实数a的取值的集合为（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ）
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时，
，若函数 图象与 的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
例25．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知 是定义在R上的奇函数， ，
恒有 ，且当 时， 1，则
（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
例26．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R上的偶函数 满足
，且当 时， ．若直线 与曲线 恰有三个公共点，那
么实数a的取值的集合为（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ）
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时，
，若函数 图象与 的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
例28．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知 是定义在R上的奇函数， ，
恒有 ，且当 时， 1，则
（ ）A．1 B．-1 C．0 D．2
核心考点七：类周期函数
【典型例题】
例29．（2022·天津一中高三月考）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
例30．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为 的函数 满足 ，当
时， ，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例31．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为 的函数 满足 ，
当 时， ，若当 时，函数 恒成立，则实数 的取
值范围为
A． B． C． D．
核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
【典型例题】
例32．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数 对任意 ，都有 成立．
有以下结论：
① ；② 是 上的偶函数；③若 ，则 ；
④当 时，恒有 ，则函数 在 上单调递增．
则上述所有正确结论的编号是________
例33．（2022·山东聊城·二模）已知 为 上的奇函数， ，若对 ， ，当
时，都有 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．C． D．
例34．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R上的奇函数 的图象关于直线 对称，且
在 上单调递增，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
例35．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R的偶函数满足 ，当
时， ，则方程 在区间 上所有解的和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【典型例题】
例36．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，在 上是增函数，且
恒成立，则不等式 的解集为______．
例37．（2023春·山东济南·高三统考期中）已知 是定义域为R的奇函数， 为奇函数，则
__________．
例38．（2023春·重庆璧山·高三校联考阶段练习）设a＞0，b＞0，若关于x的方程 恰
有三个不同的实数解x，x，x，且x＜x＜x＝b，则a+b的值为______．
1 2 3 1 2 3
例39．（2023·全国·高三专题练习）已知 是 上的偶函数，对于任意的 ，均有
，当 时， ，则函数 的所有零点之和为
______；
【新题速递】
一、单选题
1．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）己知函数 ， ，若 与 图像
的公共点个数为n，且这些公共点的横坐标从小到大依次为 ， ，…， ，则下列说法正确的有
（ ）个
①若 ，则 ②若 ，则
③若 ，则 ④若 ，则
A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·青海海东·统考一模）已知函数 ，且 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．当 时， 在 上是增函数
B．当 时， 在 上是增函数
C． 的单调性与 有关
D．若不等式 的解集是 ，则
3．（2023·青海海东·统考一模）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ，且
，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知函数 ，正实数a，b满足
，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
5．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）若正实数 满足
，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知f（x），g（x）分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且
，若关于x的不等式 在（0，ln 2）上恒成立，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）设 ，函数 是定义在R上的奇函数，且
， 在 单调递增， ，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·辽宁·高三校联考期中）已知偶函数 在区间 上单调递减，则满足
的x的取值范围是（ ）A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知函数 的定义域为R， 为 的导函数，且
， ，若 为偶函数，则下列一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数 、 的定义域均为 ， 为偶函数，且
， ，下列说法正确的有（ ）
A．函数 的图象关于 对称 B．函数 的图象关于 对称
C．函数 是以 为周期的周期函数 D．函数 是以 为周期的周期函数
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，若 ，
均为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 为 上的奇函数， 为偶函数，下列说法正
确的有（ ）
A． 图象关于 对称 B．
C． 的最小正周期为4 D．对任意 都有
13．（2023·全国·高三专题练习）已知 为偶函数，且 为奇函数，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
14．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）已知函数 ，则满足 的x的取值范
围是________．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为 的函数 存在导函数 ，且满足
，则曲线 在点 处的切线方程可以是___________
（写出一个即可）
16．（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数 满足 ，且 在 上是增函数，给出下列几个命题：
① 是周期函数；
② 的图象关于直线 对称；
③ 在 上是减函数；
④ ．
其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，则
___________．
18．（2023·全国·高三专题练习）函数 的极大值为 ，极小值为 ，则
______．
19．（2023·全国·高三专题练习）设 的定义域为 ，且满足 ，若
，则 ___________．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为R，且 为奇函数，其图象关于直线 对
称．当 时， ，则 ____．
