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专题 09 三角函数的图象与性质的综合应用
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：齐次化模型............................................................................................................................2
题型二：辅助角与最值问题................................................................................................................3
题型三：与三角函数有关的最值问题................................................................................................4
题型四：绝对值与三角函数综合模型................................................................................................6
题型五：三角函数的综合性质............................................................................................................8
题型六：换元法配凑角......................................................................................................................11
题型七：三倍角公式..........................................................................................................................13
重难点突破： 的取值与范围问题..................................................................................................14
02 重难创新练....................................................................................................................................19题型一：齐次化模型
1．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，则 ，
.
故选：B.
2．若 ，则 （ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】因为 ,
所以 ，
所以 ，
即 ，
整理得 ，即 ，所以 ，
故选:A.
题型二：辅助角与最值问题
3．（2024·山东·模拟预测）若函数 的最大值为 ，则常数 的一个取值为
．
【答案】 （答案不唯一，满足 即可）
【解析】因为
，
若 ，则 ，所以 或 ，显然不满足 的最大值为 ，
所以 ，
则 ，（其中 ），
依题意可得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，解得 .
故答案为： （答案不唯一，满足 即可）4．设当 时，函数 取得最大值，则 .
【答案】
【解析】对于函数 ，
其中 ， ，
当 时，函数取得最大值，∴ ，即 ，
故 ，则 ，
∴ ， ，
.
∴
故答案为： .
5．已知 的最大值为3，则 .
【答案】
【解析】 ，
由辅助角公式可得 的最大值 ，
化简得 ，即 ，解得 ，
所以， .
故答案为： .题型三：与三角函数有关的最值问题
6．已知 ， ，则 的值域为 .
【答案】
【解析】令 ，
则 ，故 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
令 ，则 在 单调递增，
则当 ，
所以 的值域为 .
故答案为： .
7．已知 为曲线 上的动点，则 的最大值为 .
【答案】 /
【解析】曲线 即 ，
由于 在曲线上，令 ，
则
，
（其中 ， ，不妨设 ），，又 ， ，
当 时 取得最大值 .
故答案为：
8．已知函数 ， 的最大值为 .
【答案】
【解析】由题可得：
由于 ， ，所以 ，
由基本不等式可得：
由于 ，所以
所以 ，即 的最大值为
故答案为
题型四：绝对值与三角函数综合模型
9．（2024·天津·模拟预测）关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数； ② 在区间 上单调递增；
③ 在 上有4个零点； ④ 的值域是 .其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】A
【解析】函数 的定义域为 ，
，
所以 是偶函数，①正确.
当 时， ，
令 ， ，
函数 在区间 上单调递增，
，开口向上，对称轴为 ，故在 上递增，
根据复合函数单调性同增异减可知 在区间 上单调递增，②正确.
，在区间 上， ，
，所以在区间 上， 至少有 个零点，
根据对称性可知， 在区间 上至少有 个零点，所以③错误.
由上述分析可知 ，所以④错误.
综上所述，正确的为①②.
故选：A
10．关于函数 有下述四个结论：其中所有正确结论的编号是（ ）
① 是偶函数；② 在区间 上单调递增；③ 的最大值为1；④ 在区间 上有3个零点.
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
【答案】A
【解析】由函数解析式易得 的定义域 ，
且对任意 ，有 ，
为偶函数，故①正确；
当 ，易得 ， ，
当 时， ，易知此时 单调递增，故②正确；
由函数解析式易得函数 在 ， 上的最大值为2，故③错误；
当 ， 函数 ，有无数解，故④错误．
故选： ．
11．（2024·高三·宁夏石嘴山·期中）已知函数 ，则下列说法错误的是（ ）
A． 是函数 的周期
B．函数 在区间 上单调递增
C．函数 的图象可由函数 向左平移 个单位长度得到
D．函数 的对称轴方程为
【答案】B
【解析】A：因为 ，
所以 是函数 的周期，故A正确；B：∵ ，∴ ，
又 在 上不单调，故B错误；
C：函数 的图象向左平移 个单位长度得到 的图象，故C正确；
D：令 ，得 ，故D正确，
故选：B
题型五：三角函数的综合性质
12．（多选题）已知函数 ，则（ ）
A．对任意的 的最小正周期为
B．存在 ，使得 的图象关于某条直线对称
C．对任意的 是偶函数
D．当 时， 的最小值为
【答案】BCD
【解析】 .
A：当 时，函数 的最小正周期均为 ，故A错误；
B：当 时， ，图象关于直线 对称，故B正确；
C： ，则 ，
，
得 ，所以 为偶函数，故C正确；
D：当 时， ，
当 时，函数 和 同时取到最小值，分别为 和0，
所以 的最小值为 ，故D正确.
故选：BCD.
13．（多选题）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是 的一个周期 B． 的图象关于点 中心对称
C． 在区间 上的零点个数为4 D． 的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A： ，
因为 的最小正周期为 ， 的最小正周期为 ，
所以 的最小正周期为 ，故A正确；
对于B： ，
所以点 是 图象的对称点，故B正确；
对于C：由 ，可得： ，解得： ，
或 =0，解得： ，共5个零点，故C错误；对于D： ，
又 ，令 ，
因为 的周期为 ，所以只需讨论 内的 的最大值，
此时当 时， ，当 时， ，
故当 即 时， 有极大值，
又 ，故D正确.
故选：ABD
14．（多选题）已知函数f (x)=Asin(ωx+φ) 的部分图象如图所示，则（ ）
A． 的最小正周期为
B．当 时， 的值域为
C．将函数 的图象向右平移 个单位长度可得函数 的图象
D．将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点
对称
【答案】AD【解析】对于A：由图可知： ，故A正确，
由 ，知 ，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，所以函数为 ，
对于B：当 时， ，所以 ，故B错误，
对于C，将函数 的图象向右平移 个单位长度，
得到 的图象，故C错误，
对于D：将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到 的图象，
因为当 时， ，
可得到 的图象关于点 对称，D正确.
故选：AD.
15．（多选题）已知函数 的图象关于直线 对称，则（ ）
A．
B． 在区间 上有且仅有2个零点
C． 是奇函数D． 在区间 上单调递减
【答案】ACD
【解析】对于A，函数 的图象关于直线 对称，
则 ，即
因为 ，所以取 ，则 ，故A正确；
对于B， ，
令 ，得 ，所以 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
所以 在区间 上只有一个零点，故B错误；
对于C，因为 ，
所以 为奇函数，故C正确；
对于D，当 时， ，
因为 在 上单调递减，所以 在区间 上单调递减，故D正确．
故选：ACD．
题型六：换元法配凑角
16．（2024·高三·辽宁·期中）已知 为锐角， ，则 ．
【答案】
【解析】因为 为锐角，所以 .若 ，则 ，这与 矛盾，
故 为钝角，故 ，
则
.
故答案为： .
17．已知 ，则 .
【答案】
【解析】
，
则 ，
故
.
故答案为： .
18．已知 ，则 ．【答案】
【解析】由 ，则 ，
又 ，
故答案为： .
题型七：三倍角公式
19．（多选题）已知 ，则 可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】 ，
，
，
，
，
，
，，
或 ， ,
， ，或 ， ，
经检验， 或 符合，其它都不符合.
故选：AB.
20．（2024·安徽芜湖·三模）若不等式 对任意 恒成立，则实数a的取值范围
为 .
【答案】
【解析】由题意转化条件得 对任意 恒成立，令 ，
，求导后，求得 的最小值即可得解.由题意
，
不等式 对任意 恒成立，
对任意 恒成立，
对任意 恒成立，
令 ， ，则 ，
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
， ，即实数a的取值范围为 .
故答案为： .
重难点突破：w的取值与范围问题
21．函数 在 内恰有两个最小值点，则ω的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 在 内恰有两个最小值点， ，
所以最小正周期满足
所以 ，
所以有： ，
故选：B
22．已知函数 ，且 ，则下列陈述不正确的是（ ）
A．若函数 的相邻对称轴之间的距离为 ，则函数 的最小正周期为π
B．若函数 的相邻对称轴之间的距离为 ，则 为 的一条对称轴
C．若函数 在区间 上有三个零点，则 的范围为D．若函数 在 无零点，则 的范围为
【答案】C
【解析】 ， ，则 ， ，
选项A， ，正确；
选项B， ， ， ，
时， ，因此 是函数 图象的一条对称轴，正确；
选项C， 时， 有三个零点，则 ， ，错误；
选项D， 时，因为 ，则 ， 无零点，
，
或 ，
或 ，
若 ，则 ，此时 ， 在 上一定有零点，不合题意，
所以 ，正确．
故选：C．
23．已知 ，（ ），若函数在区间 内不存在对称轴，则 的
范围为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【解析】函数化简得 ，
由 ，
可得函数的对称轴为 ，
由题意知， 且 ，
即 ， ，若使该不等式组有解，
则需满足 ，即 ，又 ，
故 ，即 ，所以 ，又 ，
所以 或 ，所以 ．
24．（2024·高三·四川成都·开学考试）函数 ，已知 在区间
恰有三个零点，则 的范围为 .
【答案】
【解析】由题意可得 ，
令 ，即 恰有三个实根，
三根为：①
，k ，∵ ，∴ ，
∴ 无解；
或 ，
当 时，解得 的范围为 ，
故答案为：
25．（2024·高三·上海·期中）已知 ，集合 ，若存在 ，使得
集合 恰有五个元素，则 的范围取值为 ．
【答案】
【解析】因为 ，
若 ，等价于 或 ，
即 同为最大值点或最小值点，
若 ，则点 ；若 ，则点 ；
据此可知：若集合 恰有五个元素，等价于 在 内有 个最值点 ，
不妨设 ，可知 最值性相同，与 不同，
此时集合B的元素为 ，符合题意，
因为 ，且 ，则 ，
可得 ，解得 ，所以 的范围取值为 .
故答案为： .1．已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
因为 的终边过点 ，所以 ，解得 ，
，
当 时， ，
当 时， ，
综上所述： 或 .
故选：C.
2．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数 的最小正周期为 ，最大
值为 ，则函数 的图象（ ）
A．关于直线 对称 B．关于点 对称
C．关于直线 对称 D．关于点 对称
【答案】C【解析】 ，其中 ，
因为函数的最小正周期为 ，
所以 ，解得 ，
因为函数的最大值为 ，
所以 ，解得 （ 舍去），
所以 ，
因为 ，
所以函数图象不关于直线 对称，也不关于点 对称，故AB错误；
因为 ，
所以函数图象关于直线 对称，不关于点 对称，故C正确，D错误.
故选：C.
3．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 得 ，得 ，
所以 .
故选：D.
4．（24-25高三上·北京朝阳·开学考试）已知函数 在 上恰有4个不同的零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 可得 ，
在同一坐标系中作出 的图象如下：
要使 在 上恰有4个不同的零点，则
且 ，解得 ，
故选：B
5．已知函数 ，若存在实数 ，使得对任意 ，恒有 ，则
的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，
由存在实数 ，使得对任意 ，恒有 ，
所以 的图象关于点 对称，
所以 ，得 ，故 的最小正周期为 .
故选：B6．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ， ，
.
故选：D.
7．（2023·湖南·模拟预测）设 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，
，
，
.
， ， ，
或 ，即 或 （舍去）.
故选：A.
8．已知函数 ，把 图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将
所得图像向左平移 个单位长度，得到函数 的图像，若 ，则 取最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
则 ，
，
当 时，ℎ(x)取最大值，
此时 ．
故选：D
9．（多选题）已知函数 ，则（ ）
A． 为奇函数 B． 的最小正周期为
C． 的图象关于直线 对称 D． 的最大值为
【答案】AD
【解析】 ， 恒成立，则函数的定义域为 ，
则 ，所以 为奇函数，A正确．
，所以 的最小正周期不是 ，B不正确．，所以 的图象不关于直线 对称，C不正确，
，显然 ， 为函数的一个周期，且 ，
由C可知，函数 关于 对称，
当x∈(0,π)时， ，由 ，
设 ，则 在 单调递减，当 时取得最小值，
得 ，所以 ，当 ，即 时取得最大值 ，
当 时， ，所以 的最大值为 ，D正确．
故选：AD
10．（多选题）下图是函数 的部分图象，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．将 图象向右平移 后得到函数 的图象
C． 在区间 上单调递增
D．若 ，则【答案】AC
【解析】对于A，观察图象， ， 的最小正周期 ，解得 ，
由 ，得 ， ，而 ，则 ， ，
所以 ，故A正确；
对于B，将 图象向右平移 后得到函数 ，故B错误；
对于C，当 时， ，
而正弦函数 在 上单调递增，
因此 在区间 上单调递增，故C正确．
对于D，因为 ，取 ，满足条件，
此时 ，故D错误．
故选：AC.
11．（多选题）（24-25高三上·重庆·期末）已知函数 的图象关于直线
对称，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的图象关于点 对称
C． 在 上有最小值 D． 在 上有两个极值点
【答案】ABD【解析】 ，即 ，
而 ，故 ．故 ，
对于选项A：最小正周期 ，正确．
对于选项B： 时， 为 的对称中心，正确．
对于选项C： 时， ，无最小值，错误．
对于选项D： 时， ，结合 的图象可知，有两个极值点，正确．
故选：ABD
12．（多选题）（2024·河南新乡·一模）已知 ，则以下等式可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，当 时，
，
所以 不可能成立，故A错误；
对于B，由 ，得 ，则 ，
则 可能成立，故B正确；
对于C，取 ，
此时 ，
则 可能成立，故C正确；
对于D，由 ，得 ，
则则 ，
则 不可能成立，故D错误.
故选：BC.
13．已知 ，且 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】由 ，得 ，即 ，
则 ．
因为 ，所以 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，从而 的最大值为 ．
故答案为： ．
14．已知 ， ， ， ，则 .
【答案】 /【解析】因为 ， ， ， ，
所以 ， ，即 ， .
故 .
故答案为： .
15．已知 ， ，且 ，则 的最小值为
【答案】
【解析】由 ，得 ，
则 ，
则 .
因为 ，所以 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，
从而 .
又 ，
所以当 取得最大值时， 取得最小值，且最小值为 .
故答案为： .
16．已知函数 在 上有两个不同的零点 ，则 .
【答案】 /
【解析】由 ，得 ，则 在 上有两个不同的解 .
当 时， ，
令 ，则 ， 有两个不同的解 .
易得 关于 对称，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以
.
故答案为： .
