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专题 09 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用
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题型01 y＝Asin(ωx＋φ)的单调性............................................................................................................................1
题型02 y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性............................................................................................................7
题型03 y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换......................................................................................................................18
题型04 根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式.............................................................................................24
题型05 三角函数图像与性质的综合应用.............................................................................................................32
题型 01 y＝Asin(ωx＋φ)的单调性
【解题规律·提分快招】
y=Asin(wx+ϕ)
1、 的单调性
2π
T=
w
（1）最小正周期： .
y=Asin(wx+ϕ)
（2）定义域与值域： 的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值（以下
A>0，w>0
）
π
{ 当wx+ϕ= +2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值A;
2
π
当wx+ϕ=− +2kπ(k∈Z)时，函数取得最小值−A;
2
（4）单调性
π π
{wx+ϕ∈[− +2kπ, +2kπ](k∈Z)⇒增区间；
2 2
π 3π
wx+ϕ∈[ +2kπ, +2kπ](k∈Z)⇒减区间.
2 2
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·云南红河·期末）若函数 ，则函数 的单调递增区间为
（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】先将函数解析式化简整理，得到 ，根据 ，
即可求出结果.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
则函数 的单调递增区间为 ， ，
故选：C
2．（2024·福建泉州·一模）已知函数 的周期为 ，且在区间 内单调递增，则 可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数周期排除AB，根据函数的单调性判断CD即可.
【详解】因为函数 的周期为 ，
所以当 时，对正、余弦函数来说， ，故排除AB，
当 时， ，
因为 在 上单调递增，故C正确，D错误.
故选：C
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）在下列区间函数 单调递减的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出函数 的图象，结合图象，即可求解.
【详解】根据正弦函数 的图象，作出函数 的图象，如图所示，
可得函数 在区间 上单调递减.
故选：C.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 在 上单调递增，则 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据辅助角公式化简，结合单调性与周期的关系可得 ，进而可得 ，
由整体法求解函数的单调增区间，对 进行取值，即可求解.
【详解】 ，周期 ，
因为函数 在 上单调递增，则 解得 ，
此时 ，
则 .
函数 的单调递增区间满足 ，即 ，
当 时， ，不符合，舍去，当 时， ，此时 ，解得 .
当 时， ，不符合题意舍去，
综上可知 最大值为
故选：C
5．（2024·天津河北·一模）关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数；
② 在区间 上单调；
③ 的最大值为 ，最小值为 ，则 ；
④ 最小正周期是 .
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①由偶函数的概念可判断；②先整理当 时， ，根据
f (x)=Asin(ωx+φ)的单调性可得；③先去绝对值，分别根据单调性求函数的最值即可；④根据周期函数
的概念可得.
【详解】函数 的定义域为 ，因为 ，
故 是偶函数；
当 时， ，此时 ，
对于 ，令 ，得 ，
令 ，得 ，
又 ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，故②错误；
当 时 ， ，
由②可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，此时 的最大值为 ，最小值为 ，
当 时， ， ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时 的最大值为 ，最小值为 ，
故 ， ， ，故③正确；
由③可知 ，
又 ，
故④正确；
故选 ：C
二、填空题
6．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知 ，设函数 ，则 的单调递减区间
是 ．
【答案】 （开区间，半开半闭区间也正确）
【分析】根据正弦函数的性质结合条件即得.
【详解】依题意 ，因为函数 在 上单调递减，
令 ，解得 ，
所以 的单调递减区间是 ．
故答案为： ．
7．（24-25高三上·天津·阶段练习）函数 在 的单调递减区间是【答案】 和
【分析】 ，求得 在 的单调递增区间即可.
【详解】 ，
故 的单调递增区间即为 的减区间，
由 ，得 ，
又 ，所以 或 ，
所以函数 在 的单调递减区间是 和 .
故答案为： 和 .
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，则函数 的值域为 .
【答案】
【分析】利用三角函数值域以及二次函数单调性计算可得结果.
【详解】因为 ，所以 ，
易知
当 时， ，
当 时， ，
可得函数 的值域为 .
故答案为：
9．（23-24高三上·安徽·开学考试）写出函数 ， 的一个单调递增区间为
.
【答案】 ， 或 ， 等
【分析】根据函数的奇偶性以及正弦型函数的单调区间公式得出结果.
【详解】因为 ，所以 为偶函数，
由 ， ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，
由对称性可知在 上单调递增.
故答案为： ， 或 ， 等.
10．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数 ，则当 时 的最
大值为 ．
【答案】
【分析】利用三角恒等变换公式化简，然后由正弦函数性质求解可得.
【详解】
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
题型 02 y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性
【解题规律·提分快招】
y=Asin(wx+ϕ)
1、 的对称性和奇偶性π
{当wx +ϕ=kπ+ (k∈Z)，即sin(wx +ϕ)
0 2 0
¿±1时，y=sin(wx+ϕ)的对称轴为x=x
0
当wx +ϕ=kπ(k∈Z)，即sin(wx +ϕ)=0
0 0
时，y=sin(wx+ϕ)的对称中心为(x ,0).
0
正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与x轴交点的位置.
2、对称与周期
T
(1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是 ；
2
T
(2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是 ；
2
T
(3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离4 ；
3、函数具有奇、偶性的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·云南昆明·期中）下列函数中，是奇函数且最小正周期为1的函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可.
【详解】对A，其最小正周期为 ，故A错误；
对B，设 ，且 ，解得 ，
其定义域为 ，关于原点对称，其最小正周期为 ，故B正确；
对C，其最小正周期为 ，故C错误；
对D，设 ，定义域为 ，关于原点对称，
则 ，则其为偶函数，故D错误.
故选：B.2．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则 是（ ）
A．奇函数且最小正周期为 B．偶函数且最小正周期为 C．奇函数且最小正周期为
D．偶函数且最小正周期为
【答案】A
【分析】利用三角降幂公式和诱导公式将函数 化简为 ，即可判断奇偶性和周期性.
【详解】因 ，
故 为奇函数，且最小正周期为 .
故选：A.
3．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数 ，其中正确的是 （ ）
A． 的最小正周期为 ；
B． 的图象关于直线 对称；
C． 的图象关于点 对称；
D． 在区间 上单调递增.
【答案】D
【分析】根据三角函数万能恒等变换化简，然后结合三角函数图象的性质逐项判断.
【详解】根据三角函数万能变换公式， ,
选项A： 的最小正周期为 ；
选项B：令 所以 的图象关于点 对称；
选项C：令 所以 的图象关于直线 对称；
选项D： ，根据正弦函数的图象性质， 在区间 上单调递增.
故选：D.
4．（2024·全国·模拟预测）函数 的部分图象为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用排除法，根据函数奇偶性排除A；分别取 ， ，结合函数符号排除CD.
【详解】由题意可知： 的定义域为R，关于原点对称，
且 ，
所以 为奇函数，其图象关于原点对称，排除A；
当 时， ，所以 ，排除D；
当 时， ，所以 ，排除C．
故选：B．
5．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数 有下列结论：
①最小正周期为 ；
②点 为 图象的一个对称中心；
③若 在区间 上有两个实数根，则实数a的取值范围是 ；
④若 的导函数为 ，则函数 的最大值为 .
则上述结论正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．①③④
【答案】C
【分析】根据正弦型函数的性质判断①，②，③，然后求导，利用辅助角公式判断④即可.
【详解】由题可知最小正周期为 ,故①正确；
根据正弦型函数的性质可知， 的对称中心横坐标满足 ，显然 ，故②不正确；
因为 ，所以 ，
由复合函数的单调性可知，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 有最大值为1
，
所以要使 在区间 上有两个实数根
则 ，故③错误;
由题得 ，
所以
其中 ，所以 的最大值为 ，故④正确.
故选：C
6．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数 的最小正周期为 ，最大
值为 ，则函数 的图象（ ）
A．关于直线 对称 B．关于点 对称
C．关于直线 对称 D．关于点 对称
【答案】C
【分析】先利用辅助角公式化简，再根据周期性求出 ，根据最值求出 ，再根据正弦函数的对称性逐一
判断即可.
【详解】 ，其中 ，
因为函数的最小正周期为 ，
所以 ，解得 ，因为函数的最大值为 ，
所以 ，解得 （ 舍去），
所以 ，
因为 ，
所以函数图象不关于直线 对称，也不关于点 对称，故AB错误；
因为 ，
所以函数图象关于直线 对称，不关于点 对称，故C正确，D错误.
故选：C.
7．（24-25高三上·河北邢台·期中）函数 的所有零点的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的零点与两函数的交点横坐标的关系，借助于函数图象的对称性，即可求得.
【详解】由 可得 ，
则函数 的零点即函数 与函数 在 上的交点的横坐
标.
对于函数 ，其最小正周期为 ，
当 时，函数单调递减，函数值从3减小到-3,
当 时，函数单调递增，函数值从-3增大到3.
类似可得函数 在区间 上的图象变化情况.
如图分别作出 和 在 上的图象如下.由图可知，两函数在 上的图象关于直线 对称，
故两者的交点 与 也关于直线 对称，
故
即函数 的所有零点的和为
故选：C.
8．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知函数 的图象关于直线 对称，则当
时，曲线 与 的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】借助辅助角公式结合正弦型函数对称性可得 ，再画出 与 图象在同一坐标系中即可
得解.
【详解】 ，其中 ，且 ，
则有 ，解得 ，即 ，
则 ，即 ，
画出 与 图象如图所示：由图可知，曲线y=f (x)与 的交点个数为 .
故选：B.
9．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，对于任意的 ，
， 都恒成立，且函数 在 上单调递增，则 的值为
（ ）
A．3 B．9 C．3或9 D．
【答案】A
【分析】根据正弦型函数的单调性先确定周期的取值范围，从而缩小 的取值范围，结合正弦型三角函数
的对称性可得符合的 的取值为 或9，分类讨论验证单调性即可得结论.
【详解】设函数 的最小正周期为 ，因为函数 在 上单调递增，所以 ，得
，因此 ．
由 知 的图象关于直线 对称，则 ①．
由 知 的图象关于点 对称，则 ②．
② ①得 ，令 ，则 ，
结合 可得 或9．
当 时，代入①得 ，又 ，所以 ，
此时 ，因为 ，故 在 上单调递增，符合题意；
当 时，代入①得 ， ，又 ，所以 ，
此时 ，因为 ，
故 在 上不是单调递增的，所以 不符合题意，应舍去．综上， 的值为3．
故选：A.
10．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数 的最小正周期为 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 是 图象的一个对称中心
C． 是 的一个对称轴 D． 的值域为
【答案】D
【分析】先根据最小正周期为 ，求出 ，确定 的解析式，画出函数图象，判断函数的奇偶性，
对称性，求出一个周期内函数值的范围，然后对选项中的结论逐一分析即可得结论.
【详解】函数 的最小正周期为 ，所以 ，
从而
即 ，其图象如图所示，
由图象知 先减后增，故A错误；
，
不是 的一个对称中心，，故B错误；
，
不是 的一条对称轴，因此答案C错误；
时 ，此时 ，因为 是偶函数，所以 时 ，
又因为函数 的最小正周期为 ，所以 的值域为 ，D正确.
故选：D.
二、填空题
11．（2024·贵州毕节·三模）已知函数 的最小正周期为 ，则函数 图象的
一条对称轴方程为 ．
【答案】 （答案不唯一，符合 均为正确答案）
【分析】求出 ，求出 即可求出对称轴方程.
【详解】因为函数 的最小正周期为 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
令 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
12．（24-25高三上·湖北·阶段练习）若 是偶函数，则实数 的值为
.
【答案】
【分析】由函数 是偶函数，则 ，代入计算并验证即可求出 .
【详解】函数 是偶函数，则 ,
,
化简可得 .
当 时，则所以 ，则 ，
所以函数 是偶函数，则 .
故答案为：
13．（2025高三·全国·专题练习）已知函数 在 上有两个不同的零点 ，
则 .
【答案】 /
【分析】由 得 ，令 ，则 ， 有两个不同的解 ，
易得 关于 对称，所以 ，即 得 ，由
可得答案.
【详解】由 ，得 ，
则 在 上有两个不同的解 .
当 时， ，
令 ，则 ， 有两个不同的解 .
易得 关于 对称，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以
.
故答案为： .14．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数 的值域为 ，则
．
【答案】2
【分析】令 ，由 的奇偶性，得到 ，进而得到
，即求得 的值.
【详解】令 ， 的定义域关于原点对称，
，
所以 为奇函数， ，
， ，即 .
故答案为：2.
15．（24-25高三上·北京丰台·期末）已知函数 ， ， ， ，
则 ；方程 的所有实数解的和为 .
【答案】 0 16
【分析】代入计算可得第一空，利用图象的对称性可求所有实数解的和.
【详解】 ，
而 ，
，故f (x),g(x)的对称中心为 ，
在平面直角坐标系中，画出 和 在 上的图像，
由图象可得 的图象在 上共有4个不同的交点，
它们的横坐标的和为 ，
故答案为：0；16题型 03 y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换
【解题规律·提分快招】
y=Asin(wx+ϕ)
1、 的平移与伸缩
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤
注：每一个变换总是对变量x而言的，即图像变换要看“变量x”发生多大变化，而不是“角
wx+ϕ
”变
化多少.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）将函数 图象上所有的点向左平移 个单位长
度，再把所有点的横坐标变为原来的 后，得到函数 的图象，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象变换规律可得函数 的解析式，进而可得函数值.
【详解】函数 图象上所有的点向左平移 个单位长度，
得到函数 ，
再把所有点的横坐标变为原来的 后得到函数 ，
所以 .
故选：A.
2．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）要得到函数 的图象，只要将函数 的图象（ ）
A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】D
【分析】根据三角函数图象平移变换法则判断，注意化为同名函数．
【详解】 ，
所以将函数 的图象向右平移 个单位即得函数 的图象，
故选：D．
3．（24-25高三上·吉林·期中）将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到
的图象，则 在 上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换得到 ，得到平移后的解析式，即 ，整体法求
出函数的值域.
【详解】 ，
图象向左平移 个单位长度，得到 ，
上， ，
则 在 上的值域为 .
故选：C.
4．（24-25高三上·广西·期末）将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数
的图象，若曲线 关于直线 对称，则 的最小正周期的最大值为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】首先根据函数的性质求 的集合，再根据三角函数的最小正周期公式，即可求解.
【详解】函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 ，
函数的图象关于直线 对称，
所以 ，得 ,
所以 的最小值是4，则 的最小正周期的最大值为 .
故选：A
5．（24-25高三上·山东·阶段练习）把函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不
变，再把所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，且 的图象关于点 中
心对称，则函数 的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】依次由各选择支函数根据平移变换求出 的解析式，再代值验证对称性可知.
【详解】对于选项A，若 ，
则把函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到 ，
再把所得曲线向左平移 个单位长度，得到 ，
由 ，故 图象不关于点 中心对称，故A错；
对于选项B，若 ，
则把函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到 ，
再把所得曲线向左平移 个单位长度，得到 ，由 ，故 图象不关于点 中心对称，故B错；
对于选项C，若 ，
则把函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到 ，
再把所得曲线向左平移 个单位长度，得到 ，
由 ，可知 图象关于点 中心对称，故C正确；
对于选项D，若 ，
则把函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到 ，
再把所得曲线向左平移 个单位长度，得到 ，
由 ，
故 图象不关于点 中心对称，故D错.
故选：C.
6．（24-25高三上·山东淄博·期末）把函数 的图象向右平移 个单位长度，再把图象上所有点的
横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数 的图象，则函数 的零
点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据图像变换可得 ，构建 ，利用导数判断其单调性，结合单调性分
析零点.
【详解】将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，可得
，
再将 的图象向左平移 个单位长度，可得 ，即 ，
令 ，则 对任意x∈R恒成立，
可知函数y=g(x)在R上单调递增，且 ，
所以函数 的零点的个数为1.
故选：B.
7．（24-25高三上·天津和平·期末）已知函数 的两条相邻对称轴之间的距离为
，现将 图象向右平移 后得到函数 的图象，若函数 在区间 上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由两条相邻对称轴之间的距离可得 周期，即可得 ，由平移性质即可得 ，再借助正弦
型函数单调性计算即可得解.
【详解】由函数 的两条相邻对称轴之间的距离为 ，则有 ，
则 ，又 ，则 ，
则 ，
当 时， ，
由函数 在区间 上单调递增，则有 ，
则有 ，解得 ，
则当 时， ，又 ，故 .
故选：B.
二、多选题
8．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知函数 ，则（ ）A． 的最大值为2
B． 在 上单调递增
C． 在 上有2个零点
D．把 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象关于原点对称
【答案】AC
【分析】根据诱导公式化简 ，则可判断A选项；整体代入法计算 的范围可判断
BC选项；由图象的平移可判断D选项．
【详解】函数
．
选项A： ，故 最大值为2，A正确；
选项B： 时， 不单调递增，故B错误；
选项C： 时， ，可知当 以及 时，
即 以及 时， 在 上有2个零点，故C正确；
选项D： 的图象向左平移 个单位长度，得到 ，不关于原点对称，
故D错误.
故选：AC．
9．（24-25高三上·吉林四平·期末）已知函数 ，将函数 的图象先向右平移
个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 为偶函数
B．
C．D．函数 的图象的对称轴方程为
【答案】ACD
【分析】整理可得 ，根据平移整理得 ，结合余弦函数得对称轴
求解．
【详解】对于A，由已知得 ，
由 ，得 为偶函数，故A正确；
对于B，C，可得 ，故C正确；
对于D，令 ， ，可得 ，故D正确.
故选：ACD.
题型 04 根据图像求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【解题规律·提分快招】
1、根据图像求解析式一般步骤
①根据最高最低点求出A
2π
ω，ω=
②根据周期算出 T ,题目一般会提供周期的一部分
③通过带最高或最低点算出φ
【典例训练】
一、多选题
1．（24-25高三上·山东济宁·期末）已知函数 的部分图象如图所示，则下
列说法正确的是（ ）
A． B． 在 上单调递增
C． 在(0,π)上有两个极值点 D．点 是曲线y=f (x)的一个对称中心【答案】BC
【分析】利用余弦函数的性质，结合图象求得 可判断A，利用整体法，结合余弦函数的性质可判断
BC，利用代入检验法可判断D，从而得解.
【详解】对于A，因为 经过点 ，
所以 ，即 ，
又 的图象在点 附近呈递增状，
则 ，即 ，所以 ，故A错误；
对于B，由选项A可得 ，
由 ，得 ，
而 在 上单调递增，故 在 上单调递增，故B正确；
对于C，由 ，得 ，
而 在 上单调递增，在(0,π)上单调递减，
所以 在 有两个极值点，则 在(0,π)上有两个极值点，故C正确；
对于D，因为 ，
所以点 不是曲线y=f (x)的对称中心，故D错误.
故选：BC.
2．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数 的部分图象如
图所示，令 ，则下列说法正确的有（ ）A． 的最小正周期为
B． 的对称轴方程为
C． 在 上的值域为
D． 的单调递增区间为
【答案】ACD
【分析】先利用图象求出 的解析式，然后利用三角恒等变形公式化简 ，对于A选项，直接求周
期；对于B选项，令 求对称轴；对于C选项，求出 的范围，再利用余弦求范围；
对于D选项，令 可求单调递增区间.
【详解】对于函数 ，
由图可知 ，函数 的最小正周期为 ，则 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
解得 ，又 ，所以 ，则 ，
所以
，
对于A选项， 的最小正周期为 ，A 正确；
对于B选项，对于 ，令 ，解得 ，函数 的对称轴方程为 ，B错误；
对于C选项，当 时， ，所以 ，
即 在 上的值域为 ，C正确；
对于D选项，令 ，
解得 ，
即 的单调递增区间为 ，D正确.
故选：ACD.
3．（24-25高三上·湖南·期中）已知函数 的部分图象如图所示，则
（ ）
A．
B．
C． 的图象关于点 对称
D． 的图象关于直线 对称
【答案】BD
【分析】根据图象结合周期性和最值求 ，即可判断AB；可得 、 的解析式，
直接代入运算判断对称性，即可判断CD.
【详解】设 的最小正周期为 ，
则 ，即 ，且 ，则 ，解得 ，故B正确；
则 ，
因为 ，可得 ，
又因为 ，则 ，
可得 ，解得 ，故A错误；
所以 ，
对于选项C：因为 ，
所以 的图象关于点 对称，故C错误；
对于选项D：令 ，
因为 （为最小值），所以 的图象关于直线 对称，故D正确；
故选：BD.
4．（24-25高三上·河南·期中）函数 的部分图象如图所示，直线
与 图象的其中两个交点的横坐标分别为 ， ，则（ ）
A． B．
C． 的图象关于 轴对称 D． 在 上的最小值为
【答案】ABD
【分析】由图象可得 的周期，由周期与 的关系求 ，由 ，结合 求 ，结合函数图象变换及正弦型函数的对称性判断C，求 的范围，结合余弦函数的性质判断函数 的单调性，
由此求其最小值，判断D.
【详解】A：由题意得 的周期为 ，又 ，
所以 ，故 A 正确；
B：因为 ，所以 ，又
所以 ，又 ，观察图象可得 ，
所以 ，故B正确；
C：由B知 ，
所以 ，
所以 的图象不关于 轴对称，故C错误；
D：由 ，得 ，
因为 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，
所以 的最小值为 ，故D正确.
故选：ABD.
5．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知函数 的部分图象如图所示，
， ， ，则（ ）A． B．
C． 为奇函数 D．当 在 上恰有4个零点时，
【答案】ABD
【分析】A选项，由图象可得 ，从而求出 ；B选项，由 计算出 ，解得
；C选项，求出 ，根据 得到C错误；D选项，得到
，数形结合得到 ，解得 ，D正确.
【详解】A选项，由图象可知 和 为相邻的两个最大值点和最小值点，
设 的最小正周期为 ，则 ，故 ，
又 ，故 ，A正确；
B选项，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ，B正确；
C选项， ，
故 ，
由于 ，故 ，
显然 不为奇函数，C错误；D选项， 时， ，
在 上恰有4个零点，故 ，
解得 ，D正确.
故选：ABD
6．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数 的图象如图所示，
的导函数为f′(x)，令g(x)=f′(x)，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 图象的对称轴方程为
C．函数 在区间 上有2024个零点
D．函数 与 的图象关于点 对称
【答案】AD
【分析】首先根据图象求得 ，即可得 ，再结合正余弦函数的
性质依次判断各项的正误.
【详解】由图象知 ，设 的最小正周期为 ，则 ，解得 ，
由图得 ，又 ，所以 ，故 ，
从而 ；
A， ，正确；B，由 ，得 ，
所以函数 图象的对称轴方程为 ，错误；
C，由 ，得 ，故 ，即 ， ，
故ℎ(x)在区间 上有零点2025个，错误；
D，若函数 与 的图象关于点 对称，则 恒成立，
即 ，又 ， ，
则 ，应用和差化积公式可得 ，
故 ，得 ，
所以函数 与 的图象关于 成中心对称，正确．
故选：AD
【点睛】关键点点睛：对于D，假设存在 ，整理得
，进而找到满足要求的点为关键.
题型 05 三角函数图像与性质的综合应用
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的部分图象如图，则
（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A【分析】整理 ，其中 ，由图中最值可得 ，利用对称轴和相
邻零点的距离求得 ，根据顶点求得 ，进而可得 ，即可求解.
【详解】 ，其中 ，
令 ，设其周期为 ，结合题中的图可知 ①， ，则
，
所以 ，把点 的坐标代入 ，
得 ，则 ，
所以 ，则 ②，
由①②及 ， ，得 .
故选：A.
2．（2024·广东·模拟预测）已知 ，其中相邻的两条对称轴的距离为 ，且
经过点 ，则关于 的方程 在 上的不同解的个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】把方程解的个数问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而利用数形结合可找到答案.
【详解】由已知相邻两条对称轴的距离为 ，可得 ，又 ，可得 ，
由函数 经过点 ，则 ，即 ，
又 ，可得 ，所以 ，
因为函数 的最小正周期为 ，
所以函数 的最小正周期为 ，
所以在 函数 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点，故选：A.
3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数 ，则下列命题正确的是（ ）
A． 是以 为周期的函数
B．直线 是曲线 的一条对称轴
C．函数 的最大值为 ，最小值为
D．函数在 上恰有2024个零点
【答案】C
【分析】对于A，用周期性定义验证即可；对于B,用对称性定义验证即可；对于C,易知 是函数 的
一个周期，所以只需考虑 在 上的最大值.结合换元和二次函数，正弦函数最值问题求解即可；
对于D,先研究函数 在 上的零点个数，再用周期性拓广即可.
【详解】对于A,因为 与 不恒相等，所以 不是 的周期，故A错误；
对于B,又 与 不恒相等，故B错误；
对于C,易知 是函数 的一个周期，所以只需考虑 在 上的最大值.
①当 时， ，令 ，
则 ，易知 在区间 上的最大值为 ，最小值为
，
②当 时， ,令 ，
则 ，知 在区间 上的最大值为 ，最小值为
，
综上所述函数 的最大值为 ，最小值为 ，故C正确；对于D,先研究函数 在 上的零点个数，由C可知,当 时，令 得 ，
又因为 ，在 只有唯一解，即此时函数只有唯一零点.
同理可得当 时函数也只有唯一零点.所以函数在 上恰有2025个零点.故D错误.
故选:C.
二、多选题
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知 ，其中相邻的两个极值点的距离为
，且 经过点 ，则（ ）
A．
B．
C． 时， 的值域为
D． 时， 与 的交点数为 个
【答案】AB
【分析】选项A，根据极值点的距离可得 ，可求出 ，即可判断选项A的正误；选项B，利
用函数过点 ，代入解析式得 ，结合 及特殊角的三角函数值，可得 ，即可判断选项
B的正误；选项C，由选项A和B，可得函数解析式，再根据自变量范围可得 ，即可判断选
项C的正误，选项D，作出函数 和 图像，数形可得交点个数，即可示解.
【详解】对于选项A，由已知相邻两个极值点的距离为 ，可得 ，
又 ，解得 ，所以选项A正确；
对于选项B，由函数 经过点 ，得到 ，即 ，
又 ，可得 ，所以选项B正确；
对于选项C，由选项A和B知， ，当 时， ，则 ，所以 ，所以选项C错误；
对于选项D，因为函数 的最小正周期为 ，函数 的最小正周期为 ，
所以在 上，函数 有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，
如图所示，由图可知，两函数图象有 个交点，所以选项D错误；
故选：AB.
三、填空题
π
5．（2024·北京西城·二模）已知函数f (x)=sin(ωx+φ) ( ω>0,|φ|< ) ，直线 与曲线y=f (x)的
2
两个交点 如图所示.若 ，且 在区间 上单调递减，则 ； .
【答案】 2
【分析】根据 和 ，可构造方程求得 ，并确定 为半个周期，根据正弦函数单
调性可构造方程组求得 .
【详解】设 ， ，
由 得： ， ，
又 ， ，解得 .此时 的小正周期 ，
， 在区间 上单调递减，
和 分别为 单调递减区间的起点和终点，
当 时， ，
， ，
又 ， ，
综上所述： ， .
故答案为：2， .
6．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）定义函数 ，给出下列四个命题：
（1）该函数的值域为
（2）当且仅当 时，该函数取得最大值
（3）该函数是以 为最小正周期的周期函数
（4）当且仅当 时， .
上述命题中正确的序号是 .
【答案】（4）
【分析】作出函数 的图象，利用图象逐项判断即可.
【详解】因为 ，
对于（3），当 时， ，
当 时， ，所以函数 为周期函数，
作出函数 的图象（图中实线）如下图所示：结合图形可知，函数 的最小正周期为 ，（3）错；
对于（1），由图可知，函数 的值域为 ，（1）错；
对于（2），由图可知，当且仅当 或 时，
函数 取得最大值1，（2）错；
对于（4），由图可知，当且仅当 时， ，（4）对.
故答案为：（4）.
一、单选题
1．（24-25高三上·陕西榆林·期末）已知函数 ，则（ ）
A． 在区间 上单调递增 B． 在区间 上单调递减
C． 在区间 上单调递增 D． 在区间 上单调递减
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换得 ，利用正弦函数的单调性逐项判断即可.
【详解】
对于AB，当 时， ，而正弦函数 在 上先递增后递减，
因此函数 在区间 上不单调，AB错误；
对于CD，当 时， ，而正弦函数 在 上单调递减，因此 在区间 上单调递减，C错误，D正确.
故选：D
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数 （ ）的最小正周期为 ，则
在 的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【分析】先利用最小正周期求出 的值，再根据正弦函数的图象和性质求解最小值即可.
【详解】因为函数 的最小正周期为 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
当 时， ，
由正弦函数的图象和性质可知当 即 时， 取最小值，
故 的最小值为 .
故选：C
3．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数 ，为了得到 （ 为
的导函数）的图象，则只需要将函数 图象上的点（ ）
A．向左平移 个单位长度，纵坐标缩短为原来的
B．向左平移 个单位长度，纵坐标不变
C．向左平移 个单位长度，纵坐标缩短为原来的
D．向左平移 个单位长度，纵坐标不变
【答案】B
【分析】由导数求出 的解析式，并化为“ ”型函数，然后由图象变换得结论．
【详解】 ，则所以将函数y=f (x)图象上的点向左平移 个单位长度，纵坐标不变可得 的图象.
故选：B．
4．（24-25高三上·上海·期中）已知函数 为偶函数，则 的对称中心为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得 ，进而可得 的解析式，从而可求对称中心.
【详解】因为 为偶函数，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，
由 ，解得 ，
所以 的对称中心为 .
故选：B.
5．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数 的部分图象
如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A． 的最小正周期为
B．当 时， 的值域为C．将函数 的图象向右平移 个单位长度可得函数 的图象
D．将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点
对称
【答案】B
【分析】先根据 中 ， ， 的几何意义，求得 的解析式，再结合正弦函数的图
象和性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可.
【详解】对于A，由图可知， ，函数 的最小正周期 ，
故A正确；
由 ， ，知 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
即 ， ，
又 ，所以 ，所以 ，
对于B，当 时， ，
所以 ，故B不正确；
对于C，将函数 的图象向右平移 个单位长度，
得到 的图象，故C正确；
对于D ，将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到 的图象，
因为当 时， ，
所以得到的函数图象关于点 对称，故D正确.
故选：B.6．（2024·陕西商洛·一模）已知函数 ，且 是奇函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可知 ，可求出 的值，然后利用辅助角公式化简函数 的解析式，验证
为奇函数即可.
【详解】因为函数 为奇函数，即 ，
且函数 的定义域为 ，所以， ，
可得 ，解得 ，
所以， ，
则 为奇函数，合乎题意.
因此， .
故选：A.
7．（2024·西藏拉萨·二模）已知函数 的部分图象如图， 是相邻的
最低点和最高点，直线 的方程为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据直线方程，结合两点斜率公式，求出 ，得到最小正周期，求出 ，再将代入，求出 ，得到解析式，再代值计算即可.
【详解】连接 ，与 轴交于点 ，由 图象的对称性，知点 也在函数 的图象上，所以点 的
坐标为 .设 ，由 ，得 ，所以 的最小正周期 满足
，解得 ，即 ，解得 ，
所以 .
因为点 是 图象的一个最高点，所以 ，结合 ，解得 ，
所以 ，所以 .
故选：D.
8．（2024·上海奉贤·一模）函数 ，则下列命题正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．函数定义域是
C．函数最大值 D．函数的最小正周期为
【答案】C
【分析】求出函数 的定义域，可判断AB选项；利用二倍角的正弦公式以及正弦函数的有界性可判断
C选项；利用正弦型函数的周期性可判断D选项.
【详解】设 ，由 可得 ，
所以，函数 的定义域为 ，定义域不关于原点对称，
所以，函数 不是偶函数，A错B错；
当 时，则
，
当且仅当 时，即当 时，函数 取最大值 ，C对；
因为 ，
结合函数 的定义域可知，函数 的最小正周期为 ，D错.故选：C.
9．（24-25高三上·天津·阶段练习）函数 的图像与 轴的两个相邻交
点的距离是 ，若将 的图象向左平移 个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，
纵坐标不变，得到 的图象，则 的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先利用辅助角公式将函数化简，结合函数的周期求出 ，即可求出 解析式，再根据三角
函数的变换规则计算可得.
【详解】因为 ，
又函数 的图象与 轴的两个相邻交点的距离是 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
将 的图象向左平移 个单位长度得到 ，
将 所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到 ，
即 .
故选：A
10．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数 的部分图象如
图所示，将函数 的图象先向右平移 个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不
变），得到函数 的图象，若关于 的方程 在 上有两个不等实根，则实数 的
取值范围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先根据三角函数的图象与性质计算即可得 表达式，先根据三角函数的图像变换得
，结合正弦函数的单调性、对称性可判定m的取值范围.
【详解】由函数 的部分图象可知， ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，
由 可得 ，所以 ，
将 的图象向右平移 个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到
的图象，令 ，由 ，可得 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，
因为关于 的方程 在 上有两个不等实根，
即 与 的图像在 上有两个交点，
即 与 在 上有两个交点，
所以实数 的取值范围为 ，故选：B.
11．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数 的部分图象如图所示，其
中 ， ，则以下说法正确的个数为（ ）
①函数 的最小正周期是 ；
②函数 的图象关于直线 对称；
③把函数 图像上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，得到 的图象；
④当 时，
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据函数图象求出 的解析式，再根据正弦函数的图象性质逐一判断即可.
【详解】由图象知： ，解得 ，故①错误；
所以 ，解得 .
将 代入 得 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ， .
当 时， ，
所以函数 的图象关于直线 对称，故②正确；把函数 图像上的点横坐标缩短为原来的 ，
得到 ，故③正确；
当 时， ，
， ，故④错误.
所以说法正确的是②③.
故选：C.
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，其中
， ，则（ ）
A． B．
C．直线 是 图象的一条对称轴D． 是 图象的一个对称中心
【答案】D
【分析】根据周期性求出 ，根据函数过点 求出 ，即可得到函数解析式，再根据余弦函数的性
质判断即可.
【详解】依题意 ，又 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
又函数过点 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，故A、B错误；
又 ，所以 不是 的对称轴，故C错误；
，所以 是 图象的一个对称中心，故D正确.
故选：D
二、多选题
13．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）把函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐
标不变，再向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A． 的最小正周期为 B．
C． 在 上单调递增 D． 关于直线 对称
【答案】BCD
【分析】利用三角函数图象的变换先得y=f (x)的解析式，利用三角函数的性质一一判定选项即可.
【详解】易知 ，
显然 的最小正周期为 ，故A错误；
而 ，故B正确；
当 时， ，显然此时 单调递增，故C正确；
当 时， ，此时 取得最大值，即 关于直线 对称，故D正确.
故选：BCD.
14．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数 与 ，下列说法正确的是
（ ）
A．将 的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，并向左平移 个单位可以得到 的图象
B． 与 的图象存在相同的对称中心C． 与 在区间 上单调性相同
D．当 时， 与 的图象有且仅有 个交点
【答案】ACD
【分析】根据三角函数图像平移，正弦函数的对称中心和单调性，以及化简求值，即可逐个选项判断.
【详解】对于A，将 的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，得到 ，
再将 向左平移 个单位，得 的图象，A正确；
对于B， 的图象对称中心的横坐标满足 ，
又 的图象对称中心横坐标满足 ， ，
解得 ，两个方程无公共解，
所以两个函数图象不存在相同的对称中心，选项B错误；
对于C，令 ，则 ，
则 与 在区间 上均单调递增，故选项C正确；
对于D，令 ，得 或 ，
解得 或 ，
所以 时，零点有 ，共有 个，选项D正确.
故选：ACD
15．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数 的部分图象如图所
示，则（ ）
A．B．
C．函数 的图象与直线 的相邻两交点间的距离为
D．
【答案】ABD
【分析】A由图象可确定 ，即可判断选项正误；BD验证 是否满足选项描述即可判断选项正误；
C解方程 ，验证相邻根的差值即可判断选项正误.
【详解】由图可得 ， ，
，因 ，取 ，
对于A， ，故A正确；
对于B， ，
则 ，
，
即 ，故B正确；
对于C，令
或 ，得 或 ，其中 ，
分别取 ，得 相邻的三个根为 ，
则相邻根的差值即 的图象与直线 的相邻两交点间的距离为 或 ，故C错误；
对于D， ，
，则 ，故D正确.
故选：ABD
16．（2024·全国·模拟预测）已知 ，若 ，使得
，则 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】由辅助角公式可得 ，后由 图象可得
范围，即可得答案.
【详解】 ，
因为 ，使得 ，所以 ，
令 ，作出函数 在 上的图象，如图所示：
①当函数 的图象与函数 的图象相交时，前三个交点的横坐标依次为 ，
此时 取得最小值， ，所以 ；
②当函数 的图象与函数 的图象相交时，前三个交点的横坐标依次为 ，
此时 取得最大值， .
则 ，故只有BC选项满足条件.
故选：BC．
17．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数 的最大值为 ，其部分图象
如图所示，则（ ）A．
B．函数 为偶函数
C． 在 上恰有4个零点，则
D．当 时，函数 的值域为
【答案】ABC
【分析】对于A：根据函数周期分析判断；对于B：根据函数最值分析判断；对于C：令 ，可得
，以 为整体，结合正弦函数性质分析判断；对于D：整理可得 ，结合正
切函数分析求解.
【详解】对于选项A：因为 ，
由图象可知：函数 的最小正周期 ，
且 ，则 ，解得 ，可得 ，故A正确；
对于选项B：由图可知：当 时，函数 取到最大值，
则 ，
整理可得 ，解得 ，
则 ，
所有 为偶函数，故B正确；
对于选项C：令 ，可得 ，因为 ，则 ，
若 在 上有4个零点，
则 ，解得 ，故C正确；
对于选项D：因为 ，
又因为 ，则 ，可得 ，
所以函数 的值域为 ，故D错误；
故选：ABC.
三、填空题
18．（24-25高三上·全国·课后作业）函数 的单调递增区间为 ．
【答案】
【分析】利用正弦函数的奇偶性整理函数，根据整体思想，结合正弦函数的单调性，建立不等式组，可得
答案.
【详解】 ，
要求 的单调递增区间，即求 的单调递减区间，
令 ，解得 ，
令 ，又 ，故函数 的单调递增区间为 ．
故答案为： .
19．（24-25高三上·河北承德·期中）已知函数 的图象的一条对称轴为直线 ，则函数
的零点的最小正值为 ．
【答案】
【分析】根据辅助角公式可得 ，即可根据对称求解 ，进而根据求解.
【详解】 ， ，
令 ，则 ，
得 ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，得 ，由 可得 ．
故答案为： ．
20．（24-25高三上·山西大同·期中）已知函数 ，若 ，且
在区间 上恰有两个极值点，则 ．
【答案】
【分析】先根据条件确定函数周期，进而确定 的值，再求对应的函数值.
【详解】因为 ，
又因为 在区间 上恰有两个极值点，且 ，
所以 的最小正周期 ，即 ，
所以 ．
故答案为：
21．（2025高三·全国·专题练习）已知函数 ，将函数 的图象上每一点横坐标变为
原来的一半，再向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 的最大值为 .
【答案】
【分析】利用三角函数的平移伸缩变换求出 ，进而结合诱导公式和辅助角公式可得
，进而即可求得最大值.【详解】将函数 的图象上每一点横坐标变为原来的一半，
此时函数解析式为 ，
再向左平移 个单位长度，得 ，
则
，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
22．（2025高三·全国·专题练习）若函数 的图象关于直线 对称，则 的值
是 .
【答案】√3
【分析】根据三角恒等变换的化简可得 （其中 ），根据三角函数图象的
对称性建立关于 的方程，解之即可求解.
【详解】因为
（其中 ），
且函数图象关于直线 对称，
所以 ，
整理得 ，解得 .
故答案为：
23．（24-25高三上·广东清远·阶段练习）已知函数 相邻两条对称轴
之间的距离为 ，且 ，则 在 上的零点个数为 .
【答案】6
【详解】由函数 相邻两条对称轴之间的距离为 ，得 ，故 .
又因为 ，即 ，所以 或 ，所以 或 ，
因为 ，所以 ，
故 ，
因为 ，故 ，结合正弦函数的图象可知，
函数在 上的零点个数为6.
故答案为：6.
