文档内容
专题 1-1 集合及集合思想应用
目录
讲高考............................................................................................................................................................1
题型全归纳...................................................................................................................................................3
【题型一】集合中元素表示...................................................................................................................3
【题型二】集合元素个数........................................................................................................................4
【题型三】知识点交汇处的集合元素个数........................................................................................5
【题型四】由元素个数求参...................................................................................................................7
【题型五】子集关系求参........................................................................................................................8
【题型六】集合运算1：交集运算求参...........................................................................................10
【题型七】集合运算2：并集运算求参...........................................................................................12
【题型八】集合运算3：补集运算求参...........................................................................................13
【题型九】应用韦恩图求解.................................................................................................................15
【题型十】集合中的新定义.................................................................................................................18
专题训练.....................................................................................................................................................21
讲高考
1.（2022·全国·高考真题（理））设全集 ，集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意， ，所以 ,
所以 .
故选：D.
2.（2021·全国·高考真题（理））已知集合 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可得 ，由此可得出结论.
【详解】任取 ，则 ，其中 ，所以， ，故 ，
因此， .
故选：C.
3．（2021·北京·高考真题）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.
【详解】由题意可得： .故选：B.
4．（2021·浙江·高考真题）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意结合交集的定义可得结果.
【详解】由交集的定义结合题意可得： .故选：D.
5．（2021·全国·高考真题（文））已知全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.
【详解】由题意可得： ，则 .故选：A.
6．（2007·全国·高考真题（文））已知集合 ，
，那么 为区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先分别利用正弦函数、余弦函数和正切函数的图象化简集合E，F，再利用交集的
运算求解.
【详解】∵ ，
，∴ .故选：A.
7．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部
的点构成的集合．设集合 ，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出以 为球心，5为半径的球与底面 的截面圆的半径后可求区域的面积.
【详解】 设顶点 在底面上的投影为 ，连接 ，则 为三角形
的中心，且 ，故 .因为 ，故 ，
故 的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，而三角形 内切圆的圆心为 ，半径为
，故 的轨迹圆在三角形 内部，故其面积为 故选：B题型全归纳
【题型一】集合中元素表示
【讲题型】
例题1：已知集合 ，下列选项中均为A的元素的是（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系判断．
集合 有两个元素： 和 ，
故选：B
例题2、设集合 ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
对于集合 ，令 和 ，即得解.
【详解】
， ， ， ，
对于集合 ，当 时， ， ；
当 时， ， ． ，故选：B．
【讲技巧】
集合表示
1、列举法，注意元素互异性和无序性
2、描述法，注意准确理解集合元素，能理解不同符号的元素
描述法表示集合时，要注意“那条竖线”前边的字母及字母形式。一般情况下，一个字母是数集，有序
数对（a，b、）形式可以理解为点集
【练题型】
1.以下四个写法中：① ；② ；③ ；④ ，
正确的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
对于①， 正确；对于②，因为空集是任何集合的子集，所以 正确；对
于③，根据集合的互异性可知 正确；对于④， ，所以
不正确；四个写法中正确的个数有 个，故选C.2.下面五个式子中：① ；② ；③{a } {a，b}；④ ；⑤a {b，
c，a}；正确的有（ ）
A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤
【答案】A
【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.
中， 是集合{a}中的一个元素， ，所以 错误；
空集是任一集合的子集，所以 正确；
是 的子集，所以 错误；
任何集合是其本身的子集，所以 正确；
a是 的元素，所以 正确.
故选：A.
3.若 ，则 的可能取值有（ ）
A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断 的可能取值.
，则 ，符合题设；
时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；
时，则 ，符合题设；∴ 或 均可以.故选：C
【题型二】集合元素个数
【讲题型】
例题1.已知集合 ， ，则集合
的元素个数为（ ）
A．6 B．7
C．8 D．9
【答案】B
【分析】
解指数不等式求得集合 ，解分式不等式求得集合 ，由此求得集合
的元素个数.
【详解】
由 得 ， ，解得 ，所以 .由
解得 ，所以 .所以
，共有 个元素.故选：B.
例题2. ，若 表示集合 中元素的个数，则
_______，则 _______．
【答案】11； 682．
【详解】试题分析：当 时， ， ，即 ， ，
由于 不能整除3，从 到 ， ，3的倍数，共有682个，
【讲技巧】
集合元素个数，多涉及到对集合元素形式的判断：
1.点集多是图像交点
2.数集，多涉及到一元二次方程的根。
【练题型】
1.若集合 ， ，则 的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】分别求出集合 ，然后，由交集定义求得交集后可得元素个数．
由题意得， ， ，故 ，
有5个元素.
故选：C
2.已知集合 ， ，则集合 中所含元素的个数为
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】B
【分析】根据几何A中的元素，可求得集合B中的有序数对，即可求得B中元素个数.
因为 ， ， ，
所以满足条件的有序实数对为 ， ， ， ．
故选:B.
3.集合 ，则 中元素的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
,
,则B中的元素个数为4个.
本题选择D选项.
【题型三】知识点交汇处的集合元素个数
【讲题型】
例题1.1.已知全集 ，集合 ，若 中的点在直角坐标平面内形成
的图形关于原点、坐标轴、直线 均对称，且 ，则 中的元素个数至少有
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个【答案】C
求出点 关于原点、坐标轴、直线 的对称点，其中关于直线 对称点，再求它
关于原点、坐标轴、直线 的对称点，开始重复了．从而可得点数的最小值．
因为 , 中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线 对称，
所以 所以 中
的元素个数至少有8个，
故选：C.
例题2.若正方体 的棱长为1，则集合
中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】将 代入 ,结合 和 (
)化简即可得出集合中元素的个数.
①当 时 正方体
故: ( ) 故: ( )
中元素的个数为 .
② 时.
此时 中元素
的个数为 .
综上所述, 中元素的个数为 .故选:A.
【讲技巧】
集合知识点交汇处，多涉及到集合与函数，集合与向量，集合与数列，集合与立体几
何，集合与圆锥曲线等等相关知识的综合应用。
【练题型】
1.设集合 , , ,则集合 中元素的
个数为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得出： 从 , , 任选一个；或者 从 , 任选一个；结合题中条件,确
定对应的选法，即可得出结果．
解：根据条件得： 从 , , 任选一个, 从而 , , 任选一个,有 种选法；
或 时, ,有两种选法；共 种选法； C中元素有 个． 故选A．
2.已知集合 ， ，定义集合，则 中元素的个数为
A．77 B．49 C．45 D．30
【答案】C
因为集合 ，所以集合 中有5个元素（即5个点），即
图中圆中的整点，集合 中有25个元素（即25个点）：
即图中正方形 中的整点，集合
的元素可看作正方形 中的
整点（除去四个顶点），即 个．
3.若集合 ，
，用 表示集合 中的元素个
数，则
A． B． C． D．
【答案】D
当 时， ， ， 都是取 ， ， ， 中的一个，有 种，当 时， ，
， 都是取 ， ， 中的一个，有 种，当 时， ， ， 都是取 ， 中
的一个，有 种，当 时， ， ， 都取 ，有 种，所以
，当 时， 取 ， ， ， 中的一个，有 种，当 时，
取 ， ， 中的一个，有 种，当 时， 取 ， 中的一个，有 种，当 时，
取 ，有 种，所以 、 的取值有 种，同理， 、 的取值也有 种，所以
，所以 ，故选D．
【题型四】由元素个数求参
【讲题型】
例题1.若集合 中只有一个元素，则 =（ ）
A．4 B．2 C．0 D．0或4
【答案】A
考点：该题主要考查集合的概念、集合的表示以及集合与一元二次方程的联系.
例题2.已知集合 ，集合 中至少有3个元素，则
A． B． C． D．
【答案】C
试题分析：因为 中到少有 个元素，即集合 中一定有 三个元素，所以 ，故选C.
【讲技巧】
在根据元素与集合关系求解参数值的问题时，容易错的地方是忽略求得参数值后，需验
证集合中元素是否满足互异性
【练题型】
1.已知集合 ，若 中只有一个元素，则实数 的值为（ ）
A．0 B．0或 C．0或2 D．2
【答案】C
【分析】根据题意转化为抛物线 与 轴只有一个交点，只需
即可求解.
若 中只有一个元素，则只有一个实数满足 ，
即抛物线 与 轴只有一个交点，∴ ，∴ 或2.故选：C
2.．已知 ， .定义集合
，则 的元素个数 满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
先理解题意，然后分①当 , 时,②当 , 时, ③当 , 时,三种情
况讨论即可.
解:由 ， ,
①当 , 时, ,
,
此时 的元素个数为 个,
②当 , 时, ,
,
这种情况和第①种情况除 外均相同,故新增 个,
③当 , 时, ,
,这种情况与前面重复,新增0个,
综合①②③可得:
的元素个数为 个,
故选:A.
3.如果集合 中只有一个元素，则 的值是（ ）
A．0 B．0或1 C．1 D．不能确定
【答案】B
因为A中只有一个元素，所以方程 只有一个根，当a=0时， ;当
时， ，所以a=0或1.
【题型五】子集关系求参
【讲题型】
例题1.已知集合 ，若 ，则 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简集合 ， 再根据 得解.
【详解】
由题得 ，故 ，
当 时， ，显然不满足 ；
当 时， ，显然不满足 ；
当 时， ，若 .故选：D
例题2.已知集合 ，非空集合 ， ，则实数
的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
先化简集合 ，再由 建立不等式组即可求解
【详解】
，由 且 为非空集合可知，
应满足 ，解得 故选：B
【讲技巧】
集合子集：
(1)子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系
(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)．
(2)并不是任意两个集合之间都具有包含关系．例如：A＝{1,2}，B＝
{1,3}，因为 2∈A，但 2∉B，所以 A不是 B的子集；同理，因为 3∈B，但
3∉A，所以B也不是A的子集．
(3)子集有下列两个性质：
①自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A；
②传递性：对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.
（4）求子集运算时，一定要注意子集是从“空集开始”
【练题型】
1.若集合 ， ，则能使 成立的所有a组成的集
合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
考虑 和 两种情况，得到 ，解得答案.
【详解】
当 时，即 ， 时成立；当 时，满足 ，解得 ；
综上所述： .故选：C.
2. ， ，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由 ，分 和 两种情况讨论，利用相应的不等式（组），即可求解.
【详解】
由题意，集合 ， ，因为 ，
（1）当 时，可得 ，即 ，此时 ，符合题意；
（2）当 时，由 ，则满足 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：C.
3.已知集合 ， ，若 ，则实数 的值构成的集合
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解方程求得集合 ，分别在 和 两种情况下，根据包含关系构造方程求得结果.
【详解】
由 得： 或 ，即 ；①当 时， ，满足 ，
符合题意；
②当 时， ， ， 或 ，解得： 或 ；
综上所述：实数 的值构成的集合是 .故选： .
【题型六】集合运算1：交集运算求参
【讲题型】
例题1.已知集合 ， .若 ，
则实数 （ ）
A．3 B． C．3或 D． 或1
【答案】A
【分析】将问题转化为“直线 与直线 互相平行”，由此求
解出 的取值.
【详解】因为 ，所以直线 与直线 没有交点，
所以直线 与直线 互相平行，
所以 ，解得 或 ，
当 时，两直线为： ， ，此时两直线重合，不满足，
当 时，两直线为： ， ，此时两直线平行，满足，所以 的值为 ，
故选：A.
例题2.已知集合 ， ，若 ，则实数 的
取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出集合A，由 得到 ，再分类讨论a的值即可.
【详解】 ，因为 ，所以 ，
当 时，集合 ，满足 ；
当 时，集合 ，
由 ， 得 或 ，解得 或 ，
综上，实数 的取值集合为 .故选：D.
【讲技巧】
交集的运算性质：
1.A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B.
2.求交集题型时，要注意“边界值”是否能取等号
【练题型】
1.已知集合 ，集合 ，若 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由 可得出 ，可知 ，解出集合 ，结合题意可得出关于实数 的不等
式，由此可解得实数 的取值范围.
【详解】 且 ，则 ， .
若 ，则 ，可得 ，不合乎题意；
若 ，则 ，
所以， ，解得 .因此，实数 的取值范围是 .故选：D.
2.设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A．–4 B．–2 C．2 D．4
【答案】B
【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即
可确定实数a的值.
【详解】求解二次不等式 可得： ，
求解一次不等式 可得： .
由于 ，故： ，解得： .故选：B.
3.已知集合 ，若 ，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先解出集合 ，考虑集合 是否为空集，集合 为空集时合题意，集合 不为空
集时利用 或 解出 的取值范围.
【详解】由题意 ，
，
当 时， ，即 ，符合题意；当 ，即 时， ，则
有 或 ，即
综上，实数 的取值范围为 .故选：C.
【题型七】集合运算2：并集运算求参
【讲题型】
例题1..已知 ， ，若 ，那么实数a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意,可先化简集合A,再由 得 ,由此对B的集合讨论求a,由于集
合B可能为空集,可分两类探讨,当B是空集时,与B不是空集时,分别解出a的取值范围,选出
正确选项
【详解】解：由题意, ,
由 得
又
当B是空集时,符合题意,此时有 解得
当B不是空集时,有 解得 综上知,实数a的取值范围是
故选：D
例题2.设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a
的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
【答案】B
【详解】试题分析：当 时， ，此时 成立，当 时，
，当 时， ，即 ，当 时，
，当 时， 恒成立，所以 的取值范围为 ，
故选B.
【讲技巧】并集的运算性质：
A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B⇔A⊆B.
【练题型】
1.设集合 ， ，集合 中所有元素之和
为8，则实数 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：B={1,4}, 两根是x=3，x=a，当a=0、1、3、4时，
满足集合 中所有元素之和为8，故选C.
2.非空集合 ， ， ，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题知 ，进而构造函数 ，再根据零点存在性定理得
，解不等式即可得答案.
【详解】解：由题知 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故令函数 ，
所以，如图，结合二次函数的图像性质与零点的存在性定理得：
，即 ，解得 ，
所以，实数 的取值范围为 .
故选：A
3．已知集合 ， ，若 ，则 的值是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】B
【分析】根据集合N和并集，分别讨论a的值，再验证即可.【详解】因为 ，若 ，经验证不满足题意；
若 ，经验证满足题意.所以 .故选：B.
【题型八】集合运算3：补集运算求参
【讲题型】
例题1.已知集合 ，集合 ，集合 ，若
，则实数 的取值范围是______________.
【答案】
【详解】由题意， ，
∵集合 ，
①
②m 时，成立；
③
综上所述， 故答案为 ．
例题2..已知集合 ， ，若
，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
解分式不等式求得集合 ，对 进行分类讨论，结合 ，求得实数 的取值范
围.
【详解】由 或 .所
以 或 ，所以 .由 ，解得
或 . ，当 时， ，此时 ，满足
；当 时， ，由 得 ，即 且
.综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：B
【讲技巧】
补集运算：
1.符号语言： ∁U A＝ { x | x ∈ U ，且 x ∉ A } ．
2.图形语言：【练题型】
1.设全集 ，集合 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据集合 及其补集情况分情况讨论即可.
【详解】由已知得 ，
所以 或 ，解得 ，故选：D.
2.已知全集 ，集合 ， ，则a的所有可能值形成的集合为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，可得 ，即 ，当 时，不符合元素的互异性， 时，
符合题意.
【详解】由 ，即 ，则 ，解得 ，
若 ，则 ，而 ，不符合集合中元素的互异性，舍去；
若 ，则 ， ， ，符合题意.
所以a的所有可能值形成的集合为 .故选：A.
3.已知全集 ,则 的值为__________
湖北省荆州市沙市中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题
【答案】2
【分析】要求a的值，需正确理解原集和补集的含义，由于参数a为未知数，此题应该进
行分类讨论
【详解】由补集概念及集合中元素互异性知a应满足
分两种情况进行讨论：
在A中，由（1）得a=0依次代入（2）、（3）、（4）检验，不合②，故舍去．
在B中，由（1）得a=－3,a=2，分别代入（2、（3）、（4）检验，a=－3不合②，故舍去，
a=2能满足②③④，故a=2符合题意．答案为：2
【题型九】应用韦恩图求解
【讲题型】
例题1.全集 ，集合 ，集合 ，图中阴影部分所
表示的集合为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图可得，阴影部分表示的集合为 .求出集合 ，即求
.
【详解】∵集合 ， ，
由Venn图可知阴影部分对应的集合为 ，又 或 ，
.故选： .
例题2.已知全集 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集
合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由集合描述求集合 ，结合韦恩图知阴影部分为 ，分别求
出 、 ，然后求交集即可.
【详解】 ， ，
由图知：阴影部分为 ，而 ， ，
∴ 或 ，即 或 ，
故选：C【讲技巧】
并集运算韦恩图：
符号语言 Venn图表示
A∪B＝{x|x∈A，或
x∈B}
交集运算韦恩图
符号语言 Venn图表示
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
补集运算韦恩图
图形语言：
【练题型】
1.若全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示的集合
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数定义域和指数函数单调性得到集合 ，阴影部分表示的集合是 ，
计算得到答案.
【详解】 ， ，
阴影部分表示的集合是 .
故选：D.2.已知全集 ，集合 和 的关系的韦恩
（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷个
【答案】C
【分析】由题意首先求得集合M，然后结合韦恩图求解阴影部分所示的集合的元素个数即
可.
【详解】求解二次不等式 可得 ，
集合 表示所有的偶数组成的集合，
由韦恩图可知，题中的阴影部分表示集合 ，
由于区间 中含有的偶数为 ，故 ，
即阴影部分所示的集合的元素共有3个.
本题选择C选项.
3.已知集合 ，且 、 都是全集 的子集，则右图
韦恩图中阴影部分表示的集合为
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：
,故选C．
【题型十】集合中的新定义
【讲题型】
例题1定义运算. 若
，且 ，设实数 的所有可能取值构成集合 ，
则 _______.
【答案】3
【分析】由新定义 得集合 可以是单元素集合，也可以是三元素集合，把问题转化为讨论方程 根的个数，即等价于研究两个方程 、
根的个数.
【详解】 等价于 ①或 ②.
由 ，且 ，得集合 可以是单元素集合，也可以是三元素集合.
若集合 是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，可得 ；
若集合 是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即
，解得 .
综上所述， 或 ，所以 .
例题2..对于集合 ，定义函数 ，对于两个集合 ，定义集合
. 已知集合 ， ，
则 __________.
【答案】 .
【分析】解不等式求得集合 与集合 ，根据新定义函数 以及新定义集合 的概
念，求得 中 的取值范围.
【详解】当 时，由 两边平方并化简得 ，即 ，解
得 ，由于 ，故 的范围是 .
当 时， 恒成立，故 的取值范围是 .
综上所述， .故 ①.
由 ，解得 或 ，故 .故
②.
要使 ，由①②可知， .
故答案为 .
【练题型】
1.设 、 、 是集合，称 为有序三元组，如果集合 、 、 满足
，且 ，则称有序三元组 为最小相交（其中
表示集合 中的元素个数），如集合 ， ， 就是最小相交有序三元
组，则由集合 的子集构成的最小相交有序三元组的个数是________
【答案】7680
【分析】令S={1，2，3，4，5，6}，由题意知，必存在两两不同的x，y，z∈S，使得
A∩B={x}，B∩C={y}，C∩A={z}，而要确定x，y，z共有6×5×4种方法；对S中剩下的3个
元素，每个元素有4种分配方式，即可得到最小相交的有序三元组（A，B，C）的个数．
【详解】令S={1，2，3，4，5，6}，如果（A，B，C）是由S的子集构成的最小相交的有
序三元组，则存在两两不同的x，y，z∈S，使得A∩B={x}，B∩C={y}，C∩A={z}，（如
图），要确定x，y，z共有6×5×4种方法；对S中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即它属于集合A，B，C中的某一个或
不属于任何一个，则有43种确定方法．
所以最小相交的有序三元组（A，B，C）的个数6×5×4×43=7680．
故答案为：7680
2.．集合 有 个元素，设 的所有非
空子集为 ，每一个 中所有元素乘积为 ，则
_____.
【答案】
【分析】将这 个子集分成以下几种情况：①含 的子集；②不含 ，含 且还含有其
他元素的子集；③不含 ，不含 但含有其他元素的子集；④只含 的子集一个.将每种情
况下的 计算出来，并根据②③中的集合是一一对应的，求满足的 ，可得答案.
【详解】 所有非空子集为 ，这 个子集分成以下几种情况：
①含 的子集 个，这些子集均满足 ；
②不含 ，含 且还含有其他元素的子集 个；
③不含 ，不含 但含有其他元素的子集有 个；
④只含 的子集一个 ，满足 .
其中②③中的集合是一一对应的，且满足 对应成相反数，
因此， .
故答案为： .
3.设集合 是实数集 的子集，如果点 满足：对任意 ，都存在 ，使得
，称 为集合 的聚点，则在下列集合中：
① ；② ；③ ；④
以0为聚点的集合有______．
上海市延安中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题
【答案】②③
【解析】根据集合聚点的新定义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定，即可
求解.
【详解】由题意，集合 是实数集 的子集，如果点 满足：对任意 ，都存在
，使得 ，称 为集合 的聚点，
①对于某个 ，比如 ，
此时对任意的 ，都有 或者 ，
也就是说不可能 ，从而0不是 的聚点；
②集合 ，对任意的 ，都存在 （实际上任意比 小得数都可以），使得 ，∴0是集合 的聚点；
③集合 中的元素是极限为0的数列，
对于任意的 ，存在 ，使 ，
∴0是集合 的聚点；
④中，集合 中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都
至少比0大 ，∴在 的时候，不存在满足得 的 ，
∴0不是集合 的聚点．
故答案为：②③．
一、单选题
1．已知集合 ，则集合 的所有非空真子集的个数是（ ）
A．6 B．7 C．14 D．15
【答案】A
【分析】根据自然数集的特征，结合子集的个数公式进行求解即可.
【详解】因为 ，
所以集合 的元素个数为 ，
因此集合 的所有非空真子集的个数是 ，
故选：A
2．设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求 ，再求并集即可.
【详解】由题可知： ，
而 ，
所以 .
故选：C
3．如图，设 是全集， 是 的三个子集，则阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据韦恩图，利用集合的运算即可求解.
【详解】由图象可知：阴影部分对应的集合的元素 ，∴ ，且 ，
因此 ．
故选：B．
4．设集合 ， 都是实数集 的子集，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题设交集的结果知 ，进而可得 .
【详解】由 知： ，
所以 .
故选：D
5．设集合 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B．2或-4 C．2 D．-4
【答案】B
【分析】根据给定条件可得 ，由此列出方程求解，再验证即可得解．
【详解】因 ，则 ，即 或 ，
当 时， ， ，符合题意，
当 时，解得 或 ，
若 ，则 ， ，符合题意，
若 ，则 ， ，不符合题意，
于是得 或 ，
所以实数 的值为2或 ．
故选：B
6．集合 或 ， ，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 ，分 和 两种情况，建立条件关系即可求实数a的取值范
围.
【详解】 ， ①当 时，即 无解，此时 ，满足题意；
②当 时，即 有解
当 时，可得 ，要使 ，则需要 ，解得
当 时，可得 ，要使 ，则需要 ，解得综上，实数a的取值范围是
故选：A.
7．用 表非空集合A中元素的个数，定义 ，若
，且 ，设实数 的所有可能取值构成集合S，则
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．9
【答案】C
【分析】由新定义，确定 ，再由新运算确定 ，并由集合 的定义确定
，然后由判别式求得 值，得集合 ，从而得结论．
【详解】由已知 ，又 ，所以 或 ，
又 中 显然是一个解，即 ，因此 ，所以 ，
所以 有两个相等的实根且不为0，
， ，经检验符合题意， ，
所以 ．
故选：C．
8．已知集合 ，集合 ，若 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将集合 化简，根据条件可得 ，然后分 ， ， 讨论，化简集
合 ，列出不等式求解，即可得到结果.
【详解】因为 或 ，解得 或
即 ，
因为 ，所以
当 时， ，满足要求.
当 时，则 ，由 ，
可得 ，即
当 时，则 ，由 ，
可得 ，即
综上所述，
故选:B.
二、填空题
9．若集合 ， ，且 ，则实数 的取值范围为
_________.【答案】
【分析】根据已知条件 ，运用集合并集运算定义，列出关于参数 的不等
式，即可求得参数的取值范围.
【详解】已知 ， ，
， ，
故参数 的取值范围为 .
故答案为：
10．已知A＝{a，a，a，a}，B＝ 且a＜a＜a＜a，其中ai∈Z（i＝1，2，
1 2 3 4 1 2 3 4
3，4），若A∩B＝{a，a}，a+a＝0，且A∪B的所有元素之和为56，求a+a＝_____．
2 3 1 3 3 4
【答案】8
【分析】先通过 ，判断得 ，分类讨论 与 的情况，得到 ，
， ，再求 的元素，进而得到 ，解得 ，故得答案．
【详解】由 得 ，所以 ，
又因为 ，即 ，所以 ，
（1）若 ，
因为 ，所以 ，此时 ， ， ，
即 ，故 ，从而 ，
所以 ，则 ，即 或1，与 矛盾；
（2）若 ，
则 ， ，即 ，所以 ，
从而 ，显然 ，即 或1，
而 与 矛盾，故 ， ，
又 ，故 ，
将 ， ， 代入，得到 ，解得 或 （舍去），
所以 ．
故答案为：8．
11．已知集合 和 ，使得 ， ，并且 的元素乘积
等于 的元素和，写出所有满足条件的集合 ___________.
【答案】 或 或 .
【分析】求得 中所有元素之和后，根据 中元素个数得到其元素所满足的关系式，依
次判断 中元素不同个数时可能的结果即可.
【详解】 ， 中所有元素之和为 ；
若 中仅有一个元素，设 ，则 ，解得： ，不合题意；
若 中有且仅有两个元素，设 ，则 ，
当 ， 时， ， ；
若 中有且仅有三个元素，设 ，则 ；当 ， ， 时， ，
若 中有且仅有四个元素，设 ，
则 ，
当 ， ， ， 时， ， ；
若 中有且仅有五个元素，若 ，此时 ，
中最多能有四个元素；
综上所述： 或 或 .
故答案为： 或 或 .
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过对 中元素个数的分类讨论，依次从小至
大排列 中元素可能的取值，根据满足的关系式分析即可得到满足题意的集合.
12．已知集合M＝{x∈N|1≤x≤21}，集合A，A，A 满足①每个集合都恰有7个元素； ②
1 2 3
A∪A∪A＝M．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi（i＝
1 2 3
1，2，3），则X+X+X 的最大值与最小值的和为___．
1 2 3
【答案】132
【分析】判断集合的元素个数中的最小值与最大值的可能情况，然后按照定义求解即可．
【详解】集合M＝{x∈N|1≤x≤21}，由集合A，A，A 满足①每个集合都恰有7个元素；
1 2 3
②A∪A∪A＝M可知最小的三个数为1，2，3；21必是一个集合的最大元素，含有21集
1 2 3
合中的元素，有21，20，19，…，16和1，2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取
1，这时X 最小值为22；
1
15必是一个集合的最大元素，含有15集合中的元素，有15，14，13，…，10和2，3中一
个组成，这样特征数最小，不妨取2，这时X 最小值为17；
2
9必是一个集合的最大元素，含有9集合中的元素，有9，8，7，…，4和3组成，这样特
征数最小，这时X 最小值为10；则X+X+X 的最小值为22+17+12＝51．
3 1 2 3
同理可知最大的三个数为21，20，19；
含有21集合中的元素，有21，18，17，16，16，15，13；这样特征数最大，为34；
含有20的集合中元素为20，12，11，10，9，8，7，这样特征数最大，为27；
含有19的集合中元素为19，6，5，4，3，2，1，特征数最大，且为20；
则X+X+X 的最大值为34+27+20＝81；
1 2 3
所以X+X+X 的最大值与最小值的和为51+81＝132．
1 2 3
故答案为：132．
