文档内容
专题 1.2 常用逻辑用语
思维导图
知识点总结
知识点一
充分条件、必要条件与充要条件
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的 要 条件 p⇒q且q p
p是q的 条件 p q且q⇒p
p是q的 条件 p⇔q
p是q的 条件 p q且q p
知识拓展
1．(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充
分不必要条件．
(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．
2．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
知识点二 ．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的、任意一个、任给一个，用符号“∀”表示；存在
量词有：存在一个、至少有一个、有些，用符号“∃”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)
成立”用符号简记为 .
(3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x，使p(x)成
立”用符号简记为 .
2．含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，p(x)
知识拓展
1．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．
2．常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面
等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是
词语
否定
不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是
词语
正面 至多 至少
都是 任意的 所有的
词语 有一个 有一个
否定 至少 一个
不都是 某个 某些
词语 有两个 也没有
典型例题分析考向一 充分、必要条件的判断
例1
“x2>4”是“3x>9”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，l⊥α，则“l⊥m”是“m∥α”
的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
充分、必要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．
考向二 根据充分、必要条件求参数的范围
例2 已知关于x的不等式(x－a)(x－3)>0成立的一个充分不必要条件是－
10
C．∃x∈R，lg x<1
D．∃x∈R，sinx＋cosx＝2
(多选)下列命题为假命题的是( )
A．∃x∈R，ln (x2＋1)<0
B．∀x>2,2x>x2
C．∃α，β∈R，sin(α－β)＝sinα－sinβ
D．∀x∈(0，π)，sinx>cosx
判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路
考向五 含有量词的命题的否定
例5
设命题p：任意常数数列都是等比数列，则綈p是( )
A．所有常数数列都不是等比数列
B．有的常数数列不是等比数列
C．有的等比数列不是常数数列
D．不是常数数列的数列不是等比数列命题“∃x∈R,12
D．∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
写出全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤
(1)准确审题：明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其
量词的位置及相应结论．
(2)改写量词：确定命题所含量词的类型，若命题中无量词，则要结合命题
的含义加上量词，再对量词进行改写．
(3)否定结论：对原命题的结论进行否定．
基础题型训练
一、单选题
1．命题“ ”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
2．命题“ ”的否定为（ ）A． B．
C． D．
3．已知命题 ， （ 且 ），则（ ）
A． B．
C． D．
4．“ ”是“ 的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知命题 ： ， 是真命题，那么实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列说法中，正确的是
A．命题“若 ，则 ”的否命题是假命题
B．设 为两不同平面，直线 ，则“ ”是 “ ” 成立的充分不必要条
件
C．命题“存在 ”的否定是“对任意 ”
D．已知 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件
二、多选题
7．下列叙述正确的是（ ）
A．
B． ，使得C．已知 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
D． ；q：对 不等式 恒成立，p是q的充分不必要条件
8．下列说法是正确的是（ ）
A．命题“ ，都有 ”的否定是“ ，都有 ”
B． 中，角 、 、 成等差数列的充分条件是
C．若函数 满足 ，则函数 是周期函数
D．若 ，则实数 的取值范围是
三、填空题
9．“ ”是“ ”的___________条件.（用“充要”“充分不必要”“必要不充
分”“既不充分也不必要”填空）
10．若命题“ ”是假命题，则实数 的取值范围是______.
11．已知命题 ：“ 或 ”， ：“ ”，则P是Q成立的______
12．方程 至少有一个正实数根的充要条件是________；
四、解答题
13．设 ，求证： 成立的充要条件是xy≥0．
14．已知集合 ， 或 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，且“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
15．设 是实数，命题 ：函数 的最小值小于0，命题 ：函数在 上是减函数，命题 ： .
（1）若“ ”和“ ”都为假命题，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
16．已知全集为 ，集合 ， .
(1)求 ；
(2)若 ，且“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的
取值范围.
提升题型训练
一、单选题
1．设命题 ，则 为 （ ）
A． B．
C． D．
2．设 ，则“ ”是“直线 ： 与直线 ： 平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知命题 使 ；命题 当 时， 的最小值为4．下列命题是真命题的是
A． B． C． D．
5．在 中，“ ”是“ ”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
6．给出下列四个说法：
①命题“ ，都有 ”的否定是“ ，使得 ”；
②已知 、 ，命题“若 ，则 ”的逆否命题是真命题；
③ 是 的必要不充分条件；
④若 为函数 的零点，则 .
其中正确的个数为
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列能成为 充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法正确的是
A．命题“若 且 ，则 ”为真命题
B．“若直线 与直线 平行，则 ”的逆命题是真命题
C．若 ： ，使得 ，则 ： ，使得
D．“ ”是“ ”的充要条件三、填空题
9．命题 ： ， 的否定 ________.
10．已知集合 ，若 是 的充分不必要
条件，则 的取值范围为______________
11．已知直线 和 ，则 ∥ 的充要条件是 =______．
12．设函数 的定义域为D，若命题p：“ ， ”为假
命题，则a的取值范围是___________.
四、解答题
13．下列各题中， 是 的什么条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条
件”“既不充分也不必要条件”，下同）？
（1） ；（2） 有意义；（3） .
14．命题 ：“ ， ”，命题 ：“ ， ”，若
和 中至少有一个是假命题，求实数 的取值范围．
15．已知全集 ，集合 ，集合 ，其中 .
(1)当 时，求 ；
(2)若“ ”是“ ”的充分条件，求a的取值范围.
16．已知全集 ，集合 ，集合 ．条件①
；② 是 的充分条件；③ ，使得 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．
