专题1.2全称量词与存在量词、充要条件2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题1.2 全称量词与存在量词、充要条件 1．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分 条件、必要条件、充要条件. 新课程考试要求 2.全称量词与存在量词 (1)理解全称量词与存在量词的意义. (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 培养学生逻辑推理（例2、例4）、数学运算（例1、例4、例5）、直观想象能力（例 核心素养 2） 1.全称量词与存在量词 考向预测 2.充分条件与必要条件的判定 3.充分条件、必要条件的应用 【知识清单】 1. 充分条件与必要条件 （1）若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； （2）若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充分不必要条件； （3）若p⇒q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件； （4）若p⇔q，则p是q的充要条件； （5）若p⇒q且q⇒p，则p是q的既不充分也不必要条件． 2. 全称量词与存在量词 1．全称量词与全称命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示． （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题． xM,p(x) （3）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为 ，读作“对任意x属于 M，有p(x)成立”． 2．存在量词与特称命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做特称命题． x M,p(x ) （3）特称命题“存在M中的一个x ，使p(x)成立”可用符号简记为 0 0 ，读作“存在M中 0 0 的元素x，使p(x)成立”． 0 0 3．全称命题与特称命题的否定 （1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． p q p q p q p q （2）“ 或 ”的否定为：“非 且非 ”；“ 且 ”的否定为：“非 或非 ”． （3）含有一个量词的命题的否定命题 命题的否定 xM,p(x) x M,p(x ) 0 0 x M,p(x ) xM,p(x) 0 0 【考点分类剖析】 考点一 充要条件的判定 例1.（2020·天津高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】 求解二次不等式 可得： 或 ， 据此可知： 是 的充分不必要条件. 故选：A. 例2.（2020·浙江高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是 “m，n，l两两相交”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 【详解】 依题意 是空间不过同一点的三条直线， 当 在同一平面时，可能 ，故不能得出 两两相交. 当 两两相交时，设 ，根据公理 可知 确定一个平面 ，而，根据公理 可知，直线 即 ，所以 在同一平面. 综上所述，“ 在同一平面”是“ 两两相交”的必要不充分条件. 故选：B (cid:4) (cid:4) AB AC 例3．（2019·北京高考真题（理））设点A，B，C不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“ (cid:4) (cid:4) (cid:4) AB AC  BC ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 ∵A､B､C三点不共线,∴ (cid:5) (cid:5) (cid:5) (cid:5) (cid:5) (cid:5) (cid:5) AB AC BC  AB AC AB AC | + |>| | | + |>| - | (cid:5) (cid:5) (cid:5) (cid:5) (cid:5) (cid:5) (cid:5) (cid:5)  AB AC AB AC  AB AC  AB AC | + |2>| - |2 • >0 与 (cid:5) (cid:5) (cid:5) (cid:5) (cid:5) AB AC AB AC BC 的夹角为锐角.故“ 与 的夹角为锐角”是“| + |>| |”的充分必要条件,故选C. 【规律方法】 充要关系的几种判断方法 pq,q  p p q p q,q p p q (1)定义法：若 ，则 是 的充分而不必要条件；若 ，则 是 的必要 pq,q p p q p q,q  p p q 而不充分条件；若 ，则 是 的充要条件； 若 ，则 是 的既不充分也 不必要条件. (2)等价法：即利用 pq与 q p；q p与 p q； p  q与 q  p的等价关系，对于条 件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的 真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p 和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件 【变式探究】xR x2 5x0 |x1|1 1.（2019年高考天津理）设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B x2 5x0 0 x5 |x1|1 0 x2 【解析】由 可得 ，由 可得 ， 0 x5 0 x2 易知由 推不出 ， 0 x2 0 x5 由 能推出 ， 0 x5 0 x2 故 是 的必要而不充分条件， x2 5x0 |x1|1 即“ ”是“ ”的必要而不充分条件. 故选B. 2.（2019·北京高考真题（文））设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函 数”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 b=0 时，f(x)=cosx+bsinx=cosx, f(x)为偶函数； f(x)为偶函数时，f(−x)=f(x)对任意的x恒成立， f(−x)=cos(−x)+bsin(−x)=cosx−bsinx cosx+bsinx=cosx−bsinx ，得bsinx=0对任意的x恒成立，从而b=0.从而“b=0”是“f(x)为偶函 数”的充分必要条件，故选C. 3．（2021·江西赣州市·高三二模（理））等比数列 中， ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题设，令公比为 ，分别确定 、 时 的取值范围，即可判断它们的充分、必要关 系. 【详解】 等比数列 中 ，令公比为 ， ∴若 ，则有 ；若 ，则有 或 ， ∴“ ”是“ ”的充分不必要条件. 故选：B 考点二：充分条件与必要条件的应用 例4.（2021·浙江高一期末） 的必要不充分条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】 解出一元二次不等式的解集，其必要不充分条件对应的集合应包含其解集，观察选项即可. 【详解】 , 即 的充要条件是 ， 其必要不充分条件必须满足，其集合的一个真子集是充要条件的集合， 观察选项发现 是 的真子集， 故选：BD. x3 例5. 设 p ：实数 x 满足(x3a)(xa)0，q：实数 x 满足 x2 0． （Ⅰ）当a1时，若 pq 为真，求实数 x 的取值范围； （Ⅱ）当a0时，若 p 是 q 的必要条件，求实数a的取值范围．,3U2, 2,1 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 a 1 p 1 x3 q x3 x2 （Ⅰ）当 时， ： ， ： 或 . pq p q 因为 为真，所以 ， 中至少有一个真命题. 1 x3 x3 x2 所以 或 或 ， x3 x2 所以 或 ， ,32, x 所以实数 的取值范围是 . a0 p 3a xa （Ⅱ）当 时， ： ， x3 0 q 由 x2 得： ：x3或x2， q 3 x2 所以 ： ， p q 因为 是 的必要条件， {x|3 x2}{x|3a xa} 所以 ， 3a3  所以 a2 ，解得 2a1 ， 2,1 所以实数a的取值范围是 . 【规律方法】 1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不 等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 2.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面 (1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件； (2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种 形式，再判断；(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两 个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断． 【变式探究】 x3 xm m 若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则 的取值范围是________． m3 【答案】 【解析】 x3 xm 因为“ ”是“ ”的必要不充分条件， m, 3, m3 所以 是 的真子集，所以 ， m3 故答案为 . 【特别警示】 根据充要条件求解参数范围的方法及注意点 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不 等式(组)求解． (2)注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够 取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误． 考点三：全称量词与存在量词 例6.（2021·安徽高三二模（文））命题“ ， ”的否定是_____． 【答案】“ ， ” 【解析】 根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得解. 【详解】 根据存在量词命题的否定是全称量词命题知， 命题“ ， ”的否定是“ ， ”． 故答案为：“ ， ”． 例7．（重庆高考真题（文））命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（ ） A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x∈R，使得x2≥0 D．存在x∈R，使得x2＜0 0 0 0 0 【答案】D 【解析】 因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x∈R，使得x2＜0． 0 0 故选D． 例8. 有下列四个命题，其中真命题是（ ）． nR n2 n nR mR mnm A. ， B. ， ， nR mR m2 n nR n2 n C. ， ， D. ， 【答案】B 【解析】 2 1 1 1 1 对于选项A，令 n ，则    ，故A错； 2 2 4 2 n1 mR m1m 对于选项B，令 ，则 ， 显然成立，故B正确； n1 m2 1 对于选项C，令 ，则 显然无解，故C错； n1 (1)2 1 对于选项D，令 ，则 显然不成立，故D错. 故选：B 【规律方法】 1．全称命题真假的判断方法 （1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立； （2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x，使p(x)不成立即可． 0 0 2．特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x ，使p(x)成立即可，否则这 0 0 一特称命题就是假命题． 3.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 真 所有对象使命题真 否定为假 全称命题 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假假 所有对象使命题假 否定为真 4．常见词语的否定形式有： 原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个 对任意x∈A使p(x)真 否定形式 不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个 存在x∈A使p(x)假 0 0 【变式探究】 P:nN,n2 2n P 1．（全国高考真题（理））设命题 ，则 的否定为（ ） nN,n2 2n nN,n2 2n A． B． nN,n2 2n nN,n2 2n C． D． 【答案】C 【解析】 根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，特称命题的否定为全称命题，所以命 nN,n2≤2n 题 的否命题应该为 ，即本题的正确选项为C. 2. （2021·安徽高三三模（文））命题：“ ， ”的否定是___________. 【答案】 ， ． 【解析】 根据全称命题的否定定义写出即可． 【详解】 “ ， ”的否定是 ， ． 故答案为： ， ． 3．给出下列命题： （1） xR ， x2 0 ；（2） xR ， x2 x10 ；（3） a� R Q ， b� R Q ，使得 abQ ． 其中真命题的个数为______． 【答案】1 【解析】 x0 x2 0 对于（1），当 时， ，所以（1）是假命题；2  1 3 3 x2 x1 x   0 对于（2），   ，所以（2）是假命题；  2 4 4 a 2 2 b3 2 ab5 对于（3），当 ， 时， ，所以（3）是真命题． 所以共有1个真命题， 故填：1. 【易错提醒】 p q 1．命题的否定与否命题的区别：“否命题”是对原命题“若 ，则 ”的条件和结论分别加以否定而得 p p 的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非 ”，只是否定命题 的结论．命题的 否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系． 2．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提． 3．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．