文档内容
专题 1.1 集合的概念与运算
思维导图
知识点总结
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N * 或 N Z Q R
＋2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B
中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A B(或B A).
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的
⊆ ⊇
真子集.
⊆
(3)相等：若A B，且 B A ，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
⊆ ⊆
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
若全集为U，则集
符号表示 A∪B A∩B
合A的补集为∁ A
U
图形表示
{x|x∈A，或 { x | x ∈ A ，且
集合表示 {x|x∈U，且x∉A}
x∈B} x ∈ B }
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁ A)＝∅，A∪(∁ A)＝U，∁ (∁ A)＝A.
U U U U
常用结论
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集
有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A B A∩B＝A A∪B＝B ∁ A ∁ B.
U U
4.∁
U⊆
(A∩
⇔
B)＝(∁
U
A
⇔
)∪(∁
U
B)，∁
⇔U
(A∪
⊇
B)＝(∁
U
A)∩(∁
U
B).
典型例题分析
考向一 集合的基本概念
典例一
1.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
2.设集合 A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A 且 2x∈A}，则集合 B 为
________.
感悟提升 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该
集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件
是什么，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检
验集合中的元素是否满足互异性.
考点二 集合间的基本关系
典例二
1.已知集合 A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合 B＝{x||x－1|≤3}，集合 C＝，则集合
A，B，C的关系为( )
A.B A B.A＝B
C.C B D.A C
⊆
⊆ ⊆
2. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m
的取值范围为________.
⊆感悟提升 1.若B A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.
2.已知两个集合间⊆的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或
区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及
对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏
解.
考向三 集合间的基本运算
典例3
1.已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( )
A.∅ B.S C.T D.Z
2.设全集为R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，B＝{x|y＝}，则A∩(∁ B)＝( )
R
A.{x|－1＜x＜2} B.{x|0＜x＜1}
C.∅ D.{x|0＜x＜2}
3.集合M＝{x|2x2－x－1＜0}，N＝{x|2x＋a＞0}，U＝R.若M∩(∁ N)＝∅，则a
U
的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(－∞，1]感悟提升 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研
究其关系并进行运算.
2.数形结合思想的应用：
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还
是空心.
考向四 Venn 图的应用
在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集
合的交、并、补集，借助于 Venn 图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用
Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数.
典例四
1.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或游泳，
60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳
的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62% B.56% C.46% D.42%
2.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参
加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时
参加数学和物理小组的有 6人，同时参加物理和化学小组的有 4人，则同时参
加数学和化学小组的有________人.基础题型训练
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，若 ，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．设集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合 , ,则
A． B．
C． D．
5．设关于x的不等式 的解集为A，且 ， ，则实数m的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．对于集合A，B，“ ”不成立的含义是
A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B的元素
C．A中至少有一个元素不属于B D．B中至少有一个元素不属于A
二、多选题
7．下列关系式正确的为（ ）
A． B．C． D．
8．（多选）若集合 ， ，则集合 或 （ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知实数集合 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则 __________．
10．设全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示的集
合为___________.
11．满足 ，且 的集合 的个数是_____________.
12．若集合 有且仅有2个子集，则满足条件的实数 的最小值
是____.
四、解答题
13．已知集合 ， ，若 ，求实数 的值.
14．已知全集 ， ,
(1) ；(2)求 .
15．若 ，且A∪B=A，求由实数a的值组成的
集合．
16．集合 是由形如 的数构成的，试分别判断 ， ，
与集合 的关系.
提升题型训练
一、单选题
1．满足条件 的集合 的个数为
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
2．已知全集U={1,3,5,7,9},集合A={1,|a-5|,9}, UA={5,7},则a的值是( )
A．2 B．8 ∁C．-2或8 D．2或8
3．已知集合 ， ，全集 ，则 等
于（ ）
A． B． C． D．
4．设集合 , ,若 ,则 （ ）
A．-1 B．1 C．-1或1 D．0
5．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．6．设集合 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
7．集合A，B，C满足 ，则成立的等式是（ ）．
A． B．
C． D．
8．对于集合 ， ，定义 ， ，设
， ，则
A． B．
C． D．
9．已知集合 ，若 且集合 中恰有2个元素，则
满足条件的集合 的个数为（ ）．
A．1 B．3 C．6 D．10
10．若 是一个非空集合， 是一个以 的某些子集为元素的集合，且满足:（1）
；（2）对于 的任意子集 ，当 且 时，有 ；
（3）对于 的任意子集 当 且 时，有 ，则称 是集合 的一
个“ ——集合类”例如: 是集合 的一个“
——集合类”.已知 ，则所有含 的“ ——集合类”的个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12二、多选题
11．已知集合 ， ．若 ，则实数m的值为
（ ）
A．0 B．1 C．-3 D．3
12．已知 是同时满足下列条件的集合：① ；②若 ，则 ；
③ 且 ，则 ．下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
13．给定集合 ，若对于任意 ， ，有 ，且 ，则称集合A为闭集合，
以下结论正确的是（ ）
A．集合 为闭集合；
B．集合 为闭集合；
C．集合 为闭集合；
D．若集合 为闭集合，则 为闭集合．
14．设非空集合 满足：当 时，有 ，给出如下四个命题，其中
真命题是（ ）
A．若 ，则 ； B．若 ，则 ；
C．若 ，则 ； D．若 ，则三、填空题
15．关于 的方程 的解集为______．
16．已知集合 ， ，若 ，则由实数 的所有可能的取值组成的
集合为______.
17．定义有限数集 中的最大元素与最小元素之差为 的“长度”，如：集合
的“长度”为3，集合 的“长度”为0.已知集合 ，则 的所有非空
子集的“长度”之和为_________.
18．设集合 是小于5的质数 ，则 的真子集的个数为______， 的非空真子集
的个数为______.
