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专题 09 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用
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题型01 y＝Asin(ωx＋φ)的单调性............................................................................................................................1
题型02 y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性............................................................................................................3
题型03 y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换........................................................................................................................5
题型04 根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式...............................................................................................8
题型05 三角函数图像与性质的综合应用.............................................................................................................10
题型 01 y＝Asin(ωx＋φ)的单调性
【解题规律·提分快招】
y=Asin(wx+ϕ)
1、 的单调性
2π
T=
w
（1）最小正周期： .
y=Asin(wx+ϕ)
（2）定义域与值域： 的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值（以下
A>0，w>0
）
π
{ 当wx+ϕ= +2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值A;
2
π
当wx+ϕ=− +2kπ(k∈Z)时，函数取得最小值−A;
2
（4）单调性
π π
{wx+ϕ∈[− +2kπ, +2kπ](k∈Z)⇒增区间；
2 2
π 3π
wx+ϕ∈[ +2kπ, +2kπ](k∈Z)⇒减区间.
2 2
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·云南红河·期末）若函数 ，则函数 的单调递增区间为
（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2024·福建泉州·一模）已知函数 的周期为 ，且在区间 内单调递增，则 可能是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）在下列区间函数 单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 在 上单调递增，则 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·天津河北·一模）关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数；
② 在区间 上单调；
③ 的最大值为 ，最小值为 ，则 ；
④ 最小正周期是 .
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知 ，设函数 ，则 的单调递减区间
是 ．
7．（24-25高三上·天津·阶段练习）函数 在 的单调递减区间是
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，则函数 的值域为 .9．（23-24高三上·安徽·开学考试）写出函数 ， 的一个单调递增区间为
.
10．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数 ，则当 时 的最
大值为 ．
题型 02 y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性
【解题规律·提分快招】
y=Asin(wx+ϕ)
1、 的对称性和奇偶性
π
{当wx +ϕ=kπ+ (k∈Z)，即sin(wx +ϕ)
0 2 0
¿±1时，y=sin(wx+ϕ)的对称轴为x=x
0
当wx +ϕ=kπ(k∈Z)，即sin(wx +ϕ)=0
0 0
时，y=sin(wx+ϕ)的对称中心为(x ,0).
0
正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与x轴交点的位置.
2、对称与周期
T
(1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是 ；
2
T
(2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是 ；
2
T
(3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离4 ；
3、函数具有奇、偶性的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·云南昆明·期中）下列函数中，是奇函数且最小正周期为1的函数为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则 是（ ）
A．奇函数且最小正周期为 B．偶函数且最小正周期为 C．奇函数且最小正周期为D．偶函数且最小正周期为
3．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数 ，其中正确的是 （ ）
A． 的最小正周期为 ；
B． 的图象关于直线 对称；
C． 的图象关于点 对称；
D． 在区间 上单调递增.
4．（2024·全国·模拟预测）函数 的部分图象为（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数 有下列结论：
①最小正周期为 ；
②点 为 图象的一个对称中心；
③若 在区间 上有两个实数根，则实数a的取值范围是 ；
④若 的导函数为 ，则函数 的最大值为 .
则上述结论正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．①③④
6．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数 的最小正周期为 ，最大
值为 ，则函数 的图象（ ）
A．关于直线 对称 B．关于点 对称
C．关于直线 对称 D．关于点 对称7．（24-25高三上·河北邢台·期中）函数 的所有零点的和为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知函数 的图象关于直线 对称，则当
时，曲线 与 的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，对于任意的 ，
， 都恒成立，且函数 在 上单调递增，则 的值为
（ ）
A．3 B．9 C．3或9 D．
10．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数 的最小正周期为 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 是 图象的一个对称中心
C． 是 的一个对称轴 D． 的值域为
二、填空题
11．（2024·贵州毕节·三模）已知函数 的最小正周期为 ，则函数 图象的
一条对称轴方程为 ．
12．（24-25高三上·湖北·阶段练习）若 是偶函数，则实数 的值为
.
13．（2025高三·全国·专题练习）已知函数 在 上有两个不同的零点 ，
则 .
14．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数 的值域为 ，则
．
15．（24-25高三上·北京丰台·期末）已知函数 ， ， ， ，
则 ；方程 的所有实数解的和为 .题型 03 y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换
【解题规律·提分快招】
y=Asin(wx+ϕ)
1、 的平移与伸缩
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤
注：每一个变换总是对变量x而言的，即图像变换要看“变量x”发生多大变化，而不是“角
wx+ϕ
”变
化多少.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）将函数 图象上所有的点向左平移 个单位长
度，再把所有点的横坐标变为原来的 后，得到函数 的图象，则 （ ）
A． B． C． D．1
2．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）要得到函数 的图象，只要将函数 的图象
（ ）
A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
3．（24-25高三上·吉林·期中）将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到
的图象，则 在 上的值域为（ ）
A． B． C． D．4．（24-25高三上·广西·期末）将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数
的图象，若曲线 关于直线 对称，则 的最小正周期的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·山东·阶段练习）把函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不
变，再把所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，且 的图象关于点 中
心对称，则函数 的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·山东淄博·期末）把函数 的图象向右平移 个单位长度，再把图象上所有点的
横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数 的图象，则函数 的零
点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（24-25高三上·天津和平·期末）已知函数 的两条相邻对称轴之间的距离为
，现将 图象向右平移 后得到函数 的图象，若函数 在区间 上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知函数 ，则（ ）
A． 的最大值为2
B． 在 上单调递增
C． 在 上有2个零点
D．把 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象关于原点对称9．（24-25高三上·吉林四平·期末）已知函数 ，将函数 的图象先向右平移
个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 为偶函数
B．
C．
D．函数 的图象的对称轴方程为
题型 04 根据图像求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【解题规律·提分快招】
1、根据图像求解析式一般步骤
①根据最高最低点求出A
2π
ω，ω=
②根据周期算出 T ,题目一般会提供周期的一部分
③通过带最高或最低点算出φ
【典例训练】
一、多选题
1．（24-25高三上·山东济宁·期末）已知函数 的部分图象如图所示，则下
列说法正确的是（ ）
A． B． 在 上单调递增
C． 在(0,π)上有两个极值点 D．点 是曲线y=f (x)的一个对称中心
2．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数 的部分图象如图所示，令 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的对称轴方程为
C． 在 上的值域为
D． 的单调递增区间为
3．（24-25高三上·湖南·期中）已知函数 的部分图象如图所示，则
（ ）
A．
B．
C． 的图象关于点 对称
D． 的图象关于直线 对称
4．（24-25高三上·河南·期中）函数 的部分图象如图所示，直线
与 图象的其中两个交点的横坐标分别为 ， ，则（ ）A． B．
C． 的图象关于 轴对称 D． 在 上的最小值为
5．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知函数 的部分图象如图所示，
， ， ，则（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D．当 在 上恰有4个零点时，
6．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数 的图象如图所示，
的导函数为f′(x)，令g(x)=f′(x)，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数 图象的对称轴方程为
C．函数 在区间 上有2024个零点
D．函数 与 的图象关于点 对称
题型 05 三角函数图像与性质的综合应用
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的部分图象如图，则
（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2024·广东·模拟预测）已知 ，其中相邻的两条对称轴的距离为 ，且
经过点 ，则关于 的方程 在 上的不同解的个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数 ，则下列命题正确的是（ ）
A． 是以 为周期的函数
B．直线 是曲线 的一条对称轴
C．函数 的最大值为 ，最小值为
D．函数在 上恰有2024个零点
二、多选题
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知 ，其中相邻的两个极值点的距离为，且 经过点 ，则（ ）
A．
B．
C． 时， 的值域为
D． 时， 与 的交点数为 个
三、填空题
π
5．（2024·北京西城·二模）已知函数f (x)=sin(ωx+φ) ( ω>0,|φ|< ) ，直线 与曲线y=f (x)的
2
两个交点 如图所示.若 ，且 在区间 上单调递减，则 ； .
6．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）定义函数 ，给出下列四个命题：
（1）该函数的值域为
（2）当且仅当 时，该函数取得最大值
（3）该函数是以 为最小正周期的周期函数
（4）当且仅当 时， .
上述命题中正确的序号是 .
一、单选题
1．（24-25高三上·陕西榆林·期末）已知函数 ，则（ ）
A． 在区间 上单调递增 B． 在区间 上单调递减C． 在区间 上单调递增 D． 在区间 上单调递减
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数 （ ）的最小正周期为 ，则
在 的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．
3．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数 ，为了得到 （ 为
的导函数）的图象，则只需要将函数 图象上的点（ ）
A．向左平移 个单位长度，纵坐标缩短为原来的
B．向左平移 个单位长度，纵坐标不变
C．向左平移 个单位长度，纵坐标缩短为原来的
D．向左平移 个单位长度，纵坐标不变
4．（24-25高三上·上海·期中）已知函数 为偶函数，则 的对称中心为
（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数 的部分图象
如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A． 的最小正周期为B．当 时， 的值域为
C．将函数 的图象向右平移 个单位长度可得函数 的图象
D．将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点
对称
6．（2024·陕西商洛·一模）已知函数 ，且 是奇函数，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2024·西藏拉萨·二模）已知函数 的部分图象如图， 是相邻的
最低点和最高点，直线 的方程为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2024·上海奉贤·一模）函数 ，则下列命题正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．函数定义域是
C．函数最大值 D．函数的最小正周期为
9．（24-25高三上·天津·阶段练习）函数 的图像与 轴的两个相邻交
点的距离是 ，若将 的图象向左平移 个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，
纵坐标不变，得到 的图象，则 的表达式是（ ）
A． B．
C． D．10．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数 的部分图象如
图所示，将函数 的图象先向右平移 个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不
变），得到函数 的图象，若关于 的方程 在 上有两个不等实根，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数 的部分图象如图所示，其
中 ， ，则以下说法正确的个数为（ ）
①函数 的最小正周期是 ；
②函数 的图象关于直线 对称；
③把函数 图像上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，得到 的图象；
④当 时，
A．0 B．1 C．2 D．312．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，其中
， ，则（ ）
A． B．
C．直线 是 图象的一条对称轴D． 是 图象的一个对称中心
二、多选题
13．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）把函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐
标不变，再向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A． 的最小正周期为 B．
C． 在 上单调递增 D． 关于直线 对称
14．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数 与 ，下列说法正确的是
（ ）
A．将 的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，并向左平移 个单位可以得到 的图象
B． 与 的图象存在相同的对称中心
C． 与 在区间 上单调性相同
D．当 时， 与 的图象有且仅有 个交点
15．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数 的部分图象如图所
示，则（ ）A．
B．
C．函数 的图象与直线 的相邻两交点间的距离为
D．
16．（2024·全国·模拟预测）已知 ，若 ，使得
，则 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
17．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数 的最大值为 ，其部分图象
如图所示，则（ ）
A．
B．函数 为偶函数
C． 在 上恰有4个零点，则
D．当 时，函数 的值域为
三、填空题
18．（24-25高三上·全国·课后作业）函数 的单调递增区间为 ．19．（24-25高三上·河北承德·期中）已知函数 的图象的一条对称轴为直线 ，则函数
的零点的最小正值为 ．
20．（24-25高三上·山西大同·期中）已知函数 ，若 ，且
在区间 上恰有两个极值点，则 ．
21．（2025高三·全国·专题练习）已知函数 ，将函数 的图象上每一点横坐标变为
原来的一半，再向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 的最大值为 .
22．（2025高三·全国·专题练习）若函数 的图象关于直线 对称，则 的值
是 .
23．（24-25高三上·广东清远·阶段练习）已知函数 相邻两条对称轴
之间的距离为 ，且 ，则 在 上的零点个数为 .
