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专题09 利用导数研究函数的性质
1、（2023年全国甲卷数学（文））曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设曲线 在点 处的切线方程为 ，
因为 ，
所以 ，
所以
所以
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
故选：C
2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值为
（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【详解】依题可知， 在 上恒成立，显然 ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 在 上单调递增，，故 ，即 ，即a的最小值为 ．
故选：C．
3、（2023年新课标全国Ⅱ卷）（多选题）．若函数 既有极大值也有极小值，
则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ，
因为函数 既有极大值也有极小值，则函数 在 上有两个变号零点，而 ，
因此方程 有两个不等的正根 ，
于是 ，即有 ， ， ，显然 ，即 ，A错误，BCD正确.
故选：BCD
4、（2023年全国乙卷数学（文））．函数 存在3个零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，则 ，
若 要存在3个零点，则 要存在极大值和极小值，则 ，
令 ，解得 或 ，且当 时， ，
当 ， ，
故 的极大值为 ，极小值为 ，
若 要存在3个零点，则 ，即 ，解得 ，
故选：B.
5、（2023年全国乙卷数学（理））设 ，若函数 在 上单调递增，则a的
取值范围是______.
【答案】
【详解】由函数的解析式可得 在区间 上恒成立，
则 ，即 在区间 上恒成立，
故 ，而 ，故 ，
故 即 ，故 ，
结合题意可得实数 的取值范围是 .
故答案为：6、【2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
1 1
【答案】 y= x y=− x
e e
【解析】 因为y=ln|x|，
1 1
当x>0时y=lnx，设切点为(x ,lnx )，由y'= ，所以y'| = ，所以切线方程为
0 0 x x=x 0 x
0
1
y−lnx = (x−x )，
0 x 0
0
1 1 1
又切线过坐标原点，所以−lnx = (−x )，解得x =e，所以切线方程为y−1= (x−e)，即y= x；
0 x 0 0 e e
0
1 1
当x<0时y=ln(−x)，设切点为(x ,ln(−x ))，由y'= ，所以y'| = ，所以切线方程为
1 1 x x=x 1 x
1
1
y−ln(−x )= (x−x )，
1 x 1
1
1 1
又切线过坐标原点，所以−ln(−x )= (−x )，解得x =−e，所以切线方程为y−1= (x+e)，即
1 x 1 1 −e
1
1
y=− x；
e
1 1
故答案为：y= x；y=− x
e e
7、【2022年新高考1卷】已知函数f(x)=x3−x+1，则（ ）
A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点
C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
【答案】AC
√3 √3
【解析】由题，f'(x)=3x2−1，令f'(x)>0得x> 或x<− ，
3 3
√3 √3
令f' (x)<0得− 0，f( )=1− >0，f (−2)=−5<0，
3 9 3 9
( √3)
所以，函数f (x)在 −∞,− 上有一个零点，
3
√3 (√3) (√3 )
当x≥ 时，f (x)≥f >0，即函数f (x)在 ,+∞ 上无零点，
3 3 3
综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；
令ℎ(x)=x3−x，该函数的定义域为R，ℎ(−x)=(−x) 3−(−x)=−x3+x=−ℎ(x)，
则ℎ(x)是奇函数，(0,0)是ℎ(x)的对称中心，
将ℎ(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，
所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；
令f'(x)=3x2−1=2，可得x=±1，又f(1)=f (−1)=1，
当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x−1，当切点为(−1,1)时，切线方程为y=2x+3，
故D错误.
故选：AC.
8、（2023年全国乙卷数学（文））6．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若函数 在 单调递增，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）当 时， ，
则 ，据此可得 ，
所以函数在 处的切线方程为 ，即 .
（2）由函数的解析式可得 ，
满足题意时 在区间 上恒成立.
令 ，则 ，
令 ，原问题等价于 在区间 上恒成立，
则 ，
当 时，由于 ，故 ， 在区间 上单调递减，
此时 ，不合题意;
令 ，则 ，
当 ， 时，由于 ，所以 在区间 上单调递增，
即 在区间 上单调递增，
所以 ， 在区间 上单调递增， ，满足题意.
当 时，由 可得 ，
当 时， 在区间 上单调递减，即 单调递减，
注意到 ，故当 时， ， 单调递减，
由于 ，故当 时， ，不合题意.综上可知：实数 得取值范围是 .
题组一、函数图像的切线问题
1-1、（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线 相切，则实数a＝（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【详解】由 且x不为0，得
设切点为 ，则 ，即 ，
所以 ，可得 .
故选：C
1-2、（2023·江苏南京·校考一模）若直线 与曲线 相切，则 _________．
【答案】
【分析】设切点为 ，根据导数的几何意义可推导得到 ，根据切点坐标同时满足直
线与曲线方程可构造方程求得 ，代入可得结果.
【详解】设直线 与曲线 相切于点 ，
由 得： ， ， ，
又 ， ，解得： ，.
故答案为： .
1-3、（2023·黑龙江大庆·统考一模）函数 的图象在点 处的切线方程为______．
【答案】
【分析】先求导，再由导数的几何意义和点斜式即可求解
【详解】因为 ，所以 ．因为 ， ，所以所求切线方程
为 ，即 .
故答案为： .
1-4、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）若直线 是函数 的图象在某点
处的切线，则实数 ______．
【答案】2
【分析】设切点为 ，由点在两线上及切线斜率建立方程组解得参数.
【详解】设切点为 ，则有 .
故答案为：2.
1-5、（2023·河北唐山·统考三模）已知曲线 与 有公共切线，则实数 的取值范围为
__________.
【答案】
【详解】设公切线与曲线 和 的切点分别为 ， ，其中 ，
对于 有 ，则 上的切线方程为 ，即 ，
对于 有 ，则 上的切线方程为 ，即 ，所以 ，有 ，即 ，
令 ， ，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，故 ，即 .
∴正实数 的取值范围是 .
故答案为： .
题组二、利用导数研究函数的最值、极值与零点问题
2-1、（2022·江苏苏州·高三期末）已知函数 ，则（ ）
A． ，函数 在 上均有极值
B． ，使得函数 在 上无极值
C． ，函数 在 上有且仅有一个零点
D． ，使得函数 在 上有两个零点
【答案】BC
【解析】 ， 时， ， 无极值，A错，B对．
时， 在 上 ， ， ，
在 有且仅有一个零点．
时， 在 恒成立， 在
时， ， ， 在 有且仅有一个零点．
时， ， 或0， 在 ，．
时， ， 有且仅有一个零点．
， 有且仅有一个零点，C对，D错．
故选：BC
2-2、（2022·江苏海门·高三期末）已知函数 有三个零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A．(0， ) B．[0， ) C．[0， ] D．(0， )
【答案】A
【解析】 有三个零点，即方程 有三个根，
不妨令 ,则 ，
故 在 单调递减，在 单调递增，在 单调递减，
，且当 时， 恒成立.
当 趋近于负无穷时， 趋近于正无穷； 趋近于正无穷时， 趋近于 ，
故当 时，满足题意.
故选：A.
2-3、（2023·山西运城·统考三模）（多选题）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线 在 处的切线与直线 垂直
B． 在 上单调递增
C． 的极小值为
D． 在 上的最小值为
【答案】BC
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，故A错误；令 ，解得 ，所以 的单调递增区间为 ，
而 ，所以 在 上单调递增，故B正确；
当 时 ，所以 的单调递减区间为 ，
所以 的极小值为 ，故C正确；
在 上单调递减，所以最小值为 ，故D错误；
故选：BC
2-4、（2023·山西晋中·统考三模）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】只需比较 ， ， 的大小；令 ，则 ，
当 时， 单调递减，当 时 单调递增，
又 ，故 ，即 ；
故选：A.
2-5、（2023·安徽黄山·统考三模）已知定义域为 的函数 ，其导函数为 ，且满足
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】 ，则 ，
因为 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
所以 ， ，故A不正确；
所以 ，即 ，即 ，故B不正确；，即 ，即 ，故C正确；
，即 ，即 ，故D不正确；
故选：C.
题组三、利用导数研究函数性质的综合性问题
3-1、（2022·江苏通州·高三期末）（多选题）已知函数f(x)＝ekx，g(x)＝ ，其中k≠0，则（ ）
A．若点P(a，b)在f(x)的图象上，则点Q(b，a)在g(x)的图象上
B．当k＝e时，设点A，B分别在f(x)，g(x)的图象上，则|AB|的最小值为
C．当k＝1时，函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值小于
D．当k＝－2e时，函数G(x)＝f(x)－g(x)有3个零点
【答案】ACD
【解析】由 得 ， ，所以 是 的反函数，它们的图象关于直线
对称，A正确；
时， ， ，由 得 ， ，
所以函数 的与直线 平行的切线的切点是 ， 到直线 的距离是
，所以 ，B错；
时， ，则 ， 是增函数，
， ，所以 在 ，即在 上存在唯一零点 ，
， 时， ， 时， ，即 在 上递减，在 上递增，所以 ， ， ，所以 ，
由对勾函数知 在 上是减函数， ，所以 ，C正确；
时， 是减函数， 也是减函数，它们互为反函数，作出它们的图象，如图，易
知它们有一个交点在直线 上，在右侧， 的图象在 轴上方，而 的图象在 处穿过 轴过渡
到 轴下方，之间它们有一个交点，根据对称性，在左上方，靠近 处也有一个交点，因此函数
与 的图象有3个交点，所以 有3个零点，D正确．
故选：ACD．
3-2、（2023·浙江温州·统考三模）（多选题）已知函数 ，其中
是其图象上四个不重合的点，直线 为函数 在点 处的切线，则（ ）
A．函数 的图象关于 中心对称
B．函数 的极大值有可能小于零
C．对任意的 ，直线 的斜率恒大于直线 的斜率
D．若 三点共线，则 .
【答案】AD
【详解】设
因为
所以 为奇函数，图象关于原点对称，
所以 的图象关于点 中心对称，A正确；令 ，解得 ，
当 或 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以当 时， 取得极大值，
由单调性可知， ，故B错误；
因为 ，所以 ，
又 ，
所以
因为 ，所以 ，即 ，C错误；
同上，可得 ， ，
当 三点共线时，则有
整理得
因为 ，所以 ，即
又 ，所以 ，
整理得
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，D正确.
故选：AD
3-3、（2023·江苏南京·校考一模）（多选题）定义在 上的函数 满足 ，
，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 处取得极大值，极大值为B． 有两个零点
C．若 在 上恒成立，则
D．
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，求出函数 的解析式，再逐项分析即可判断作答.
【详解】 ，由 得： ，即 ，
令 ，而 ，则 ，即有 ， ，
当 时， ，当 时， ，即函数 在 上单调递增，在 上单
调递减，
于是得 在 处取得极大值 ，A正确；
显然 ，即函数 在 上有1个零点，而 时， 恒成立，
即函数 在 无零点，因此，函数 在定义域上只有1个零点，B不正确；
， ，令 ， ，
当 时， ，当 时， ，即函数 在 上递增，在 上递减，
因此，当 时， ，所以 ，C正确；
因函数 在 上单调递增，而 ，则 ，
又 ，则 ，即 ，D
正确.
故选：ACD.1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）设a为实数，函数 的导函数
是 ，且 是偶函数，则曲线 在原点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数加法法则，可得 ，结合偶函数概念可得 ，根据曲线在某点处的导数几何意义，
可得结果.
【详解】由
所以 ，
又 是偶函数，所以 ，
即
所以
则 ，
所以曲线 在原点处的切线方程
为
故选：A.
2、（2023·山东聊城·统考三模）若直线 与曲线 相切，则 的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【详解】设切点坐标为 ，因为 ，
所以 ，故切线的斜率为： ，，则 .
又由于切点 在切线 与曲线 上，
所以 ，所以 .
令 ，则 ，设 ，
，令 得： ，
所以当 时， ， 是增函数；
当 时， ， 是减函数.
所以 .
所以 的最大值为：1.
故选：B.
3、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知 ， ， （其中 为自然常
数），则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将 变形，得 ， ， ，构造函数 ，利用导数得 在
上为减函数，在 上为增函数，根据单调性可得 ， ，再根据
可得答案.【详解】 ， ， ，
设 ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
综上所述： .
故选：D.
4、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）（多选题）已知函数 的导函数 ，且
， ，则（ ）
A． 是函数 的一个极大值点
B．
C．函数 在 处切线的斜率小于零
D．
【答案】AB
【分析】根据导数符号与单调性的关系，以及极值的定义逐项分析判断.【详解】令 ，解得 ，则 在 上单调递增，
令 ，解得 或 ，则 在 上单调递减，
故 是函数 的一个极大值点， ，A、B正确；
∵ ，则 ，故函数 在 处切线的斜率大于零，C错误；
又∵ ，则 ，但无法确定函数值的正负，D错误；
故选：AB.
5、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）（多选题）已知 , ，下列说法
正确的是（ ）
A．存在 使得 是奇函数
B．任意 ､ 的图象是中心对称图形
C．若 为 的两个极值点，则
D．若 在 上单调，则
【答案】ABD
【分析】对于A，当 时, 为奇函数，从而即可判断；
对于B，设函数的对称中心为 ,根据 ，求出对称中心即可判断；
对于C，求导，由题意和韦达定理可得 ，，再由重要不等式得 ，即可判断；
对于D，由题意可得 恒成立，由 ，求解即可.
【详解】解：对于A，当 时, 为奇函数，故正确；
对于B，设函数的对称中心为 ,则有 ，又因为
，
，
所以 ，解得 ，
所以 的对称中心为 ，故正确；
对于C，因为 ，
又因为 为 的两个极值点，
所以 ， ，所以C错误；
对于D，若 单调，则有 恒成立，
所以 ，
解得 ，选项D正确.
故选：ABD.
