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专题 09 利用导函数研究函数的隐零点问题
(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
1、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数f (x)，导函数方程f '(x)=0的根存在，却无法求出，设方程
f '(x)=0的根为 x ，则有：
0
①关系式
f '(x )=0
成立；②注意确定
x
的合适范围.
0 0
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数f(x,a)，其中a为参数，导函数方程f '(x,a)=0的根存在，却无法求
出，设方程f '(x)=0的根为 x ，则有
0
①有关系式
f '(x )=0
成立，该关系式给出了
x ,a
的关系；②注意确定
x
的合适范
0 0 0
围，往往和a的范围有关.
3、函数零点的存在性
（1）函数零点存在性定理：设函数 在闭区间 上连续，且 ，那
么在开区间 内至少有函数 的一个零点，即至少有一点 ，使得
.
① 若 ，则 的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若 ，那么 在 不一定有零点
③ 若 在 有零点，则 不一定必须异号
(3)若 在 上是单调函数且连续，则 在 的零点唯
一.
二、典型题型
1．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数 ．
(1)讨论 在区间 上单调性；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．2．（2024·四川泸州·三模）已知函数 （ ），
(1)讨论函数 的零点个数；
(2)若 恒成立，求函数 的零点 的取值范围．
3．（23-24高二下·天津·期中）已知函数 ， ， ．
(1)求函数 的导数；
(2)若对任意的 ， ，使得 成立，求a的取值范围；
(3)设函数 ，若在区间 上存在零点，求a的最小值．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 ，讨论曲线 与曲线 的交点个数．三、专项训练
1．（2024·四川·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，求证： ．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，且 在点 处的切
线的斜率为 ．设函数 的最大值为 ．
(1)求 的值；
(2)求证： ；
(3)若不等式 ，求实数 的最大值．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个不同的零点，求实数 的取值范围．
4．（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 ，求实数 的取值范围.5．（23-24高三下·北京·开学考试）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ， ，求证：当 时， 有且仅有两
个不同的零点.
6．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）已知函数 .
(1)当 时，求在点 处的切线方程；
(2)若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
(3)当 时，讨论函数 零点的个数.
