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专题 09 利用导函数研究函数的隐零点问题
(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
1、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数f (x)，导函数方程f '(x)=0的根存在，却无法求出，设方程
f '(x)=0的根为 x ，则有：
0
①关系式
f '(x )=0
成立；②注意确定
x
的合适范围.
0 0
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数f(x,a)，其中a为参数，导函数方程f '(x,a)=0的根存在，却无法求
出，设方程f '(x)=0的根为 x ，则有
0
①有关系式
f '(x )=0
成立，该关系式给出了
x ,a
的关系；②注意确定
x
的合适范
0 0 0
围，往往和a的范围有关.
3、函数零点的存在性
（1）函数零点存在性定理：设函数 在闭区间 上连续，且 ，那
么在开区间 内至少有函数 的一个零点，即至少有一点 ，使得
.
① 若 ，则 的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若 ，那么 在 不一定有零点
③ 若 在 有零点，则 不一定必须异号
(3)若 在 上是单调函数且连续，则 在 的零点唯
一.
二、典型题型
1．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数 ．
(1)讨论 在区间 上单调性；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2)
【分析】（1）先求导函数，结合指数函数的单调性分区间讨论即可；
（2）分离参数，构造新函数利用导数研究其单调性与最值结合隐零点计算即可.
【详解】（1）由 ，
在 时， ，
若 ，即 在区间 上单调递增；
若 ，即 在区间 上单调递减；
若 ，令 ，令 ，
可知 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述： 时， 在区间 上单调递增；
时， 在区间 上单调递减；
时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）根据题意可知 恒成立，
设 ，
则 ，
令 ，
则 定义域上单调递增，易知 ，
即 ，使得 ，
即 时， ，此时 单调递减，
时， ，此时 单调递增，
则 ，
所以 ，即
2．（2024·四川泸州·三模）已知函数 （ ），
(1)讨论函数 的零点个数；
(2)若 恒成立，求函数 的零点 的取值范围．【答案】(1)1；
(2) .
【分析】（1）求出函数 的导数，利用导数探讨单调性，进而求出零点个数.
（2）由（1）的结论，按 分段讨论给定不等式，构造函数并利用导数探讨
单调性建立不等式求解即得.
【详解】（1）函数 的定义域为R，求导得 ，而 ，
由 得 ，由 得 ，因此函数 在 上递减，在
递增，
又当 时， 恒成立， ，因此函数 在 存
在唯一零点，
所以函数 的零点个数是1.
（2）由（1）知函数 存在唯一零点 ，且 ，
①当 时， ，由 得： ，即
，
设 ，求导得 ，
在 上单减，则 ，解得 ；
②当 时，由 得： ，即 ，
设 ，求导得 ，而 ，
则 ， 在 上单增，则 ，解得
，
综上得 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范
围；
②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，
就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
3．（23-24高二下·天津·期中）已知函数 ， ， ．
(1)求函数 的导数；
(2)若对任意的 ， ，使得 成立，求a的取值范围；
(3)设函数 ，若在区间 上存在零点，求a的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)1.
【分析】（1）求出函数 ，再结合复合函数求导法则求导即得.
（2）求出函数 在 上的最小值， 在 上的最大值，再由给定恒成立建立不
等式求解.
（3）求出函数 ，由 分离参数，构造函数 ，利用导数探讨值
域即可得解.
【详解】（1）函数 ，则 ，
由 ，求导得 ，
所以函数 的导数是 .
（2）函数 ，求导得 ， ，
，则 ， ，
函数 在 上单调递增，于是 ．
又 ，则 在 上也是单调递增， ，
由对任意的 ， ，使 成立，等价于 ，
因此 ，解得 ，
所以实数a的范围是 ．
（3）依题意， ，由 ，得 ，
令 ， ，求导得
，
令 ， ，求导得 ，即函数 在 上单调递增，显然 ， ，则存在唯一的 ，使得 ，即
，
即 ， ，则当 时， ，当 时，
，
函数 在 上单调递减，函数 在 单调递增，
因此 ，
当 时，令 ，求导得 ，
令 ，当 时， ，即函数 在 上递增，
，函数 在 上递增， ，
于是当 时， ，而函数 在 上递减，值域为
，
因此当 时，函数 无最大值，值域为 ，函数 在 的值域为
，
要使 在 存在零点，则 ，所以a的最小值为1．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ，
①若 ， ，总有 成立，故 ；
②若 ， ，有 成立，故 ；
③若 ， ，有 成立，故 ；
④若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集 ．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 ，讨论曲线 与曲线 的交点个数．
【答案】(1) ；
(2)2．
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解方程，
（2）求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，
结合最值求解.【详解】（1）依题意， ，故 ，
而 ，故所求切线方程为 ，即 ．
（2）令 ，故 ，
令 ，
，令 ，
．
①当 时， ，
在 上为减函数，即 在 上为减函数，
又 ，
在 上有唯一的零点，设为 ，即 ．
在 上为增函数，在 上为减函数．
又
，
在 上有且只有一个零点，在 上无零点；
②当 时， 单调递减，
又 ，
在 内恰有一零点；③当 时， 为增函数，
，
单调递增，又 ，所以存在唯一 ，
当 时， 递减；当 时， 递增，
，
在 内无零点．综上所述，曲线 与曲线 的交点个数为2．
【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导
数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构
造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采
用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的
函数往往是解题的关键.
三、专项训练
1．（2024·四川·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，求证： ．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数，进行分类讨论即可求出单调性.
（2）先对证明式子进行化简，再令新函数 ，求解函数
的单调性和最小值即可.
【详解】（1）函数 的定义域为 ．
因为 ，所以 ，由 得 或 ．
①当 时， ，所以 或 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
②当 时， ，则 在 上单调递增；
③当 时， ，所以 或 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
综上， 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增； 时， 在 上单调递增；
时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递
增．
（2） 等价于 ．
当 时， ，
则当 时， ，即证 ，
令 ，则 ．
而 ，令 ，
因为函数 在区间 上都是增函数，
所以函数 在区间 上单调递增．
存在 ，使得 ，
即 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 ，所以 .
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性的问题，要先对证明式进行等价
转化，构造新函数 ，在求 的单调性过程中，根据零点存
在定理找到 的隐零点 ，最后再求 的最小值即可证明.
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，且 在点 处的切
线的斜率为 ．设函数 的最大值为 ．
(1)求 的值；
(2)求证： ；
(3)若不等式 ，求实数 的最大值．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3)2.
【分析】（1）根据题意，求导可得 ，再由导数的几何意义即可得到结果；
（2）根据题意，将函数最值问题转化为隐零点问题，然后求导得最值，代入计算，即可证
明；
（3）根据题意，令 ，将不等式问题转化为最值问题，结
合函数的单调性以及零点存在定理，转化为零点问题，再结合（2）中的结论，再由导数的
应用代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，所以 ．
（2）证明：由（1）可知， ，且 的定义域是 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
即 在 上单调递减，且 ，
，由零点存在定理可得 ，使得 ，即 ，即 ，
且当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 的最大值 在 上单
调递增，所以 ．
（3）令 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，且 ，
当 时， ，
所以当 时， ，
由零点存在定理可得， ，使得 ，
即 ，即
即 ，
且当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的最小值为 ．
由（2）知， ，
所以 ，
设 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 的最小值 ．
又不等式 ，
所以 ，所以 的最大值为2．
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数最值问题以及函数零点问题，难度
较大，解答本题的关键在于将隐零点问题转化为函数的最值问题.
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个不同的零点，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增
(2)
【分析】（1）当 时，求得 ，结合 的单调性和 ，进而求
得函数 的单调区间；
（2）求得 ，设 ，求得 ，得到 在
上单调递增，得出存在 使得 ，得到 ，转化
为 ，设函数 ，利用导数求得 在 上单调递
减，结合 ，求得 的取值范围为 ，再设 ，利用导数求得函
数 的单调性与最值，即可求解.
【详解】（1）当 时，函数 ，可得 ，
由函数 在 上单调递增，且 ，
所以当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）由函数 ，可得 ，其中 ，
当 时，设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，且当 时， ，当 时， ，
所以由零点存在定理得存在唯一的 使得 ，即 ，
即 ，且 在 上单调递减，在 上单调递增．
当 时， ，当 时， ，
因此要使函数 有两个不同的零点，则只需 ，
即 ，
设函数 ，则 ，
则 在 上恒成立，所以 在 上单调递减，
而 ，故由 得 ，故 的取值范围为 ，
而 ，
设函数 ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 的值域为 ，所以 ，故 ，
所以实数 的取值范围为 ．
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用
方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定
参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结
合求解.
结论拓展：与 和 相关的常见同构模型
① ，构造函数 或 ；
② ，构造函数 或 ；
③ ，构造函数 或 .
4．（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据定义域可化简函数，构造新函数 ，即求 的
解集即可，而 ，所以解集为 ．
（2）引入隐零点x ，利用导数得到 在 上单调递减，在 上单调递增，
0
最后得到 的范围.
【详解】（1） 的定义域为
∴当 时， ，
令 ， ．
当 时， ， 在 上单调递减，当 时， ， 在
上单调递增，所以 ，
则不等式 的解集为 ．
（2）当 时， ，
令 ， 恒成立，
则 在 上单调递增，又 ，
，存在唯一的 使 ，且 ，
所以
当 时， ，由 ，
则 在 上单调递减，
当 时， ，由 ，（分开考虑导函数符号）
当 时， 在 上单调递增，则 ，所以当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
由题意则 ，
设 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，此时 ，即 ，
综上所述，实数 的取值范围为 ．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是构造新的函数，并利用隐零点法求解 的范围..
5．（23-24高三下·北京·开学考试）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ， ，求证：当 时， 有且仅有两
个不同的零点.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，分类讨论导数的正负，即可求出；
（2）求导得函数的单调区间，再利用零点存在性定理进行判断即可.
【详解】（1）由题，函数的定义域为 ，
.
当 时， 在 上单调递减.
当 时，在 上，有 ，在 上，有 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增.
当 时， 在 上单调递增.
当 时， 在 上单调递减.
综上所述，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.当 时， 在 上单调递增.
当 时， 在 上单调递减.
（2）证明：当 时， ，则 .
令 .
i. 时 恒成立， 在 上单调递增，
又 ， ，存在一个零点 ，使
.
ii. ， 恒成立， 在 上单调递减，
又 ， ，存在零点 ，使 .
， .
在 上单调递增， 上单调递减，又 ，
则 ， ，存在一个零点 ，使 .
iii. ， 恒成立， 在 上单调递减.
恒成立， 在 上没有零点.
综上所述， 在 只有两个零点.
【点睛】思路点睛：考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系，利用导数求
函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数，利用导数求函数的最值(极值)，解
决生活中的优化问题，考查数形结合思想的应用．
6．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）已知函数 .
(1)当 时，求在点 处的切线方程；
(2)若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
(3)当 时，讨论函数 零点的个数.
【答案】(1)
(2)
(3)有且仅有 个零点【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）求出函数的导函数，依题意可得 在 上恒成立，令
， ，利用导数说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围；
（3）首先可得 与 是 的两个零点，再利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性
定理判断即可.
【详解】（1）当 时， ，
所以 ， ，
所以切线方程为： ；
（2）因为 ，所以 ，
由函数 在 上单调递增，则 在 上恒成立．
令 ， ，
当 时， ，所以 恒成立．
所以 在 上单调递增，所以 ，所以 ；
（3）由 ，则 ， ．
所以 与 是 的两个零点．
因为 ，由（2）知，函数 在 上单调递增， ，无零点．
当 时， ， ， ，无零点．
当 时， ，设 ， ，
在 上递增，又 ， ，
存在唯一零点 ，使得 ．
当 时， ， 在 上递减；
当 时， ， 在 上递增，
又 ， ，所以，函数 在 上有且仅有 个零点．
综上，当 时，函数 有且仅有 个零点．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常
化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式
证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
