文档内容
专题 1.2 常用逻辑用语
思维导图
知识点总结
知识点一
充分条件、必要条件与充要条件
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p
p是q的充要条件 p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
知识拓展
1．(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充
分不必要条件．
(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．
2．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
知识点二 ．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的、任意一个、任给一个，用符号“∀”表示；存在
量词有：存在一个、至少有一个、有些，用符号“∃”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)
成立”用符号简记为 ∀ x ∈ M ， p ( x ) .
(3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x，使p(x)成
立”用符号简记为 ∃ x ∈ M ， p ( x ) .
2．含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
∀x∈M，p(x) ∃ x ∈ M ， 否 p ( x )
∃x∈M，p(x) ∀ x ∈ M ， 否 p ( x )
知识拓展
1．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．
2．常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面
等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是
词语
否定
不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是
词语
正面 至多 至少
都是 任意的 所有的
词语 有一个 有一个
否定 至少 一个
不都是 某个 某些
词语 有两个 也没有
典型例题分析
考向一 充分、必要条件的判断
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】例1
“x2>4”是“3x>9”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为x2>4⇔x>2或x<－2,3x>9⇔x>2，记A＝{x|x>2或x<－2}，B＝{x|
x>2}，则 BA，所以 x2>4 不能推出 3x>9,3x>9 能推出 x2>4，所以“x2>4”是
“3x>9”的必要不充分条件．故选B.
若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，l⊥α，则“l⊥m”是“m∥α”
的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由l⊥α，l⊥m，得m∥α或m⊂α，不满足充分性，由l⊥α，m∥α，得
l⊥m，满足必要性，故“l⊥m”是“m∥α”的必要不充分条件．故选B.
充分、必要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．
考向二 根据充分、必要条件求参数的范围
例2 已知关于x的不等式(x－a)(x－3)>0成立的一个充分不必要条件是－
10的解集的一个真子集．当a
＝3 时，不等式(x－a)(x－3)>0 的解集为{x|x≠3}，此时(－1,1){x|x≠3}；当
a>3时，不等式(x－a)(x－3)>0的解集为(－∞，3)∪(a，＋∞)，此时(－1,1)(－
∞，3)，符合题意；当a<3时，不等式(x－a)(x－3)>0的解集为(－∞，a)∪(3，
＋∞)，由题意可得(－1,1)(－∞，a)，此时1≤a<3.综上所述，a≥1.
1．条件、结论的相对性
充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条
件”，哪个是“结论”．要注意条件与结论间的推出方向．如“A是B的充分
不必要条件”是指A⇒B但B A；“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A但A
B.以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆．
2．根据充分、必要条件求解参数范围的方法
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间
的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两
个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值
的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
考向三 充要条件的证明与探求
例3 已知a，b，c均为实数，求证：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0有一正
根和一负根的充要条件是ac<0.
证明 (1)充分性：如果ac<0，则b2－4ac>0且<0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和
一负根．
(2)必要性：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
则Δ＝b2－4ac>0，<0，所以ac<0.
由(1)(2)知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是
ac<0.
考向四 全称量词命题、存在量词命题真假的判断
例4
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R，x2≥0
B．∀x∈R,2x－1>0
C．∃x∈R，lg x<1
D．∃x∈R，sinx＋cosx＝2
答案 D
解析 A显然是真命题；由指数函数的性质知2x－1>0恒成立，所以B是真
命题；当02,2x>x2
C．∃α，β∈R，sin(α－β)＝sinα－sinβ
D．∀x∈(0，π)，sinx>cosx
答案 ABD
解析 ∵x2＋1≥1，∴ln (x2＋1)≥0，故A是假命题；当x＝3时，23<32，故
B 是假命题；当 α＝β＝0 时，sin(α－β)＝sinα－sinβ，故 C 是真命题；当 x＝
∈(0，π)时，sinx＝，cosx＝，sinx2
D．∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
答案 D
解析 存在量词命题的否定是全称量词命题，原命题的否定形式为
“∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”．故选D.
写出全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤
(1)准确审题：明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其
量词的位置及相应结论．
(2)改写量词：确定命题所含量词的类型，若命题中无量词，则要结合命题
的含义加上量词，再对量词进行改写．
(3)否定结论：对原命题的结论进行否定．
基础题型训练
一、单选题
1．命题“ ”的否定为（ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定判断，即可得到结果.
【详解】命题“ ”，
则其否定为
故选:C.
2．命题“ ”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由含量词命题否定的定义，写出命题的否定即可．
【详解】命题“ ， ”的否定是： ， ，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关含有一个量词的命题的否定问题，正确解题的关
键是要明确全称命题的否定是特称命题，注意表达形式即可.
3．已知命题 ， （ 且 ），则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】全称命题的否定是特称命题，故 .
故选： .
【点睛】本题考查了全称命题的否定，意在考查学生的推断能力.
4．“ ”是“ 的
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据指数函数与对数函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求
解.
【详解】由 ，可得 ，又由函数 为单调递增函数，可得
成立，即充分性是成立的；
反之：由 ，可得 ，例如： ，此时 不成立，即必要性是不
成立的，
所以“ ”是“ 的充分而不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了指数函数与对数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中
解答中熟记指数函数与对数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法求解是解答的关
键，着重考查了推理与论证能力.
5．已知命题 ： ， 是真命题，那么实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得 对于 恒成立，讨论 和 即可求解.
【详解】若命题 ： ， 是真命题，
则 对于 恒成立，
当 时， 可得： 不满足对于 恒成立，所以 不符合题意；
当 时，需满足 解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以实数 的取值范围是 ，
故选：C
【点睛】关键点点睛：对于 对于 恒成立，需讨论 和 ，当
时，结合二次函数图象即可得等价条件.
6．下列说法中，正确的是
A．命题“若 ，则 ”的否命题是假命题
B．设 为两不同平面，直线 ，则“ ”是 “ ” 成立的充分不必要条
件
C．命题“存在 ”的否定是“对任意 ”
D．已知 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件
【答案】B
【详解】试题分析：（1）命题“若 ，则 ”的逆命题为“若 ，
则 ”，为真命题，所以原命题的否命题也为真命题，所以A不正确；
（2）根据面面垂直的判定定理由 可得 ；但 ， 不一定可得
，所以“ ”是 “ ” 成立的充分不必要条件，所以B正确；
（3）命题“存在 ”的否定是“对任意 ， ”．所以C不正
确；
（4）因为 是 的真子集，所以“ ”是“ ”必要不充分条件．所以
D不正确．
综上可得B正确．
考点：1命题的真假；2充分必要条件．
二、多选题
7．下列叙述正确的是（ ）
A．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B． ，使得
C．已知 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
D． ；q：对 不等式 恒成立，p是q的充分不必要条件
【答案】AC
【分析】取 ， 可判断A；取 可判断B；由 可判断
C；由 可判断D.
【详解】对于选项A：当 ， 时，不等式成立，故A正确；
对于选项B：当 时，不存在实数 使得不等式成立，故B错误；
对于选项C： ，因为 ，所以“ ”是“
”的必要不充分条件，故C正确；
对于选项D： ，因为 ，所以 是 的必要不充分条件，故D错
误.
故选：AC.
8．下列说法是正确的是（ ）
A．命题“ ，都有 ”的否定是“ ，都有 ”
B． 中，角 、 、 成等差数列的充分条件是
C．若函数 满足 ，则函数 是周期函数
D．若 ，则实数 的取值范围是
【答案】ABC
【解析】由全称命题的否定可判断A选项的正误；利用等差中项的性质以及三角形的内角
和定理可判断B选项的正误；推导出 ，可判断C选项的正误；取 可判
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】断D选项的正误.
【详解】对于A选项，命题“ ，都有 ”为全称命题，
该命题的否定为“ ，都有 ”，A选项正确；
对于B选项，在 中，若角 、 、 成等差数列，则 ，
由三角形的内角和定理可得 ， ，
所以，在 中，角 、 、 成等差数列的充分条件是 ，B选项正确；
对于C选项，由于函数 满足 ，
则 ，
所以，函数 为周期函数，C选项正确；
对于D选项，取 ，则 无意义，D选项错误.
故选：ABC.
【点睛】本题考查命题正误的判断，考查了全称命题的否定、充分条件的判断、周期函数
的判断以及不等式的求解，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
三、填空题
9．“ ”是“ ”的___________条件.（用“充要”“充分不必要”“必要不充
分”“既不充分也不必要”填空）
【答案】充分不必要
【分析】由“充分不必要条件”的定义即可求得答案.
【详解】由“ ”可得“ ”或“ ”，所以“ ”是“ ”充分不必要条
件．
故答案为：充分不必要.
10．若命题“ ”是假命题，则实数 的取值范围是______.
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.
【详解】命题“ ”的否定为：“ ， ”.
因为原命题为假命题，则其否定为真.当 时显然不成立；当 时， 恒成立；当
时，只需 ，解得： .
综上有
故答案为： .
11．已知命题 ：“ 或 ”， ：“ ”，则P是Q成立的______
【答案】必要非充分条件
【分析】可以考虑逆否命题的充分必要性，即得解.
【详解】先考虑充分性，即考虑 是否成立，
其逆否命题为： , “ ”， ：“ 且 ”，
显然 不成立，所以P是Q成立的非充分条件；
再考虑必要性，即考虑 是否成立，
其逆否命题为： , “ ”， ：“ 且 ”，
显然 成立，所以P是Q成立的必要条件.
所以P是Q成立必要非充分条件.
故答案为必要非充分条件
【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，考查逆否命题，意在考查学生对这些知识的
理解掌握水平.
12．方程 至少有一个正实数根的充要条件是________；
【答案】
【分析】讨论 ， 和 三种情况，计算得到答案.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】当 时，方程为 满足条件.
当 时， 方程恒有两个解，且 ，两根一正一负，
满足条件
当 时， ，即 ，此时， ，
，两根均为正数，满足条件
综上所述：
故答案为
【点睛】本题考查了充要条件，分类讨论是一个常用的方法，需要同学们熟练掌握.
四、解答题
13．设 ，求证： 成立的充要条件是xy≥0．
【答案】证明见解析．
【详解】证明：
（充分性）若xy=0， 成立;
若 , ；
若 ,
(必要性)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．已知集合 ， 或 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，且“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）由 ，得到 ，再利用交集的运算求解.
（2）根据 或 ，得到 ，然后根据“ ”是“
”的充分不必要条件,由A是 的真子集，且 求解.
【详解】（1）∵当 时， ， 或 ，
∴ ；
（2）∵ 或 ，
∴ ，
因为“ ”是“ ”的充分不必要条件,
所以A是 的真子集，且 ，
又 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及逻辑条件的应用，属于基础题.
15．设 是实数，命题 ：函数 的最小值小于0，命题 ：函数
在 上是减函数，命题 ： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）若“ ”和“ ”都为假命题，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】分别求解出命题 为真时和命题 为真时 的取值范围；（1）由已知可知 真
假，从而可得不等式组，解不等式组求得结果；（2）根据充分不必要条件的判定方法可得
不等式组，解不等式求得结果.
【详解】当命题 为真时：
则函数 的最小值为 ，解得：
当命题 为真时：
，则不等式 在 上恒成立
，解得：
（1）因为“ ”和“ ”都为假命题
为真命题， 为假命题
实数 的取值范围是
（2）若 是 的充分不必要条件
则 ，解得：
故实数 的取值范围是
【点睛】本题考查根据命题、含逻辑连接词的命题的真假性求解参数范围、利用充分条件
和必要条件的判断方法求解参数范围问题，属于基础题.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】16．已知全集为 ，集合 ， .
(1)求 ；
(2)若 ，且“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的
取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先分别求出集合 ，然后再求交集即可；
（2）可分析出 是 的真子集，列出不等式求解即可.
【详解】（1）解： 解得 所以 ，
由 解得 ，所以 ，
所以
（2）解：因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，
所以 且 ，
所以 （等号不同时成立）得 ，
所以实数 的取值范围是 .
提升题型训练
一、单选题
1．设命题 ，则 为 （ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】C
【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得答案.
【详解】根据特称命题的否定是全称命题,
为
故选：C.
2．设 ，则“ ”是“直线 ： 与直线 ： 平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】结合直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】∵当 时， 直线 与直线 重合，充分性不具备，
当 与 平行时，显然a≠0，
需 ，此时无解，必要性不具备，
故选D.
【点睛】本题考查了直线平行、简易逻辑的判定方法分类讨论方法，考查了推理能力与计
算能力，属于基础题．
3．“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用 或 ，结合充分条件与必要条件的定义可
得结果.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】根据题意，由于 或 ，
因此 可以推出 ，反之，不成立，
因此“ ”是“ ”的充分而不必要条件，故选A.
【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直
接依据定义、定理、性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，
除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，
转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
4．已知命题 使 ；命题 当 时， 的最
小值为4．下列命题是真命题的是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：因为命题 使 为真命题，而命题 当
时， 的最小值为4为假命题（因为等号取不到）故 为真命题，则
为真，选A
考点：简易逻辑
5．在 中，“ ”是“ ”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【详解】试题分析： 中，若 ，则 或 ，反之，若 ，则一定有
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，所以在 中，“ ”是“ ”的必要非充分条件，故选B．
考点：1、已知三角函数求角；2、充分条件与必要条件.
6．给出下列四个说法：
①命题“ ，都有 ”的否定是“ ，使得 ”；
②已知 、 ，命题“若 ，则 ”的逆否命题是真命题；
③ 是 的必要不充分条件；
④若 为函数 的零点，则 .
其中正确的个数为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定可判断出命题①的真假；根据原命题的真假可判断出命题②
的真假；解出不等式 ，利用充分必要性判断出命题③的真假；构造函数 ，
得出 ，根据零点的定义和函数 的单调性来判断命题④的正
误.
【详解】对于命题①，由全称命题的否定可知，命题①为假命题；
对于命题②，原命题为真命题，则其逆否命题也为真命题，命题②为真命题；
对于命题③，解不等式 ，得 或 ，所以， 是 的充分不必要条件，
命题③为假命题；
对于命题④，函数 的定义域为 ，
构造函数 ，则函数 为增函数，
又 ，
为函数 的零点，则 ，
， ，则 ，命题④为真命题.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选C.
【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及命题的否定，四种命题的关系，充分必要的判断
以及函数的零点，考查推理能力，属于中等题.
二、多选题
7．下列能成为 充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】分别解出选项中的集合，再根据充分条件与集合的包含关系，求参数的取值范围.
【详解】 ，即 ，
分别解出选项中的集合：
A. 或 ，得 或 ，即 或 ；
B. ，即 ；
C. ，得 或 ，即 或 ；
D. ，即 ，
要能成为 充分条件，选项中的解集需是集合 的子集，其中只有BD
符号题意.
故选：BD
【点睛】本题考查充分条件与集合的包含关系，重点考查计算能力，以及理解充分条件，
属于基础题型.
8．下列说法正确的是
A．命题“若 且 ，则 ”为真命题
B．“若直线 与直线 平行，则 ”的逆命题是真命题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．若 ： ，使得 ，则 ： ，使得
D．“ ”是“ ”的充要条件
【答案】AB
【解析】依次判断每个选项：判断知 正确；根据平行的性质知 正确； 选项应为
，使得 ； 应为充分不必要条件，得到答案.
【详解】A. 命题“若 且 ，则 ”为真命题，正确；
B.逆命题是：若 ，则直线 与直线 平行，即 和
平行，正确；
C. 若 ： ，使得 ，则 ： ，使得 ， 错误；
D. “ ”是“ ”的充分不必要条件，错误；
故选： .
【点睛】本题考查了命题的真假判断，逆命题，特称命题的否定，充要条件，意在考查学
生的综合应用能力.
三、填空题
9．命题 ： ， 的否定 ________.
【答案】 ，
【分析】根据全称量词命题的否定的知识填写正确结果.
【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论，所以
， .
故答案为： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】本小题主要考查全称量词命题的否定，属于基础题.
10．已知集合 ，若 是 的充分不必要
条件，则 的取值范围为______________
【答案】
【分析】根据集合之间的包含关系，列出不等关系，即可求得结果.
【详解】根据题意，集合 是集合 的真子集；
故 ， ，且不能同时取得等号，
解得 ，故 的取值范围为： .
故答案为： .
11．已知直线 和 ，则 ∥ 的充要条件是 =______．
【答案】3
【分析】根据直线平行关系求出 的取值即为其充要条件.
【详解】直线 和 ，
则 ∥ ，即 ， ，
解得： 或 ，
当 时： 和 平行；
当 时： 和 重合，不满足平行，
所以 .
故答案为：3
【点睛】此题考查根据两条直线平行求参数的值，根据平行关系求参数，注意考虑直线重
合的情况.
12．设函数 的定义域为D，若命题p：“ ， ”为假
命题，则a的取值范围是___________.
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据特称命题为假命题转化为全称命题是真命题，进而转化为恒成立问题，
利用恒成立问题即可求解.
【详解】命题p：“ ， ”为假命题，则“ ， ”为真命题.
则函数 的图象要恒在 图象的上方（两个式需都有意义）.
作图可知 .
所以a的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题
13．下列各题中， 是 的什么条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条
件”“既不充分也不必要条件”，下同）？
（1） ；（2） 有意义；（3） .
【答案】（1） 是 的必要不充分条件；（2） 是 的充要条件；（3） 是 的充分不
必要条件.
【解析】（1）根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果；
（2）根据 有意义，得到 ，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果；
（3）根据 ，得到 ，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）因为由 不能推出 ；由 能推出 ；所以 是 的必要不充分
条件；
（2）因为 有意义，所以 ，所以 ，即 是 的充要条件；
（3）由 得 ，所以由 能推出 ；由 不能推出 ；所以 是 的
充分不必要条件.
【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型.
14．命题 ：“ ， ”，命题 ：“ ， ”，若
和 中至少有一个是假命题，求实数 的取值范围．
【答案】 ．
【分析】先求出 和 均为真命题时的实数 的取值范围，再利用补集求出符合题意的实
数 的取值范围．
【详解】若 是真命题，则 对于 恒成立，所以 ，
若 是真命题，则关于 的方程 有实数根，
所以 ，即 ，
若 和 同时为真命题，则 ，所以 ，
所以当 和 中至少有一个是假命题时，有 ．
15．已知全集 ，集合 ，集合 ，其中 .
(1)当 时，求 ；
(2)若“ ”是“ ”的充分条件，求a的取值范围.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定 ， ，再计算补集得到答案.
（2）根据充分条件得到 ，得到 ，解得答案.
【详解】（1） ，故 ， ，
（2）“ ”是“ ”的充分条件，故 ，故 ，
解得 ，故a的取值范围是
16．已知全集 ，集合 ，集合 ．条件①
；② 是 的充分条件；③ ，使得 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）可将 带入集合 中，得到集合 的解集，即可求解出答案；
（2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合 与集合 之间的关系，即可完成求解.
【详解】（1）当 时，集合 ，集合 ，所以
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（2）i.当选择条件①时，集合 ，
当 时， ，舍；
当集合 时，即集合 ， 时， ，
此时要满足 ，则 ，解得 ，
结合 ，所以实数m的取值范围为 或 ；
ii.当选择条件②时，要满足 是 的充分条件，则需满足在集合 时，
集合 是集合 的子集，即 ，解得 ，
所以实数m的取值范围为 或 ；
iii.当选择条件③时，要使得 ，使得 ，那么需满足在集合 时，
集合 是集合 的子集，即 ，解得 ，
所以实数m的取值范围为 或 ；
故，实数m的取值范围为 或 .
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