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专题 1.2 常用逻辑用语
题型一 充分条件与必要条件的判定
题型二 根据充分（必要）条件求参数的范围
题型三 全称（存在）量词命题的否定
题型四 全称（存在）量词命题真假的判断
题型五 全称（存在）量词命题中有关参数的取值范围
题型一 充分条件与必要条件的判定
例1．（2023·陕西榆林·统考三模）已知两个非零向量 ，则“ ”
是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据向量的共线的坐标运算，求得 ，再结合充分条件、必要条件的判定方
法，即可求解.
【详解】因为 且 ，可得 ，解得 或 ，
又因为 为非零向量，所以 ，即 ，故“ ”是“ ”的充要条件．
故选：C.
例2．（2022秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）（多选）不等式 成
立的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】求出对数不等式的解集，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】解不等式 得： ，解得 ，即原不等式的解集为
，
、 与 的交集都空集，因此选项A，B都不是；
而 ， ，因此选项C、D都是.
1故选：CD
练习1．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【分析】先推导出充分性不成立，再举出反练习得到必要性不成立.
【详解】因为 ，所以 或 ，则 或 ，
故充分性不成立，
若 ，满足 ，但不满足 ，必要性不成立，
故“ ”是“ ”的既不充分又不必要条件.
故选：D
练习2．（2023·重庆·统考二模）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】将已知转化为集合的关系再利用充分条件和必要条件的定义处理即可.
【详解】由 可得其解集为： ，由 可得其解集为： .
而 ，即由“ ”可以推出“ ”，反过来“ ”不能推出
“ ”，故“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
练习3．（2023·河南·校联考二模）设椭圆 的离心率为 ，则“
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义，结合椭圆方程，讨论 判断充分性，由离心率定义判
断必要性，即可得答案.
【详解】当 时 ，则 ；当 时 ，则 ；
2所以 推不出 ，充分性不成立；
当 时，则 ，必要性成立；
综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
练习4．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知圆 和圆
，其中 ，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆与圆的位置关系求参数范围，结合充分、必要性定义确定答案即可.
【详解】由 且半径 ， 且半径 ，结合a大于0，
所以 时，两圆相交，则 ，
由选项可得A选项为 的充要条件；
B、D选项为 的必要不充分条件；
C选项为 的充分不必要条件；
故选：C
练习5．（2023春·四川内江·高二威远中学校校考期中）“ ”是“ ”的充分不必
要条件，若 ，则 取值可以是___________（满足条件即可）.
【答案】0（答案不唯一，满足 且 均可）.
【分析】利用充分不必要条件的定义求解.
【详解】解：因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，且 ，
所以 且 ，故可取0，
故答案为：0（答案不唯一，满足 且 均可）
题型二 根据充分（必要）条件求参数的范围
例3．（2022春·四川绵阳·高二校考期中）关于 的一元二次方程 有两个不
相等正根的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
3【分析】 有两个不相等正根的充要条件是： ，解不等式组即可求
出a的取值范围.
【详解】解：关于 的一元二次方程 有两个不相等正根的充要条件是：
，解得 ，
故选：B.
例4．（2023·山东潍坊·统考二模）若“ ”是“ ”的一个充分条件，则
的一个可能值是__________.
【答案】 （只需满足 即可）
【分析】解不等式 ，可得出满足条件的一个 的值.
【详解】由 可得 ，则 ，
所以， ，解得 ，
因为“ ”是“ ”的一个充分条件，故 的一个可能取值为 .
故答案为： （只需满足 即可）.
练习6．（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知 ，条件 ，条件
，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出条件q的x的范围，再根据充分不必要建立不等式求解即可.
【详解】条件q：由不等式 ， 解得： ，
4若p是q的充分不必要条件，则 ，
所以 解得 .
故选：A．
练习7．（2023·全国·高三专题练习）函数 是偶函数的充分必
要条件是（ ）．
A． B．
C． 且 D． ， 且
【答案】C
【分析】利用偶函数的定义求得 恒成立，即可求出a，c，再验证
时情况即可判断作答.
【详解】显然函数 定义域为R，
因 是偶函数，即 ，亦即
，
整理得 ，而 不恒为0，因此， ，即 且 ，
当 时， 也是偶函数，D不正确，
所以一定正确的是C.
故选：C
练习8．（2023春·云南红河·高二校考阶段练习）若“ ”是“ ”的必要不
充分条件，则实数a能取的最大整数为_______________．
【答案】
【分析】先由集合与充分必要的关系得到 是 的真子集，从而利用数轴
法得到 ，由此得解.
【详解】因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，
所以 是 的真子集，
因为 等价于 ，
5所以 是 的真子集，
所以 ，
所以实数a能取的最大整数为 .
故答案为： .
练习9．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知集合 ，
．
(1)求A；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出 即可；
（2）由题意知若“ ”是“ ”的充分不必要条件则集合 是集合 的真子集，
求出m的取值范围，再讨论即可.
【详解】（1）由 ，可得 ，
所以 ，所以集合 .
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，
则集合 是集合 的真子集，
由集合 不是空集，故集合 也不是空集，
所以 ，
当 时， 满足题意，
当 时， 满足题意，
故 ，即m的取值范围为 .
练习10．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）设全集 ，集合
，其中 ．
(1)若“ ”是“ ”成立的必要不充分条件，求 的取值范围；
(2)若命题“ ，使得 ”是真命题，求 的取值范围．
6【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求解集合 ，根据条件转化为集合的包含关系，列式求解；
（2）根据条件转化为 ，列式求 的取值范围.
【详解】（1） ，得 ，解得： ，即 ，
因为“ ”是“ ”成立的必要不充分条件，所以 ，
则 ，解得： ；
（2）由条件可知， ， 或 ，
所以 或 ，解得： ，
所以 的取值范围是
题型三 全称（存在）量词命题的否定
例5．（2023·四川达州·统考二模）命题p： ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】对全称量词的否定用存在量词，直接写出 .
【详解】因为对全称量词的否定用存在量词，
所以命题p： ， 的否定为： ， .
故选：D
例6．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）命题“ ， ”的否定
是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】由存在量词命题的否定形式可直接确定结果.
【详解】由存在量词命题的否定知：原命题的否定为 ， .
故选：D.
7练习11．（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）命题“
”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解.
【详解】命题“ ”的否定是 ,
故选：D
练习12．（2023·全国·高一专题练习）命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】全称量词命题否定为存在量词命题即可.
【详解】命题“ ”的否定是“ ”.
故选：A
练习13．（2022秋·浙江杭州·高一校考阶段练习）命题 ， ，
则命题 的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.
【详解】解：因为命题 ， 是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即 ， ，
故选：B
练习14．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考阶段练习）命题：“ ，
”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
8【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论.
【详解】命题：“ ， ”为存在量词命题，该命题的否定为“ ，
”.
故选：B.
练习15．（2021秋·高一课时练习）命题 ，则命题 的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接根据存在量词命题的否定是全称量词命题得到答案.
【详解】命题 ，的否定是 ，
故选：C
题型四 全称（存在）量词命题真假的判断
例7．（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知命题 （ 为自然对数的底
数） ，则下列为真命题的是（ ）
A． 真， 假 B． 真， 真
C． 假， 真 D． 假， 假
【答案】C
【分析】由全称量词，存在量词定义判断命题p，q正误可得答案.
【详解】 命题 为假命题， ，必有 ，所以 ，
命题 为真命题.
故选：C.
例8．（2022秋·高一校考课时练习）下列命题中的真命题是__________.
① ， ;
② ， ;
③所有的量词都是全称量词.
【答案】①②
【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的含义判断命题的真假即可.
【详解】①因为 ，所以 ， ，故①为真命题；
②当 时， ，所以 ， ，故②为真命题；
③量词有全称量词和存在量词，故③为假命题.
故答案为：①②.
9练习16．（2023春·重庆·高三重庆市长寿中学校校考期末）已知P，Q为R的两个非空真
子集，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】根据条件画出 图，根据图形，判断选项.
【详解】因为 ，所以 ，如图，
对于选项A：由题意知 P是 Q的真子集，故 ， ，故不正确，
对于选项B：由 是 的真子集且 ， 都不是空集知， ， ，故正
确.
对于选项C：由 是 的真子集知， ， ，故不正确，
对于选项D：Q是 的真子集，故 ， ，故不正确，
故选：B
练习17．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）下列命题中的假命题是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】A、B、C可通过取特殊值法来判断；D由指数函数的性质来判断.
【详解】当 时， ，故A正确；
当 时， ，故B正确；
当 时， ，故C错误；
由指数函数的性质可知， ， ，故D正确.
故选：C.
练习18．（2023·山东枣庄·统考二模）已知集合 ， ，
则（ ）
10A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】先求出 ，在判断两个集合的关系，从而可得出答案.
【详解】 ，
则集合 是集合 的真子集，
所以 ， ， ， ，
故ABD错误，A正确.
故选：C.
练习19．（2023秋·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据全称量词命题和特称量词命题的定义判断.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，A错误；
对于B，当 时， ，B错误；
对于C，当 时， ，C正确；
由 可得 均为无理数，故D错误，
故选:C.
练习20．（2022秋·广西百色·高一校考阶段练习）（多选）关于命题p：“
”的叙述，正确的是（ ）
A．p的否定： B．p的否定：
C．p是真命题，p的否定是假命题 D．p是假命题，p的否定是真命题
【答案】AC
【详解】p的否定为“ ”，A对B错；
，所以p是真命题，则p的否定是假命题，故C对D错.
故选：AC
题型五 全称（存在）量词命题中有关参数的取值范围
例9．（2022秋·江西抚州·高一统考期末）若 ，使得 成立是假
命题，则实数 可能取值是（ ）．
11A． B． C．4 D．5
【答案】B
【分析】由题意得到 ， 成立是真命题，转化为 在
上恒成立，由基本不等式得到 ，从而得到 ，从而求出答案.
【详解】由题意得： ， 成立是真命题，
故 在 上恒成立，
由基本不等式得： ，当且仅当 ，
即 时，等号成立，
故 ，
故选：B.
例10．（2021秋·高一课时练习）已知命题 ”的否定为真命题，则
实数 的取值范围是______________.
【答案】
【分析】问题等价于 有解，即 或 ，解得答案.
【详解】已知问题等价于 有解，即 或 ，解得 .
故答案为：
练习21．（2022秋·陕西西安·高一校考期末）若命题“ 时， ”是假命题，
则m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由否命题为真命题可得 ，求 的最小值即可.
【详解】因为命题“ 时， ”是假命题，
所以命题“ 时， ”是真命题，
12即有 ，
易知当 ， 有最小值0,
所以 .
故选：C
练习22．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知命题“ ，
”为真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题知 时， ，再根据二次函数求最值即可得答案.
【详解】解：因为命题“ ， ”为真命题，
所以，命题“ ， ”为真命题，
所以， 时， ，
因为， ，
所以，当 时， ，当且仅当 时取得等号.
所以， 时， ，即实数 的取值范围是
故选：C
练习23．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知命题 ，若 为真
命题，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据题意知 恒成立，求出 时， 的最小值，即可求出实
数 的取值范围.
【详解】若 为真命题，等价于 ，
∵ ，当且仅当 时，等号成立，
∴ ，即 ，
可得 ，故实数 的取值范围是 .
故答案为： .
练习24．（2022秋·四川成都·高二树德中学校考期末）已知“ ，都有不
等式 成立”是假命题，则实数 的取值范围为______．
13【答案】
【分析】根据命题的否定得“ ，使得 成立”是真命题，进而
转化成最值问题，利用二次函数的性质即可求解最值.
【详解】“ ，都有不等式 成立”是假命题，故“
，使得 成立”是真命题，
因此 ，使 ，只需要 ，
而二次函数 在 单调递减，在 单调递增，故当 时， 取
最大值 ，因此 ，
故答案为：
练习25．（2021秋·高一课时练习）若“ ”是真命题，则实数 的取
值范围是________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程有解，利用判别式求解.
【详解】根据题意知， ，解得， ，
所以实数m的取值范围是 .
故答案为：
14
