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第 20 讲 数列综合
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
S ＝＝na ＋d.
n 1
(2)等比数列的前n项和公式：
S ＝
n
2.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得
其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，
这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{a }的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同
n
一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
二、考点和典型例题
1、分组转化求和
【典例1-1】（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知数列 的通项公式为
为数列的前n项和， （ ）
A．1008 B．1009 C．1010 D．1011
【答案】D
【详解】
解：因为当 为奇数时 ， 为偶数时 ，
所以 ，所以 ，
所以 ；
故选：D
【典例1-2】（2022·江苏常州·模拟预测）己知数列 满足 ，在 之间插入n
个1，构成数列 ： ，则数列 的前100项的和为（ ）
A．178 B．191 C．206 D．216
【答案】A
【详解】
解：数列 满足 ，在 ， 之间插入 个1，构成数列 ，1， ，1，1，
，1，1，1， ， ，
所以共有 个数，
当 时， ，
当 时， ，
由于 ，
所以 ．
故选：A．
【典例1-3】（2022·河北沧州·二模）（多选）已知数列 满足
，记 的前 项和为 ，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】BCD
【详解】
因为 ，
所以当 为奇数时， ；当 为偶数时， .
所以 ，选项 错误；又因为 ，所以 ，选项B正确；
故C正确
，选项D正确.
故选：BCD
【典例1-4】（2022·湖北·襄阳五中二模）已知数列 、 ， ， ，
其前 项和分别为 ， ，（1）记数列 的前 项和分别为 ，则
=_________；（2）记最接近 的整数为 ，则 _________．
【答案】 2550
【详解】
依题意， ，
则
，即有 ，从而有 ，即 ，
若 ，则 ，若 ，则 ，
，
所以 .
故答案为： ；2550．
【典例1-5】（2022·海南省直辖县级单位·三模）已知等差数列 的前n项和为 ，数列
是等比数列， ， ， ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，设数列 的前n项和为 ，求
【答案】(1) ， (2)
【解析】(1)
设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 （ ），
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
(2)
由（1）知， ，
∴ ，
∴ ，
【典例1-6】（2022·湖北武汉·模拟预测）已知数列 中， 且
．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
【解析】(1)
因为 ， ，所以 ，
又因为 ，所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列．
(2)由（1）得， ，所以， ，
．2、裂项相消法求和
【典例2-1】（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知数列 满足
，则数列 的前5项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为 ，
所以 .
所以 前5项和为
故选：D
【典例2-2】（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知数列 的各项互异，且
，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【详解】
由题意，得 ，则 ，
即 ，所以 .
故选：C.
【典例2-3】（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知等比数列{ }各项均为正数，
， 、 为方程 (m为常数)的两根，数列{ }的前n项和为 ，且
，求数列 的前2022项和为_________．
【答案】
【详解】
等比数列{ }中 、 为方程 的两根
，
设数列{ }的公比为 ，则 ，且
又 ，所以 ，
所以
∴
∴
∴数列 的前2022项和
，故答案为： .
【典例2-4】（2022·广东·模拟预测）已知函数 满足 时，
， ．若函数 的图像与x轴恰好有
个不同的交点，则 _________．
【答案】
【详解】
∵ ，∴ ，所以函数 周期为4，
当 时， ，即 ；
当 时， ，函数周期为4，
令 ，
即 与函数 恰有 个不同的交点，
根据图象知，直线 与第 个半圆相切，
故 ，
故 ，所以 ．
故答案为： .
【典例2-5】（2022·重庆·模拟预测）已知数列 的前n项和为Sn， ， ，
且
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 ，数列{bn}的前n项和为Tn，求使得Tn＞0的n的最大值．
【答案】(1)an＝2n﹣13(2)5
【解析】(1)
由题意知（Sn ﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn ）＝2，
+1 ﹣1
解得an ﹣an＝2（n≥2），
+1
又a﹣a＝2，
2 1
所以{an}是公差为2的等差数列，
则an＝a+（n﹣1）d＝2n﹣13；
1
(2)由题知 ，则
由 得 ，
解得 ，
所以n的最大值为5．【典例2-6】（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知 是数列 的前 项
和，且 ．
(1)求 的通项公式．
(2)若 ， 是 的前 项和，求 ．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
时， ，
，
所以 ；
(2) 时， ， ，
所以 ，
所以 .
3、错位相减法求和
【典例3-1】（2022·全国·模拟预测）在数列 中， ， ，若
，且对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解:由 ，得
，
所以 ，当 时， ，符合上式，
所以 ．
所以 ， ，
作差得 ，
所以 ．由 ，得 ，
整理得 ．
易知函数 在 上单调递增，所以当 时， ，所以
.
故选：A．
【典例3-2】（2022·上海·模拟预测）设 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线 相切，对每一个正整数n，圆 都与圆
相互外切，以 表示圆 的半径，已知 为递增数列，若 ，则数列 的前
n项和为_________．
【答案】
【详解】
的倾斜角 ，设圆 、 与直线 的切点分别为 ，连接
，过 作 ，垂足为 ，
则
∵ ，整理得
数列 是以首项 ，公比 的等比数列，即
∴ ，设数列 的前n项和为 ，则有：两式相减得：
即
故答案为： ．
【典例3-3】（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，
且 .
(1)证明数列 为等比数列，并求出数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)证明见解析， (2)
【解析】(1)
当 时，由 可得 ,
由已知 ，有 ,
两式相减得 ,即 ,
因为 ，所以 ,所以 ,所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以 ；
(2)由（1）可得 ，所以 ，
，
则 ，
所以 ，
所以 .
【典例3-4】（2022·山东烟台·三模）已知数列 的前 项和为 ， ，当 时，
.
(1)求 ；
(2)设数列 的前 项和为 ，若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
当 时， ，
所以， ，
整理得： ，即 .所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列.
所以 ，即 .
(2)由（1）知， ，
所以 ，①
所以 ，②
①-②得， ，
所以， ，
所以， ，
所以 ，即 ，即 ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 .
【典例3-5】（2022·山东淄博·三模）设 为等差数列 的前 项和，已知 ，且
， ， 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)设等差数列 的公差为 ，由 得： ，整理得 ，
因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
解得 （舍去），或 ，又由 ，
解得 ， ，满足条件，故 ．
(2)由（1）得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
则 ，
两式相减得：
.
所以 .
