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专题 27.6 相似三角形的应用【十大题型】
【人教版】
【题型1 建筑物高问题】..........................................................................................................................................1
【题型2 影长问题】..................................................................................................................................................2
【题型3 河宽问题】..................................................................................................................................................4
【题型4 树高问题】..................................................................................................................................................5
【题型5 杠杆问题】..................................................................................................................................................7
【题型6 实验问题】..................................................................................................................................................8
【题型7 古文问题】................................................................................................................................................10
【题型8 裁剪问题】................................................................................................................................................11
【题型9 现实生活相关问题】................................................................................................................................12
【题型10 三角形内接矩形问题】............................................................................................................................14
【题型1 建筑物高问题】
【例1】（23-24九年级·山东潍坊·期末）小亮运用《数书九章》中测量塔高的方法测量一幢楼房的高度．
如图，MN表示楼房的高，AB表示一根直杆顶端B到地面的高，CD表示小亮的眼睛到地面的高，
MN,AB,CD在同一平面内，点C,A,M在同一条直线上．已知AM=98m，AB=3m，CD=1.6m，
CA=2m，小亮从点D远眺楼顶N，视线恰好经过直杆的顶端B，请帮小亮求出楼房的高．
【变式1-1】（23-24·河南商丘·模拟预测）圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算
历法的工具．图1为圭表示意图．某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高
度．如图2，旗杆MN的影长MA在水平地面上，将标杆AB（长度1米）竖直放置在影长的最远端点A
处，此时标杆AB的影长为AD．经测量，AD=1.2米，AM=12.1米．(1)根据以上信息，计算旗杆MN的高度．（结果保留整数）
(2)若该同学在操作过程中，测量完AD的长度后，准备测量AM的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更
长一点的卷尺，半小时后回来测量AM的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由．
【变式1-2】（23-24·河南·模拟预测）小明和小亮两位同学春节期间在游览某景区时，对景区内一座古塔
产生浓厚的兴趣，他们想用所学的知识测量古塔的高度．为了保护古塔，工作人员在古塔底部设有栅栏，
古塔底部不可直接到达．经询问得知栅栏长17米（即FC=17米），小亮在F处利用1米高的栅栏（即
FG=1米，且FG⊥FC），在栅栏顶端G处测得塔的顶部A处的仰角为45°，小明同学在古塔另一侧的
C处放置平面镜（点D，C，B，F四点在一条直线上），当他站在D处时恰好能从平面镜中看到古塔的塔
顶A，已知小明的身高为1.8米（即ED=1.8米，且ED⊥DB），小明到平面镜的水平距离为0.9米（即
DC=0.9米），求古塔AB的高．
【变式1-3】（23-24九年级·山东威海·期末）图Ⅰ是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图Ⅱ是求大
拇指高度AB的示意图．如图Ⅱ，在C处放置一根高度为2m且与地平线BF垂直的竹竿IC，点A，I，D在
同一直线上，测得CD为3m．将竹竿3m平移5m至E处，点A，G，F在同一直线上，测得EF为5m．求大
拇指的高度．
【题型2 影长问题】
【例2】（23-24九年级·河南鹤壁·开学考试）如图1，平直的公路旁有一灯杆AB，在灯光下，小丽从灯杆的底部B处沿直线前进4m到达D点，在D处测得自己的影长DE=1m．小丽身高CD=1.2m．
(1)求灯杆AB的长；
(2)若小丽从D处继续沿直线前进4m到达G处（如图2），求此时小丽的影长GH的长．
【变式2-1】（23-24九年级·山东烟台·期末）操场上有一根竖直的旗杆AB，它的一部分影子（BC）落在
水平地面上，另一部分影子（CD）落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为1.2m，地面的影长为
2.8m，同时测得一根高为2m的竹竿OM的影长是ON=1.4m，请根据以上信息，则旗杆的高度是（ ）
A．4.5m B．4.7m C．5.2m D．5.7m
【变式2-2】（23-24九年级·四川成都·期中）如图，在路灯下，AB表示小明的身高，AC表示他的影子，
FG表示小亮的身高，路灯灯泡在线段DE上．
(1)请你画出灯泡的位置，并画出小亮在灯光下的影子；
(2)如果小明的身高AB=1.6m，他的影子AC=1.4m，且他到路灯的距离AD=2.1m，求路灯的高．
【变式2-3】（23-24九年级·陕西西安·期末）小明和爸爸在公园散步，此时爸爸的影子落在了身后的地面
和墙上，如图1所示．其中，BC段为地上的影子，AC段为墙上的影子．小明想利用所学知识测量出爸爸
的身高．他向工作人员询问得知：公园地面与墙面所用均为厚度13.5cm，长度65cm的砖块，小明数了一
下，BC段刚好是4块地砖的长度，而AC段恰好为4块地砖的厚度；同一时刻，小明观察到公园门口指示
牌影子的顶端刚好到达保安亭，如图2所示，其中MN为指示牌的影子．已知爸爸、墙面、指示牌和保安亭均与地面垂直，指示牌高2m，指示牌距保安亭4m，请你根据以上信息，帮小明求出爸爸的身高．
【题型3 河宽问题】
【例3】（23-24九年级·河南许昌·期末）学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去
测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即PE=20米）的点P处懒北岸，
小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在C,D两点处时，小丽发
现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即A,C,P三点共线，B,D,P三点共线）．已知电线杆
A,B之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离CD为30米，求这条河的宽度．
【变式3-1】（23-24·陕西·中考真题）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量
时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸
垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量
信息，求河宽AB．
【变式3-2】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）如图，为了测量某河段的宽度，某校数学课外活动小组在河
对岸选定一个目标点A，在近岸取点B和C，使点A、B、C共线且直线AB与河岸b垂直，接着在过点C
且与AB垂直的直线a上选择适当的点D，点A、D与河岸b上的点E在一条直线上．测得BC=12m，
CD＝16m，BE=10m，请根据这些数据，计算河宽AB．【变式3-3】（23-24九年级·北京·期末）如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点
3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的
顶端M在河里的倒影为点N，即PM=PN，两岸均高出水平面0.75米，即DE=FP=0.75米，经测量此时
A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直
于河面EP，求河宽EP是多少米？
【题型4 树高问题】
【例4】（23-24九年级·河南洛阳·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测
深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的
DEF）．小南利用“矩”可测量大树AB的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使
斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为EF=0.2m，DE=0.3m
，小南的眼睛到地面的距离DM为1.6m，测得AM=21m，求树高AB．
【变式4-1】（23-24九年级·云南红河·期末）如图，直立在B处的标杆AB=2.9米，小爱站在F处，眼睛E
处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上(人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上)．
已知BD=6米，FB=2米，EF=1.7米，求树高CD．【变式4-2】（23-24九年级·山东聊城·阶段练习）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高
度.一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的
底部B，如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得
∠ACD=135°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平
面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此
时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测量器的高度CD=0.5米.已知点F、G、D、B在
同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略
不计）
【变式4-3】（23-24九年级·陕西咸阳·期中）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小
河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点C处，
他在点F处正好在镜中看到树尖A的像；第二次他把镜子放在点C′处，他在点F′处正好在镜中看到树尖A
的像．已知AB⊥BF′，EF⊥BF′，E′F′⊥BF′，小军的眼睛距地面1.7m（即EF=E′F′=1.7m），量
得CC′=12m，CF=1.8m，C′F′=4.2m，求这棵古松树的高度AB．（镜子大小忽略不计）【题型5 杠杆问题】
【例5】（23-24九年级·山西大同·期末）阿基米德曾说过：“给我一个支点和一根足够长的杆子，我就能
撬起整个地球．”这句话的意思是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把
地球轻松搬动．如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向
上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离BD=7cm，动力臂OA与阻力臂OB
满足OA=3OB（AB与CD相交于点O），则AC的长为 cm．
【变式5-1】（23-24九年级·陕西咸阳·阶段练习）如图，EF是一个杠杆，可绕支点O自由转动，当EF处
于图中的位置时，点O到点E的水平距离OM=2，点O到点F的水平距离ON=4，若已知杠杆的OE段长
为2.5，则杠杆的OF段长为 ．
【变式5-2】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图是用杠杆撬石头的示意图，点C是支点，当用力压杠杆
的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B
端必须向上翘起5cm，已知AB:BC=10:1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压
cm．【变式5-3】（23-24九年级·浙江温州·期中）如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石
车投石过程中某时刻的示意图，GP是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板
BC上的一点，AD=AC=3米，CD=3.6米．
（1）投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时AG和AC垂直，则BD= 米
（2）投石车投石过程中，AP的延长线交线段DC于点E，若DE：CE=5：1，则点G距地面为
米．
【题型6 实验问题】
【例6】（23-24九年级·浙江·专题练习）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左
往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过
木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE=3.5m，点F到地面的高度CF=1.5m，灯
泡到木板的水平距离AC=5.4m，墙到木板的水平距离为CD=4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反
射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
(1)求BC的长．
(2)求灯泡到地面的高度．【变式6-1】（23-24·广东汕头·三模）约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个
小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图
（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火
焰的高度是 cm．
【变式6-2】（23-24九年级·云南文山·期中）如图，佳佳同学正在使用手电筒进行物理光学实验，水平地
面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，
恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE=3.5m，点F到地面的高度
CF=1.5m，灯泡到木板的水平距离AC=5.4m，木板到平面镜的水平距离BC=3m，已知光在镜面反射中
的入射角等于反射角，求灯泡到地面的高度AG．
【变式6-3】（23-24九年级·山西太原·期末）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题
请你解答：
(1)如图1，白天在阳光下，小彬将木杆AB水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段A′B′．
①若木杆AB的长为2m，则其影子A′B′的长为___________m；
②在同一时刻同一地点，将另一根木杆CD直立于地面，请画出表示此时木杆CD在地面上影子的线段DM
：(2)如图2，夜晚在路灯下，小桃将木杆EF水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段E′F′．
①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P；
②若木杆EF的长为2m，经测量木杆EF距离地面2m，其影子E′F′的长为3m，则路灯P距离地面的高度
为___________m．
【题型7 古文问题】
【例7】（23-24九年级·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：
“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”
它的意思是：如图，M，N分别是正方形ABCD的边AD，AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点
A，且ME=100步，NF=225步，那么该正方形城邑边长AD约为（ ）步．
A．300 B．250 C．225 D．150
【变式7-1】（23-24九年级·湖南邵阳·学业考试）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：
“今有井径5尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末 望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如
图， 井径BE=5尺，立木高AB=5尺，BD=4寸=0.4尺，则井深x为 尺．
【变式7-2】（23-24·广西南宁·二模）《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，
各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小
城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，
GH＝750步．正方形小城ABCD的边长是（ ）A．150步 B．200步 C．250步 D．300步
【变式7-3】（23-24·河南安阳·一模）“度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望．触
类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入．”就是说，使用多次测量传递的方法，就可以测量出各点之间的距
离和高度差．——刘徽《九章算术注·序》．某市科研考察队为了求出某海岛上的山峰AB的高度，如图，
在同一海平面的D处和F处分别树立标杆CD和EF，标杆的高都是5.5米，DF两处相隔80米，从标杆CD
向后退11米的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF向后退13米的H处，可以看
到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰AB的高度及它和标杆CD的水平距离．
注：图中各点都在一个平面内．
【题型8 裁剪问题】
【例8】（23-24九年级·浙江温州·期末）有一等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，裁剪方式及相关数据如图
所示，则得到的甲、乙、丙、丁四张纸片中，面积最大的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式8-1】（23-24·浙江湖州·一模）三八妇女节，同学们准备送小礼物给妈妈，首先利用正方形纸板，
制作一个正方体礼品盒（如图所示裁剪）．已知正方形纸板边长为5❑√2分米，则这个礼品盒的体积
分米 3．
❑【变式8-2】（23-24九年级·浙江金华·期末）在综合实践课中，小慧将一张长方形卡纸如图1所示裁剪
开，无缝隙不重叠的拼成如图2所示的“L”形状，且成轴对称图形.裁剪过程中卡纸的消耗忽略不计，若
已知AB=9，BC=16，FG⊥AD.
求（1）线段AF与EC的差值是___
（2）FG的长度.
【变式8-3】（23-24九年级·四川遂宁·期中）一个小风筝与一个大风等形状完全相同，它们的形状如图所
示，其中对角线AC⊥BD．已知它们的对应边之比为1：3，小风筝两条对角线的长分别为12cm和14cm．
（1）小风筝的面积是多少？
（2）如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需用多长的材料？（不记
损耗）
（3）大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁
剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？
【题型9 现实生活相关问题】
【例9】（23-24·浙江宁波·模拟预测）如图是一个常见的铁夹的剖面图，OA，OB表示铁夹的剖面的两条
边，点C是转动轴的位置，CD⊥OA，垂足为D，DA=15mm，DO=24mm，DC=10mm，且铁夹的剖
面图是轴对称图形，则A，B两点间的距离为（ ）A．30mm B．32.5mm C．60mm D．65mm
【变式9-1】（23-24·浙江宁波·模拟预测）如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高AB=1.2m．当
BC=2.5m时，点B到地面的距离BE=1.5m，则点A到地面的距离AD为（ ）
A．2.6m B．2.5m C．2.46m D．2.22m
【变式9-2】（23-24·吉林长春·二模）如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的
梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，拉杆
1
EF∥BC，AE= BE，EF=0.4米，则两梯杆跨度B、C之间距离为 米．
3
【变式9-3】（23-24·辽宁沈阳·三模）如图是一个矩形足球球场，AB为球门，CD⊥AB于点D，AB=a
米．某球员沿CD带球向球门AB进攻，在Q处准备射门，已知BD=3a米，QD=3a米，对方门将伸开双
臂后，可成功防守的范围大约为0.25a米；此时门将站在张角∠AQB内，双臂伸开MN且垂直于AQ进行
防守，MN中点与AB距离 米时，刚好能成功防守．【题型10 三角形内接矩形问题】
【例10】（23-24春·河北石家庄·九年级石家庄二十三中校考阶段练习）有一块锐角三角形余料△ABC，
边BC为15cm，BC边上的高为12cm，现要把它分割成若干个邻边长分别为5cm和2cm的小长方形零件，
分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为5cm的边在BC上，则按如图方式分
割成的小长方形零件最多有 ．
【变式10-1】（23-24九年级·广西桂林·期中）如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC=18cm，高
AD=12cm，现在要把它加工成长与宽的比为3:2的矩形零件EFCH，要求一条长边在BC上，其余两个
顶点分别在AB，AC上，则矩形EFGH的周长为 cm．
【变式10-2】（23-24九年级·河南周口·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时(如图1)，其视
线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生
避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的
示意图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.5m，车宽AF=1.8m，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3DF=2AF，求汽车盲区EB的长度．
【变式10-3】（23-24·江苏盐城·二模）（1）【问题探究】如图①，点B，C分别在AM，AN上，
AM=12米，AN=20米，AB=2米，BC=2.6米，AC=1.2米．
①探究△ABC与△AMN是否相似并说明理由；
②求MN的长．
（2）【问题解决】如图②，四边形ACBD规划为园林绿化区，对角线AB将整个四边形分成面积相等的两
部分，已知AB=60米，四边形ACBD的面积为2400平方米，为了更好地美化环境，政府计划在
BC，AC边上分别确定点E，F，在AB边上确定点P，Q，使四边形EFPQ为矩形，在矩形EFPQ内种植
花卉，在四边形ACBD剩余区域种植草坪，为了方便市民观赏，计划在FQ之间修一条小路，并使得FQ最
短，根据设计要求，求出FQ的最小值，并求出当FQ最小时，花卉种植区域的面积．
