文档内容
第20讲 导数的综合应用
【基础知识网络图】
导数的应用
切线
极 值
函 数
斜率 与 最
的 单
方程 值 问
调 性
题
问题
【基础知识全通关】
1、求切线方程的一般方法
（1）求出函数 在 处的导数 ；
（2）利用直线的点斜式得切线方程。
求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲
线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.
2、判定函数的单调性
（1）函数的单调性与其导数的关系
设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当 时，y=f(x)在相应区间上为增函数；
当 时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有 时，y=f(x)在相应区
间上为常数函数。
①在区间(a,b)内， 是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：
而f(x)在R上递增。
②学生易误认为只要有点使 ，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有 ，这个函数
y=f(x)在这个区间上才为常数函数。
③要关注导函数图象与原函数图象间关系。
（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤
①确定函数f(x)的定义域；
②求导数 ；
③在定义域内解不等式 ；
④确定f(x)的单调区间。
函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应
根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间
上分别判定单调性。
3、函数的极值
（1）极值的概念
一般地，设函数y=f(x)在x=x 及其附近有定义，
0
①如果对于x 附近的所有点，都有：f(x)f(x)，称f(x)为函数f(x)的—个极小值，
0 0 0
记作y =f(x)。
极小值 0
极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的
值，极值指的是函数值。
①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 及其附近有定义，否则无从比
0
较。
②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整
个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近
点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
③极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极
小值不一定是整个定义区间上的最小值。
④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导
函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，
再如y=|x|，x=0。
⑥可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值
处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有 。但反过来不一定。如函
数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值
大，也不比它附近的点的函数值小。
（2）求极值的步骤
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程 的根；
④检查 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极
大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法)
函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干
个，而且极小值未必小于极大值。f＇(x)=0仅是函数f(x)在点x 处有极值的必要条件，
0 0
点x 是f(x)的极值点，当且仅当在x 的左右f＇(x)的符号产生变化。
0 0
4、函数的最值
函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数 f(x)在闭区间[a,b]上必有一
个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定
有最大值和最小值。
（1）最值与极值的区别与联系：
①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一
个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；
②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；
③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点
可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。
（2）在区间[a，b]上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤①求函数y=f(x)在(a，b)内的导数
②求函数y=f(x)在(a，b)内的极值
③将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大
的一个为最大值，最小的一个为最小值。
①函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数 f(x)在闭区间[a,b]上必有
一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。
②在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式 y=f(x),并注明其定义
域，当 在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数 f(x)的
最值点。
【考点研习一点通】
考点01切线问题
1、求曲线 的分别满足下列条件的切线：
（1）在点 的切线；（2）过点 的切线；
【解析】
（1） 时，在点 的切线的切线的斜率 ，
∴在点 的切线为 ，即 .
（2）当切点为点 时，切线为
当切点不是点 时，设切点为 ，
则 ， 解得 或 （舍去）
∴切点为 的切线为 ，即 ，
故过点 的切线为 或 .y=2√x+1
【变式1-1】已知曲线 ，曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这
一点的切线方程。
1
1 − 1
− x 2 =
y'=(2√x+1)'=x 2 2
【解析】∵ ， 令 ，得x=4,
y=2√x+1
将x=4代入 中得y=5
1
y−5= (x−4)
2
∴切点坐标是(4,5)， ∴切线方程为： .
即：x-2y+6=0。
【变式1-2】设函数 的图象与直线 相切于点（1，－
11）,求a，b的值.
【解析】
∵ 的图象与直线 相切于点（1，－11）.
∴ ，即
解之得a=1，b=－3.
【考点易错】
1、已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求证： ；
（Ⅲ）设 ，记 在区间 上的最大值为M（a）．
当M（a）最小时，求a的值．【解析】（Ⅰ）由 得 .
令 ，即 ，得 或 .
又 ， ，
所以曲线 的斜率为1的切线方程是 与 ，
即 与 .
（Ⅱ）令 .
由 得 .
令 得 或 .
的情况如下：
所以 的最小值为 ，最大值为 .
故 ，即 .
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
当 时， ；当 时， ；
当 时， .
综上，当 最小时， .
2、设函数 、 为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和 的零点均在集合 中，求f（x）的极小值；
（3）若 ，且f（x）的极大值为M，求证:M≤ ．
【解析】（1）因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，解得 ．
（2）因为 ，
所以 ，
从而 ．令 ，得 或 ．
因为 都在集合 中，且 ，
所以 ．
此时 ， ．
令 ，得 或 ．列表如下：
1
+ 0 – 0 +极大值 极小值
所以 的极小值为 ．
（3）因为 ，所以 ，
．
因为 ，所以 ，
则 有2个不同的零点，设为 ．
由 ，得 ．
列表如下：
+ 0 – 0 +
极大值 极小值
所以 的极大值 ．
解法一：
．因此 ．解法二：
因为 ，所以 ．
当 时， ．
令 ，则 ．
令 ，得 ．列表如下：
+ 0 –
极大值
所以当 时， 取得极大值，且是最大值，故 ．
所以当 时， ，因此 ．
3、已知函数 ， 为 的导函数．
（Ⅰ）当 时，
（i）求曲线 在点 处的切线方程；
（ii）求函数 的单调区间和极值；
（Ⅱ）当 时，求证：对任意的 ，且 ，有
．【解析】（Ⅰ）（i）当 时， ，故 ．可得
， ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即
．
（ii）依题意， ．从而可得
，整理可得 ．令 ，解得
．
当 变化时， 的变化情况如下表：
1
- 0 +
↘ 极小值 ↗
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ； 的极小值为
，无极大值．
（Ⅱ）证明：由 ，得 ．
对任意的 ，且 ，令 ，则． ①
令 ．当 时， ，由此
可得 在 单调递增，所以当 时， ，即 ．
因为 ， ，
所以，
． ②
由（Ⅰ）（ii）可知，当 时， ，即 ，
故 ． ③
由①②③可得 ．所以，当 时，
对任意的 ，且 ，有 ．
4、已知函数 ．
（1）当 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的
面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．【解析】 的定义域为 ， ．
（1）当 时， ， ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
直线 在 轴， 轴上的截距分别为 ， ．
因此所求三角形的面积为 ．
（2）当 时， ．
当 时， ， ．
当 时， ；当 时， ．
所以当 时， 取得最小值，最小值为 ，从而 ．
当 时， ．
综上， 的取值范围是 ．
【巩固提升】
1、已知函数 ，则函数 的单调递增区间为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
令 得 ，
．函数 的单调递增区间为 ．
故选C．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，易错点在于忽视函数的定义域，属于中档
题．
2、已知函数 是偶函数，当 时， ，则曲线 在
处的切线方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，
， ，所以曲线 在 处的切线方程为 ，即
.
故选A.
【点睛】本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于
基础题.
3、函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数 ，则 ，令 ，
解得 的两个极值点为 ，故排除AD，
且当 时， 恒为正，排除C，
即只有B选项符合要求，
故选B.
【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数图像，导函数与函数图像的关系应用，属于基
础题.
4、已知函数 ．则下面结论正确的是
A． 是奇函数 B． 在 上为增函数
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BCD
【解析】对于A选项，函数 的定义域为 ，
，则函数 为偶函数，A选项错
误；
对于B选项，当 时， ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，B选项正确；
对于C选项，当 时，由基本不等式可得 ，
由于函数 在 上为增函数，此时
，由于函数 为奇函数，当 时， ，
.
综上所述，当 时， ，C选项正确；
对于D选项，由于函数 为偶函数，由 得 ，
由于函数 在 上为增函数，则 ，解得 ，D选项正确.
故选BCD.
【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，同时也考查了函数不等式的求解，考查
计算能力与推理能力，属于中等题.
5、函数 在点 处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ， ，所以
所以切线方程为 ，即
故答案为 .
【点睛】本题考查的是导数的几何意义，较简单.
6、若曲线 在 处的切线方程为 ，则 __________
【答案】
【解析】将 代入 ，得切点为 ，
①，又 ，
， ②.
联立①②解得 ， ，
故 .
故答案为 .
【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属
于基础题.
7、函数 在 上的单调递减，则实数 的取值范围为______.
【答案】
【解析】因为 ， ，
所以 ，
因为函数 在 上的单调递减，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
因为 在 上单调递减，所以所以 ，即 .
故答案为 .
【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，属
于中档题.
8、已知函数 对于任意 ，均满足 ，当 时，
(其中 为自然对数的底数)，若存在实数
满足 ，则 的取
值范围为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 知 关于 对称，如图，因此 ，所以
，又因为 ，所以 ，因此
，由题意知 ，令
， ，令 得 ，故
在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，由，则 ，故
.
故选D.
【点睛】本题考查导数，函数性质，函数图象的综合应用，重点考查导数研究函数的单
调性，最值，数形结合分析问题的能力，函数与方程思想的应用，属于中档偏难题型，
本题的关键是转化 ，并根据数形结合得到条件
.
9、已知函数 ，若 ， ，使得 ，且
，则 的最大值为
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】 ， ，
令 ，即 ，解得 ， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增；当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增.
在 处取得极大值，极大值为 ；
在 处取得极小值，极小值为 .
令 ，即 ，即 ，解得 (舍)或 ；
令 ，即 ，即 ，解得 (舍)或 ；
的最大值为 .
故选C.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查运算求解能力，求出函
数的极大值与极小值是解决本题的关键，属于中档题.
10、已知函数 ，若对任意的 在区间 上总存在
唯一的零点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ，
当 时， ；当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，在 上总存在唯一的零点，即 与 的图象在 上仅有一个交点，
，即 ， ，
， ， ，
即 的取值范围为 .
故选B.
【点睛】本题考查根据函数在区间内的零点个数求解参数范围的问题，涉及到恒成立思想
的应用；关键是能够根据导数求得函数的单调性，进而确定 与 的关系.
11、已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点，求 的取值范围.
【解析】(1)当a=1时，f(x)=ex–x–2，则 =ex–1．
当x<0时， <0；当x>0时， >0．
所以f(x)在(–∞，0)单调递减，在(0，+∞)单调递增．
(2) =ex–a．
当a≤0时， >0，所以f(x)在(–∞，+∞)单调递增，
故f(x)至多存在1个零点，不合题意．
当a>0时，由 =0可得x=lna．
当x∈(–∞，lna)时， <0；
当x∈(lna，+∞)时， >0．所以f(x)在(–∞，lna)单调递减，在(lna，+∞)单调递增，故当x=lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(lna)=–a(1+lna)．
(i)若0≤a≤ ，则f(lna)≥0，f(x)在(–∞，+∞)至多存在1个零点，不合题意．
(ii)若a> ，则f(lna)<0．
由于f(–2)=e–2>0，所以f(x)在(–∞，lna)存在唯一零点．
由(1)知，当x>2时，ex–x–2>0，所以当x>4且x>2ln(2a)时，
．
故f(x)在(lna，+∞)存在唯一零点，从而f(x)在(–∞，+∞)有两个零点．
综上，a的取值范围是( ，+∞)．
【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函
数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，
将问题转化为曲线 和直线 有两个交点，利用过点 的曲线
的切线斜率，结合图形求得结果.
12、已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有三个零点，求 的取值范围．
【解析】(1) ．
当k=0时， ，故 在 单调递增；
当k<0时， ，故 在 单调递增．
当 k>0 时 ， 令 ， 得 ． 当 时 ， ； 当时， ；当 时， ．故 在 ，
单调递增，在 单调递减．
(2)由(1)知，当 时， 在 单调递增， 不可能有三个零点．
当k>0时， 为 的极大值点， 为 的极小值点．
此时， 且 ， ， ．
根据 的单调性，当且仅当 ，即 时， 有三个零
点，解得 ．因此k的取值范围为 ．
【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，
考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.
13、已知函数 ．
(Ⅰ)求曲线 的斜率等于 的切线方程；
(Ⅱ)设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求
的最小值．
【解析】(Ⅰ)因为 ，所以 ，
设切点为 ，则 ，即 ，所以切点为 ，
由点斜式可得切线方程 为： ，即 .(Ⅱ)显然 ，
因为 在点 处的切线方程为： ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
不妨设 时，结果一样 ，
则 ，
所以
，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 时， 取得极小值，
也是最小值为 .
【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属
于中档题.
14、已知 ，函数 ，其中e=2.71828…是自然对数的底数．
(Ⅰ)证明：函数 在 上有唯一零点；
(Ⅱ)记x 为函数 在 上的零点，证明：
0(ⅰ) ；
(ⅱ) ．
【解析】(Ⅰ)因为 ， ，所以 在 上
存在零点．
因为 ，所以当 时， ，故函数 在 上单调递增，
所以函数以 在 上有唯一零点．
(Ⅱ)(ⅰ)令 ， ，
由(Ⅰ)知函数 在 上单调递增，故当 时， ，
所以函数 在 单调递增，故 ．
由 得 ，
因为 在 单调递增，故 ．
令 ， ，
令 ， ，所以
故当 时， ，即 ，所以 在 单调递减，
因此当 时， ．
由 得 ，
因为 在 单调递增，故 ．综上， ．
(ⅱ)令 ， ，所以当 时， ，
故函数 在区间 上单调递增，因此 ．
由 可得 ，
由 得 ．
15、已知关于 x 的函数 与 在区间 D 上恒有
．
(1)若 ，求h(x)的表达式；
(2)若 ，求k的取值范围；
(3)若
求证： ．
【解析】(1)由条件 ，得 ，
取 ，得 ，所以 ．
由 ，得 ，此式对一切 恒成立，
所以 ，则 ，此时 恒成立，
所以 ．
(2) .
令 ，则 令 ，得 .所以 .则 恒成立，
所以当且仅当 时， 恒成立．
另一方面， 恒成立，即 恒成立，
也即 恒成立．
因为 ，对称轴为 ，
所以 ，解得 ．
因此，k的取值范围是
(3)①当 时，
由 ，得 ，整理得
令 则 ．
记
则 恒成立，
所以 在 上是减函数，则 ，即 ．
所以不等式 有解，设解为 ，
因此 ．
②当 时，．
设 ，
令 ，得 ．
当 时， ， 是减函数；
当 时， ， 是增函数．
， ，则当 时， ．
(或证： ．)
则 ，因此 ．
因为 ，所以 ．
③当 时，因为 ， 均为偶函数，因此 也成立．
综上所述， ．
【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，
考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
16、已知函数 ．
(1)求 在 处的切线方程：
(2)已知实数 时，求证：函数 的图象与直线 ： 有3个交点．
【解析】(1)因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 在 处的切线方程 ；
(2)当 时，函数 的图象与直线 交点的个数等价于函数
的零点个数，
因为 ， ，
设 ，
因为二次函数 在 时， ， ，
所以存在 ， ，使得 ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 ，所以 ， ，
因此 在 上存在一个零点 ；
又因为当 时， ，
所以 在 上存在一个零点；
当 时， ，
所以 在 上存在一个零点.
所以，函数 的图象与直线 ： 有3个交点．
【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程的数学思想方法和分析问题、解决问题的能力.
17、已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(3)在(2)的条件下(提示：可以用第(2)问的结论)，对任意的 ，证明：
.
【解析】(1)函数 的定义域为 ， .
①当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增.
②当 时，令 ，得 ，所以 在 上单调递
增；
令 ，得 ，所以 在 上单调递减.
(2)由题意得 ，由(1)知，当 时，不满足题意，
故 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，故只需 即可.
令 ，则 ，
所以当 时， ；当 ， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 .
又∵ ，
所以 ，解得 .
综上，m的取值范围是 .
(3) ，
因为 ，所以 ，
由(2)得， 时， ( 时，等号成立)
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 .
因为 ，所以 ，即 .
【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及的知识点有利用导数研究函数
的单调性，根据恒成立求参数的取值范围，利用导数证明不等式，属于较难题目.
