文档内容
7.2 认识证明
第2课时 公理与定理
1.初步感悟公理化思想，了解北师大版教科书所采用的基本事实，理解证明的必要性，了解定理、公理、
证明的概念。
2.能依据基本事实、定理等证明“同角（或等角）的补角相等”“对顶角相等”“三角形的任意两边之和
大于第三边”等定理，掌握证明的基本步骤和格式。
教学重点：理解公理、定理、证明的基本概念，能利用所给公理与已有定理完成简单几何结论的演绎推理。
教学难点：在证明过程中如何灵活选用合适的公理、定义及已得定理作为依据，规范地书写演绎过程。
第一环节 自主学习
新知自研：自研课本P185-P187页的内容，思考：
【学法指导】
情景引入
问题情境：
1.章节导读
2.情景引入
①回答下列问题:
①今天是晴天吗？ ②同旁内角相等;
③同角的余角相等; ④作线段AB的垂直平分线;
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司⑤如果a2>b2,那么a>b; ⑥对顶角相等.
(1)在上面的句子中,属于命题的是______;
(2)在上面的句子中,把是命题的改写成“如果……那么……”的形式,并说出它们的条件和结论;
(3)在上面的命题中,是假命题的是______,是真命题的是______.
②说明一个命题是假命题通常用的方法是____________。
思考：如何证实一个命题是真命题呢?
●探究一：公理、证明、定理的定义
◆1.追根溯源
（1）《原本》（欧几里得，古希腊）
这是几何证明史上的里程碑式著作。全书以 5个公理、5个公设和23个定义为基础，通过演绎推理证明
了460多个命题，建立了人类史上第一个完整的公理演绎体系。他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选
了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据。
例如，书中对“对顶角相等”“三角形内角和为180°”等定理的证明，成为后世几何证明的典范。它的
中文译本有多个版本，如1607年利玛窦与徐光启合译的前6卷，以及后来李善兰与伟烈亚力合译的完整
版本，对中国数学的发展影响深远。
（2）《原本》:
1.原名：数学名词称为原名。
2.公理：公认的真命题称为公理。
3.证明：演绎推理的过程称为证明。
4.定理：经过证明的真命题称为定理。
总结：每个定理都只能用 、定义和已经证明为 的命题来证明.
（3）九条基本事实：
①两点确定一条直线；
②两点之间线段最短；
③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司⑥两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
⑦两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
⑧三边分别相等的两个三角形全等；
⑨两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。（未学）
说明：数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依
据.例如，如果a＝b，b＝c，那么a＝c，这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”.又如，如果
a＞b，b＞c，那么a＞c，这一性质同样可以作为证明的依据。
（4）定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别与联系:
（1）联系:这四者都是 .
（2）区别:定义、 、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不
过基本事实是最原始的依据；而命题 是真命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的
依据.
●探究二：证明的过程
◆1.回顾思考
（1）回顾七年级和八年级上册课本上的定理
- 补角性质：
- 余角性质：同角（或等角）的余角相等。
- 对顶角性质：
- 平行线判定定理：
- ，两直线平行。
- 内错角相等，两直线平行。
- ，两直线平行。
- 平行线性质定理：
- 两直线平行， 相等。
- 两直线平行，内错角相等。
- 两直线平行， 。
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司- 全等三角形性质：全等三角形的 相等、 相等。
- 全等三角形判定定理：
- 及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。
- 及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。
- 对应相等的两个三角形全等（SSS）。
- 两角及其中一角的 对应相等的两个三角形全等（AAS）。
- 线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个 的距离相等；到一条线段两个端
点距离相等的点，在这条线段的 上。
- 角平分线定理：角平分线上的点到这个角的 的距离相等；在一个角的内部，到角的两边距离相
等的点在这个角的 上。
- 勾股定理：直角三角形两条直角边的 等于斜边的平方。
- 勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 。
◆2.尝试交流
例1 证明：对顶角相等
（1）该命题的条件和结论分别是什么？
（2）已知的是什么？要求证的是什么？
（3）图形怎么画？
例2 证明：同角（或等角）的补角相等
（1）该命题的条件和结论是什么？
（2）我们该如何写出已知，求证呢？
（3）请参考上一例题并尝试证明。
◆3.尝试思考
例1 已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证： ∠AOC =∠BOD
由上面的例题，我们可以得到定理：对顶角相等.
例2 证明：同角（或等角）的补角相等
（1）已知：∠B和∠C是∠A的补角，求证：∠B=∠C.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）已知：∠A=∠B，∠C和∠D分别是∠A、∠B的补角，求证：∠C=∠D.
例3 独立完成证明：同角（或等角）的余角相等
（1）同角的余角（如图）
已知∠BAD=∠CAE=90º
用几何语言表示为：
∵∠1+∠ =90° ，∠ +∠3=90°
∴∠2=∠
得到余角的性质定理①： .
（2）等角的余角（如图）
已知∠AOC=∠EOC=90º ∠3=∠4.
几何语言表示为：∵∠3=∠4，
∠3+∠1= °， ∠ +∠ =90°
∴∠1=∠2
得到余角的性质定理②： .
◆4.归纳总结
证明命题的一般步骤:
①分析命题的 和结论。
②画出图形，用符号语言写出 、求证。
③利用所学知识，运用符号语言条理清晰地写出 过程。
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨什么是公理和定理，我们所学过的公理和定理分别有哪些？
B.交流例题的解题思路和易错点.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1．下列说法正确的是（ ）
A.命题一定是正确的 B.不正确的判断就不是命题
C.定理都是真命题 D.基本事实不一定是真命题
2.下面关于公理和定理的联系的说法，不正确的是( )
A.公理和定理都是真命题
B.公理就是定理，定理也是公理
C.公理和定理都可以作为推理论证的依据
D.公理的正确性是人们公认的，定理的正确性需证明
3.下列命题中，属于公理的是____________，
属于定理的是______，既不是公理也不是定理的是______.(填序号)
①两点确定一条直线；
②同角的补角相等；
③同位角相等，两直线平行；
④三角形的任意两边之和大于第三边；
⑤三边分别相等的两个三角形全等；
⑥直角三角形的两锐角互补。
4.请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明.
已知：如图，三角形ABC.
求证：AB+BC >AC，AB+AC >BC，BC+AC >AB.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5. 如图，点 A，O，B在一条直线上，OC平分∠BOD，OE⊥OC 垂足为点O. 试判断∠AOE与∠DOE有怎
样的数量关系，并说明理由．
题型一：公理的判断
1．“两点确定一条直线”这句话是（ ）
A．定理 B．基本事实 C．结论 D．定义
2．“过平面上两点，有且只有一条直线”属于（ ）
A．定义 B．定理 C．基本事实 D．以上答案都不对
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列命题不是公理的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行
4．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列真命题中，不是公理的是（ ）
A．同角的余角相等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．同位角相等，两直线平行
D．三边分别相等的两个三角形全等
5．（25-26八年级上·全国·课后作业）根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是定
理．
(1)在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′,∠A=∠A′,∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′；
(2)如果a=b,b=c，那么a=c；
(3)三角形的任意两边之和大于第三边．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型二：定理的判断
6．（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句中，属于定理的是（ ）
A．在直线AB上取一点E
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．同位角相等
D．同角的补角相等
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定理的是（ ）
A．在直线AB上取一点E
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．作射线AB
D．同角的补角相等
8．下列命题中，不是定理的是（ ）
A．直角三角形两锐角互余
B．两直线平行，同旁内角互补
C．n边形的内角和为（n﹣2）×180°
D．相等的角是对顶角
9．下列命题：①能被3整除的数也能被6整除；②等式两边除以同一个数，结果仍是等式；③x=2是一
元一次方程x−2=0的根；④对顶角相等.其中可以作为定理的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③
两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
题型三：命题的证明
11．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段练习）证明命题
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求证：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等．
(2)说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题．
12．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在光学实验室中，两束平行激光AB和CD分别沿水平方向
发射．一束斜向光线AH照射到AB上，经过折射后与BC相交于点F，并继续折射至CD上的点D处，从
点D引出一条新的折射光线DE，且∠1=∠2．
(1)求证：BC∥DE．
(2)若命题“已知∠CDE=______，则∠B=40°”是真命题，请填空，并说明理由．
13．（25-26八年级上·全国·课后作业）命题“两个全等三角形对应角平分线相等”．根据几何命题的证明步
骤，证明该命题．
已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，______．
求证：______．
证明：
14．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，有下列三个条件：①∠1+∠2=180°，②∠3=∠A，③
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∠B=∠C．
(1)从这三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论组成命题．在保证该命题为真命题的情况下，你选择
的条件是 ，结论是 ；
(2)请写出（1）中你组成的命题的证明过程．
15．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠C；③AB∥CD．
(1)请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题．
(2)在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性．
▲1．每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明.
▲2．定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别与联系:
（1）联系:这四者都是 .
（2）区别:定义、 、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司基本事实是最原始的依据；而命题 是真命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的
依据.
▲3．证明命题的一般步骤:
①分析命题的 和结论。
②画出图形，用符号语言写出 、求证。
③利用所学知识，运用符号语言条理清晰地写出 过程。
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
