文档内容
6.1 平均数与方差 导学案
1.能运用平均数描述数据集中趋势、用方差描述数据离散程度，解决简单实际问题。
2.理解算术平均数、加权平均数及方差的概念，掌握其计算方法。
学习重点：平均数、加权平均数的定义与灵活运用，方差的计算方法。
教学难点：理解加权平均数与算术平均数的联系和区别，正确运用方差对数据稳定性进行判断。
第一环节 自主学习
新知自研：自研课本P1146-P154页的内容，思考：
【学法指导】
情景引入
在某场女排决赛中，A队战胜B队获得冠军。下面图中反映了两队队员拦网高度情况，从中你能得到哪些
信息？
在大数据时代，人们常常需要收集、整理、表示、分析数据，进而更好地作出判断。我们已经学习了数据
的收集与整理。在此基础上，还需要对收集到的数据进行分析。本章将学习如何选择一些具有“代表性”
的统计量来反映数据的集中趋势与离散程度，以及根据问题的需要确定整理和分析数据的方法。在这一过
程中，你将体会数据分析的重要性，发展数据观念，增强应用意识。
●探究一：众数与算术平均数
◆1.问题引入
在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁四人的成绩如图所示。（1）观察统计图，甲的哪个射击成绩出现次数最多?其他选手呢?
解：①甲8 环出现次数最多；②乙7 环出现次数最多；③丙9 环出现次数最多；④丁6 环和10 环出现次数
最多.
（2）不计算，请你尝试判断谁的射击成绩最好.你是怎么判断的?
解：初步判断丙的射击成绩最好，
通过观察高环数 ( 9 环、 1 0 环 ) 出现的次数，丙的高环数出现次数相对更多 .
（3）算一算，验证你的判断是否正确.
解：计算得甲平均成绩 8 环、乙约 7.2 7 环、丙约 8.6 9 环、丁 8 环，丙平均成绩最高，判断正确 .
◆2.知识归纳
①众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数.
②算术平均数：一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数，就得到这组数据的算术平均数，简称平均数.
③平均数是刻画一组数据集中趋势的一项指标，反映了一组数据的“中心”.
x₁,+ x₂+ …+ xₙ
一般地，对于 n 个数 x₁, x₂, …, xₙ，它们的平均数是 x=
n
◆3.思考交流
(1) 一组数据的平均数一定在这组数据中吗？ 不一定 .
(2) 如果甲又射击一次，意外脱靶，成绩为0环，那么这时甲的平均成绩会发生什么变化？
甲的平均成绩会变小 .
(3) 在某些比赛评分时，常常去掉一个最高分和一个最低分，然后计算平均成绩，你能说说这样做的好处
吗？
这样做可以减少极端值的影响，避免因为过低或过高的分数影响平均数 .
◆4.操作思考
某店铺一种商品10天中每天的销售量及顾客对店铺的评分如图所示.(1) 请你计算这种商品10天的平均销售量.
解： (1) 这种商品 1 0 天的平均销售量为 136. 1 件 .
(2) 顾客对店铺评分的众数是多少？顾客对店铺评分的平均数呢？
解： (2) 顾客对店铺评分的众数是 5 分，对店铺评分的平均数是 4.73 2 分 .
●探究二 加权平均数
◆1.做一做
某馄饨店每碗有10个馄饨。其中蛋黄鲜肉馄饨15元/碗，虾仁鲜肉馄饨15元/碗，荠菜鲜肉馄饨12元/碗，
玉米鲜肉馄饨10元/碗，香芹鲜肉馄饨10元/碗。现在计划推出一份“全家福”馄饨，其中含蛋黄鲜肉馄饨、
虾仁鲜肉馄饨各1个，荠菜鲜肉馄饨2个，玉米鲜肉馄饨、香芹鲜肉馄饨各3个。你认为这种“全家福”
馄饨每碗定价多少元较为合理？你是怎么想的？与同伴进行交流。
（1）小亮认为“全家福”馄饨每碗定价应为
你认为他的算法合理吗？为什么？
解：合理 ， 因为不同馅料馄饨的个数不同 .
（2）如果“全家福”馄饨含蛋黄鲜肉馄饨3个，虾仁鲜肉馄饨3个，荠菜鲜肉馄饨2个，玉米鲜肉馄饨1
个，香芹鲜肉馄饨1个，那么该如何定价呢？若每种馄饨各2个，又该如何定价呢？
解：每碗定价应为
（3）你认为这种“全家福”馄饨的定价与什么有关？
解：这种“全家福”馄饨的定价和不同馅料馄饨的占比有关 .
◆2.知识归纳
（1）在很多实际问题中, 一组数据里各个数据的“重要程度”未必相同, 因而在计算这组数据的平均数时,
往往根据各个数据的“重要程度”赋一个“权”.
每个数据的占比就是它们的权，若 n 个数 x₁, x₂, …, xₙ的权分别是 w₁, w₂, …, wₙ，
则： x₁w₁+x₂w₂+…+xₙwₙ叫做这 n 个数的加权平均数.（2）“权”的三种表现形式：
① 各个数据出现的次数；
② 比例的形式；
③ 百分比的形式.
◆3.议一议
思考：想一想，加权平均数和算术平均数有什么区别和联系？
区别：算术平均数对应的一组数据中的各个数据的“重要程度”相同。
加权平均数对应的一组数据中的各个数据的“重要程度”不一定相同，即各个数据的“权”不一定相同。
联系：若各个数据的“权”相同，则加权平均数就是算术平均数，因而算术平均数实际上是加权平均数的
一种特例。
◆4.典例分析
例 1 某校进行广播体操比赛，评分包括以下几项(每项满分10分)：服装统一、进退场有序、动作规范、
动作整齐.其中三个班的成绩见下表：
评分项
班级
服装统一 进退场有序 动作规范 动作整齐
一班 9 8 9 8
二班 10 9 7 8
三班 8 9 8 9
如果将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按 10%，20%，30%，40%的比例计
算各班的广播体操比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？
解：一班的成绩为9×10%+8×20%+9×30%+8×40%=8.4（分）
二班的成绩为10×10%+9×20%+7×30%+8×40%=8.1（分）；
三班的成绩为8×10%+9×20%+8×30%+9×40%=8.6（分）。
所以，三班成绩最高。
◆5.思考交流
（1）已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别是2h和1h，这两家网站所有用户的日人均上网时间
是 (2+1)÷2=1.5（h）吗？为什么？与同伴进行交流。
解：没有考虑 A 、 B 两家网站的用户数量，应根据用户数量用加权平均数计算 .
（2）设A，B两家网站用户的日人均上网时间分别是 a h和 b h，A，B两家网站平均每天的上网用户分
别为 m 人和 n 人，你能求出这两家网站所有用户的日人均上网时间吗？解： A ， B 两家网站所有用户的日人均上网时间为 ，
它不是两家网站各自用户日人均上网时间 a h 和 b h 的算术平均数，
而是 a h 和 b h 的加权平均数 ，
权 反映了两家网站用户的分布情况 .
这是分布式计算的最简单形式，对于多家网站的情况也可以类似计算 .
●探究三：方差描述数据的离散程度
◆1.问题引入
甲与丁每次的射击成绩如图所示，他们的平均成绩都是8环，两个人的射击表现一样吗?你对甲、丁的射击
表现有什么评价?
(1) 你觉得谁发挥得更稳定?你的理由是什么?
解：甲发挥得更稳定，理由是甲的成绩数据点分布更集中 .
(2) 你能设法通过计算说明两人成绩的稳定程度吗?
◆2.知识归纳
在实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的
偏离情况.
（1）在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画.
（2）离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，即
（3）方差是各个数据与它们平均数之差的平方的平均数，即
其中， 是x₁,x₂,…, 的平均数.
（4）标准差则是方差的算术平方根.
①方差、标准差是描述一组数据离散程度的量.一般而言，一组数据的方差和标准差越小，这组数据就越稳定.
②只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才用方差或标准差比较两组数据的离散程度.
◆3.典例分析
例 2 计算图中甲射击成绩的标准差(结果精确到0.01环).
解： x=(6+7×3+8×5+9×3+10)=8（环），
，
（环）.
所以，甲射击成绩的标准差约为1.04环.
◆4.思考交流
(1) 计算图中丙射击成绩的方差，并对甲、丙的射击成绩进行比较.
解：甲成绩的平均数是 8 环 ，方差约是1.08(环²).
丙成绩的平均数约是8.69 环，方差约是1.29(环²).
甲射击成绩的方差小于丙射击成绩的方差，
但甲的射击成绩的平均数小于丙射击成绩的平均数，
故甲射击成绩较丙更稳定，丙的射击成绩更好.
(2) 丁又进行了几次射击，这时他所有射击成绩的平均数没变，但方差变小了.你认为丁后面几次射击的成
绩有什么特点？解：丁成绩的平均数是8环，方差是3(环²). 丁后面几次射击的成绩应集中在7，8，9环且这几次射击成绩
的平均数为8环.
◆5.做一做
1.某日，A，B两地的气温如图所示.
(1) 不进行计算，说说A，B两地这一天气温的特点.
解： A 地的日温差较大， B 地的日温差较小，但平均气温相近 .
(2) 分别计算这一天A，B两地气温的平均数和方差，与你刚才的看法一致吗？
解：A地24时气温(单位：℃)分别是18，17.5，17，16，16.5，18，19，20.5，22，23，23.5，24，25，
25.5，24.5，23，22，20.5，20，19.5，19.5，19，18.5，18.
B地24时气温(单位：℃)分别是20，19.5，19，18，19，19.5，20.5，22，22.5，23，23，23.5，24，24，
23，22.5，22.5，22，21.5，21，21.5，20.5，20.5，20.
(℃);
(℃);
[(18-20.42)²+…+(18-20.42)²]≈7.76;
[(20-21.35)²+…+(20-21.35)²]≈2.78.
结论：A，B两地平均气温相近，但A地日温差较大，B地日温差较小，因此与刚才看法一致.
2.某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项比赛。在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：
cm）如下。
甲：585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙：613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
（1）甲、乙的平均成绩分别是多少？
解：甲的平均成绩为 601.6cm , 乙的平均成绩为 599.3cm .(2) 甲、乙这10次选拔赛成绩的方差分别是多少?
解：甲这 1 0 次比赛的方差为 65.84 , 乙这 1 0 次比赛的方差为 284.21 .
(3) 这两名运动员的选拔赛成绩各有什么特点?
解：甲这 1 0 次的平均成绩更好 , 成绩更稳定 , 但没有单次超过 615cm 的成绩 ,
乙这 1 0 次成绩不稳定 , 但有 3 次超过 615cm 的好成绩 , 其中有 1 次可以达到 624cm .
(4) 历届比赛成绩表明, 成绩达到5.96m就很有可能夺冠, 你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛?如果历届比
赛成绩表明, 成绩达到6.10m就能打破纪录, 那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛呢?
解：为了夺冠应该选甲参加比赛, 甲10次中有9次成绩达到5.96m, 而乙只有5次.
为了破纪录应该选乙参加比赛, 甲10次中有3次成绩达到6.10m, 而乙有4次且乙有6.24m的成绩.
探究点4：离差平方和
◆1.思考交流
（1）若想把这10个苹果分成两组，使每组苹果的“个头”差不多，你想怎么分？说说你分组的理由。
解：第一组苹果编号 1 、 3 、 4 、 7 ；第二组苹果编号 2 、 5 、 6 、 8 、 9 、 1 0 ．
理由是将直径数值集中在一定范围、较为接近的苹果分为一组，使每组内苹果“个头” ( 直径 ) 差不多．
(2) 一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别
明显，那么你认为应遵循怎样的分组原则？
解：在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”．
多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和．
◆2.典例分析
例 3 按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把上述的10个苹果按直径大小分成两组。
解：将10个数据由小到大排序： 65 ， 69 ， 70 ， 75 ， 76 ， 76 ， 78 ， 80 ， 80 ， 81 ．
把10个数据分成两组，共有9种情况：第一组1个数据{65}，第二组9个数据{69，…，81}；第一组2个
数据{ 65 ， 69 }，第二组8个数据{70，…，81}；……；第一组9个数据{65，…，80}，第二组1个数据
{81}。
以第2种分组情况为例，计算组内离差平方和。其中，第一组有 2个数据{65，69}，这2个数据的平均数
是67，故第一组数据的组内离差平方和。 S₁²=(65-67)²+(69-67)²=8 ；第二组有8个数据{70，75，76，76，78，80，80，81}，这8个数据的平均数是77，故第二组数据的组内离差平方和 S₂²=(70-77)²+(75-77)²+…
+(81-77)²=90 。因此，第2种分组情况的组内离差平方和 S₃²=S₁²+S₂²=8+90=98 。
同理，计算其他8种分组情况的组内离差平方和，结果如下：
分组情况 组内离差平方和
第一组1个，第二组9个 146.889
第一组2个，第二组8个 98
第一组3个，第二组7个 48
第一组4个，第二组6个 74.25
第一组5个，第二组5个 98
第一组6个，第二组4个 107.583
第一组7个，第二组3个 136.095
第一组8个，第二组2个 182.375
第一组9个，第二组1个 218
计算结果表明，第3 种情况的组内离差平方和最小。因此，把10个苹果按直径大小分成的两组是 { 65 ，
69 ， 70 }，{ 75 ， 76 ， 76 ， 78 ， 80 ， 80 ， 81 }。
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨算术平均数、加权平均数及方差的计算方法.
B.交流典例的解题思路和易错点，并总结方法.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1．菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，每四年颁发一次。从 1936年到2022年，共有65人获奖，获奖
者获奖时的年龄分布如下图，请计算获奖者的平均获奖年龄（结果精确到0.1岁）。
解：获奖者获奖年龄的众数是37岁和38岁，获奖者获奖年龄的平均数为(27+29×3+31×5+32×4+33×4+34×4+35×6+36×5+37×9+38×9+39×7+40×
7+45×1)÷(1+3+5+4+4+4+6+5+9+9+7+7+1)≈35.8(岁)。
2.某校规定学生的体育成绩由三部分组成：早锻炼及体育课外活动表现占 20%，体育理论测试占30%，体
育技能测试占50%。小颖的上述三项成绩依次是92分、80分、84分，则小颖的体育成绩是多少？
解： ,
即小颖这学期的体育成绩是84.4分.
3.甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：cm）如下。
甲队：178 177 179 179 178 178 177 178 177 179
乙队：178 177 179 176 178 180 180 178 176 178
哪支仪仗队队员的身高更为整齐？你是怎么判断的？
解：甲队队员身高的平均数为：
乙队队员身高的平均数为：
甲队队员身高的方差为：
乙队队员身高的方差为：
因为0.6 < 1.8，即甲队的方差小于乙队的方差，所以甲仪仗队队员的身高更为整齐。
4.某公司欲招聘一名职员，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了初步测试，
测试成绩（单位：分）见下表：如果将学历、经验和工作态度三项得分按 1:2:2 的比例确定各人的最终得分，并以此为依据确定录用者，
那么谁将被录用？
解：甲的综合成绩为 (分)，
乙的综合成绩为 (分)，
丙的综合成绩为 (分)，
因为 7.8 > 7 > 6.4 ，
所以应录用乙.
题型一： 求众数
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）一组数据为3，2，2，4，5，2，则这组数据的众数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了众数，理解其定义是解题的关键．
众数是一组数据中出现次数最多的数，直接统计每个数字的出现次数即可．
【详解】解：数据中2出现3次，3、4、5各出现1次，
∴2出现次数最多，
∴众数为2．
故选：A．
2．（25-26八年级上·全国·单元测试）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋50双，各种尺码的鞋的销售
量如下表所示：若每双鞋的销售利润相同，店主再进一批女鞋时，打算多进尺码为23.5cm的鞋，你认为他
做这个决定是重点关注了下列统计量中的（ ）鞋的尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量
2 3 12 17 9 5 2
（双）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
【答案】A
【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统
计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．最值得关
注的应该是哪种尺码的鞋销售量最多，即众数．
【详解】解：∵ 众数是一组数据中出现次数最多的值，
∴ 由销售数据表可知，尺码23.5cm的销售量为17双，是最高值，
∴ 众数为23.5cm，
∴ 店主重点关注了众数．
故选：A．
3．（25-26八年级上·山东淄博·期中）在倡导“全民阅读”的环境下，越来越多的学生选择去图书馆借阅图
书，小红根据去年4~10月本班同学去图书馆借阅图书的人数，绘制了如图所示的折线统计图，则这些人
数的众数是（ ）
A．46人 B．42人 C．32人 D．27人
【答案】C
【分析】本题考查众数，折线统计图．根据众数的定义解答即可．
【详解】解：在这一组数据中32是出现次数最多的，
故众数是32．
故选C．
题型二： 求算术平均数
4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（）
A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B
【分析】本题考查平均数，众数，掌握相关的概念和计算方法是解题的关键．
通过计算数据的平均数和众数，并令它们相等，求解x的值．众数为出现次数最多的数，需根据x的取值
讨论．
6+8+10+x 24+x
【详解】解：数据的平均数为 = ．
4 4
∵平均数和众数相等，
∴需使众数等于平均数．
24+8
当x=8时，数据为6,8,8,10，众数为8，平均数为 =8，两者相等．
4
当x=6时，众数为6，平均数为7.5，不相等．
当x=10时，众数为10，平均数为8.5，不相等．
当x=12时，数据无众数或众数不唯一，平均数为9，与任何数都不等．
∴x=8．
故选：B．
5．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，下列四个温度计显示度数的平均数为（ ）
A．−5℃ B．0℃ C．−1.25℃ D．1.25℃
【答案】D
【分析】本题考查的是平均数的计算，根据四个温度计显示度数分别是−10℃,0℃,5℃,10℃，直接
计算平均数即可．
【详解】解：由图知，四个温度计显示度数分别是−10℃,0℃,5℃,10℃，
1
∴四个温度计显示度数的平均数为 ×(−10+0+5+10)=1.25℃，
4
故选：D．
6．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）为纪念中国人民抗日战争胜利80周年，某班组织了一次抗战知识竞
赛，其中4名同学的平均成绩为85分，另外6名同学的平均成绩为95分，则这10名同学的平均成绩为 分．
【答案】91
【分析】本题考查了算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的计算方法．先计算4名同学的总成绩和6
名同学的总成绩，再求10名同学的总成绩，最后除以10得到平均成绩．【详解】解：4名同学的总成绩为 4×85=340（分），
6名同学的总成绩为 6×95=570（分），
∴10名同学的总成绩为 340+570=910（分），
∴这10名同学的平均成绩为 910÷10=91（分），
故答案为：91．
题型三： 求加权平均数
7．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）河北中考数学试卷按容易题、中档题、较难题3:5:2的比例命题，
满分为120分．若小明容易题得分率100%、中档题得分率80%、较难题得分率50%，则他的最终成绩是
（ ）
A．96分 B．98分 C．100分 D．102分
【答案】A
【分析】本题主要考查了加权平均数，理解“权”的含义和掌握求加权平均数的方法是解答本题的关键．根
据试卷命题比例计算各部分分值，再根据得分率计算各部分得分，求和得总成绩．
3 5 2
【详解】解：根据题意，得120× ×100%+120× ×80%+120× ×50%
3+5+2 3+5+2 3+5+2
=36+48+12
=96（分）
则他的最终成绩是96分．
故选：A．
8．（25-26九年级上·河北唐山·期中）某市4万名初中毕业生进行了一项技能测试（满分100分），从中
随机抽取4000名学生的成绩，统计如表，请根据表格中的信息，估计这4万名学生的平均分约为（ ）
成绩x（分） 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100
个数 800 2000 1200
平均分 78 85 92
A．92.1 B．85.7 C．83.4 D．78.8
【答案】B
【分析】本题考查加权平均数的计算和用样本估计总体，通过计算样本中4000名学生的加权平均分，来
估计4万名学生的平均分．
【详解】∵ 样本的总分数为：800×78+2000×85+1200×92=62400+170000+110400=342800
（分），样本总人数为4000，
∴ 样本平均分为：342800÷4000=85.7（分），
故估计这4万名学生的平均分约为85.7分．
故选：B．
9．（25-26八年级上·山东淄博·期中）某校科创社团招聘新成员，测试项目包括基础知识、操作能力、创
新能力，并规定上述三项成绩依次按40%，30%，30%的比例计入总成绩，某个学生这三项的测试得分依
次为85分，90分，95分，则此学生的总成绩是 分．
【答案】89.5
【分析】本题考查加权平均数的计算，解题的关键是掌握加权平均数的计算公式（各项成绩×对应权重之
和）．
根据加权平均数的计算方法，将各项成绩分别乘以对应的权重，再求和即可得到总成绩．
【详解】解：根据加权平均数的计算公式，总成绩为：
85×40%+90×30%+95×30%=85×0.4+90×0.3+95×0.3=34+27+28.5=89.5（分），
故答案为：89.5
题型四： 用平均数作决策
10．（2024秋•双桥区校级月考）某校举办歌唱比赛，其中三名选手的成绩统计如下表．
测试成绩（单位： 测试项目
分）
唱功 音乐常识 综合知识
嘉嘉 98 80 80
淇淇 95 90 90
珍珍 80 100 100
若唱功、音乐常识、综合知识按6：3：1的加权平均分决定冠军、亚军、季军，则冠军、亚军、季军分
别是（ ）
A．嘉嘉、淇淇、珍珍 B．嘉嘉、珍珍、淇淇
C．淇淇、嘉嘉、珍珍 D．淇淇、珍珍、嘉嘉
【答案】C．
【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算方法得出三名选手的成绩，即可求解．
【详解】解：由题意知，
6 3 1
嘉嘉的最终得分为：98× +80× +80× =90.8，
6+3+1 6+3+1 6+3+16 3 1
淇淇的最终得分为：95× +90× +90× =93，
6+3+1 6+3+1 6+3+1
6 3 1
珍珍的最终得分为：80× +100× +100× =88，
6+3+1 6+3+1 6+3+1
93＞90.8＞88，
可知冠军、亚军、季军分别是：淇淇、嘉嘉、珍珍．
故选：C．
【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
11．（2024春•盐池县期末）某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行
了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取．他们的各项成绩（单项满分 100分）
如表所示：
（1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？
（2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照
20%，20%，60%的比例计入综合成绩，应该录取谁？
候选人 文化水平 艺术水平 组织能力
甲 80分 87分 82分
乙 80分 96分 76分
【分析】（1）根据算术平均数的定义列式计算可得；
（2）根据加权平均数的定义列式计算可得．
80+87+82
【详解】解：（1）甲的平均成绩为 =83（分）；
3
80+96+76
乙的平均成绩为 = 84（分），
3
因为乙的平均成绩高于甲的平均成绩，
所以乙被录用；
（2）根据题意，甲的平均成绩为80×20%+87×20%+82×60%＝82.6（分），
乙的平均成绩为80×20%+96×20%+76×60%＝80.8（分），
因为甲的平均成绩高于乙的平均成绩，
所以甲被录用．
【点睛】本题主要考查平均数，解题的关键是熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算公式．
12．（2024春•嘉兴期末）某校在一次演讲比赛中，甲，乙的各项得分如表．
演讲内容 语言表达 临场表现
甲 90 85 80乙 84 83 91
（1）如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两位同学的排名顺序怎样？
（2）若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“演讲内容”“语言表达”“临场表现”三个
项目在总分中的占比为2：2：1，那么两位同学的排名顺序又怎样？
【分析】（1）先分别计算出两人的平均数，然后按照从高到低进行排名；
（2）根据加权平均数的概念再计算各班的加权平均数，然后再排名．
90+85+80
【详解】解：（1）甲的平均数为 =85（分），
3
84+83+91
乙的平均数为 = 86（分），
3
∵86＞85，
∴乙排在甲的前面；
90×2+85×2+80×1
（2）甲的综合成绩为 =86（分），
2+2+1
84×2+83×2+91×1
乙的综合成绩为 = 85（分），
2+2+1
∵86＞85，
∴甲排在乙的前面．
【点睛】本题考查了平均数和加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义与计算公式是解答本题的关键．
题型五： 求方差
13．（2024·广东·模拟预测）若一组数据4，5，x，6，7的平均数是5，则这组数据的方差为（ ）．
A．4 B．5 C．2 D．❑√2
【答案】C
【分析】本题考查了平均数和方差，熟练掌握平均数和方差的计算方法是解题的关键．
先根据平均数求出x，再用方差的公式解题即可．
4+5+x+6+7
【详解】解：由题意知， =5，
5
解得：x=3，
(4−5) 2+(5−5) 2+(3−5) 2+(6−5) 2+(7−5) 2
∴这组数据的方差为： =2．
5
故选：C ．14．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）地球是我们唯一的家园，爱护地球是每一个人应尽的义务．4
月22 日“世界地球日”来临之际，为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭某月的用水量，
统计结果如表所示，则这组数据的方差是 （ ）
月用水量/吨 6 8 9 10
户数 2 3 6 9
A．1.6 B．1.5 C．1.4 D．1.3
【答案】B
【分析】本题考查数据的方差计算，先计算总户数和平均用水量，再应用方差公式求解．
2×6+3×8+6×9+9×10
【详解】解：平均用水量x= =9，
2+3+6+9
2×(6−9) 2+3×(8−9) 2+6×(9−9) 2+9×(10−9) 2 18+3+0+9
方差 s2= = =1.5，
20 20
∴ 这组数据的方差是1.5，
故选：B．
15．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．
以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：32，33，31，29，31，29，31，32，则下列说法正确的
是（ ）
A．中位数是31，方差是14 B．众数是31，标准差是❑√7
7 ❑√14
C．平均数是31，方差是 D．中位数是31，标准差是
4 8
【答案】C
【分析】本题考查了众数、中位数、方差、标准差、极差和平均数，二次根式的性质，根据众数、中位数、
方差、极差、标准差（标准差是方差的平方根）和平均数定义即可求解， 首先将数据从小到大排列为：
7
29，29，31，31，31，32，32，33；计算各统计量：中位数为31，众数为31，平均数为31，方差为 ，
4
❑√7
标准差为 ，极差为4；逐一验证选项，只有选项C正确．
2
【详解】解：在数据32，33，31，29，31，29，31，32中，
首先将数据从小到大排列：29，29，31，31，31，32，32，33．
31+31
中位数计算：由于有8个数据，中位数是第4和第5个数的平均值，即 =31；
2
众数计算：出现次数最多的数是31，出现了3次．1 1
平均数计算：平均数为 (29+29+31+31+31+32+32+33)= ×248=31；
8 8
1 7
方差为： [(31−29) 2×2+(31−31) 2×3+(31−32) 2×2+(31−33) 2)= ；
8 4
√7 ❑√7
标准差为：❑ = ；
4 2
极差为：33−29=4；
故选：C．
题型六： 用方差作决策
16．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，每人射击
20发子弹．他们射击成绩的平均数和标准差如表所示，若要选一名成绩较好且又稳定的运动员参赛，则应
选运动员（ ）
射击成绩统计分析表
人员成绩 甲 乙 丙 丁
平均数x（环） 8.6 8.6 9.2 9.2
标准差S（环） 1.3 1.5 1.0 1.2
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】该题考查了分析数据的波动程度（方差、标准差）；分析数据的集中趋势（平均数），先比较平
均数，再比较标准差，然后得出丙的方差小于丁的方差，从而得出答案．
【详解】解：由表可知，丙和丁的平均成绩好，
由于丙的标准差小于丁的标准差，
所以丙的方差<丁的方差，
则要选一名成绩较好且又稳定的运动员参赛，则应选丙．
故选：C．
17．（25-26九年级上·全国·课后作业）某省举行射击比赛，教练打算从甲、乙、丙、丁四人中选派一人参
赛，每人都进行20次射击，他们的平均成绩相同，方差分别是
s 2=0.9，s 2=0.4，s 2=1.2，s 2=0.6，则成绩最稳定的选手是（ ）
甲 乙 丙 丁
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B【分析】本题主要考查了方差的性质
由于四人的平均成绩相同，因此只需比较方差的大小，方差越小，表示成绩越稳定．
【详解】解：∵s2 =0.9，s2 =0.4，s2 =1.2，s2 =0.6，
甲 乙 丙 丁
∵0.4<0.6<0.9<1.2，
∴乙的方差最小，成绩最稳定．
故选：B．
18．（25-26八年级上·山东东营·期中）学校为选拔数学竞赛选手，对甲、乙两名同学进行了4次模拟测试．
已知两人成绩的方差分别为：S2 ❑ =2.5，S2 =0.5，且两人4次测试成绩如下：甲：78，82，79，
甲 乙
81，乙：80，81，79，80，根据平均数和方差，应选 同学参赛．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【分析】此题考查了方差的意义．通过计算平均成绩，甲和乙均为80，平均成绩相同；比较方差，乙的方
差较小，成绩更稳定，因此选乙参赛．
【详解】解：甲的平均成绩为(78+82+79+81)÷4=320÷4=80；
乙的平均成绩为(80+81+79+80)÷4=320÷4=80．
两人平均成绩相同．
已知S2 ❑ =2.5，S2 =0.5，0.5<2.5，
甲 乙
因此乙的成绩更稳定，应选乙同学参赛．
故答案为：乙．
题型七： 求标准差
19．（25-26八年级上·全国·课后作业）老师通过分析小明和小聪的最近5次数学检测的成绩，确定小明的
数学成绩比较稳定，已知他们成绩的方差分别为7，12，则小明成绩的标准差为（ ）
A．49 B．144 C．❑√7 D．❑√12
【答案】C
【分析】本题考查标准差的定义，熟练掌握标准差的定义是解题的关键．
成绩稳定性由方差大小决定，方差小则更稳定，根据标准差的定义，求出方差的算术平方根即可．
【详解】解：小明的成绩比较稳定，则小明的方差较小，为7，
因此小明成绩的标准差为❑√7，
故选：C．1
20．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一组数据x ,x ,x ,⋯,x ，其平均数为1，方差为 ，则另一
1 2 3 n 5
组数据5x −2,5x −2,5x −2,⋯,5x −2的平均数为 ，标准差为 ．
1 2 3 n
【答案】 3 ❑√5
【分析】本题主要考查平均数，标准差，方差；根据数据的倍数影响平均数，方差，标准差，后面的常数
项影响平均数，不影响方差，标准差，进行整体计算即可．
【详解】解：∵一组数据x ,x ,x ,⋯,x ，其平均数为1，
1 2 3 n
−
∴另一组数据5x 1 −2,5x 2 −2,5x 3 −2,⋯,5x n −2的平均数为： 5x−2=5×1−2=3 ，
1
∵一组数据x ,x ,x ,⋯,x ，方差为 ，
1 2 3 n 5
√ 1
∴另一组数据5x −2,5x −2,5x −2,⋯,5x −2的标准差为：❑52× =❑√5；
1 2 3 n
5
故答案为：3，❑√5．
21．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一组数据：1，2，3，4，5，则这组数据的离差平方和是
，方差是 ，标准差是 ．
【答案】 10 2 ❑√2
【分析】本题主要考查离差平方和、方差和标准差的计算，先计算平均数，再计算离差平方和（数据与平
均数差的平方和）、方差（离差平方和的算术平均数）和标准差（方差的算术平方根）即可．
1+2+3+4+5
【详解】解：这组数据的平均数为 =3，
5
离差平方和为(1−3) 2+(2−3) 2+(3−3) 2+(4−3) 2+(5−3) 2=4+1+0+1+4=10；
1 1
方差为S2= ×[(1−3) 2+(2−3) 2+(3−3) 2+(4−3) 2+(5−3) 2)= ×10=2；
5 5
标准差为S=❑√2；
故答案为：10；2；❑√2．
题型八： 求离差平方和
22．（2025八年级上·全国·专题练习）一组数据3,a,4,6,7的平均数是5，那么这组数据的离差平方和是
（ ）
A．10 B．❑√10 C．2 D．❑√2
【答案】A
【分析】本题主要考查平均数，离差平方和；先根据平均数的公式计算出a=5，再结合离差平方和计算求解即可．
【详解】解：∵一组数据3,a,4,6,7的平均数是5，
1
∴ ×(3+a+4+6+7)=5，
5
解得a=5，
∴离差平方和：(3−5) 2+(5−5) 2+(4−5) 2+(6−5) 2+(7−5) 2=10，
故选：A．
23．（25-26八年级上·全国·期末）若将排序后的数据分为两组，计算组内离差平方和时需（ ）
A．仅计算第一组的离差平方和 B．计算两组离差平方和的总和
C．仅计算最大值与最小值的差 D．计算两组离差平方和的平均数
【答案】B
【分析】本题主要考查了组内离差平方和的定义，离差平方和是指每个数据点与组平均数的差的平方和，
当数据分为两组后，组内离差平方和应计算每组内部的离差平方和，再将两组的结果相加，以反映整体的
组内变异．根据组内离差平方和的定义即可求解．
【详解】解：由组内离差平方和的定义可知，需计算两组离差平方和的总和．
故选：B．
24．（25-26八年级上·全国·随堂练习）淇淇在计算一组数据的方差时，列得没有化简的算式：
(5−x) 2+(2−x) 2+(5−x) 2+(4−x) 2
s2= ．关于这组数据，下列结论：①平均数是4；②离差平方和是1.5；
n
③众数是5；④n=3．其中不正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了方差，离差平方和，平均数和众数，根据方差计算公式可得这组数据为：2，4，
5，5，再分别计算出众数和平均数，进而求出离差平方和即可得到答案．
【详解】解：由方差计算公式可得这组数据为：2，4，5，5，
5+2+5+4
∴这组数据的平均数为 =4，众数是5，n=4，故①③正确，④不正确，
4
∴离差平方和是(5−4) 2+(2−4) 2+(5−4) 2+(4−4) 2=6，故②不正确；
故选：B．题型九： 平均数与方差的综合应用
25．（25-26九年级上·江苏南京·期中）从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中，各抽取5件产品，对其使
用寿命进行跟踪调查，结果如下（单位：年）：
甲：4，6，6，6，8；
乙：3，5，6，7，9．
(1)分别求甲、乙两个厂家产品使用寿命的平均数；
(2)通过计算估计哪个厂家的产品使用寿命比较稳定．
【答案】(1)甲厂产品使用寿命的平均数为6年，乙厂产品使用寿命的平均数为6年．
(2)甲厂家的产品使用寿命比较稳定．
【分析】此题考查了平均数和方差，解题的关键是掌握平均数和方差的求法．
（1）根据平均数的定义求解即可；
（2）分别计算甲、乙两个厂家产品使用寿命的方差，然后比较判断即可．
4+6+6+6+8
【详解】（1）甲厂家产品使用寿命的平均数为 =6，
5
3+5+6+7+9
乙厂家产品使用寿命的平均数为 =6；
5
1 8
（2）甲厂家产品使用寿命的方差为 ×[(4−6) 2+(6−6) 2×3+(8−6) 2)= ，
5 5
1
乙厂家产品使用寿命的方差为 ×[(3−6) 2+(5−6) 2+(6−6) 2+(7−6) 2+(9−6) 2)=4
5
8
∵ <4
5
∴甲厂家的产品使用寿命比较稳定．
26．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶5次，成绩统
计如下：
命中环数 7 8 9 10
甲命中相应环数的次数 2 2 0 1
乙命中相应环数的次数 1 3 1 0
(1)请分别求出甲、乙命中环数的平均数；
(2)若从甲、乙两人射击成绩方差的角度评价两人的射击水平，则谁的射击成绩更稳定些？
【答案】(1)甲命中环数的平均数为8环，乙命中环数的平均数为8环
(2)乙同学的射击成绩比较稳定
【分析】本题考查平均数、方差，解题的关键是掌握相关的定义．（1）根据加权平均数的定义求解即可；
（2）利用方差公式计算出甲、乙的方差，最后比较大小即可．
7×2+8×2+9×0+10×1
【详解】（1）解：甲命中环数的平均数为 =8（环），
2+2+0+1
7×1+8×3+9×1+10×0
乙命中环数的平均数为 =8（环）；
1+3+1+0
1
（2）甲的方差为s2 = [2×(7−8) 2+2×(8−8) 2+0×(9−8) 2+1×(10−8) 2)=1.2，
甲 5
1
乙的方差为s2 = [1×(7−8) 2+3×(8−8) 2+1×(9−8) 2+0×(10−8) 2)=0.4，
乙 5
∵1.2>0.4，
∴乙同学的射击成绩比较稳定．
27．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）新闻媒体对三位NBA篮球球星的历史地位分别从球队战绩、
个人荣誉、个人能力三个方面进行比较，甲、乙、丙三人得分如下表（单位：分）：
姓
球队战绩 个人荣誉 个人能力 平均得分 方差
名
甲 84 90 96 90 24
乙 89 92 89 90 ②
丙 ① 89 84 90 29
(1)将表格中空缺的数据补充完整：①________，②________；
(2)如果媒体认为这三个方面的重要程度有所不同，而给予“球队战绩”“个人荣誉”“个人能力”三个方面在总评
得分中所占的比例分别为50%、30%、20%，通过计算说明谁的最终地位更高；
(3)通过表格数据，哪位球星在评比过程中短板少？给出你的理由．
【答案】(1)97，2
(2)丙
(3)乙
【分析】本题考查了算术平均数、加权平均数、方差以及意义，掌握相关定义是解题关键．
（1）根据平均数，方差的定义进行计算即可；
（2）根据加权平均数的定义进行计算即可；
（3）根据方差的意义可判断．
【详解】（1）解：①的值为丙的球队战绩得分：90×3−89−84=97，
1
②的值为①的方差： ×[(89−90) 2+(92−90) 2+(89−90) 2)=2，
3
故答案为：97，2．（2）解：丙的最终成绩更高，理由如下：
甲的最终成绩为：84×50%+90×30%+96×20%=88.2（分），
乙的最终成绩为：89×50%+92×30%+89×20%=89.9（分），
丙的最终成绩为：97×50%+89×30%+84×20%=92（分），
∵88.2<89.9<92，
∴丙的最终地位更高；
（3）解：由表格可知，甲方差为 24，得分为 84、90、96，最低分 84；
乙方差为 2，得分为 89、92、89，最低分 89；
丙方差为 29，得分为 97、89、84，最低分 84．
乙的方差最小，且所有得分均在 89 分以上，无明显低分项，因此乙的短板最少．
▲1．众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数.
▲2．算术平均数：一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数，就得到这组数据的算术平均数，简称平
均数.
▲3．（1）在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画.
（2）离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，即
（3）方差是各个数据与它们平均数之差的平方的平均数，即
其中， 是x₁,x₂,…, 的平均数.
（4）标准差则是方差的算术平方根.
①方差、标准差是描述一组数据离散程度的量.
一般而言，一组数据的方差和标准差越小，这组数据就越稳定.
