文档内容
6.1 平均数与方差 导学案
1.能运用平均数描述数据集中趋势、用方差描述数据离散程度，解决简单实际问题。
2.理解算术平均数、加权平均数及方差的概念，掌握其计算方法。
学习重点：平均数、加权平均数的定义与灵活运用，方差的计算方法。
教学难点：理解加权平均数与算术平均数的联系和区别，正确运用方差对数据稳定性进行判断。
第一环节 自主学习
新知自研：自研课本P1146-P154页的内容，思考：
【学法指导】
情景引入
在某场女排决赛中，A队战胜B队获得冠军。下面图中反映了两队队员拦网高度情况，从中你能得到哪些
信息？
在大数据时代，人们常常需要收集、整理、表示、分析数据，进而更好地作出判断。我们已经学习了数据
的收集与整理。在此基础上，还需要对收集到的数据进行分析。本章将学习如何选择一些具有“代表性”
的统计量来反映数据的集中趋势与离散程度，以及根据问题的需要确定整理和分析数据的方法。在这一过
程中，你将体会数据分析的重要性，发展数据观念，增强应用意识。
●探究一：众数与算术平均数
◆1.问题引入
在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁四人的成绩如图所示。（1）观察统计图，甲的哪个射击成绩出现次数最多?其他选手呢?
解：①甲 环出现次数最多；②乙 环出现次数最多；③丙 环出现次数最多；④丁
环和 环出现次数最多.
（2）不计算，请你尝试判断谁的射击成绩最好.你是怎么判断的?
（3）算一算，验证你的判断是否正确.
◆2.知识归纳
①众数：一组数据中出现次数 的那个数据叫作这组数据的众数.
②算术平均数：一组数据中所有 除以这组数据的 ，就得到这组数据的算术平均数，简称平均
数.
③平均数是刻画一组数据 的一项指标，反映了一组数据的“ ”.
一般地，对于 n 个数 x₁, x₂, …, xₙ，它们的平均数是 .
◆3.思考交流
(1) 一组数据的平均数一定在这组数据中吗？
(2) 如果甲又射击一次，意外脱靶，成绩为0环，那么这时甲的平均成绩会发生什么变化？
(3) 在某些比赛评分时，常常去掉一个最高分和一个最低分，然后计算平均成绩，你能说说这样做的好处
吗？
◆4.操作思考
某店铺一种商品10天中每天的销售量及顾客对店铺的评分如图所示.(1) 请你计算这种商品10天的平均销售量.
(2) 顾客对店铺评分的众数是多少？顾客对店铺评分的平均数呢？
●探究二 加权平均数
◆1.做一做
某馄饨店每碗有10个馄饨。其中蛋黄鲜肉馄饨15元/碗，虾仁鲜肉馄饨15元/碗，荠菜鲜肉馄饨12元/碗，
玉米鲜肉馄饨10元/碗，香芹鲜肉馄饨10元/碗。现在计划推出一份“全家福”馄饨，其中含蛋黄鲜肉馄饨、
虾仁鲜肉馄饨各1个，荠菜鲜肉馄饨2个，玉米鲜肉馄饨、香芹鲜肉馄饨各3个。你认为这种“全家福”
馄饨每碗定价多少元较为合理？你是怎么想的？与同伴进行交流。
（1）小亮认为“全家福”馄饨每碗定价应为
你认为他的算法合理吗？为什么？
（2）如果“全家福”馄饨含蛋黄鲜肉馄饨3个，虾仁鲜肉馄饨3个，荠菜鲜肉馄饨2个，玉米鲜肉馄饨1
个，香芹鲜肉馄饨1个，那么该如何定价呢？若每种馄饨各2个，又该如何定价呢？
（3）你认为这种“全家福”馄饨的定价与什么有关？
◆2.知识归纳
（1）在很多实际问题中, 一组数据里各个数据的“ ”未必相同, 因而在计算这组数据的平
均数时, 往往根据各个数据的“重要程度”赋一个“ ”.
每个数据的占比就是它们的 ，若 n 个数 x₁, x₂, …, xₙ的权分别是 w₁, w₂, …, wₙ，
则： x₁w₁+x₂w₂+…+xₙwₙ叫做这 n 个数的 .
（2）“权”的三种表现形式：① 各个数据出现的 ；
② 的形式；
③ 的形式.
◆3.议一议
思考：想一想，加权平均数和算术平均数有什么区别和联系？
区别：算术平均数对应的一组数据中的各个数据的“ ”相同。
加权平均数对应的一组数据中的各个数据的“重要程度” 相同，即各个数据的“权”
相同。
联系：若各个数据的“ ”相同，则加权平均数就是算术平均数，因而算术平均数实际上是加权平均
数的一种特例。
◆4.典例分析
例 1 某校进行广播体操比赛，评分包括以下几项(每项满分10分)：服装统一、进退场有序、动作规范、
动作整齐.其中三个班的成绩见下表：
评分项
班级
服装统一 进退场有序 动作规范 动作整齐
一班 9 8 9 8
二班 10 9 7 8
三班 8 9 8 9
如果将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按 10%，20%，30%，40%的比例计
算各班的广播体操比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？
◆5.思考交流
（1）已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别是2h和1h，这两家网站所有用户的日人均上网时间
是 (2+1)÷2=1.5（h）吗？为什么？与同伴进行交流。
（2）设A，B两家网站用户的日人均上网时间分别是 a h和 b h，A，B两家网站平均每天的上网用户分
别为 m 人和 n 人，你能求出这两家网站所有用户的日人均上网时间吗？●探究三：方差描述数据的离散程度
◆1.问题引入
甲与丁每次的射击成绩如图所示，他们的平均成绩都是8环，两个人的射击表现一样吗?你对甲、丁的射击
表现有什么评价?
(1) 你觉得谁发挥得更稳定?你的理由是什么?
(2) 你能设法通过计算说明两人成绩的稳定程度吗?
◆2.知识归纳
在实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的
偏离情况.
（1）在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、 或 等统计量来刻画.
（2）离差平方和是各个数据与它们 的平方和，即
（ 3 ） 方 差 是 各 个 数 据 与 它 们 平 均 数 之 差 的 平 方 的 ， 即
其中， 是x₁,x₂,…, 的平均数.
（4）标准差则是方差的算术平方根.
①方差、标准差是描述一组数据离散程度的量.
一般而言，一组数据的 和标准差越小，这组数据就越 .
②只有在两组数据的平均数 或比较接近时，才用方差或标准差比较两组数据的离散程度.
◆3.典例分析
例 2 计算图中甲射击成绩的标准差(结果精确到0.01环).【解答】
◆4.思考交流
(1) 计算图中丙射击成绩的方差，并对甲、丙的射击成绩进行比较.
解：甲成绩的平均数是 ，方差约是 (环²).
丙成绩的平均数约是 环，方差约是 (环²).
甲射击成绩的方差 丙射击成绩的方差，
但甲的射击成绩的平均数 丙射击成绩的平均数，
故 射击成绩较丙更稳定， 的射击成绩更好.
(2) 丁又进行了几次射击，这时他所有射击成绩的平均数没变，但方差变小了.你认为丁后面几次射击的成
绩有什么特点？
【解答】
◆5.做一做
1.某日，A，B两地的气温如图所示.
(1) 不进行计算，说说A，B两地这一天气温的特点.
(2) 分别计算这一天A，B两地气温的平均数和方差，与你刚才的看法一致吗？
【解答】解：A地24时气温(单位：℃)分别是18，17.5，17，16，16.5，18，19，20.5，22，23，23.5，
24，25，25.5，24.5，23，22，20.5，20，19.5，19.5，19，18.5，18.B地24时气温(单位：℃)分别是20，19.5，19，18，19，19.5，20.5，22，22.5，23，23，23.5，24，24，
23，22.5，22.5，22，21.5，21，21.5，20.5，20.5，20.
甲的平均数：
乙的平均数：
甲的方差：
乙的方差：
结论：
2.某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项比赛。在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：
cm）如下。
甲：585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙：613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
（1）甲、乙的平均成绩分别是多少？
(2) 甲、乙这10次选拔赛成绩的方差分别是多少?
(3) 这两名运动员的选拔赛成绩各有什么特点?
(4) 历届比赛成绩表明, 成绩达到5.96m就很有可能夺冠, 你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛?如果历届比
赛成绩表明, 成绩达到6.10m就能打破纪录, 那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛呢?
【解答】
探究点4：离差平方和
◆1.思考交流
（1）若想把这10个苹果分成两组，使每组苹果的“个头”差不多，你想怎么分？说说你分组的理由。(2) 一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别
明显，那么你认为应遵循怎样的分组原则？
◆2.典例分析
例 3 按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把上述的10个苹果按直径大小分成两组。
解：将10个数据由小到大排序：
把10个数据分成两组，共有9种情况：第一组1个数据{ }，第二组9个数据{69，…，81}；第
一组2个数据{ }，第二组8个数据{70，…，81}；……；第一组9个数据{65，…，80}，第二
组1个数据{ }。
以第2种分组情况为例，计算组内离差平方和。其中，第一组有2个数据{ ，69}，这2个数据
的平均数是 ，故第一组数据的组内离差平方和。 S₁²= + = ；
第二组有8个数据{70，75，76，76，78，80，80，81}，这8个数据的平均数是 ，故第二组数
据的组内离差平方和 S₂²= = 。因此，第2种分组情况的组内离差平方和 S₃²=S₁²+
= + = 。
同理，计算其他8种分组情况的组内离差平方和，结果如下：
分组情况 组内离差平方和
第一组1个，第二组9个 146.889
第一组2个，第二组8个
第一组3个，第二组7个
第一组4个，第二组6个
第一组5个，第二组5个
第一组6个，第二组4个 107.583
第一组7个，第二组3个 136.095
第一组8个，第二组2个 182.375
第一组9个，第二组1个 218
计算结果表明，第 种情况的组内离差平方和最小。因此，把10个苹果按直径大小分成的两组是{
}，{ }。
第二环节 合作探究
小组群学在小组长的带领下：
A.探讨算术平均数、加权平均数及方差的计算方法.
B.交流典例的解题思路和易错点，并总结方法.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1．菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，每四年颁发一次。从 1936年到2022年，共有65人获奖，获奖
者获奖时的年龄分布如下图，请计算获奖者的平均获奖年龄（结果精确到0.1岁）。
2.某校规定学生的体育成绩由三部分组成：早锻炼及体育课外活动表现占 20%，体育理论测试占30%，体
育技能测试占50%。小颖的上述三项成绩依次是92分、80分、84分，则小颖的体育成绩是多少？
3.甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：cm）如下。
甲队：178 177 179 179 178 178 177 178 177 179
乙队：178 177 179 176 178 180 180 178 176 178
哪支仪仗队队员的身高更为整齐？你是怎么判断的？
4.某公司欲招聘一名职员，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了初步测试，
测试成绩（单位：分）见下表：如果将学历、经验和工作态度三项得分按 1:2:2 的比例确定各人的最终得分，并以此为依据确定录用者，
那么谁将被录用？
题型一： 求众数
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）一组数据为3，2，2，4，5，2，则这组数据的众数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（25-26八年级上·全国·单元测试）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋50双，各种尺码的鞋的销售
量如下表所示：若每双鞋的销售利润相同，店主再进一批女鞋时，打算多进尺码为23.5cm的鞋，你认为他
做这个决定是重点关注了下列统计量中的（ ）
鞋的尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量
2 3 12 17 9 5 2
（双）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
3．（25-26八年级上·山东淄博·期中）在倡导“全民阅读”的环境下，越来越多的学生选择去图书馆借阅图
书，小红根据去年4~10月本班同学去图书馆借阅图书的人数，绘制了如图所示的折线统计图，则这些人
数的众数是（ ）A．46人 B．42人 C．32人 D．27人
题型二： 求算术平均数
4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，下列四个温度计显示度数的平均数为（ ）
A．−5℃ B．0℃ C．−1.25℃ D．1.25℃
6．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）为纪念中国人民抗日战争胜利80周年，某班组织了一次抗战知识竞
赛，其中4名同学的平均成绩为85分，另外6名同学的平均成绩为95分，则这10名同学的平均成绩为 分．
题型三： 求加权平均数
7．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）河北中考数学试卷按容易题、中档题、较难题3:5:2的比例命题，
满分为120分．若小明容易题得分率100%、中档题得分率80%、较难题得分率50%，则他的最终成绩是
（ ）
A．96分 B．98分 C．100分 D．102分
8．（25-26九年级上·河北唐山·期中）某市4万名初中毕业生进行了一项技能测试（满分100分），从中
随机抽取4000名学生的成绩，统计如表，请根据表格中的信息，估计这4万名学生的平均分约为（ ）
成绩x（分） 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100
个数 800 2000 1200
平均分 78 85 92
A．92.1 B．85.7 C．83.4 D．78.8
9．（25-26八年级上·山东淄博·期中）某校科创社团招聘新成员，测试项目包括基础知识、操作能力、创
新能力，并规定上述三项成绩依次按40%，30%，30%的比例计入总成绩，某个学生这三项的测试得分依
次为85分，90分，95分，则此学生的总成绩是 分．
题型四： 用平均数作决策
10．（2024秋•双桥区校级月考）某校举办歌唱比赛，其中三名选手的成绩统计如下表．测试成绩（单位： 测试项目
分）
唱功 音乐常识 综合知识
嘉嘉 98 80 80
淇淇 95 90 90
珍珍 80 100 100
若唱功、音乐常识、综合知识按6：3：1的加权平均分决定冠军、亚军、季军，则冠军、亚军、季军分
别是（ ）
A．嘉嘉、淇淇、珍珍 B．嘉嘉、珍珍、淇淇
C．淇淇、嘉嘉、珍珍 D．淇淇、珍珍、嘉嘉
11．（2024春•盐池县期末）某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行
了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取．他们的各项成绩（单项满分 100分）
如表所示：
（1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？
（2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照
20%，20%，60%的比例计入综合成绩，应该录取谁？
候选人 文化水平 艺术水平 组织能力
甲 80分 87分 82分
乙 80分 96分 76分
12．（2024春•嘉兴期末）某校在一次演讲比赛中，甲，乙的各项得分如表．
演讲内容 语言表达 临场表现
甲 90 85 80
乙 84 83 91
（1）如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两位同学的排名顺序怎样？
（2）若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“演讲内容”“语言表达”“临场表现”三个
项目在总分中的占比为2：2：1，那么两位同学的排名顺序又怎样？题型五： 求方差
13．（2024·广东·模拟预测）若一组数据4，5，x，6，7的平均数是5，则这组数据的方差为（ ）．
A．4 B．5 C．2 D．❑√2
14．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）地球是我们唯一的家园，爱护地球是每一个人应尽的义务．4
月22 日“世界地球日”来临之际，为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭某月的用水量，
统计结果如表所示，则这组数据的方差是 （ ）
月用水量/吨 6 8 9 10
户数 2 3 6 9
A．1.6 B．1.5 C．1.4 D．1.3
15．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．
以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：32，33，31，29，31，29，31，32，则下列说法正确的
是（ ）
A．中位数是31，方差是14 B．众数是31，标准差是❑√7
7 ❑√14
C．平均数是31，方差是 D．中位数是31，标准差是
4 8
题型六： 用方差作决策
16．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，每人射击
20发子弹．他们射击成绩的平均数和标准差如表所示，若要选一名成绩较好且又稳定的运动员参赛，则应
选运动员（ ）
射击成绩统计分析表
人员成绩 甲 乙 丙 丁
平均数x（环） 8.6 8.6 9.2 9.2
标准差S（环） 1.3 1.5 1.0 1.2
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁17．（25-26九年级上·全国·课后作业）某省举行射击比赛，教练打算从甲、乙、丙、丁四人中选派一人参
赛，每人都进行20次射击，他们的平均成绩相同，方差分别是
s 2=0.9，s 2=0.4，s 2=1.2，s 2=0.6，则成绩最稳定的选手是（ ）
甲 乙 丙 丁
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
18．（25-26八年级上·山东东营·期中）学校为选拔数学竞赛选手，对甲、乙两名同学进行了4次模拟测试．
已知两人成绩的方差分别为：S2 ❑ =2.5，S2 =0.5，且两人4次测试成绩如下：甲：78，82，79，
甲 乙
81，乙：80，81，79，80，根据平均数和方差，应选 同学参赛．（填“甲”或“乙”）
题型七： 求标准差
19．（25-26八年级上·全国·课后作业）老师通过分析小明和小聪的最近5次数学检测的成绩，确定小明的
数学成绩比较稳定，已知他们成绩的方差分别为7，12，则小明成绩的标准差为（ ）
A．49 B．144 C．❑√7 D．❑√12
1
20．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一组数据x ,x ,x ,⋯,x ，其平均数为1，方差为 ，则另一
1 2 3 n 5
组数据5x −2,5x −2,5x −2,⋯,5x −2的平均数为 ，标准差为 ．
1 2 3 n
21．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一组数据：1，2，3，4，5，则这组数据的离差平方和是
，方差是 ，标准差是 ．
题型八： 求离差平方和
22．（2025八年级上·全国·专题练习）一组数据3,a,4,6,7的平均数是5，那么这组数据的离差平方和是
（ ）
A．10 B．❑√10 C．2 D．❑√2
23．（25-26八年级上·全国·期末）若将排序后的数据分为两组，计算组内离差平方和时需（ ）
A．仅计算第一组的离差平方和 B．计算两组离差平方和的总和
C．仅计算最大值与最小值的差 D．计算两组离差平方和的平均数
24．（25-26八年级上·全国·随堂练习）淇淇在计算一组数据的方差时，列得没有化简的算式：
(5−x) 2+(2−x) 2+(5−x) 2+(4−x) 2
s2= ．关于这组数据，下列结论：①平均数是4；②离差平方和是1.5；
n③众数是5；④n=3．其中不正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型九： 平均数与方差的综合应用
25．（25-26九年级上·江苏南京·期中）从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中，各抽取5件产品，对其使
用寿命进行跟踪调查，结果如下（单位：年）：
甲：4，6，6，6，8；
乙：3，5，6，7，9．
(1)分别求甲、乙两个厂家产品使用寿命的平均数；
(2)通过计算估计哪个厂家的产品使用寿命比较稳定．
26．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶5次，成绩统
计如下：
命中环数 7 8 9 10
甲命中相应环数的次数 2 2 0 1
乙命中相应环数的次数 1 3 1 0
(1)请分别求出甲、乙命中环数的平均数；
(2)若从甲、乙两人射击成绩方差的角度评价两人的射击水平，则谁的射击成绩更稳定些？
27．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）新闻媒体对三位NBA篮球球星的历史地位分别从球队战绩、
个人荣誉、个人能力三个方面进行比较，甲、乙、丙三人得分如下表（单位：分）：
姓
球队战绩 个人荣誉 个人能力 平均得分 方差
名
甲 84 90 96 90 24
乙 89 92 89 90 ②
丙 ① 89 84 90 29
(1)将表格中空缺的数据补充完整：①________，②________；
(2)如果媒体认为这三个方面的重要程度有所不同，而给予“球队战绩”“个人荣誉”“个人能力”三个方面在总评
得分中所占的比例分别为50%、30%、20%，通过计算说明谁的最终地位更高；
(3)通过表格数据，哪位球星在评比过程中短板少？给出你的理由．▲1．众数：一组数据中出现次数 的那个数据叫作这组数据的众数.
▲2．算术平均数：一组数据中所有 除以这组数据的 ，就得到这组数据的算术平均数，简称平
均数.
▲3．（1）在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、 或 等统计量来刻画.
（2）离差平方和是各个数据与它们 的平方和，即
（ 3 ） 方 差 是 各 个 数 据 与 它 们 平 均 数 之 差 的 平 方 的 ， 即
其中， 是x₁,x₂,…, 的平均数.
（4）标准差则是方差的算术平方根.
①方差、标准差是描述一组数据离散程度的量.
一般而言，一组数据的 和标准差越小，这组数据就越 .
