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6.1 平均数与方差
10大知识点（基础）+能力提升题（11道）+拓展培优练（4道）
一、求众数
1．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）某学校举行了“重视阅读教学，提高核心素养”系列活动，在
课堂阅读的同时还鼓励同学进行课后阅读，李老师调查了上个月全班学生阅读课外图书的本数，统计结果
如下表所示，则在本次调查中，全班学生阅读课外图书本数的众数是（ ）本
阅读课外图书的本
1 2 3 4
数/本
1
人数 5 17 8
5
A．17 B．2 C．15 D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一组数据的众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，据此
可得答案．
【详解】解：∵阅读课外图书的本数为2本的人数最多，
∴在本次调查中，全班学生阅读课外图书本数的众数是2本，
故选：B．
2．（2025·贵州遵义·模拟预测）在1，6，4，x，2这一组数中，平均数是3，则众数是（ ）
A．1 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【分析】本题考查平均数和众数．由平均数的值结合题意，求出这组数据中未知数的值是解答本题的关键．
根据平均数公式即可列出关等于x的方程，解方程求出x，结合众数的定义即可选择．
1+6+4+x+2
【详解】解：这一组数中平均数= =3，
5
解得：x=2，
则这组数为1，6，4，2，2，
∴这组数众数是2，
故选：D．3．（2025·四川乐山·中考真题）某校举行演讲比赛，5位评委对某选手给出的评分如下：7.5，7.5，7，
7.5，8，则评分的众数为 ．
【答案】7.5
【分析】本题考查了求一组数据的众数，熟练掌握众数的定义是解题的关键．
众数是一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．
【详解】解：7.5，7.5，7，7.5，8，这一组数据中7.5出现的次数最多，
∴众数是7.5，
故答案为：7.5．
二、根据众数做决策
1．（24-25八年级下·福建厦门·期末）某服装店5月份新上架了一款运动鞋，各尺码的进货量相同，这个
月该款运动鞋各尺码的销售量如下表所示．根据表一数据，该款运动鞋最适宜加大进货量的尺码是（ ）
4
尺码 40 41 43
2
销售量 7
32 43 32
（双） 7
A．43码 B．42码 C．41码 D．40码
【答案】B
【分析】本题利用众数做决策，根据各尺码的销售量数据，销售量最大的尺码最适宜加大进货量．
【详解】解：由表格数据可知，各尺码的销售量分别为：40码32双，41码43双，42码77双，43码32双．
其中42码的销售量（77双）显著高于其他尺码，说明该尺码需求最大．
由于各尺码进货量相同，为满足更多顾客需求，应优先增加销售量最高的42码进货量．
故选：B．
2．（24-25八年级下·四川南充·期末）某体恤品牌专卖店老板统计了一周内不同型号体恤销量如下表．
型号 S M L XL XXL XXXL
销量/件 10 9 18 23 12 6
如果每件销售利润相同，你认为老板最关心的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】C
【分析】本题需根据统计量的实际意义，结合问题情境选择正确答案，由于每件利润相同，总利润由总销
量决定，但老板需关注最畅销型号（即众数），以便调整进货策略，确保供应充足，避免缺货损失，平均数反映整体平均水平，中位数体现中间位置，方差衡量数据波动，均不如众数直接指导进货决策，据此进
行作答即可．
【详解】解：由表可知，XL 型号的销量为23件，在所有型号中销量最高，因此这组数据的众数是XL 型
号，它反映了市场需求最大的型号
故选C．
3．（24-25八年级下·河北邢台·期末）某男装专卖店老板专营某品牌夹克，店主统计了一周中不同尺码的
夹克销售量如下表：
尺码 38 40 42 44 46
平均每天销
10 12 20 12 12
售量/件
如果每件夹克的利润相同，你认为下一周应进尺码为 的夹克最多．
【答案】42
【分析】本题考查了众数，由统计表中的数据可知这组数据的众数是42，即42码的夹克销量最大，所以下
一周应进尺码为42的夹克最多．
【详解】解：由统计表可知，42码的夹克销量最大，平均每天销售20，
∴这组数据的众数是42，
∴下一周应进尺码为42的夹克最多．
故答案为：42．
三、求平均数
1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据
105输入为15，则由此求出的平均数与实际平均数的差是（ ）
A．−3.5 B．3 C．0.5 D．−3
【答案】D
a
【分析】本题主要考查了平均数的应用．设这30个数据的和为a，则实际平均数为 ，可得到求出的数据
30
之和，从而得到求出的平均数，再作差，即可解答．
【详解】解：设这30个数据的和为a，
a
∴实际平均数为 ，
30
∵错将其中的一个数据105输入为15，∴求出的数据之和为a−(105−15)=a−90，
a−90
∴求出的平均数为 ，
30
a−90 a
∴求出的平均数与实际平均数的差是 − =−3．
30 30
故选：D
2．（24-25八年级下·广东广州·期末）某班体育老师为了解同学们一周参加课外体育锻炼的时长，随机调
查了10位同学，得到如表数据：这10位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是 小时．
时长（小时） 5 6 7 8 9
人数 1 2 3 3 1
【答案】7.1
【分析】本题考查了求平均数．
根据平均数的运算法则计算即可．
【详解】解：这10位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是：
1
×(5+6×2+7×3+8×3+9)=7.1（小时）
10
故答案为：7.1．
3．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，现分别从他们在培训期
间参加的若干次测试成绩中随机抽取5次，记录如下：
甲：85 88 84 85 83
乙：83 87 84 86 90
(1)分别计算这两组数据的平均数．
(2)现要选派一人参加操作技能比赛，从（1）的结果看，你认为选派哪名工人参加合适？
【答案】(1)甲85，乙86
(2)乙
【分析】本题主要考查了平均数：平均数表示一组数据的平均程度．
（1）根据平均数的公式计算，即可求解；
（2）根据x 86，
∴乙最终得分高，从他们的最终成绩看，应选拔乙．
4．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）学期末，根据学校统一安排，某班评选一名优秀学生干
部，下表是班长、团支部书记和学习委员的得分情况：
团支部书
班长 学习委员
记
思想表现 24 26 28
学习成绩 26 24 27
工作能力 28 26 24
(1)如果把三名同学各项成绩的平均数作为综合成绩，应该选谁为优秀学生干部？
(2)若在评选优秀学生干部时，将思想表现、学习成绩、工作能力三项成绩按3：3：4的比例计算个人总分，
请通过计算说明谁应当选为优秀学生干部．
【答案】(1)学习委员应当选
(2)班长应当选
【分析】本题考查算术平均数，加权平均数，根据平均数做决策，掌握算术平均数，加权平均数的计算方
法是解题的关键．
（1）根据算术平均数的计算方法计算，再根据平均数进行判断即可；
（2）根据加权平均数的计算方法计算，再根据平均数进行判断即可．
24+26+28
【详解】（1）解：班长的成绩为 =26（分），
3
26+24+26 76
团支部书记的成绩为 = （分），
3 3
28+27+24 79
学习委员的成绩为 = （分），
3 3
79 76
∵ >26> ，
3 3
∴应该选学习委员为优秀学生干部；
24×3+26×3+28×4
（2）解：班长的成绩为： =26.2（分），
3+3+426×3+24×3+26×4
团支部书记的成绩为： =25.4（分），
3+3+4
28×3+27×3+24×4
学习委员的成绩为 =26.1（分），
3+3+4
∵26.2>26.1>25.4，
∴班长应当选为优秀学生干部．
五、利用平均数做决策
1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）为准备参加中小学生机器人竞赛，学校对甲、乙两支机器人制作小
队所创作的机器人分别从创意、设计、编程与制作三方面进行量化，各项量化满分100分，根据量化结果
择优推荐．两支小队所创作的机器人三项量化得分（单位：分）如下表所示．
量化得分
量化项目
甲
乙队
队
创意 85 72
设计 70 66
编程与制作 64 84
根据本次中小学生机器人竞赛的主题要求，将创意、设计、编程与制作三项量化得分按5:3:2的比例确定
每队的平均分，并根据平均分择优推荐， 队将被推荐参赛．
【答案】甲
【分析】根据加权平均数的求法，分别求出即可. 本题主要考查了加权平均数的求法，掌握其计算公式是
解题的关键.
【详解】因为x =85×0.5+70×0.3+64×0.2=76.3，
甲队
x =72×0.5+66×0.3+84×0.2=72.6．
乙队
∵76.3>72.6
∴甲队将被推荐参赛．
故答案为：甲．
2．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）数学兴趣小组的甲、乙、丙、丁四位同学进行还原魔方练习，表格
中记录了他们10次还原魔方所用时间的平均值x与方差s2，要从中选择一名还原魔方用时少又发挥稳定的
同学参加比赛，应该选择 ．甲 乙 丙 丁
x(秒) 30 30 28 28
s2 1.21 1.05 1.21 1.05
【答案】丁
【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平
均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均
数越小，即波动越小，数据越稳定．据方差的意义可作出判断即可．
【详解】解：在这四位同学中，丙、丁的平均时间一样，比甲、乙的用时少，但丁的方差小，成绩比较稳
定，由此可知，可选择丁，
故答案为：丁．
3．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作
态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项
得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么谁将被录用．
应聘者项
甲 乙
目
学历 9 8
经验 7 6
工作态度 5 7
【答案】乙将被录用
【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
直接根据加权平均数比较即可．
9×2+7×1+5×3 20
【详解】解：甲最终得分为 = ，
2+1+3 3
8×2+6×1+7×3 43
乙最终得分为 = ，
2+1+3 6
43 20
∵ > ，
6 3
∴乙将被录用．六、求方差
1．（24-25八年级上·广东清远·期末）已知一组数据1，2，3，5，x，它的平均数是3，则这组数据的方差
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．10
【答案】A
【分析】本题主要考查了平均数和方差，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的公式．
先利用平均数的公式求出未知数，再利用方差的公式求解即可．
【详解】解：根据题意得，
1+2+3+5+x
=3，
5
解得x=4，
(1−3) 2+(2−3) 2+(3−3) 2+(5−3) 2+(4−3) 2
该组数据的方差为 =2，
5
故答案为：A．
2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）为了迎接运动会，九年级二班举行立定跳远选拔活动，小诚的五次
选拔成绩（单位：厘米）如下表：
次数 1 2 3 4 5 平均数
成绩 254 256 255 254 ■ 255
小诚的5次成绩的方差是 ．
【答案】0.8
【分析】本题主要考查了平均数，方差等知识点，解题的关键是熟练掌握方差的公式．
根据平均数的公式先求出第5次的成绩，然后利用方差公式进行求解即可．
【详解】解：第5次的成绩为：255×5−(254+256+255+254)=256，
∴方差为：
(254−255) 2+(256−255) 2+(255−255) 2+(254−255) 2+(256−255) 2
S2= =0.8
5
故答案为：0.8．
3．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）若一组数据x ，x ，…，x 的平均数是2，方差为1，则另一组
1 2 n
数据3x +2，3x +2，…，3x +2的平均数是 ，方差是 ．
1 2 n
【答案】 8 9【分析】本题考查了平均数和方差的变换特点，根据平均数和方差的性质及计算公式直接求解可得，掌握
相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵数据x ，x ，…，x 的平均数是2，
1 2 n
∴数据3x +2，3x +2，…，3x +2的平均数是3×2+2=8，
1 2 n
∵数据x ，x ，…，x 的方差为1，
1 2 n
∴数据3x ，3x ，…，3x 的方差是32×1=9，
1 2 n
∴数据3x +2，3x +2，…，3x +2的方差是32×1=9，
1 2 n
故答案为：8,9．
4．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）某学习小组6个成员某次数学测验的分数如下：80，79，76，x，
78，81，若该组数据平均数为79，则该组数据的方差是 ．
8
【答案】
3
【分析】此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以所有数据的个数．方差的公式
1
S2= [(x −x) 2+(x −x) 2+…+(x −x) 2 ]．
n 1 2 n
根据平均数确定出x后，再根据方差的公式计算方差即可．
【详解】解：由平均数的公式得：(80+79+76+x+78+81)÷6=79，
解得x=80，
1 8
则方差为 ×[2×(80−79) 2+(79−79) 2+(76−79) 2+(78−79) 2+(81−79) 2 ]= ．
6 3
8
故答案为： ．
3
七、求标准差
1．（24-25八年级下·浙江·期中）计算数据3，4，5，6，7的标准差为 ．
【答案】❑√2
【分析】本题考查标准差的计算，熟练掌握计算标准差的步骤是解题的关键．先算出平均数，再根据方差
公式计算方差，求出其算术平方根即为标准差．
1
【详解】解：数据3，4，5，6，7的平均数为x= ×(3+4+5+6+7)=5，
5
1
方差s2= ×[(3−5) 2+(4−5) 2+(5−5) 2+(6−5) 2+(7−5) 2)=2，
5标准差s=❑√2．
故答案为：❑√2．
2．（2022·内蒙古包头·三模）若数据2，1，a，3，0的平均数是2，则这组数据的标准差是 ．
【答案】❑√2
【分析】先根据平均数的定义确定出a的值，再根据方差的计算公式计算方差，最后计算标准差即可得答
案．
【详解】解：由平均数的公式得：（0+1+2+3+a）÷5=2，解得a=4；
∴方差=[（0-2）2+（1-2）2+（2-2）2+（3-2）2+（4-2）2]÷5=2．
所以，标准差为：❑√2
故答案为：❑√2．
【点睛】此题考查了平均数、方差和标准差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组
数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，标准差是方差的算术平方根．
3．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）已知一组数据：8，4，6，a，5的平均数为5，则这组数据的标准差
为 ．
【答案】2
【分析】此题考查了平均数，计算一组数据的标准差，正确理解平均数求出x及掌握方差的计算公式是解
题的关键．
先利用平均数求出a=2，再求出这组数据的方差，即可得到标准差．
【详解】解：∵一组数据：8，4，6，a，5的平均数为5，
∴8+4+6+a+5=5×5，
解得a=2，
1
∴这组数据的方差为
×[(8−5) 2+(4−5) 2+(6−5) 2+(2−5) 2+(5−5) 2)=4，
5
∴这组数据的标准差为❑√4=2．
故答案为：2．
4．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）有一组数据：3，a，4，6，7，它们的平均数是5，求这组数据
的标准差．
【答案】❑√2
【分析】本题考查了根据平均数求数据，方差和标准差，掌握标准差公式是解题关键．先根据平均数是5
得出a=5，再求出方差，最后计算标准差即可．
【详解】解：∵这组数据的平均数是5，1
∴ (3+a+4+6+7)=5，
5
解得a=5．
∴这组数据为3，5，4，6，7．
1
∴s2= ×[(3−5) 2+(5−5) 2+(4−5) 2+(6−5) 2+(7−5) 2)=2
5
∴这组数据的标准差是❑√2．
八、根据方差判断稳定性
1．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加赤峰市英语口语比赛，经过
三轮初赛，他们的平均成绩都是89.6分，方差分别是s 2=2.5，s 2=3.8，s 2=3.5，s 2=1.5，你认为
甲 乙 丙 丁
派谁去参赛更合适？（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】本题考查了方差的意义，根据方差的意义作出判断，方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越
小，表明这组数据波动越小，数据越稳定，反之，则表明数据波动大，不稳定．
【详解】解：∵s 2=2.5，s 2=3.8，s 2=3.5，s 2=1.5，
甲 乙 丙 丁
∴s 2”“=”或“<”）．
2 1 2【答案】>
【分析】本题考查了方差和算术平均数．根据算术平均数和方差的定义解答即可．方差是用来衡量一组数
据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越
小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：由题意可得，前9次标枪的平均数和10次投掷标枪的平均数相同，均为20m，
∵第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，
∴第10次投投掷结束后这组成绩更靠近平均数，数据波动越小，数据越稳定，则方差更小，
∴s 2>s 2 ．
1 2
故答案为：>．
9．（24-25八年级下·福建福州·期末）某科技公司招聘一名研发工程师，对甲、乙两名候选人进行了三项
测试，测试成绩如下：
测试成绩
测试项目
甲 乙
专业理论知识 88 85
技术实操水平 95 70
团队协作能力 63 85
(1)如果公司认为专业理论知识、技术实操水平和团队协作能力同等重要，从甲、乙的平均成绩看，谁将被
录取？
(2)如果公司认为团队协作能力更重要，对专业理论知识、技术实操水平、团队协作能力分别赋权1，1，2，
计算甲、乙两人的平均成绩．从成绩看，谁将被录取？
【答案】(1)甲将被录用
(2)乙将被录用
【分析】本题考查的知识点是运用平均数、加权平均数做决策，解题关键是掌握加权平均数的公式．
（1）根据平均数的计算公式分别求出甲、乙的成绩，再进行比较，即可得出答案；
（2）将两人的总成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果．
【详解】（1）解：甲的平均成绩为：(88+95+63)÷3=82(分)，
乙的平均成绩为：(85+70+85)÷3=80(分)，
∵82>80，
则甲的平均成绩好，甲将被录用；（2）解：甲的测试成绩为：(88×1+95×1+63×2)÷(1+1+2)=77.25（分），
乙的测试成绩为：(85×1+70×1+85×2)÷(1+1+2)=81.25（分），
则乙的综合成绩好，乙将被录用．
10．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射成功，神舟十八
号与神舟十九号航天员顺利会师．某校团委组织了“中国梦·航天情”系列活动，下面数据是八年级1班、
2班两个班级在活动中各项目的成绩（单位：分）
项目班
知识竞赛 演讲比赛 手抄报创作 项目班级
级
1班 85 91 88 1班
2班 90 84 87 2班
(1)如果根据三项成绩的平均数计算最终成绩，请通过计算说明1班、2班哪个班将获胜．
(2)如果将知识竞赛、演讲比赛、手抄报创作按5:3:2的比例确定最终成绩，请通过计算说明1班、2班哪
个班将获胜．
【答案】(1)1班将获胜
(2)2班将获胜
【分析】本题主要考查了根据平均数和加权平均数做决策，熟知平均数和加权平均数的计算方法是解题的
关键．
（1）把对应班级三个项目的得分相加除以3可求出对应班级的平均成绩，比较即可得到答案；
（2）把对应班级三个项目的得分乘以其对应的权重后再相加除以10可求出对应班级的加权平均成绩，比
较即可得到答案．
85+91+88
【详解】（1）解：1班的最终成绩为 =88分，
3
90+84+87
2班的最终成绩为 =87分，
3
∵88>87，
∴1班将获胜；
5 3 2
（2）解：1班的最终成绩为85× +91× +88× =87.4分，
5+3+2 5+3+2 5+3+2
5 3 2
2班的最终成绩为90× +84× +87× =87.6分，
5+3+2 5+3+2 5+3+2
∵87.6>87.4，
∴2班将获胜．11．（24-25八年级下·广东广州·期末）近期为了助力推广冰雪运动在花都区的发展，广州融创决定启动
2025年花都区青少年滑雪竞技队队员招募活动，本次活动有40名选手参与选拔，每位选手需参加体能、
技能、心理素质三项测试（每项满分100分），下表是对甲、乙两名选手的成绩记录．
成绩/分
体 技 心理素
能 能 质
甲 85 80 93
乙 78 94 82
(1)若根据三项成绩的平均分确定总评成绩，则______的成绩更好（填甲或乙）；
(2)根据需要，现将体能、技能、心理素质三项成绩分别按30%，50%，20%的占比计入总评成绩，则谁的
成绩更好？请通过计算说明．
(3)根据(2)中的计算方式得出40名选手的总评成绩，并对成绩进行整理，绘制出了如图所示的频数分布直
方图．若主办方决定根据总评成绩择优选拔20名滑雪竞技队员，请分析甲、乙选手能否入选，并说明理由．
【答案】(1)甲
(2)乙的成绩更好，见解析
(3)甲、乙选手能入选，理由见解析
【分析】本题考查频数（率）分布直方图、加权平均数，能够读懂统计图，解题的关键是理解题意，灵活
运用所学知识解决问题．
（1）分别求出甲和乙的成绩，即可得出答案．
（2）结合加权平均分的定义分别求出甲和乙的成绩，即可得出结论．
（3）由统计图可知，80到100分的人数有15+4=19（人），可知甲和乙都排在前19名，进而可知甲、
乙选手能入选．
【详解】（1）解：由题意得，甲的成绩为(85+80+93)÷3=86（分），
乙的成绩为(78+94+82)÷3≈84.7（分），∵86>84.7，
∴甲的成绩更好．
故答案为：甲．
（2）解：由题意得，甲的成绩为85×30%+80×50%+93×20%=84.1（分），
乙的成绩为78×30%+94×50%+82×20%=86.8（分），
∵86.8>84.1，
∴乙的成绩更好．
（3）解：甲、乙选手能入选．
理由：由统计图可知，80到100分的人数有15+4=19（人），
∵甲的成绩为84.1分，乙的成绩为86.8分，
∴甲和乙都排在前19名，
∵优选拔20名滑雪竞技队员，
∴甲、乙选手能入选．
1．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【平均数】李老师在黑板上写上若干个从1开始的连续自然数
1，2，3，……，后来擦掉其中的一个，剩下的数的平均数是10.9，则擦掉的这个自然数是 ．
【答案】13
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设李老师一定写了(n+1)（n是自然数）个数，擦掉的那个
(n+1)(n+2) 109 (n+1)(n+2)
数为x，则可求出这(n+1)个数的和为 ，再根据平均数的定义得到 n+x= ，
2 10 2
(n+1)(n+2) 109
可证明 一定是正整数，则可证明 n是正整数，则n一定要是10的倍数，据此讨论n的值，
2 10
进而解方程求出x的值看是否符合题意即可得到答案．
【详解】解：设李老师一定写了(n+1)（n是自然数）个数，擦掉的那个数为x，
(n+1)(n+2)
所以这(n+1)个数的和为1+2+3+4+⋯+n+1= ，
2
因为擦掉x后，剩下的数的平均数是10.9，
(n+1)(n+2) 109 (n+1)(n+2)
所以10.9n+x= ，即 n+x= ，
2 10 2
因为n为自然数，所以当n为奇数时，n+1为偶数，n+2为奇数，当n为偶数时，n+1为奇数，n+2为偶数，
所以不管n取何值，n+1和n+2为一奇一偶数，
(n+1)(n+2)
所以 一定是正整数，
2
又因为x也是正整数，
109
所以 n是正整数，
10
所以n一定要是10的倍数，
(10+1)(10+2)
当n=10时，109+x= ，解得x=66−109，此时不成立；
2
(20+1)(20+2)
当n=20时，218+x= ，解得x=13，此时成立；
2
(30+1)(30+2)
当n=30时，327+x= ，解得x=169，此时不成立；
2
同理可验证当n>30，x的值都不符合题意；
综上所述，擦掉的数为13，
故答案为：13．
2．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）一组数据的方差计算公式为
1
S2= [(5−x) 2+(8−x) 2+(8−x) 2+(11−x) 2)，则这组数据的方差是
．
4
【答案】4.5
【分析】本题主要考查了方差，算术平均数，根据题意可得平均数，再根据方差的定义可得答案，掌握方
差，算术平均数计算是解题的关键．
5+8+8+11
【详解】解：由题意得，x= =8，
4
1
∴S2= [(5−8) 2+(8−8) 2+(8−8) 2+(11−8) 2)=4.5，
4
故答案为：4.5．
3．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某市农业科学研究所几年前在甲、乙两座山上各栽种了100棵苹果
树，成活率是98%，现已结果成熟．为了分析收成情况，分别从两座山上随机各采摘了4棵树上的苹果，
每棵苹果树的产量如图所示．(1)分别计算甲、乙两座山苹果样本的平均数，并估算出甲、乙两座山苹果的产量总和；
(2)试通过计算说明哪座山上的苹果产量较稳定．
【答案】(1)40（千克），40（千克），7840（千克）
(2)乙山上的苹果产量较稳定
【分析】（1）根据算术平均数的计算方法计算即可，用平均数乘以数量后求和即可；
（2）计算甲乙的方差，比较大小解答即可．
本题考查了平均数的计算，样本估计总体，方差，熟练掌握计算是解题的关键．
1 1
【详解】（1）解：x = ×(50+36+40+34)=40（千克），x = ×(36+40+48+36)=40（千克）；
甲 4 乙 4
估计甲、乙两座山苹果的产量总和为100×98%×2×40=7840（千克）．
1
（2）解：s2 = ×[(50−40) 2+(36−40) 2+(40−40) 2+(34−40) 2)=38，
甲 4
1
s2 = ×[(36−40) 2+(40−40) 2+(48−40) 2+(36−40) 2)=24．
乙 4
∵s2 >s2
，
甲 乙
∴乙山上的苹果产量较稳定．
4．（24-25八年级下·福建泉州·期末）德化陶瓷因其造型精美和釉色独特而享誉世界．为继承和推广陶艺
文化，七年级举办了一场“陶瓷文化研学”活动．活动期间，甲、乙两名学生创作了陶艺作品各一件，结
束后从“造型设计、工艺技巧和文化内涵”三个部分进行评分，权重比例为3:x:2（满分10分），并绘制
甲、乙两名学生的作品得分情况统计表，如下：
甲、乙两名学生的作品得分情况统计表：
造型设
工艺技巧 文化内涵 得分
计
甲作品 8 8.4 9.3 8.5
乙作品 m 7.8 6.6 8根据以上信息，回答下列问题．
(1)求x的值；
(2)若仅从“造型设计”进行评价，问哪位学生较为突出？请说明理由．
【答案】(1)x=1
(2)乙，见解析
【分析】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数公式是解答本题的关键．
（1）根据甲作品的得分以及加权平均数公式可得x的值；
（2）求出m的值即可解答．
3 x 2
【详解】（1）解：由题意得，8× +8.4× +9.3× =8.5
5+x 5+x 5+x
24+8.4x+18.6=42.5+8.5x
0.1x=0.1
x=1
经检验：x=1是原方程的解，且符合题意．
（2）解：由（1）可知权重比例为3:1:2，
1 1 2
所以 m+7.8× +6.6× =8，
2 6 6
解得，m=9，
所以m=9>8，
所以乙学生在“造型设计”方面比较突出
