文档内容
7.2 认识证明
第1课时 定义与命题
1.从具体的语句中了解定义、命题、真命题、假命题、反例的概念。掌握命题的“条件”与“结论”结构，
能将命题改写成“如果……，那么……”的形式，并准确识别其中的条件和结论。
2.在判断命题真假、分析“条件—结论”结构、构造反例的过程中，发展演绎推理能力，学会用严谨的逻
辑链条表达数学判断。学会用“反例”的数学语言清晰论证假命题，增强数学表达的说服力。
教学重点：命题的结构（条件与结论）以及运用反例验证命题真假。
教学难点：将一般语句转化为“如果……，那么……”的形式时，准确提取条件和结论；针对假命题构造
反例时的发散思维与严谨性。
第一环节 自主学习
新知自研：自研课本P183-P184页的内容，思考：
【学法指导】
创设情景，引入新课
问题情境：
1.章节导读
2.课堂引入
宋丹丹：他就是 主动和我接近，没事儿和我唠嗑，不是给我割草就是给我朗诵诗歌，还总找机会向我暗送
秋波呢！
赵本山：别瞎说，我记着我给你送过笔，送过桌，还给你家送一口大黑锅，我啥时给你送秋波了？秋波是
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司啥玩意？
宋丹丹：秋波是啥玩意你咋都不懂呢,这么没文化.
赵本山：啥呀？
宋丹丹：秋波就是秋天的菠菜。
●探究一：定义
◆1.我说你猜
(1)“具有中华人民共和国国籍的人”，叫作“中华人民共和国公民”
(2)“两点之间线段的长度“，叫作“两点间的距离”
(3)“无限不循环小数”叫做“无理数”
(4)“由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形“，叫作“多边形”
(5)“有两边相等的三角形”叫做“等腰三角形”
◆2.归纳总结
为了进行有理有据的证明，必须对某些名称和术语形成共同的认识。为此，就要对名称和术语的含义加以
描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。
注：定义就像标签，把事物与事物区别开。
◆3.回顾复习
回忆一下：从本册教材中，有哪些定义？
实数、平方根、算术平方根、立方根、二次根式、最简二次根式、平面直角坐标系、一次函数、二元一次
方程组……
◆4.尝试思考
下面的语句中，是否对事情作出了判断？与同伴进行交流.
（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；
（2）对顶角相等；
（3）无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数；
（4）如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（5）你喜欢数学吗？
（6）作线段 AB=CD.
解：是，是，是，是，否，否
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司●探究二：命题
◆1.新知探究：
（1）判断一件事情的语句，叫做命题。反之，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就
不是命题。
（2）思考：上面的6个语句中是命题的有 （ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）（ 4 ） ，不是的命题的有 （ 5 ） . （ 6 ） .
.
（3）方法技巧：
①命题必须是一个完整的句子，常为陈述句。这个句子只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是
命题.
②如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。
◆2.练一练
下列语句在表述形式上，哪些是命题？哪些不是命题？
（1） 等角的余角相等；
（2） 画一个角等于已知角；
（3） 两直线平行，内错角相等；
（4） a ,b两条直线平行吗？
（5）温柔的李明明；
（6） 玫瑰花是动物；
（7） 若a2＝4，求a的值；
（8） 若a2＝b2，则a＝b.
解：是，否，是，否，否，是，否，是
◆3.思考交流
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴进行交流。
1 如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；
2 如果 a=b，那么 a2=b2；
3 如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等。
解：这些命题都有“如果……那么……”的结构特征。
◆4.归纳总结
数学中的命题一般是由条件和结论两部分组成。
条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司结构特征:都可以写成“如果…那么…”的形式
方法技巧：
命题的条件部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；
命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述.
◆5.习题练习
1.“两负数的商为正数”的条件是_________，结论是_________．
2.命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是_________，结论是_________．
3.命题“直角三角形两个锐角互余”的条件是_________，结论是_________．
4.改写命题“等角的补角相等”：如果_________，那么_________．
5.把命题：对顶角相等．改写“如果…那么…”的形式为：_________．
解：1.两负数，商为正数；2.两个数的绝对值相等，这两个数互为相反数；3.直角三角形中的两个锐角，这
两个锐角互余；4.两个角是等角的补角，这两个角相等；5.如果两个角是对顶角，那么它们相等。
●探究三：真命题、假命题
◆1.尝试思考
指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果 a ≠ b，b ≠ c，那么 a ≠ c；
（3）全等三角形的面积相等；
（4）三角形三个内角的和等于180°.
解：（1）条件：两个角相等，结论：它们是对顶角；错误命题（2）条件：a ≠ b，b ≠ c，结论：a ≠ c；
错误命题（3）条件：全等三角形，结论：面积相等；真命题（4）条件：三角形三个内角的和，结论：等
于180°；真命题。
◆2.新知归纳
判断命题的真假：
（1）正确的命题称为真命题；不正确的命题称为假命题.
（2）真命题——可以用推理的方法，假命题——可以举反例来说明
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（3）要说明一个命题是真命题，可以用推理的方法。
反例：指具备命题的条件，而不具备命题的结论的例子.
◆3.习题练习
指出下列各命题的条件和结论，并通过反例说明其中的假命题.
（1）在同一年内，如果 5 月 4 日是星期一，那么 5 月11 日也是星期一；
（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；
x-5 3-x
（3）如果 = ， 那么x=4；
2 3
（4）两个锐角之和一定是钝角；
解：（1）条件：在同一年内，5 月 4 日是星期一；结论：5 月 11 日也是星期一.
（2）条件：一个三角形的三个内角都相等；结论：这个三角形是等边三角形.
x-5 3-x
（3）条件： = 结论：x=4.
2 3
21 x-5 2 3-x 2 x-5 3-x
当x= ， =- ， =- ， =
5 2 5 3 5 2 3
但x≠4，所以这个命题是假命题。
（4）条件：有两个锐角；结论：它们的和一定是钝角.当两个锐角分别是20°，30°时，它们的和是
50°，但50°不是钝角，所以这个命题是假命题.
（5）条件：x2>0；结论：x>0.
当x=-2时，x2=(-2)2=4>0，但 x<0，所以这个命题是假命题.
（6）条件：两个三角形中，两边分别相等且其中一组等边的对角相等；结论：这两个三角形全等.
如图，在△ABC 与△ABD 中，AC = AD，AB = AB，∠ABC = ∠ABD，但 △ABC 与 △ABD 不全等，
所以这个命题是假命题.
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨什么是定义，命题，命题的构成，以及如何区分真假命题.
B.交流习题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司1.下列属于定义的是（ ）
A.两点确定一条直线
B.两直线平行，同位角相等
C.等角的补角相等
D.线段是直线上的两点和两点之间的部分
解：D．
2. 下列是命题的是( )
A. 两直线平行，内错角相等
B. 线段AB＝5cm
C. 画一个菱形ABCD
D. 平行于同一条直线的两直线平行吗？
解：A.
3．把命题“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”的形式_________.
解：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
4．命题“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”的条件是_________，结论是_________.
解：两个三角形的两角及其夹边分别相等,这两个三角形全等.
5.指出下列命题的条件和结论．
(1) 若 a > 0，b > 0，则 ab > 0；
解：(1) 条件：a > 0，b > 0；结论：ab > 0.
(2)同角的补角相等；
解：(2) 条件：两个角是同一个角的补角；结论：这两个角相等.
6.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例.
(1)如果ab＞0，那么a＞0，b＞0；
(2)互为相反数的两个数相加得0；
(3)一个钝角与一个锐角的差一定是锐角.
解：(1)该命题是假命题，反例：当a＝－1，b＝－2时，ab＝2＞0，但a＜0，b＜0；(反例不唯一)
(2)该命题是真命题；
(3)该命题是假命题，反例：当∠1＝102°，∠2＝2°时，∠1－∠2＝100°，为钝角.(反例不唯一)
7.课外阅读 .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司√2是无理数的经典反证法
在之前，我们已经学习过面积为2的正方形，其边长的整数部分是1，但是小数部分我们没有计算出所有
的位数，现在我们已经知道，这种无限不循环小数叫做无理数。
√2是无理数的经典反证法，最早由古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯在公元前5世纪提出并证明，其
a
证明思路为：先假设 √2是有理数，即存在互质整数a，b使得 √2= ，同时平方得a2=2b2，说明a2是偶数，
b
那么a也是偶数（设a=2k），代入得4k2=2b2，说明b2也是偶数，那么b也是偶数，与“互质”的假设矛
盾，因此证明了√2不是有理数。
题型一：定义的判断
1．下列语句属于定义的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．线段是直线上的两点和两点间的部分
C．同角或等角的补角相等
D．内错角相等，两直线平行
【答案】B
【解析】【解答】 “两点确定一条直线”是公认的基本事实，不是定义；
“两点之间的所有点构成的图形叫做线段” 直接描述了线段的本质 ，即为线段的定义；
“同角或等角的补角相等”是定理，需通过补角性质推导得出，不是定义；
“内错角相等，两直线平行”是平行线的判定定理之一，属于定理，不是定义；
故答案为：B.
【分析】定义是明确一个概念或术语意义的陈述， 定理是经过证明的命题。 逐一分析选项，区分定
义、公理、定理等不同性质的陈述。
2．下列属于定义的是 ( )
A．直角三角形的两个锐角互余
B．同角或等角的余角相等
C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
D．两直线平行，内错角相等
【答案】C
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】【解答】解：A选项是直角三角形的性质，故不符合题意；
B选项是余角的性质，故不符合题意；
C选项是点到直线的距离的定义，故符合题意；
D选项是平行线的性质，故不符合题意.故选 C.
【分析】数学定义是对一个概念或术语的本质特征、内涵范围或使用规则进行清晰、准确且规范的描
述，简单来说就是回答“某个事物是什么”或“某个词语指什么”的标准化表示.
3．下列语句属于定义的有( )
①苹果是红的；②妈妈的兄弟叫舅舅；
③青蛙是一种两栖动物；④用动物皮革制成的鞋叫皮鞋.
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【解析】【解答】很明显，①③没有对名称或术语作出描述，所以不是定义，
②④是定义.
故答案为： C.
【分析】判断是不是定义，关键看是否对名称或术语的含义加以描述，而且作出了规定，逐—判断即
可.
4．（2025八上·婺城月考）下列不属于定义的是（ ）
A．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
B．对顶角相等
C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
D．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形
【答案】B
【解析】【解答】解：A、两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离，是定义，不符合题意；
B、对顶角相等，是对顶角的性质，而非定义，符合题意；
C、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，是定义，不符合题意；
D、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，是定义，不符合题意．
故选：B．
【分析】
定义是用来明确一个术语或概念的含义的陈述。 本题考查了距离、平行线、三角形的定义，对顶角
的性质，根据以上定义逐项判断即可．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型二：命题的判断
5．（2025八上·绍兴期中）下列句子中，属于命题的是（ ）
A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角
C．将16开平方 D．负数小于正数吗？
【答案】A
【解析】【解答】解：A、是命题，故本选项符合题意；
B、不是命题，故本选项不符合题意；
C、不是命题，故本选项不符合题意；
D、不是命题，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据命题的定义逐一判断即可.
6．（2025八上·慈溪期中）下列句子是命题的是（ ）
A．画∠AOB=45° B．小于直角的角是锐角吗？
C．连接CD D．三角形的内角和为180°
【答案】D
【解析】【解答】解：三角形内角和等于 180∘,是命题；
小于直角的角是锐角吗，是询问的语句；
画 ∠AOB=45∘,联结CD是描述性语句，都不是命题，
正确的只有D.
故选：D.
【分析】根据命题的定义“判断一件事情的语句是命题”即可作出判断.
7．下列语句中，不是命题的是( )
A．两直线平行，同旁内角相等 B．若2a＝4，则a＝2
C．过一点作已知直线的平行线 D．同角的余角相等
【答案】C
【解析】【解答】解：根据命题的定义，可知A，B，D都是命题，
而C属于作图语言，不是命题．
故选：C．
【分析】根据命题的定义作答.
8．下列语句是命题的是（ ）
A．延长线段AB B．两直线相交有几个交点
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．同位角相等 D．连接A，B两点
【答案】C
【解析】【解答】解：A、延长线段AB，不是命题，不符合题意；
B、两直线相交有几个交点？不是命题，不符合题意；
C、同位角相等，是命题，符合题意；
D、连接A，B两点，不是命题，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题；一
般说来，对于任何一 个命题，都可以加上“是”或“不是”，注意，作图语言不是命题，据此逐一判断得
出答案.
题型三：命题的改写
9．把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”的形式：
.
【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数之和等于0
【解析】【解答】解：命题“互为相反数的两个数之和等于0”， 其条件（如果部分）：两个数互为相
反数
结论（那么部分）：这两个数的和等于0 ，
因此写成“如果……那么……”的形式：如果两个数互为相反数，那么这两个数之和等于0.
故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数之和等于0.
【分析】先确定命题的条件和结论，再用“如果……那么……”的句式连接， 注意语句的逻辑结构，确保
条件与结论的对应关系正确 .
10．（2025八上·温州月考）请将命题“有理数是有限小数”改写成”如果……那么……”的形式：
．
【答案】如果一个数是有理数，那么这个数是有些限小数
【解析】【解答】解：
解：把命题“有理数是有限小数”改写成“如果…那么…”的形式是：如果一个数是有理数，那么这个数是
有限小数.
故答案为：如果一个数是有理数，那么这个数是有限小数.
【分析】本题主要考查了命题的定义，把命题写成“如果…那么…”的形式，关键是找准题设和结论.分
清题目的已知与结论，即可解答.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司11．（2025八上·诸暨月考）把“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式
.
【答案】如果一个图形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
【解析】【解答】解：∵“直角三角形的两个锐角互余”中条件是“一个图形是直角三角形”，结论是“它
的两个锐角互余”，
∵将命题改写成“如果...那么..”的形式为：如果一个图形是直角三角形，那么它的两个锐角互余，
故答案为：如果一个图形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.
【分析】先明确原命题的条件和结论，再将条件部分放在“如果”后面，结论部分放在“那么”后面即可.
12．将下列命题写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题，还是假命题.
（1）直角都相等；
（2）相等的两个角是对顶角；
（3）经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（4）不相交的两条直线是平行线.
【答案】（1）解：如果几个角都是直角，那么它们相等.是真命题
（2）解：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.是假命题
（3）解：如果经过直线外一点作已知直线的平行线，那么这样的平行线有且只有一条.是真命题
（4）解：如果两条直线不相交，那么这两条直线互相平行.是假命题
【解析】【分析】分清命题的题设和结论，把命题得题设写在如果后面，命题的结论写在那么的后面
即可.
题型四：真假命题的判断
13．（2025八上·拱墅月考） 下列命题为真命题的是（ ）
A．三个角对应相等的两个三角形全等
B．每个定理都有逆定理
C．等腰三角形的顶角一定是锐角
D．等腰三角形的底角必为锐角
【答案】D
【解析】【解答】解：A.三个角对应相等的两个三角形不一定全等，是假命题；
B.每个定理不一定有逆定理，是假命题；
C.等腰三角形的顶角不一定是锐角，是假命题；
D.等腰三角形的底角必为锐角，是真命题；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故答案为：D .
【分析】根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理，定理的定义，逐一判断各个选项即可。
14．（2024秋•大通区期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．同位角相等
C．同角的余角相等
D．全等三角形的面积相等
【答案】B．
【分析】根据正确的命题是真命题，错误的命题是假命题进行分析即可．
【详解】解：A、对顶角相等是真命题，故此选项不合题意；
B、同位角相等是假命题，故此选项符合题意；
C、同角的余角相等是真命题，故此选项不合题意；
D、全等三角形的面积相等是真命题，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个
命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出
一个反例即可．
15．（2025八上·瑞安期中）下面的语句是假命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．数轴上每一个点都有一个实数与之对应
C．垂线段最短
D．直角的补角是直角
【答案】A
【解析】【解答】解：对A选项，两直线平行，同旁内角互补，为假命题，故A符合题意；
对B选项，数轴上每一个点都有一个实数与之对应，为真命题，故B不符合题意；
对C选项，垂线段最短，为真命题，故C不符合题意；
对D选项，直角的补角是直角，为真命题，故D不符合题意；
故答案：A.
【分析】分别判断各选项中命题的真假，即可得结果.
16．下列命题是真命题的个数是( )
①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④有理数与数轴上的点一一对应；
⑤圆周率是一个无理数．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：①直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故原命题为假
命题；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题为假命题；
③过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故原命题为假命题；
④实数与数轴上的点一一对应，故原命题为假命题；
⑤圆周率是一个无理数，为真命题；
故真命题的个数为1.
故选：A．
【分析】根据平行公理、点到直线的距离、无理数、实数与数轴的关系等知识逐项判断即可.
题型五：举反例
17．（2025八上·温州期中）下列选项中a的值，可以作为命题“|a|＞2，则a＞2”是假命题的反例是（
）
A．a=3 B．a=-3 C．a=-2 D．a=2
【答案】B
【解析】【解答】解：A、当a=3时，满足|a|＞2，则a＞2，不是假命题的反例，故A不符合题意，
B、当a=-3时，满足|a|＞2，但是结论a＞2不成立，是假命题的反例，故B符合题意，
C、当a=-2时，不满足条件|a|＞2，不是假命题的反例，故C不符合题意，
D、当a=2时，不满足条件|a|＞2，不是假命题的反例，故D不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据假命题的反例需要满足条件，但不是不满足结论即可得出答案.
18．（2025八上·金华期中） 命题“如果∠1+∠2=90°， 那么∠1≠∠2”， 能说明它是假命题的反例是(
)
A．∠1=60°， ∠2=40° B．∠1=∠2=45°
C．∠1=∠2=40° D．∠1=50°
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∠1+∠2≠90∘,，不能说明它是假命题的反例，故A不符合题意；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B、∠1+∠2=90∘,∠1=∠2,能说明它是假命题的反例，故B符合题意
C、∠1+∠2≠90∘,不能说明它是假命题的反例，故C不符合题意；
D、求出∠2=90∘−50∘=40∘,∠1≠∠2,不能说明它是假命题的反例，故D不符合题意；.
故答案为：B .
【分析】反例是举出的例子满足题设，但不满足结论，据此解答即可.
19．（2025八上·瑞安期中）已知命题“如果a2>4，那么a>2”，能说明该命题是假命题的一个反例可以
是( ).
A．a=4 B．a=2 C．a=-2 D．a=-4
【答案】D
【解析】【解答】解：A、42=16>4，4>2，不能说明该命题是假命题，故A不符合题意，
B、22=4，不满足 a2>4，不能说明该命题是假命题，故B不符合题意，
C、（-2）2=4，不满足 a2>4，不能说明该命题是假命题，故C不符合题意，
D、（-4）2=16>4，-4<2，能说明该命题是假命题，故D符合题意，
故答案为：D .
【分析】将a代入求出a2的值，判断是否满足条件，但不满足结论，即可得出结论.
20．（2025八上·义乌期中）对于命题“若a>b，则a2>b2” 能说明它属于假命题的反例是（ ）．
A．a=2,b=1 B．a=−1,b=−2 C．a=−2,b=−1 D．a=3，b=−2
【答案】B
【解析】【解答】
A、当a=2,b=1 时，a2>b2；
B、当a=−1,b=−2 时，a2b2.
故正确答案为：B
【分析】用反例法说明一个命题是假命题时，应在取符合题设要求且使结论不能成立的条件.
▲1．判断一件事情的语句，叫做命题。反之，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就
不是命题。
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司▲2．数学中的命题一般是由条件和结论两部分组成。
条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项
结构特征:都可以写成“如果…那么…”的形式
▲3．判断命题的真假：
（1）正确的命题称为真命题；不正确的命题称为假命题.
（2）真命题——可以用推理的方法，假命题——可以举反例来说明
（3）要说明一个命题是真命题，可以用推理的方法。
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