文档内容
第七章 证明
7.2认识证明导学案
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学习目标与重难点
学习目标：
1．了解公理、定理和证明的概念，会区分定理、公理和命题。
2．了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题．
3．通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几
何图形的能力．
学习重点：
公理、定理的定义及其区别和联系
学习难点：如何证明命题
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预习自测
一、知识链接
1、定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义
2、命题:判断一件事情的句子,叫做命题.
3、命题的结构:每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事
项.
4、命题的特征:一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条
件,“那么”引出的部分是结论.
二、自学自测
判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题则举一个反例加以说明.
(1) 一 个 钝 角 、 一 个 锐 角 的 和 必 为 一 个 平 角 ； 【
】
（2）两直线被第三条直线所截，同位角相等；【 】
（3）两个锐角的和等于直角；【 】
（ 4 ） （ 4 ） 有 三 条 边 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等 ； 【
】
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教学过程
一、合作交流、新知探究1、公理 ：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题
真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.
2、定理 ：数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，
并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理 。
3、常用的公理；
(1)数与式的运算定律和运算法则都可以看作公理
(2)等式和不等式的有关性质都可以看作公理
(3)在等式中,一个量可以用它相等的量来代替.例如:如果 a=b , b=c ,那么 a=c , 这一性质也可看
作公理,称为“等量代换”.
又如:如果 a＞b , b＞c ,那么 a＞c , 这一性质也可看作公理。
4、常用的定理（目前学过的）
（1）两点确定一条直线;
（2）两点之间线段最短;
（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这 两条直线平行（简述为：同位角相
等，两直线平行）;
（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;
（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;
（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;
（8）三边分别相等的两个三角形全等.
5、公理、定理和命题的关系
公理（正确性由实践总结）
真命题
命题
定理（正确性通过推理证实）
假命题
三、典例精析
1、证明同角的补角相等
已知：∠2是∠1的补角，∠3是∠1的补角。
求证：∠2=∠3
证明：∵∠2是∠1的补角 ( 已知 )
∴ ∠2＋∠1＝180° ( 补角定义 )
∴ ∠2＝180°-∠1 （等式性质）
同理，∠3=180°-∠1
∴ ∠2=∠3 ( 等量代换 )
2、证明同角的余角相等已知：∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角。
求证：∠2=∠3
证明：∵∠2是∠1的余角 ( 已知 )
∴ ∠2＋∠1＝90° ( 余角定义 )
∴ ∠2＝90°-∠1 （等式性质）
同理，∠3=90°-∠1
∴ ∠2=∠3 ( 等量代换 )
3、证明对顶角相等
已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角。
求证：∠AOC =∠BOD
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O （已知）
∴ ∠AOB与∠COD都是平角 （平角的定义）
∴ ∠AOC＋∠AOD＝180° ( 等式性质)
同理∠COB=180°-∠AOC
∴ ∠AOC =∠BOD ( 等量代换 )
4、证明三角形任意两边之和大于第三边。
证法1
已知：三角形ABC
求证：AB+AC＞BC
证明：根据几何公理“两点之间线段最短”，在三角形 ABC中： 从点B到点C的最短路径是线路
BC，而路径B →A → C 的长度为 BA+AC。由于线段 BC是两点间的最短路径，因此有 BA+ AC>BC
。 同理，可得 AB+BC> AC和 AC+BC >AB
证法2（反证法）
已知：三角形ABC
求证：AB+AC＞BC
证明：假设存在三角形ABC,AB+AC BC,
根据几何公理，
若AB+AC=BC,则A点在线段BC上，A，B、C
三点共线，此时无法构成三角形。如图1
若AB+AC＜BC,则与公理“两点之间线段最短”
矛盾，因此假设不成立。故原命题成立。如图2
四、课堂练习、巩固提高
基础达标
1.下列四个句子中是命题的是 （填序号）①延长线段AB. ②对顶角相等.
③同旁内角不互补，两条直线就不平行.
④在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
2、下列命题是真命题的是 (填序号).
①对顶角相等. ②直角都相等. ③相等的角是对顶角. ④ 若a2=4 a=2.
⑤若|a|>|b|，则a2＞b2.
3. “对顶角相等”是 命题(真、假)，写成“如果…，那么…”的形式如果
。
4. 下列语句中，是命题的是（ ）
A. 直线AB和CD垂直吗? B. 过线段AB的中点C画AB的垂线
C. 同旁内角不互补，两直线不平行 D. 连接A，B两点
5.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举一个反例并画出图形，说明其是假命题.
6.根据题意，把下列推理的依据写出来，并指出是公理还是定理．
①如图所示，若∠1＝∠2，则a∥b；
②在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，则△ABC≌△A′B′C′；
③如果a=b，b=c，那么a=c.
能力提升
7.如图，EG∥AF，请你从下面三个等式中再选两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确
的命题(只需要写出一种情况)，并给予证明．
①∠B＝∠ACB；②DE＝DF；③BE＝CF.
拓展迁移：
8.请你完成命题“有两边及一边上的中线对应相等的两个三角形全等”的证明．(画出图形，写出已
知、求证，并完成证明)五、总结反思、拓展升华
1公理：不需要推理证实的真命题
2、定理：定理都是真命题
3、公理和定理都可以作为推理论证其他命题的依据.
4、证明的一般步骤：
(1)根据题意分析题中的条件和问题，几何题画出图形；
(2)根据条件和结论，结合图形写出已知和求证；
(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
五、【作业布置】
基础达标：
1.“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）
A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题
2、“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（ ）
A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题
3.下列关于“证明”的说法正确的是（ ）
A. “证明”是一种命题 B. “证明”是一种定理
C. “证明”是一种推理过程 D. “证明”就是举例说明
4、 下列说法错误的是（ ）
A. 所有的命题都是定理 B. 定理是真命题
C. 公理是真命题 D. “画线段AB=CD”不是命题
5.如图，已知AC⊥BC，C为垂足，E是BC上一点，并且∠1＝∠2.试问： DE
与BC有何位置关系？请说明理由.
能力提升：
6.对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列论断：
①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c．
请以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题（至少写两个命题）．拓展迁移：
7、阅读下面内容，并解答问题．
在学习了平行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的
平分线互相垂直．
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1，AB∥BC，直线EF分别交AB，CD于点E，F.∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点
G.求证： ．
(1)请补充要求证的结论，并写出证明过程；
(2)请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择______题．
A.在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为
______．
B.如图3，AB平行CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F.点O在直线AB、CD之间，且在直线EF右侧，
∠BEO的平分线与∠EFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为______．
课堂作业参考答案：
1、②③④
2、①②⑤
3、真；两个角是对顶角，那么这两个角相等
4、C
5、解：如图，∠1＞90°，∠2＜90°，
∠2是∠1的补角，而∠2＜∠1.
所以，“任何一个角的补角都不小于这个角“是假命题.
6、①内错角相等，两直线平行，是定理.② 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理.
③等量代换，是公理．
7、已知：EG∥AF，∠B＝∠ACB，DE＝DF．
求证：BE＝CF．
证明：∵EG∥AF，
∴∠GED＝∠F，∠EGD＝∠DCF.
又∵DE＝DF，
∴△EGD≌△FCD(AAS). ∴EG＝CF.
∵EG∥AF， ∴∠EGB＝∠ACB.
∵∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠EGB.
∴BE＝EG.
∴BE＝CF.(答案不唯一)
8、解：已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD，A′D′分
别是BC，B′C′边上的中线，AD＝A′D′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：∵AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的中线，
∴BD＝ BC，B′D′＝ B′C′.
∵BC＝B′C′，∴BD＝B′D′.
在△ABD和△A′B′D′中，
∴△ABD≌△A′B′D′(SSS). ∴∠B＝∠B′.
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
课外作业参考答案：
1、B
2、C
3、C
4、A
5、解：DE⊥BC.理由：
∵∠1＝∠2，∴AC∥DE.
∴∠ACE＋∠DEC＝180°.
∵AC⊥BC，
∴∠ACE＝90°.∴∠DEC＝180°－90°＝90°.
∴DE⊥BC.
6、解：答案不唯一，
如：若a∥b，b∥c，则a∥c； 若a∥b，a∥c，则b∥c；
若b∥c，a∥c，则a∥b； 若a⊥b，a⊥c，则b∥c；
若a⊥b，b∥c，则a⊥c； 若b∥c，a⊥c，则a⊥b．
7、解:(1) EG⊥FG
(2)已知：AB∥CD，EG是∠BEF的平分线，FG是∠DFE的平分线
求证：EG⊥FG
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+∠EFE=180°（两直线平行同旁内角互补）
又∵EG是∠BEF的平分线，FG是∠DFE的平分线（已知）
∴∠BEG=∠GEF,∠EFG=∠GFD（角平分线定义）
∴∠GEF+∠GFE=90°（等量代换）
∵∠GEF+∠GEF+∠EGF=180°（三角形内角和定理）
∴∠EGF=90°
∴EG⊥FG
（3）
A.在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为
45°．
B.如图3，AB平行CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F.点O在直线AB、CD之间，且在直线EF右侧，
∠BEO的平分线与∠EFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为 ∠ EOF= 2 ∠ EP F ．
