文档内容
第七章 证明
7.3平行线的证明（判断定理）导学案
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学习目标与重难点
学习目标：
1、理解并掌握同位角相等两直线平行这一基本事实（公理）；会用公理证明内错角相等，两直线平
行；同旁内角互补，两直线平行。
2、在定理的证明过程和运用过程，学习分析命题的题设和结论，寻找证明的思路，构建从已知到未
知的逻辑桥梁，发展学生的演绎推理能力。
3、感受数学的严谨性，培养求真求实的科学态度；在探索证明的过程中，体验逻辑推理的乐趣和成
功解决问题的喜悦，增强学习几何的自信心。
学习重点：
用“同位角相等，两直线平行”证明判定定理：内错角相等两直线平行；
学习难点：
用数学语言表达几何的推理过程。
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预习自测
一、知识链接
一、平行线判断的公理（基本事实）：
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简述： .
平行线的判定公理是证明直线平行的重要依据．
数学语言：
如图：∵∠1＝∠2(已知)，
∴ a∥b(同位角相等，两直线平行).
二、平行线的判断定理
（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简述： .
a
数学语言：
1
2
如图：∵∠1＝∠2(已知)， b
∴ a∥b(内错角相等，两直线平行).
（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简述： .
a
1
2
b数学语言：
如图：∵∠1+∠2=180°(已知)，
∴ a∥b(内错角相等，两直线平行).
（3)、平行于同一条直线的两条直线平行（平行线的传递性）
数学语言：
如图：∵a∥b，a∥c(已知)，
∴ b∥c(平行线的传递性).
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教学过程
一、合作交流、新知探究
探究：平行线的判断
1、证明判断定理1、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 内错
角相等，两直线平行.
证明：
c
3
a
1
2
b
2、证明判断定理2、两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行. 同旁内
角互补，两直线平行.
c
证明：
a
3
1
2
b
3、证明判断定理3、平行于同一条直线的两条直线平行（平行线的传递性）
强调：
1、已给的基本事实、定义和已经证明的定理，以后都可以作为依据，用来证明新的结论.
2、平行线的判定是由角之间的数量关系到直线间位置关系的判定．要判定两直线平行，可围绕截线
找同位角、内错角或同旁内角是否相等或互补，而选用其中一个方法说明两直线平行时，一般都要通过结合对顶角、互补角等知识来说明.
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是( )
A.∠1=∠2 B.∠2=∠4 C.∠3=∠4 D.∠1+∠4=180°
2.如图所示，∠1=75°，要使a∥b,则∠2等于( )
A.75° B.95° C.105° D.115°
3.如图，直线AB，CD与EF相交于G，H，下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠2=∠8；
④∠5+∠8=180°，其中能判定AB∥CD的是( )
A.①③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
第1题 第2题 第3 题
4.如图，请填写一个你认为恰当的条件 ， 使AB∥CD.
第4题 第5题
5.如图，一束光线从点 C 出发，经过平面镜 AB 反射后，沿与 AF平行的线段DE 射出（此时 ）
∠1=∠2，若测得∠ DCF=100° ，∠A= ( )
A.50° B. 60° C.70° D. 80°
6、根据下列命题，画出图形，并结合图形写出已知、求证、证明。两条平行线的一对内错角的平分
线互相平行.
能力提升：
7.如图所示，AB∥CD，AC∥BD。分别找出与∠1相等或互补的角。拓展迁移：
8. 如图：∠1=53 º，∠2= 127º，∠3= 53º，试说明直线AB与CD，BC与DE的位置关系.
9.如图，直线AB和CD被直线MN所截．（1）如图①，EG平分∠BEF, FH平分∠DFE （平分的是一
对同旁内角），则∠1与∠2满足 时，AB∥CD；
（2）如图②，EG平分∠MEB ,FH平分∠DFE（平分的是一对同位角），则∠1与∠2满足
时，AB∥CD；
（3）如图③，EG平分∠AEF ,FH平分∠DFE（平分的是一对内错角），则∠1与∠2满足什么条件
时，AB∥CD?为什么?
四、总结反思、拓展升华
1、平行线的判断定理的证明。
基本事实：如果内错角相等，两直线平行；（不需要证明）
判断定理：（需要证明）
（1）如果内错角相等，两直线平行；
（2）如果同旁内角互补，两直线平行 ；
（3）平行于同一条直线的两条直线平行。
2、已给的基本事实、定义和已经证明的定理，以后都可以作为依据，用来证明新的结论.五、【作业布置】
基础达标：
1.如图，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠5＝∠6；③∠4＋∠7＝
180°；
④∠5＋∠3＝180°.其中能判定a∥b的是( )
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④
2.如图，能判断直线 AB∥CD 的条件是( )
A. ∠1=∠2 B. ∠3=∠4 C. ∠1+∠3=180∘D. ∠3+∠4=180
第1题 第2题
3.如图，下列说法中，正确的是（ ）
A因为 ∠A+∠D=180∘，所以 AD∥BC B. 因为 ∠C+∠D=180∘，所以 AB∥CD
C. 因为 ∠A+∠D=180∘，所以 AB∥CD D. 因为 ∠A+∠C=180∘，所以 AB∥CD∘
4.如图，下列条件不能判定直线 l1∥l2 的是（ ）
A. ∠1=∠3 B. ∠1=∠4 C. ∠2+∠3=180∘D. ∠3=∠5
第3题 第4题
5.如图，已知直线AB∥CD，直线EF与直线AB、CD分别交于点E、F，且有∠1=70°，则∠2= .
6.如图，已知∠1=70°，如果CD//BE，那么∠B的度数为 .
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数 。
第5题 第6题 第7题能力提升：
8.如图BE平分∠ABC，EC平分∠ BCD， ∠ E=90°那么AB∥CD吗？为什么？
拓展迁移：
9.如图，已知∠ADE=46°，DF平分∠ADE，∠1=23°.求证：DF∥BE.
请你根据已知条件补充推理过程，并在相应括号内注明理由.
证明：∵DF平分∠ADE(已知)
∴ = ∠ADE( )
又∵∠ADE=46°(已知)，
∴ =23°，而∠1=23°（ ）.
∴ ∥ ( )
10.如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2，问直线DE与AF是否平行？为什么？
11.如图，∠ABC=∠ADC、DE是∠ ADC的角平分线，BF是∠ABC的平分线，∠1=∠2.求征DC∥AB.课堂练习参考答案：
1、D
2、C
3、B
4、∠CDA=∠DAB
5、A
6、已知：如图，AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD，EG、
FH分别是∠AEF和∠EFD的平分线.
求证：EG∥FH.
证明：AB∥CD ∠AEF=∠EFD
EG、FH分别是∠AEF和∠EFD的平分线，∠GEF=∠EFH
∴EG∥FH
7、解：如图，与∠1相等的角有：∠3， ∠5， ∠7， ∠9，∠11， ∠13， ∠15；与∠1互补的角有：∠2， ∠4， ∠6， ∠8， ∠10， ∠12， ∠14， ∠16
8、证明： ∵ ∠2= 127º，（已知）
∴ ∠4=180º-127º=53º,（平角定义）
∵ ∠3= 53º （已知）∴∠3=∠4，（等量代换）
∴AB∥CD.（同位角相等，两直线平行）
∵∠1=∠3，（等量代换）
∴BC∥DE （同位角相等，两直线平行）
9、解：（1）∠1+∠2=90°
（2）∠1=∠2
（3）∠1=∠2
理由：
∵EG平分∠AEF,FH平分∠DFE
∴∠AEF=2∠1，∠DFE=2∠2
∴∠1=∠2
∴∠AEF=∠DFE
∴AB∥CD
课外作业参考答案
1、B
2、D
3、C
4、A
5、110°
6、110°
7、70°
8、解：∵BE 平分∠ABC（已知）
∴∠ABC=2∠1
∵EC平分∠BCD（已知）
∴∠BCD =2∠2
∵∠E+∠1+∠2=180°
∴∠1+∠2=180°-∠E
∵∠E =90°（已知）
∴∠1+∠2=90°∴∠ABC +∠BCD =2∠1+2∠2=180°
9、∴AB∥CD 同旁内角互补，两直线平行
证明：∵DF平分∠ADE(已知)
∴ ∠ FD E = ∠ADE(角平分线定义 )
又∵∠ADE=46°(已知)，
∴ ∠ FDE =23°，而∠1=23°(已知).
∴ D F ∥ C D(内错角相等，两直线平行 )
10、解：DE∥AF，理由如下：
∵CD⊥DA，DA⊥AB，
∴∠CDA=∠DAB=90°，
∴CD∥AB，
∵∠1=∠2，
∴∠CDA﹣∠1=∠DAB﹣∠2，
∴∠3=∠4，
∴DE∥AF.
11、证明：∵BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线
∴∠ABC=2∠ 2，∠ADC=2∠3
∵∠ABC=∠ADC
∴∠2=∠3
∵∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴DC∥AB
