文档内容
第 16 讲正多边形与圆（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）
【考纲要求】
1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥
的侧面积及全面积；
2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能
力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
【知识导图】
【考点梳理】
考点一、正多边形和圆
1、正多边形的有关概念：
(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.
(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径.）
(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.
2、正多边形与圆的关系：
(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边
形.
(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.
（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的
外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.
（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
3、正多边形性质：
(1)任何正多边形都有一个外接圆.
(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．
当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相
似比的平方．
（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
要点诠释：
（1） 正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是
360
n ；所以正n边形的中心角等于它的外角.
（2）
（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们
边长（或半径、边心距）平方的比.
考点二、圆中有关计算
1．圆中有关计算
圆的面积公式： ，周长 .
圆心角为 、半径为R的弧长 .圆心角为 ，半径为R，弧长为 的扇形的面积 .
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为 的圆柱的体积为 ，侧面积为 ，全面
积为 .
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为 ，高为 的圆锥的侧面积为 ，全面积为
，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 .
弓形的面积
（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S =S -S ；
弓形 扇形 △OAB
（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S =S +S .
弓形 扇形 △OAB
A B
O
O ·
· · O
A B A m B
m
要点诠释：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，即 ；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就
可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式 ，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有点类
似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系： .【典型例题】
题型一、正多边形有关计算
例1．如图，矩形ABCD中，AB=4，以点B为圆心，BA为半径画弧交BC于点E，以点O为圆心的⊙O与弧
AE，边AD，DC都相切．把扇形BAE作一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆恰好是⊙O，则AD的长为（ ）
9 11
2 2
A.4 B. C. D.5
【变式1】如图，两个相同的正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边
形外接圆圆心O处．求重叠部分面积与阴影部分面积之比.
1
【变式2】 已知：正十边形的半径是R，求证：它的边长为a ( 51)R.
10 2
题型二、正多边形与圆综合运用例2．如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．
（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；
（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面
积．
【变式】如图所示，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交
AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是( )
4 8 4 8
4 4 8 8
9 9 9 9
A． B． C． D．
AB 4 3
例3．如图，已知在⊙O中， ，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°．(1)求图中阴影部分的面积；
(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请你出这个圆锥的底面圆的半径．
【中考过关真题练】
一．选择题（共7小题）
1．（2022•安顺）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个
45°，得到正六边形OA B D E ，当n＝2022时，正六边形OA B D E 的顶点D 的坐标是（ ）
n n n n n n n n n n n
∁ ∁
A．（﹣ ，﹣3） B．（﹣3，﹣ ） C．（3，﹣ ） D．（﹣ ，3）
2．（2022•安顺）如图，边长为 的正方形ABCD内接于 O，PA，PD分别与 O相切于点A和点D，
⊙ ⊙
PD的延长线与BC的延长线交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）A．5﹣ B．5﹣ C． ﹣ D． ﹣
3．（2022•π绵阳）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下
一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为 4的正六边形
ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若 AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标
为（ ）
A．（2﹣2 ，3） B．（0，1+2 ） C．（2﹣ ，3） D．（2﹣2 ，2+ ）
4．（2022•青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于 O，点M在 上，则∠CME的度数为（ ）
⊙
A．30° B．36° C．45° D．60°
5．（2022•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于 O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和 的
⊙
长分别为（ ）
A．4， B．3 ， C．2 ， D．3 ，2
π π6．（2022•雅安）如图，已知 O的周长等于6 ，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ）
⊙ π
A．3 B． C． D．3
7．（2022•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于 O，若 O的周长等于6 ，则正六边形的边长为（
） ⊙ ⊙ π
A． B． C．3 D．2
二．填空题（共6小题）
8．（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等
边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若 AB＝27厘米，则这
个正六边形的周长为 厘米．
9．（2022•营口）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝ 度．10．（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为
（用含 的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为 ．
π
11．（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于 O，且有公共顶点A，则∠BOH
的度数为 度． ⊙
12．（2022•梧州）如图，四边形ABCD是 O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于 OA的
⊙
定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交 O于点E，F．若OA＝1，则 ，AE，AB所
⊙
围成的阴影部分面积为 ．
13．（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的
直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是 ．三．解答题（共1小题）
14．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于 O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法 如图2． ⊙
1．作直径AF．
2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与 O交于点M，N．
3．连接AM，MN，NA． ⊙
（1）求∠ABC的度数．
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以DN长为边长，在 O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n
的值． ⊙【中考挑战满分模拟练】
一．填空题（共6小题）
1．（2023•抚州一模）蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的
网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三
角形的个数有 ．
2．（2023•琼山区一模）一个正n边形的中心角为36°，则它的一个内角的度数为 ．
3．（2023•汉阳区校级一模）线段AB是圆内接正十二边形的一条边，则AB边所对的圆周角是 °．
4．（2023•雁塔区校级模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于 O．若该正六边形的边长为5，则 O的
面积等于 ． ⊙ ⊙
5．（2023•泸县校级模拟）已知 O的半径为1，则它的内接正三角形边心距为 ．
6．（2023•定远县校级一模）如⊙图， O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则
∠AOC的度数为 ． ⊙【名校自招练】
一．选择题（共9小题）
1．（2017•双流区校级自主招生）如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单
位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数 与OM的长度m确定，有序数对（ ，m）称
为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系θ”．在图2的极坐标系下，如果正六θ边形的边
长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（ ）
A．（60°，4） B．（45°，4） C．（60°，2） D．（50°，2）
2．（2018•蔡甸区校级自主招生）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作
三角形，则该三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019•顺庆区校级自主招生）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为 5cm的正方形硬纸板，
他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖
住，这样的圆形硬纸板的最小直径为（ ）
A．50 B．40 C． D．100
4．（2020•和平区校级自主招生）如图是边长为2的正方形及其内切圆和外接圆，则图中阴影部分的总面
积为（ ）
A．3 ﹣4 B． +4 C．5 ﹣4 D．3 +4
π π π π5．（2021•和平区校级自主招生）我国魏晋时期数学家刘徽在公元263年撰写的《九章算术》中提出了一
种估计 的方法，也就是“割圆术”：用圆内接正6n边形的周长估计圆的周长进而估计 的近似值，
且n越大π时圆内接正6n边形的周长越接近圆的周长，估计值越接近 ．当n＝1时，如图，π用这种方法
估计此时 的近似值为（ ） π
π
A．3 B．3.1 C．3.14 D．3.141
6．（2019•汉阳区校级自主招生）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为40mm的正方形硬纸
板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将
其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径为（单位：mm）（ ）
A．80 B．40 C．25 D．100
7．（2018•青羊区校级自主招生）将正多边形ABCDEF放入直角坐标系中，顶点B，D，E的坐标分别为
（n，m），（﹣n，m），（a，b），则点A的坐标可以为（ ）
A．（﹣m，﹣n） B．（m，﹣n） C．（﹣a，b） D．（﹣b，﹣a）
8．（2017•平阳县自主招生）如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于 O，EF与BC，CD分别相交
⊙
于点G，H，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
9．（2020•温江区校级自主招生）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无
所失矣“，早在1800多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术“，用圆内接正多边形的面积去无
限逼近圆面积．如图，连接 O的内接正十二边形顶点得到AB，BC，若OA＝2，则阴影部分的面积为
（ ） ⊙A．2 B．2 C． D．
二．填空题（共8小题） π
10．（2019•宝山区校级自主招生）如图，ABCDE是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆
环的面积为 ．
11．（2017•双流区校级自主招生）一个半径为1cm的圆，在边长为6cm的正六边形内任意挪动（圆可以
与正六边形的边相切），则圆在正六边形内不能达到的部分的面积为 cm2．
12．（2021•黄州区校级自主招生）如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为
2，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于 ．
13．（2020•洪山区校级自主招生）如图，以正六边形 ABCDEF的对角线BD为边，向右作等边三角形
BDG，若四边形BCDG（图中阴影部分）的面积为6，则五边形ABDEF的面积为 ．14．（2017•江阴市自主招生）如图，已知M（3，3）， M的半径为2，四边形ABCD是 M的内接正方
形，E为AB中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，⊙△OME的面积最大值为 ．⊙
15．（2018•江岸区校级自主招生）如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分
别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正
方形边长a的取值范围是 ．
16．（2017•浦东新区校级自主招生）如图，边长为5的圆内接正方形ABCD中，P为CD的中点，连接AP
并延长交圆于点E，则DE的长为 ．
17．（2017•杨浦区校级自主招生）如图，ABCDE是正五边形，已知AG＝1，则FG+JH+CD＝ ．
