文档内容
第 15 讲 圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系
（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）
【考纲要求】
1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋
势，不会有太复杂的大题出现；
2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型
题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．
【知识导图】
【考点梳理】
考点一、圆的有关概念及性质
1．圆的有关概念
圆、圆心、半径、等圆；
弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；
三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．2．圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；
圆具有旋转不变性．
3．圆的确定
不在同一直线上的三个点确定一个圆．
4．垂直于弦的直径
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
要点诠释：在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)
AC BC
，(5)
AD BD．若上述5个条件
有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．
注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．
5．圆心角、弧、弦之间的关系
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余
各组量也相等．
6．圆周角
圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
考点二、与圆有关的位置关系
1．点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
点P在圆外 d＞r；
点P在圆上 d＝r；
点P在圆内 d＜r．要点诠释：圆的确定：
①过一点的圆有无数个，如图所示．
②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．
③经过在同一直线上的三点不能作圆．
④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．
2．直线和圆的位置关系
（1）切线的判定
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质
切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径．
（3）切线长和切线长定理
切线长 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切
线的夹角．
3．圆和圆的位置关系
(1)基本概念
两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．
(2)请看下表：
要点诠释：
①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．
②同心圆是内含的特殊情况．
③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．
④“R-r”时，要特别注意，R＞r．
【典型例题】
题型一、圆的性质及垂径定理的应用
例1．已知：如图所示，在⊙O中，弦AB的中点为C，过点C的半径为OD．
2 3
(1)若AB＝ ，OC＝1，求CD的长；(2)若半径OD＝R，∠AOB＝120°，求CD的长.
【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到 A点时，乙已跟随冲
到B点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)
例2．已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点．
（1）如图1，求证：OP∥BC；
（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．【变式】如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三
点的圆与斜边AB交于△点E，连接DE．
（1）求BE的长；
（2）求△ACD外接圆的半径．
题型二、圆的切线判定与性质的应用
例3．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求△ABC的内切圆的半径．
1
sinB
2
例4．如图所示，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上， ，∠D＝30°．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若AC＝6，求AD的长．【变式】如图所示，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线交PO于C点，
求证：PC＝CD．
题型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用
例5．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分
线交AC于点D，求∠CDP的度数.例6．如图所示，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF于
点D，交AB的延长线于点C．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
3
5
(2)若DE＝4，sinC＝ ，求AE的长．
【中考过关真题练】
一．选择题（共8小题）
1．（2022•荆门）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD
的面积为（ ）A．36 B．24 C．18 D．72
2．（2022•牡丹江）如图，BD是 O的直径，A，C在圆上，∠A＝50°，∠DBC的度数是（ ）
⊙
A．50° B．45° C．40° D．35°
3．（2022•淮安）如图，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC 的度数是
（ ） ⊙
A．80° B．100° C．140° D．160°
4．（2022•西藏）如图，AB是 O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝ OD，则∠ABD的度数为
（ ） ⊙
A．90° B．95° C．100° D．105°
5．（2022•株洲）如图所示，等边△ABC的顶点A在 O上，边AB、AC与 O分别交于点D、E，点F是
⊙ ⊙
劣弧 上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（ ）A．115° B．118° C．120° D．125°
6．（2022•镇江）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，BC＝6 ， O同时与边BA的延长线、射线
⊙
AC相切， O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转 （0°＜ ≤360°），B、C的对应点分别
为B′、C′⊙，在旋转的过程中边B′C′所在直线与 O相切的α次数为（α ）
⊙
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022•鄂尔多斯）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆 O 与 O 的半径为3米，且 O 经过
1 2 1
O 的圆心O ．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为⊙（ ⊙） ⊙
2 2
⊙
A．4 米 B．6 米 C．8 米 D．12 米
8．（202π2•德阳）如图，点E是π △ABC的内心，AE的π延长线和△ABC的外接π圆相交于点D，与BC相交于
点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，
则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共11小题）
9．（2022•宁夏）如图，在 O中，半径 OC 垂直弦 AB于点 D，若 OB＝10，AB＝16，则 cosB＝
⊙．
10．（2022•郴州）如图，点A．B，C在 O上，∠AOB＝62°，则∠ACB＝ 度．
⊙
11．（2022•长沙）如图，A、B、C是 O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝
7，则BC的长为 ． ⊙
12．（2022•锦州）如图，四边形 ABCD内接于 O，AB为 O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则
∠BAC的度数为 ． ⊙ ⊙
13．（2022•雅安）如图，∠DCE是 O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度
⊙数为 ．
14．（2022•牡丹江） O的直径CD＝10，AB是 O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC
的长为 ．⊙ ⊙
15．（2022•徐州）如图，A、B、C点在圆O上，若∠ACB＝36°，则∠AOB＝ ．
16．（2022•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2 ，半径为1的 O在Rt△ABC内
⊙
平移（ O可以与该三角形的边相切），则点A到 O上的点的距离的最大值为 ．
⊙ ⊙
17．（2022•盐城）如图，AB、AC是 O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD＝35°，则
∠C＝ °． ⊙18．（2022•黑龙江）如图，在 O中，AB是 O的弦， O的半径为3cm．C为 O上一点，∠ACB＝
60°，则AB的长为 cm⊙． ⊙ ⊙ ⊙
19．（2022•湖北）如图，点P是 O上一点，AB是一条弦，点C是 上一点，与点D关于AB对称，
⊙
AD交 O于点E，CE与AB交于点F，且BD∥CE．给出下面四个结论：
①CD⊙平分∠BCE；②BE＝BD；③AE2＝AF•AB；④BD为 O的切线．
其中所有正确结论的序号是 ． ⊙
三．解答题（共8小题）
20．（2022•威海）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．
（1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠AD⊙E；
（2）若BC＝3， O的半径为2，求sin∠BAC．
⊙21．（2022•黔东南州）（1）请在图1中作出△ABC的外接圆 O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作
法）； ⊙
（2）如图2， O是△ABC的外接圆，AE是 O的直径，点B是 的中点，过点B的切线与AC的延
⊙ ⊙
长线交于点D．
①求证：BD⊥AD；
②若AC＝6，tan∠ABC＝ ，求 O的半径．
⊙22．（2022•攀枝花）如图， O的直径AB垂直于弦DC于点F，点P在AB的延长线上，CP与 O相切
于点C． ⊙ ⊙
（1）求证：∠PCB＝∠PAD；
（2）若 O的直径为4，弦DC平分半径OB，求：图中阴影部分的面积．
⊙
23．（2022•阜新）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆
与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是 O的切线；
⊙
（2）若∠A＝60°，AC＝2 ，求 的长．
24．（2022•六盘水）牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图是
月亮洞的截面示意图．
（1）科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28m，洞高AB约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解
释月亮洞像半个月亮，求半径OC的长（结果精确到0.1m）；
（2）若∠COD＝162°，点M在 上，求∠CMD的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M
在洞顶 上巡视时总能看清洞口CD的情况．
25．（2022•淮安）如图，△ABC是 O的内接三角形，∠ACB＝60°，AD经过圆心O交 O于点E，连接
BD，∠ADB＝30°． ⊙ ⊙
（1）判断直线BD与 O的位置关系，并说明理由；
⊙
（2）若AB＝4 ，求图中阴影部分的面积．
26．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作 O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交 O于点D，过
⊙ ⊙点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是 O的切线；
（2）求证：AB＝AM；⊙
（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．
27．（2022•湖北）如图，正方形ABCD内接于 O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE
交 O于点G，连接BG． ⊙
（⊙1）求证：FB2＝FE•FG；
（2）若AB＝6，求FB和EG的长．【中考挑战满分模拟练】
一．选择题（共6小题）
1．（2023•汉阳区校级一模）如图，CD为 O直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝6，则CD长为（
） ⊙
A．10 B．9 C．8 D．5
2．（2023•青岛一模）如图，四边形ABCD内接于 O，连接对角线AC与BD交于点E，且BD为 O的
直径，已知∠BDC＝40°，∠AEB＝110°，则∠AB⊙C＝（ ） ⊙
A．65° B．70° C．75° D．80°
3．（2023•雁塔区校级一模）如图， O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，
则∠BOC＝（ ） ⊙
A．100° B．110° C．115° D．120°
4．（2023•碑林区校级模拟）如图，△ABC是 O的内接三角形，∠B＝45°，AD⊥BC于点D，若BC＝
4，AD＝3，则 O的半径长为（ ） ⊙
⊙
A． B．2 C． D．5．（2023•庐江县模拟）如图，AB，AC分别是半圆O的直径和弦，AB＝5，AC＝4，D是 上的一个动
点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D．3
6．（2023•宁波模拟）如图，四边形ABCD内接于 O，AB为直径，AD＝CD，过D作DE⊥AB于点E，
⊙
交AC于点F，连结AC．DF＝5， ．当点P为下面半圆弧的中点时，连接CP交BD于H，则AH
的长为（ ）
A． B． C． D．12
二．填空题（共6小题）
7．（2023•泸县校级一模）如图，AB是 O的弦，C是 的中点，OC交AB于点D．若AB＝8cm，CD＝
⊙
2cm，则 O的半径为 cm．
⊙
8．（2023•宁波模拟）圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E＝40°，∠F＝
60°，求∠A＝ °．9．（2023•武汉模拟）如图， O是△ABC的内切圆，∠C＝40°，则∠AOB的大小是 ．
⊙
10．（2023•定远县校级一模）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC、AB＝6，BC＝4，点P是△ABC内部的一
个动点，连接PC，且满足∠PAB＝∠PBC，过点P作PD⊥BC交BC于点D．
（1）∠APB＝ ；
（2）当线段CP最短时，△BCP的面积为 ．
11．（2023•石家庄模拟）如图，在△ABC的外接圆 O中，AB＝2， ，点E为AB的中点，
则 O的直径为 ． ⊙
⊙
12．（2023•丰台区校级模拟）如图，PA，PB是 O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，AB，若
∠OAB＝35°，则∠P＝ °． ⊙三．解答题（共5小题）
13．（2023•定远县校级一模）已知 O中，AB是直径，AC是弦，∠BAC＝32°．
（1）如图1，连接BC，求∠ABC⊙的度数；
（2）如图2，过点C作弦CD⊥AB，H为垂足，求∠BOD的度数．
14．（2023•丰台区校级模拟）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且
构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为 1m的圆，如图所示，若水
面宽AB＝0.8m，求水的最大深度．15．（2023•西安一模）如图，AB为 O的直径，OD为 O的半径， O的弦CD与AB相交于点F， O
的切线CE交AB的延长线于点E，⊙EF＝EC． ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：OD垂直平分AB；
（2）若 O的半径长为3，且BF＝BE，求OF的长．
⊙
16．（2023•雁塔区校级二模）如图， O与△ABC的边AB相切于点E，点O在边BC上，AB＝AC，AO
交 O于点F，且AO⊥BC于点O．⊙
（⊙1）求证：AC是 O的切线；
⊙
（2）已知点H为 O上一点， ， ， O的半径为1，求HF的长．
⊙ ⊙17．（2023•雁塔区校级二模）如图，AB为 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线
交于点F，且∠AFB＝∠ABC． ⊙
（1）求证：直线BF是 O的切线；
⊙
（2）若tan∠BCD＝ ，OP＝1，求线段BF的长．
【名校自招练】
一．选择题（共7小题）
1．（2022•南岸区自主招生）如图，在 O中，∠BOC＝80°，则∠A等于（ ）
⊙
A．50° B．20° C．30° D．40°
2．（2022•巴南区自主招生）如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径，BD是 O的切线，点B为切
点，BD与线段AC的延长线相交于点D，若∠AB⊙C＝65°，则∠⊙D等于（ ） ⊙A．65° B．55° C．45° D．35°
3．（2022•北碚区自主招生）如图，AB是 O的切线，A为切点，OB交 O于点C，若 O的半径长为
⊙ ⊙ ⊙
1，AB＝ ，则线段BC的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（2022•荣昌区自主招生）如图，AB是 O的切线，切点为B，CD是 O的直径，连接BD，BO，
BC，若∠ABC＝50°，则∠D的度数是（ ⊙ ） ⊙
A．45° B．50° C．55° D．60°
5．（2022•九龙坡区自主招生）如图，PA，PB分别与 O相切于A，B两点，Q是优弧 上一点，若
⊙
∠APB＝40°，则∠AQB的度数是（ ）A．50° B．70° C．80° D．85°
6．（2022•渝北区自主招生）如图，矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切于
点E，连接BD，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． ﹣2 C． +2 D． +4
7．（2π022•南陵县自主招生）π如图，AB和BC是 Oπ的两条弦（即ABC是π圆的一条折弦），BC＞AB，M
⊙
是 的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D，若 ， ，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
8．（2022•长寿区自主招生）如图，工人师傅准备从一块斜边AB长为40cm的等腰直角△AOB材料上裁出
一块以直角顶点O为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥（接缝处忽略），则
圆锥的底面半径为 cm．
9．（2022•宁波自主招生）如图，在 O中、三条劣弧AB、BC、CD的长都相等，弦AC与BD相交于点
E，弦BA与CD的延长线相交于点⊙F，且∠F＝40°，则∠AED的度数为 ．
10．（2022•相城区校级自主招生）一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是 ．
11．（2022•北碚区自主招生）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，以AC为直径作半圆，
交AB边于点D，点O为圆心，连接OD，则图中阴影部分的面积是 ．
12．（2022•渝北区自主招生）如图，四边形BCDE内接于 O，AB是 O的直径，满足AB⊥CD于点F，
连接AE，BD．若∠ABC＝∠DBE，CF＝2AF＝4，则点⊙E到线段AB⊙的距离为 ．
13．（2022•南岸区自主招生）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC是半圆的直径，图中阴
影部分的面积为4，则半圆的面积是 ．
14．（2022•鄞州区校级自主招生）如图，在 O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD，CA＝CB，过点A作
⊙
AC的垂线交CD的延长线于点E，连结BE．若cos∠ACB＝ ，则 的值为 ．15．（2022•海曙区自主招生）如图，点A、B、C均在坐标轴上，AO＝BO＝CO＝1，过A、O、C作 D，
E是 D上任意一点，连结CE，BE，则CE2+BE2的最大值是 ． ⊙
⊙
三．解答题（共3小题）
16．（2022•海曙区自主招生）如图，已知△ABC内接于 O，AB是该圆直径，D是弧AC上的点，线段
⊙
BD与AC交于点E，若AB＝5，sin∠CAB＝ ＝k．
（1）试用含m的代数式表示k；
（2）若AD∥OC，求k的值．
17．（2022•南陵县自主招生）如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．
（1）求证：AM•MB＝CM•MD；
（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．18．（2022•宁波自主招生）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，I 、I ，分别
1 2
是△ACD、△BCD的内心，直线I I ，分别交AC、BC于点E、F．
1 2
（1）求tan∠I I D；
1 2
（2）求△CEF的面积．
