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第3单元 函数
一、 选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项符合要求)．
1．P(x，5)在第二象限内，则x应是( B )
A．正数 B．负数 C．非负数 D．有理数
2．一个长方形在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是(－1，－1)、(－
1，2)、(3，－1)，则第四个顶点的坐标是( B )
A．(2，2) B．(3，2) C．(3，3) D．(2，3)
3．下列函数中，是正比例函数的是( A )
A．y＝ B．y＝
C．y＝5x－3 D．y＝6x2－2x－1
4．如图所示的图象中，不可能是关于 x的一次函数y＝mx－(m－3)的图象的是(
C )
5．若函数y＝(k≠1)在某一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是(
A )
A．k＞1 B．k＜1 C．k＞0 D．k＜0
6．已知二次函数y＝kx2－7x－7的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( B
)
A．k＞－ B．k≥－且k≠0
C．k≥－ D．k＞－且k≠07．端午节是中国传统节日之一，大家都会以吃粽子的方式来庆祝这一传统节日．
每年端午节前，五花八门的粽子都会抢先上市，如图，这是某商家在今年端午
节前7周的“粽子”周销量y(个)随时间t(周)变化的图象，则下列说法正确的是
( A )
A．第3周和第5周的销量一样
B．第2周到第3周的销量增长比第3周到第4周的销量增长慢
C．从第1周到第7周，粽子的周销量y(个)随时间t(周)的增加而增加
D．第5周销量最低，是2 000个
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：① a＋
b＋c＜0；②a－b＋c＜0；③b＋2a＜0；④abc＞0，其中所有正确结论的序号
是( C )
A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)．
9．在平面直角坐标系中，将直线 y＝－2x＋1向下平移4个单位长度后，所得
直线的解析式为 y ＝－ 2 x － 3 ．
10．已知一次函数y＝x－b与反比例函数y＝的图象，有一个交点的纵坐标是
2，则b的值为 － 1 ．11．若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方
程－x2＋2x＋k＝0的一个解x ＝3，另一个解x ＝ － 1 ．
1 2
12．如图，曲线是反比例函数y＝在第二象限的一支，O为坐标原点，点P在曲
线上，PA⊥x轴，且△PAO的面积为2，则此曲线的解析式为 y ＝－ ．
13．若二次函数y＝ax2＋2x＋c的值总是负值，则a，c应满足的条件是 a ＜ 0 ，
ac ＞ 1 ．
14．如图，抛物线y＝x2(p＞0)，点F(0，p)，直线l：y＝－p，已知抛物线上的
点到点F的距离与到直线l的距离相等，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，
AA ⊥l，BB ⊥l，垂足分别为A 、B ，连接A F，B F，A O，B O．若A F＝a，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
B F＝b，则△A OB 的面积＝ ．(只用a，b表示)
1 1 1
15．如图，平面直角坐标系中，一束光经过 A(－3，1)照射在平面镜(x轴)上的
点B(－1，0)处，其反射光线BC交y轴于点C(0，)，再被平面镜(y轴)反射得光
线CD，则直线CD的函数表达式为 y ＝－ 0 ． 5 x ＋ 0 ． 5 ．16．如图，已知A (1，－)，A (3，－)，A (4，0)，A (6，0)，A (7，)，A (9，)，
1 2 3 4 5 6
A (10，0)，A (11，－)…，依此规律，则点A 的坐标为 ( 2 89 4 ， 0 ) ．
7 8 2 026
三、解答题(本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤)．
17．(6分)已知，一条直线经过点A(1，3)和B(2，5)．求：
(1)这个一次函数的解析式．
(2)当x＝－3时，y的值．
解：(1)设一次函数解析式为y＝kx＋b，
把点A(1，3)和B(2，5)代入，得得
∴一次函数解析式为y＝2x＋1．
(2)当x＝－3时，y＝2×(－3)＋1＝－5．
18．(6分)如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于M，N
两点．
(1)求反比例函数解析式和一次函数解析式．
(2)根据图象写出使反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．
解:(1)由图象可得：k＝xy＝(－1)×(－4)＝4，
∴y＝，把x＝2代入y＝，得y＝2，∴M(2，2)．
把M(2，2)，N(－1，－4)代入y＝ax＋b，
得解得
∴一次函数解析式为y＝2x－2．
(2)由图象可看出：当x＜－1或0＜x＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值．
19．(6分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过三点A(0，6)、B(1，0)、C(3，
0)．求这个二次函数的对称轴和顶点坐标．
解：根据题意设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)，
将A(0，6)代入得:6＝3a，即a＝2，则二次函数解析式为y＝2(x－1)(x－3)＝2x2
－8x＋6＝2(x－2)2－2，则对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－2)．
20．(7分)某商店老板如果将进货价为 8元的商品按每件 10元出售，每天可销
售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每
涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所
赚的利润最大？并求出最大利润．
解：设售出价定为x元，每天所赚的利润为y元，依题意得：
y＝(x－8)［100－10(x－10)］
＝(x－8)(200－10x)
＝－10x2＋280x－1 600
＝－10(x2－28x)－1 600
＝－10(x－14)2＋360．
∴他将售出价定为14元时，才能使每天所赚的利润最大，并求出最大利润为
360元．
21．(8分)A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台
和D市8台．已知从 A市调运一台机器到 C市和 D市的运费分别为 400元和
800元；从B市调运一台机器到C市和D市的运费分别为300元和500元．
(1)设B市运往C市机器X台，求总运费Y(元)关于X的函数关系式．
(2)若要求总运费不超过9 000元，问共有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？
解：(1)B市运往C市机器X台(显然0≤X≤6)，则B市运往D市机器6－X台；
A市运往C市机器10－X台(显然0≤X≤6)，则A市运往D市机器X＋2台．故
总运费
Y＝400(10－X)＋800(X＋2)＋300X＋500(6－X)
＝200X＋8 600(0≤X≤6) ．
(2)若要求总运费不超过9 000元，则：
200X＋8 600≤9 000，解得X≤2 ．
则有以下三种调运方案：
①A→C:10台； A→D:2台； B→C:0台； A→D:6台；
②A→C:9台； A→D:3台； B→C:1台； A→D:5台；
③A→C:8台； A→D:4台； B→C:2台； A→D:4台．
(3)总运费Y＝200X＋8 600，
显然，总运费Y随着X的减小而减少．因此，当X＝0时(即上面的调运方案①)，
总运费Y最低．
最低运费Y ＝8 600(元)．
min
22．(8分)如图，已知反比例函数y＝(x＞0)的图象与一次函数y＝－x＋4的图象
交于A和B(6，n)两点．
(1)求k和n的值；
(2)若点C(x，y)也在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y
的取值范围．
解：(1)∵B(6，n)在直线y＝－x＋4上，
∴n＝－×6＋4＝1，
∴点B的坐标为(6，1)．
∵反比例函数y＝过点B(6，1)，∴k＝6×1＝6．
(2)当x＝2时，y＝3；
当x＝6时，y＝1．
∵反比例函数y＝在x＞0时，y随x值增大而减小，
∴当2≤x≤6时，1≤y≤3．
23．(8分)如图，在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在 O处
开始减速，此时白球在黑球前面20 cm处保持2 cm/s的速度匀速运动．小聪测
量黑球减速后运动距离y(单位：cm)随运动时间t(单位：s)变化的数据，整理得
下表．
运动时间t/s 0 1 2 3 4 …
运动距离y/cm 0 7.5 14 19.5 24 …
探究发现，y与t之间的数量关系可以用二次函数来描述．
(1)求y关于t的函数关系式；
(2)当t＝5时，求两球之间的距离；
(3)黑球能否追上白球?若能，求出追上时t的值；若不能，求出它们之间的最短
距离．
解：(1)设y关于t的函数关系式为y＝at2＋bt＋c，
将点(0，0)，(2，14)，(4，24)代入解析式，
得解得
∴y关于t的函数解析式为y＝－t2＋8t；
(2)令S表示两球之间的距离，由题意可得，
S＝20＋2t－(－t2＋8t)＝t2－6t＋20，
当t＝5时，S＝×25－6×5＋20＝2．5，
∴当t＝5时，两球之间的距离为2．5 cm；
(3)S＝t2－6t＋20＝(t－6)2＋2，∵＞0，∴当t＝6时，S有最短距离为2．
∴两球不能相遇，它们之间的最短距离为2 cm．
24．(11分)如图，直线y ＝－x＋4，y ＝x＋b都与双曲线y＝交于点A(1，m)，
1 2
这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)直接写出当x＞0时，不等式x＋b＞的解集；
(3)若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1∶3两部分，求此时点P的
坐标．
解：(1)把A(1，m)代入y ＝－x＋4，得m＝－1＋4＝3．
1
∴A(1，3)．
把A(1，3)代入y＝，得3＝．
∴k＝3．
∴y与x之间的函数关系式为y＝．
(2)x＞1．
(3)令y＝0，则0＝－x＋4，得x＝4．
∴B(4，0)．
把A(1，3)代入y ＝x＋b，得3＝＋b．
2
∴b＝．∴y ＝x＋．
2
令y＝0，则x＝－3．∴C(－3，0)．∴BC＝7．
∵AP把△ABC的面积分成1∶3两部分，
①CP＝BC＝，OP＝3－＝；
②BP＝BC＝，OP＝4－＝．
∴P(－，0)或(，0)．
25．(12分)在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于A(－4，0)，B (1，0)两点，与y轴交于点C．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)连接AC，BC，判断△ABC的形状，并证明；
(3)若点P在二次函数的对称轴上，求出使△PBC周长最小时，点P的坐标．
解：(1)将A(－4，0)，B(1，0)代入y＝ax2＋bx＋2，
得解得
∴二次函数的解析式为y＝－x2－x＋2．
(2)将x＝0代入y＝－x2－x＋2，得y＝2．
∴C(0，2)，即OC＝2．
∵OA＝4，OB＝1，
∴AC2＝OA2＋OC2＝16＋4＝20，BC2＝OB2＋OC2＝1＋4＝5．
∴AC2＋BC2＝20＋5＝25．
∵AB＝5，
∴AC2＋BC2＝AB2＝25．
∴△ABC为直角三角形．
(3)过二次函数y＝－x2－x＋2图象的顶点作对称轴，由解析式可得，对称轴为
直线x＝－．
∵点A与点B关于对称轴直线x＝－对称．
∴对称轴与直线AC的交点即为所求的点P，此时PC＋PB最短，即△PBC周长
最小．
设直线AC的解析式为y＝mx＋n．
把A(－4，0)，C(0，2)代入上式，得解得
∴直线AC的解析式为y＝x＋2．
将x＝－代入y＝x＋2，得y＝．
∴当点P坐标为(－，)时，△PBC周长最小．
