文档内容
第 11 讲 特殊三角形（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）
【考纲要求】
1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角
形、直角三角形的性质和判定．
2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题．
3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．
【知识导图】
【考点梳理】
考点一、等腰三角形
1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
2．性质：
(1)具有三角形的一切性质；
(2)两底角相等(等边对等角)；
(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；
(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°．
3．判定：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
考点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
2．性质：
(1)直角三角形中两锐角互余；
(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；
(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；
(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；
(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；
(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
3．判定：
(1)两内角互余的三角形是直角三角形；
(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形；
(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边．
【典型例题】
题型一、等腰三角形
例1．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连
接AC、AD．
（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【变式】把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是________．例2．已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．
(1)求证:AE=AF．
(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．
【变式】如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE. 求
证：CE=DE.
题型二、直角三角形
例3．如图，△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一点，且ME=MF．
（1）求证：BE⊥AC；
（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．例4．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE，AE
于 点 G 、 H. 试 猜 测 线 段 AE 和 BD 的 位 置 和 数 量 关 系 ， 并 说 明 理 由 ．
【变式】 .以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA ，再以等腰直角三角形
1
ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形ABB ，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰
1 1 1
直角三角形的面积S=________.
n
题型三、综合运用
例5 .如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．
易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
1 1 1
S S S
2 2 2
△ABP △ACP △ABC
∴ = AB•PE， = AC•PF， = AB•CH．
S S S
△ABP △ACP △ABC
又∵ ，
1 1 1
2 2 2
∴ AB•PE+ AC•PF= AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜
想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，
则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________.
例6．在△ＡＢＣ中，AC=BC， ，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是
否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
【变式】如图， △ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，
BC
下列结论：①tan∠AEC=CD; ②S +S ≥S ; ③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是
⊿ABC ⊿CDE ⊿ACE（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
M
E
B C D
【中考过关真题练】
一．选择题（共9小题）
1．（2022•淮安）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝
10，则DE的长是（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
2．（2022•宁波）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝
AD，DF＝2，则BD的长为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．4
3．（2022•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（ ）A．34° B．44° C．124° D．134°
4．（2022•德州）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的
一条直角边平行，则∠ 的角度为（ ）
α
A．100° B．105° C．110° D．120°
5．（2022•台湾）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C，且
∠EAC＞90°，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（ ）
A．∠1＝∠2，∠1＜∠3 B．∠1＝∠2，∠1＞∠3
C．∠1≠∠2，∠1＜∠3 D．∠1≠∠2，∠1＞∠3
6．（2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作
弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的
长是（ ）
A．6 B．3 C．1.5 D．1
7．（2022•黑龙江）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．3.5 D．3
8．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，连
接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．6 D．8
9．（2022•宜宾）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是BC边上的
动点（不与点 B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝
∠CED；③若BD＝2CD，则 ＝ ；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若
点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+ ．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④二．填空题（共10小题）
10．（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝ ．
11．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若
等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 ．
12．（2022•黔西南州）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°，AC
与DE相交于点F．若BC∥AE，则∠AFE的度数为 ．
13．（2022•荆州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于
D，E，连接CD．若CE＝ AE＝1，则CD＝ ．
14．（2022•广安）若（a﹣3）2+ ＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 ．
15．（2022•河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，点D为AB的中点，点P在AC
上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，
AQ的长为 ．16．（2022•镇江）如图，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E、F、G分别为AB、AC、BC的
中点，若DE＝1，则FG＝ ．
17．（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在
BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．
【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形 ABCD．已知 CD＝CB＝
100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，
BN＝50（ ﹣1）m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少
m（结果取整数，参考数据： ≈1.7）．
18．（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于
点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为 ．19．（2022•西宁）如图，△ABC中，AB＝6，BC＝8，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，
且∠AFB＝90°，则EF＝ ．
三．解答题（共4小题）
20．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．21．（2022•鄂尔多斯）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE
与CF的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．
①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
②连接DM，求∠EMD的度数；
③若DM＝6 ，ED＝12，求EM的长．22．（2022•徐州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、
PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点
H．
（1）∠EDC的度数为 °；
（2）连接PG，求△APG的面积的最大值；
（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
（4）求 的最大值．23．（2022•菏泽）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，
连接BE、CE．
（1）直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接
CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否
一致？请说明理由；
（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝
FG，DC＝ ，求AB′的长．【中考挑战满分模拟练】
一．选择题（共11小题）
1．（2023•蜀山区校级一模）已知等腰△ABC，∠A的相邻外角是130°，则这个三角形的顶角为（ ）
A．65°或80° B．80° C．50°或80° D．50°
2．（2023•碑林区校级二模）如图，△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若
CD＝2，则BD的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
3．（2023•雁塔区校级一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023•泰山区校级一模）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测
灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，
则C处与灯塔A的距离是（ ）海里．A．25 B．25 C．50 D．25
5．（2023•定远县校级一模）如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，
且AB＝8，MN＝3，则AC的长是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
6．（2023•定远县校级一模）如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，若∠A＝40°，则有（ ）
A．∠1＝50° B．∠1＝40° C．∠1＝35° D．∠1＝20°
7．（2023•海棠区一模）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（
）
A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°
8．（2023•黔江区一模）如图，直线l ∥l ，△ABC是等边三角形∠1＝50°，则∠2的大小为（ ）
1 2
A．60° B．80° C．70° D．100°
9．（2023•定远县校级一模）如图，将一副直角三角尺重叠摆放，使得60°角的顶点与等腰直角三角形的
直角顶点重合，且DE⊥AB于点D，与BC交于点F，则∠FCE的度数为（ ）A．60° B．65° C．75° D．85°
10．（2023•瑶海区校级模拟）如图，在等边△ABC中，点 A、C分别在x轴、y轴上，AC＝4，当点A在
x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）
A．4 B．2+ C． +2 D．2+2
11．（2023•深圳模拟）如图，∠ABC＝∠ADB＝90°，DA＝DB，AB与CD交于点E，若BC＝2，AB＝4，
则点D到AC的距离是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共2小题）
12．（2023•金安区校级模拟）如图，AB是 O的直径，AC是弦，OD⊥AB交AC于点D，CD＝OD，则
∠BAC＝ °． ⊙13．（2023•深圳模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中点，过点B作BD⊥AB，交
CE的延长线于点D，若BD＝4，CD＝8，则AC＝ ．
三．解答题（共8小题）
14．（2023•阎良区一模）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， ，点D是AB
边的中点．点E是射线BC上的一动点（点E不与点B重合）．点F在ED的延长线上，且DF＝DE，
DG⊥EF，垂足为点D，DG交边AC于点G．
（1）求证：AF∥BC；
（2）当点E在线段BC上时，设AG＝x，CE＝y，求y关于x的函数解析式，并指出函数的定义域；
（3）当CE＝2时，直接写出AG的长．15．（2023•雁塔区一模）如图①，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E为△ABC内一点，连接ED
并延长到F，使得ED＝DF，连接AF、CF．
（1）求证：BE∥CF；
（2）若∠EBD＝ ∠BAC，求证：AF2＝AB2+BE2；
（3）如图②连接，探索当∠BEC与∠BAC满足什么数量关系时，AC＝AF，并说明理由．
16．（2023•鼓楼区校级一模）已知：如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是BC边上任意一点（不与
B、C重合），在三角形外作等边△CDE，连结AE、BD．
（1）根据题意画出图形；
（2）求证：AE＝BD；
（3）△BDC能否为直角三角形？若能，求出BD长；若不能，请说明理由．17．（2023•琼山区一模）已知△ABC为等边三角形，点D、E分别是BC、AC上一点．
（1）如图1，BD＝CE，连接AD、BE，AD交BE于点F，在BE的延长线上取点G，使得FG＝AF，连
接AG，若AF＝4，求△AFG的面积；
（2）如图2，AD、BE相交于点G，点F为AD延长线上一点，连接BF、CF、CG，已知BD＝CE，
∠BFG＝60°，∠AEB＝∠BGC，探究BF、GE、CF之间的数量关系并说明理由；
（3）如图3，已知AB＝12，过点A作AD⊥BC于点D，点M是直线AD上一点，以CM为边，在CM
的下方作等边△CMN，连DN，当DN取最小值时请直接写出CM的长．18．（2023•丰台区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝ （0°＜ ≤90°），将BC边绕点C逆时针旋转
（180°﹣ ）得到线段CD． α α
（1）判断α∠B与∠ACD的数量关系并证明；
（2）将AC边绕点C顺时针旋转 得到线段CE，连接DE与AC边交于点M（不与点A，C重合）．
①用等式表示线段DM，EM之间α的数量关系，并证明；
②若AB＝a，AC＝b，直接写出AM的长．（用含a，b的式子表示）19．（2023•延安一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，点E、F分别是线段CD、AD上的点，且DE＝DF，AE与BF的延长线交于点G，则AE
与BF的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如图2，点E、F分别在DC和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交BF于点G．
①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明：如果不成立，请说明理由；
②连接DG，若DG＝4 ，DE＝6，求EG的长．20．（2023•深圳模拟）（1）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝
5，ED⊥AB，垂足为D，求AD的长．
（2）类比探究：如图2，△ABC中，AC＝14，BC＝6，点D，E分别在线段AB，AC上，∠EDB＝
∠ACB＝60°，DE＝2．求AD的长．
（3）拓展延伸：如图3，△ABC中，点D，点E分别在线段AB，AC上，∠EDB＝∠ACB＝60°．延长
DE，BC交于点F，AD＝4，DE＝5，EF＝6，DE＜BD， ＝ ；BD＝ ．21．（2023•黔江区一模）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶
点A在△ECD的斜边DE上，连接DB．
（1）证明：△EAC≌△DBC；
（2）当点A在线段ED上运动时，猜想AE、AD和AC之间的关系，并证明．
（3）在A的运动过程中，当 ， 时，求△ACM的面积．【名校自招练】
一．选择题（共10小题）
1．（2020•西安自主招生）已知等腰三角形一个外角是110°，则它的底角的度数为（ ）
A．110° B．70° C．55° D．70°或55°
2．（2021•江夏区校级自主招生）如图，△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AB、AC上的点，∠BDE、
∠CED的平分线分别交BC于点F、G，EG∥AB，若∠BGE＝100°，则∠ADE的度数为（ ）
A．18° B．20° C．25° D．30°
3．（2022•温江区校级自主招生）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，
则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．40°
4．（2019•南岸区自主招生）如图，某校园内有一池塘，为得到池塘边的两棵树 A，B间的距离，小亮测
得了以下数据：∠A＝∠CDE，AD＝DC，DE＝10m，则A，B间的距离是（ ）
A．10m B．15m C．20m D．25m
5．（2022•巴南区自主招生）如图，a∥b，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1＝12°，
则∠2等于（ ）A．24° B．30° C．33° D．35°
6．（2019•顺庆区校级自主招生）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，直线将△ABC分成两个三角形，如
果其中一个三角形是等腰三角形，这样的直线有（ ）条．
A．5 B．7 C．9 D．10
7．（2021•黄州区校级自主招生）直线a∥b，A、B分别在直线a、b上，△ABC为等边三角形，点C在直
线a、b之间，∠1＝10°，则∠2＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
8．（2019•汉阳区校级自主招生）如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设点P到BC、
CA、AB三边的距离分别为h ，h ，h 且满足h +h ﹣h ＝18，那么等边△ABC的面积为（ ）
1 2 3 2 3 1
A． B． C． D．
9．（2021•太仓市自主招生）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点 O，过O点作
EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．
①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+ ∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝
n，则S△AEF ＝ mn，正确的结论有（ ）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2019•柯桥区自主招生）平面上任意一点到边长为 的等边三角形三顶点距离之和不可能的是（
）
A．3 B．6 C．4 D．8
二．填空题（共6小题）
11．（2019•海港区校级自主招生）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，
CD＝5，则AD＝ ．
12．（2020•西安自主招生）如图：已知∠BAD＝∠DAC＝9°，AD⊥AE，且AB+AC＝BE．则∠B＝
．
13．（2019•和平区校级自主招生）把3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点
可以排成正三角形，如图所示，则第6个三角形数是 ．
14．（2019•青山区校级自主招生）如图，已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐
标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是 ．15．（2019•海港区校级自主招生）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝1，D在BC上，E在
AB上，使得△ADE为等腰直角三角形，∠ADE＝90°，则BE＝ ．
16．（2019•达州自主招生）如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝12，则
AC的长等于 ．
三．解答题（共3小题）
17．（2021•衡阳县自主招生）已知以方程 的两根为腰长与底边长的等腰三角形有且
仅有1个，求实数m的取值范围．
18．（2020•沙坪坝区自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，
点E是AB的中点，连接DE．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BDE的度数．19．（2021•黄州区校级自主招生）点P到图形 （可以是线段、三角形、圆或不规则图形等）的距离是指：
点P与图形 中所有点连接的线段中最短线Ω段的长度．如图①中的两个虚线段PQ的长度都表示点P
到图形 的距Ω离．
Ω
如图②，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，1），B（0，3），C（6，
3），点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向x轴的正方向运动了t秒．
（1）当t＝0时，求点P到△ABC的距离；
（2）当点P到△ABC的距离等于线段AP的长度时，求t的范围；
（3）当点P到△ABC的距离大于 时，求t的取值范围．
