第12讲勾股定理及其逆定理（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）-冲刺2023年中考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（通用版）（原卷版）_中考复习资料_语数英物化_专项复习

第 12 讲 勾股定理及其逆定理（知识精讲+真题练+模拟练+自招练） 【考纲要求】 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题； 4.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题．以体现代数与几何之间的内在联系． 【知识导图】 【考点梳理】 考点一、勾股定理 1.勾股定理： a、b c a2 b2 c2 直角三角形两直角边 的平方和等于斜边 的平方.（即： ） 2.勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法. 用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 3.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边,在ABC 中，C90，则c a2b2 ，b c2a2 ，a c2b2 ； ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系； ③可运用勾股定理解决一些实际问题. 考点二、勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把 其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理 a、b、c a2 b2 c2 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 3.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2 c2 中，a，b，c为正整数时，称a， b，c为一组勾股数； 3,4,5 6,8,10 5,12,13 7,24,25 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 ； ； ； 等； ③用含字母的代数式表示n组勾股数： n21,2n,n21 （ n2, n为正整数）； 2n1,2n22n,2n22n1 （n为正整数） m2n2,2mn,m2n2 （ mn, m，n为正整数）. 考点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【典型例题】 题型一、勾股定理及其逆定理的综合应用例1．在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且 ，试判断△AEF是否是直角三角 形？试说明理由． 【变式】如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（ ）. A.14 B.16 C.20 D.28 例2．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD的长为（ ）. 14 15 3 2 2 3 A. B. C. D. 【变式】如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点且PC= BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ） A．（4+ ）cm B．5cm C．2 cm D．7cm题型二、勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用 例3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到 Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积是________________． 例4. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处， 折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( ). A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【变式】如图为梯形纸片ABCD，E点在BC上，且∠AEC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝3，BC＝9, CD＝8．若以AE为折线，将C折至BE上，使得CD与AB交于F点，则BF长度为何（ ）. A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 例5．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形 DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°， ∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝ 米时，有DC2＝AE2＋BC2．例6 . 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三 角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长． 【变式】“希望中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A=30°，AC=40m，BC=25m，请求 出这块花圃的面积． 【中考过关真题练】 一．选择题（共8小题） 1．（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的 直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC．若OC＝ ，BC＝1，∠AOB＝30°，则 OA的值为（ ）A． B． C． D．1 2．（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下 底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（ ） A．120m B．60 m C．60 m D．120 m 3．（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等． 如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为 ，满足已知条件的三角形有两个（我们发现 其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ） A．2 B．2 ﹣3 C．2 或 D．2 或2 ﹣3 4．（2022•广元）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与 AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于 AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分 别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）A． B．3 C．2 D． 5．（2022•苏州）如图，点A的坐标为（0，2），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时 针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（m，3），则m的值为（ ） A． B． C． D． 6．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在 6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格 图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（ ） A．4 B．6 C．2 D．3 7．（2022•温州）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结 CF，作 GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的 面积之比为5，CE＝ + ，则CH的长为（ ）A． B． C．2 D． 8．（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用 4个全等的直角三角形拼成正方形 （如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三 角形面积均为1， 为直角三角形中的一个锐角，则tan ＝（ ） α α A．2 B． C． D． 二．填空题（共14小题） 9．（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾 股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏 拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数 的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）． 10．（2022•泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重 复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 ．11．（2022•舟山）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数y＝ （k ＞0，x＞0）的图象上，点B的坐标为（4，3），AB与y轴平行，若AB＝BC，则k＝ ． 12．（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证 明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大 正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝ ． 13．（2022•鄂尔多斯）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10， BE＝ ，则AB的长是 ． 14．（2022•山西）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝ DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8， 则线段AN的长为 ．15．（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个 正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I， K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是 ． 16．（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则 这个直角三角形斜边的长是 ． 17．（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾 股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是 由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为 S 、S 、S ．若正方形EFGH的边长为4，则S +S +S ＝ ． 1 2 3 1 2 3 18．（2022•常州）如图，将一个边长为 20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形 ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD＝60°，则橡皮筋AC 断裂（填“会”或“不会”，参考数据： ≈1.732）．19．（2022•通辽）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点 A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为 ． 20．（2022•金华）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm．把△ABC沿AB方向平移 1cm，得到△A'B'C'，连结CC'，则四边形AB'C'C的周长为 cm． 21．（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF ＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至 终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是 ． 22．（2022•贵阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，AC＝BC＝6cm，∠ACB＝ ∠ADB＝90°．若BE＝2AD，则△ABE的面积是 cm2，∠AEB＝ 度．三．解答题（共1小题） 23．（2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AC上，CD＝3，连接DB，AD＝ DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q， 连接DQ，设AP＝x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S． （1）求AC的长； （2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．【中考挑战满分模拟练】 一．选择题（共2小题） 1．（2023•雁塔区校级模拟）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB＝∠BOC ＝…＝∠LOM＝30°，且点M在线段OA上．若OA＝16，则OH的长为（ ） A．9 B． C． D． 2．（2023•广西模拟）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全 等．如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为 ，满足已知条件的三角形有两个（我们 发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ） A．2 B．2 ﹣3 C．2 或 D．2 或2 ﹣3 二．填空题（共3小题） 3．（2023•萧县一模）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均在格点 上，连接AC，BD相交于点E，若小正方形的边长为1，则点E到AB的距离为 ．4．（2023•包头一模）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 x2﹣6x+4＝0的两个实数根， 则这个直角三角形斜边的长是 ． 5．（2023•碑林区校级二模）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦 图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方 形，若AB＝10，EF＝2，则AH＝ ． 三．解答题（共1小题） 6．（2023•定远县校级一模）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边 上的两个动点，其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒2cm；点Q从点B出发，沿 B→C→A方向运动，速度为每秒4cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒． （1）①Rt△ABC斜边AC上的高为 ； ②当t＝3时，PQ的长为 ； （2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△BPQ是等腰三角形？ （3）当点Q在边AC上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值． 【名校自招练】 一．选择题（共4小题） 1．（2021•镜湖区校级自主招生）在凸四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝120°，BC＝CD＝10，则A、C 两点之间的距离是（ ）A．9 B．10 C．11 D．不能确定 2．（2021•衡阳县自主招生）在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，P为BC上一点，PA＝3，则PB•PC等于（ ） A．9 B．12 C．16 D．25 3．（2021•宣州区校级自主招生）我国魏晋时期的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分 制成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了 勾股定理，如图，若a＝2，b＝3，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率（ ） A． B． C． D． 4．（2021•苏州自主招生）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一 个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定 理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为（ ） A．20 B．24 C． D． 二．填空题（共3小题） 5．（2022•瓯海区校级自主招生）在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝ ，PC＝5，则PB＝ ． 6．（2021•黄州区校级自主招生）已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等，若 将全等的三角形都作为同一个，那么这样的直角三角形的个数是 个． 7．（2021•黄州区校级自主招生）如图，圆柱底面半径为2cm，高为9 cm，A、B两点分别在圆柱的两个 底面圆周，且在同一母线上，用一根棉线从点A顺着圆柱侧面绕3圈π到点B，棉线最短需要 cm （结果保留 ）． π 三．解答题（共1小题） 8．（2021•黄州区校级自主招生）南海诸岛自古以来都是中国的领土，4月12日，中央军委在南海海域隆 重举行海上阅兵，军委主席习近平登上长沙舰检阅海军舰艇编队，包括辽宁号航母在内的 48艘舰艇参 加了阅兵仪式．如图，A、B是两处海港，其中A在B东偏南30〫方向 千米处，辽宁号航母从海 港A出发，沿东偏北45〫方向，以15千米/小时的速度匀速航行，两小时后，长沙舰从海港B出发，沿 东偏北15〫的方向匀速航行，两舰恰好同时到达阅兵地点C． （1）长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了多少时间？ （2）求长沙舰的航行速度．（结果保留根号）