文档内容
第 11 讲 特殊三角形（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）
【考纲要求】
1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角
形、直角三角形的性质和判定．
2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题．
3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．
【知识导图】
【考点梳理】
考点一、等腰三角形
1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
2．性质：
(1)具有三角形的一切性质；
(2)两底角相等(等边对等角)；
(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；
(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°．
3．判定：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
考点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
2．性质：
(1)直角三角形中两锐角互余；
(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；
(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；
(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；
(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；
(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
3．判定：
(1)两内角互余的三角形是直角三角形；
(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形；
(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边．
【典型例题】
题型一、等腰三角形
例1．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连
接AC、AD．
（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【思路点拨】（1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出
∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；
（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．
【答案与解析】
解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC=CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∵∠ACB=∠OCD=60°，
∴∠BCO=∠ACD，
在△BOC与△ADC中，
∵ ，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC=∠ADC，
而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=150°﹣60°=90°，
∴△ADO是直角三角形；
（2）∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，
则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，a+d=50°∠DAO=50°，
∴b﹣d=10°，
∴（60°﹣a）﹣d=10°，
∴a+d=50°，
即∠CAO=50°，
①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∴190°﹣α=α﹣60°，
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，
∴α﹣60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，
∴190°﹣α=50°，
∴α=140°．
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．
【总结升华】此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根
据旋转前后图形不变是解决问题的关键．
【变式】把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是________．【答案】 .
例2．已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．
(1)求证:AE=AF．
(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．
【思路点拨】菱形的定义和性质.
【答案与解析】
(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD,∠B=∠D ，
又∵BE=DF，∴ ≌ ．∴AE=AF
(2)连接AC, ∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，
∴AB=AC=AD，
∵AB=BC=CD=DA ,
∴△ABC和△ACD都是等边三角形．
∴ , ．
∴ ．
又∵AE=AF ∴ 是等边三角形．
【总结升华】此题涉及到三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质.
【变式】如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE. 求
证：CE=DE.【答案】延长BD到F，使DF＝BC，连接EF，
∵等边△ABC，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝60．
∵BF＝BD+DF，BE＝AB+AE，AE＝BD，BC＝DF，
∴BF＝BE，
∴等边△BEF，
∴EF＝BE，∠F＝∠B，
∴△BCE≌△FDE（SAS）．
∴CE＝DE．
题型二、直角三角形
例3．如图，△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一点，且ME=MF．
（1）求证：BE⊥AC；
（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．【思路点拨】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MF=BM=CM= BC，再求出
ME=BM=CM= BC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BMF+∠CME，
然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
【答案与解析】（1）证明：∵CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，
∴MF=BM=CM= BC，
∵ME=MF，
∴ME=BM=CM= BC，
∴BE⊥AC；
（2）解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，
∵ME=MF=BM=CM，
∴∠BMF+∠CME=（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）
=360°﹣2（∠ABC+∠ACB）
=360°﹣2×130°
=100°，
在△MEF中，∠FME=180°﹣100°=80°．
【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，熟
记性质是解题的关键，难点在于（2）中整体思想的利用．
例4．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE，AE
于 点 G 、 H. 试 猜 测 线 段 AE 和 BD 的 位 置 和 数 量 关 系 ， 并 说 明 理 由 ．【思路点拨】△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,为证明全等提供了等线段的条件.
【答案与解析】猜测 AE＝BD，AE⊥BD.
理由如下：
∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴AC＝CD，CE＝CB．
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB．
∵∠AFC＝∠DFH，
∴∠DHF＝∠ACD＝90°，
∴AE⊥BD．
【总结升华】两条线段的关系包括数量关系和位置关系两种.
【变式】 .以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA ，再以等腰直角三角形
1
ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形ABB ，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰
1 1 1
直角三角形的面积S=________.
n
【答案】 .
题型三、综合运用
例5 .如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．
易证PE+PF=CH．证明过程如下：
如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，1 1 1
S S S
2 2 2
△ABP △ACP △ABC
∴ = AB•PE， = AC•PF， = AB•CH．
S S S
△ABP △ACP △ABC
又∵ ，
1 1 1
2 2 2
∴ AB•PE+ AC•PF= AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜
想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，
则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________.
【思路点拨】运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．
【答案与解析】
（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
1 1 1
S S S
2 2 2
△ABP △ACP △ABC
∴ = AB•PE， = AC•PF， = AB•CH，
S S S
△ABP △ACP △ABC
∵ = + ，
1 1 1
2 2 2
∴ AB•PE= AC•PF+ AB•CH，
又∵AB=AC，
∴PE=PF+CH；
（2）∵在△ACH中，∠A=30°，
∴AC=2CH．1
S
2
△ABC
∵ = AB•CH，AB=AC，
1
2
∴ ×2CH•CH=49，
∴CH=7．
分两种情况：
①P为底边BC上一点，如图①．
∵PE+PF=CH，
∴PE=CH-PF=7-3=4；
②P为BC延长线上的点时，如图②．
∵PE=PF+CH，
∴PE=3+7=10．
故答案为7；4或10．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中.
例6．在△ＡＢＣ中，AC=BC， ，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作
，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是
否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
【思路点拨】根据条件判断FH=FC,要证FH=FC一般就要证三角形全等.【答案与解析】（1）FH与FC的数量关系是： ．
延长 交 于点G，
由题意，知 ∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF．
∴DG∥CB．
∵点D为AC的中点，
∴点G为AB的中点，且 ．
∴DG为 的中位线．
∴ ．
∵AC=BC，
∴DC=DG．
∴DC- DE =DG- DF．
即EC =FG．
∵∠EDF =90°， ，
∴∠1+∠CFD =90°，∠2+∠CFD=90°
∴∠1 =∠2．
∵ 与 都是等腰直角三角形，
∴∠DEF =∠DGA = 45°．
∴∠CEF =∠FGH = 135°．
∴△CEF ≌△FGH．∴ FH=FC．
（2）FH与FC仍然相等．
【总结升华】对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用，注重积累解题思路和运用数学思想和方
法解决问题的能力和培养.
【变式】如图， △ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，
BC
下列结论：①tan∠AEC=CD; ②S +S ≥S ; ③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是
⊿ABC ⊿CDE ⊿ACE
（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
M
E
B C D
【答案】D.
【中考过关真题练】
一．选择题（共9小题）
1．（2022•淮安）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝
10，则DE的长是（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【分析】利用等腰三角形的性质得出∠ADC＝90°，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵E为AC的中点，
∴DE＝ AC＝5，故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
2．（2022•宁波）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝
AD，DF＝2，则BD的长为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．4
【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据直角三角形
斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长．
【解答】解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，
∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，
∴AD＝4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD＝ AC＝AD＝4，
故选：D．
【点评】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出 AD
的长．
3．（2022•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（ ）
A．34° B．44° C．124° D．134°
【分析】根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠B+∠A＝90°，
∵∠B＝56°，
∴∠A＝90°﹣56°＝34°，
故选：A．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
4．（2022•德州）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的
一条直角边平行，则∠ 的角度为（ ）
α
A．100° B．105° C．110° D．120°
【分析】根据平行线的性质可得∠ABC的度数，再根据三角形内角和定理可得∠ 的度数．
【解答】解：∵含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，α如图所示：
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∵∠C＝30°，
∴∠ ＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
故选α：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握这些知识是解题
的关键．
5．（2022•台湾）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C，且
∠EAC＞90°，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（ ）
A．∠1＝∠2，∠1＜∠3 B．∠1＝∠2，∠1＞∠3
C．∠1≠∠2，∠1＜∠3 D．∠1≠∠2，∠1＞∠3
【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：∵DE为AB的中垂线，
∴∠BDE＝∠ADE，BE＝AE，
∴∠B＝∠BAE，
∴∠1＝∠2，
∵∠EAC＞90°，
∴∠3+∠C＜90°，
∵∠B+∠1＝90°，∠B＝∠C，
∴∠1＞∠3，
∴∠1＝∠2，∠1＞∠3，
故选：B．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的性质定理是解答本
题的关键．
6．（2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作
弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是
（ ）
A．6 B．3 C．1.5 D．1
【分析】根据题意可知：MN是线段AC的垂直平分线，然后根据三角形相似可以得到点D为AB的中点，
再根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，即可得到CD的长．
【解答】解：由已知可得，
MN是线段AC的垂直平分线，
设AC与MN的交点为E，
∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，
∴ED∥CB，
∴△AED∽△ACB，∴ ，
∴ ，
∴AD＝ AB，
∴点D为AB的中点，
∵AB＝3，∠ACB＝90°，
∴CD＝ AB＝1.5，
故选：C．
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，解答本
题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（2022•黑龙江）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点
F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．3.5 D．3
【分析】如图，过点E作EG⊥AD于G，证明△EGP≌△FDP，得PG＝PD＝1.5，由三角形中位线定理可
得AD的长，由三角形ABC的面积是24，得BC的长，最后由勾股定理可得结论．
【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴∠PDF＝∠EGP＝90°，EG∥BC，
∵点E是AB的中点，
∴G是AD的中点，
∴EG＝ BD，
∵F是CD的中点，
∴DF＝ CD，
∴EG＝DF，
∵∠EPG＝∠DPF，
∴△EGP≌△FDP（AAS），
∴PG＝PD＝1.5，
∴AD＝2DG＝6，
∵△ABC的面积是24，
∴ •BC•AD＝24，
∴BC＝48÷6＝8，
∴DF＝ BC＝2，
∴EG＝DF＝2，
由勾股定理得：PE＝ ＝2.5．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识，作辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
8．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，连
接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．6 D．8
【分析】利用勾股定理求得AB＝20；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结
合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF＝ CD．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，
∴AB＝ ＝20．
∵CD为中线，
∴CD＝ AB＝10．
∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，
则BF＝ CD＝5．
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知
线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．
9．（2022•宜宾）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是BC边上的
动点（不与点 B、C 重合），DE 与 AC 交于点 F，连结 CE．下列结论：① BD＝CE；②∠DAC＝
∠CED；③若BD＝2CD，则 ＝ ；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D
在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+ ．其中含所有正确结论的选项是（ ）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【分析】①正确．证明△BAD≌△CAE（SAS），可得结论；
②正确．证明A，D，C，E四点共圆，利用圆周角定理证明；
③正确．设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE＝ m，OA＝ m，过点C作CJ⊥DF于点J，求出AO，
CJ，可得结论；
④错误．将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，当点A，点P，点N，点M共线时，
PA+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，设PD＝t，则BD＝AD＝
t，构建方程求出t，可得结论．
【解答】解：如图1中，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，故①正确，
∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠AEC+∠ADC＝180°，
∴∠DAE+∠DCE＝180°，
∴∠DAE＝∠DCE＝90°，
取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA＝OD＝OE＝OC，∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠DAC＝∠CED，故②正确，
设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE＝ m，OA＝ m，
过点C作CJ⊥DF于点J，
∵tan∠CDF＝ ＝ ＝2，
∴CJ＝ m，
∵AO⊥DE，CJ⊥DE，
∴AO∥CJ，
∴ ＝ ＝ ＝ ，故③正确．
如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，
∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，
∴△BPN是等边三角形，
∴BP＝PN，
∴PA+PB+PC＝AP+PN+MN，
∴当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝
PC，AD⊥BC，
∴∠BPD＝∠CPD＝60°，
设PD＝t，则BD＝AD＝ t，∴2+t＝ t，
∴t＝ +1，
∴CE＝BD＝ t＝3+ ，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三
角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二．填空题（共10小题）
10．（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝ 3 ．
【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵BC＝6，
∴CD＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．
11．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若
等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 6 ．
【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为
6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．
【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，
∴AB＝2BC或BC＝2AB，
若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，
∴腰AB的长为6；
若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，
∵1.5+1.5＝3，
∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，
故答案为：6．
【点评】本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边的
和大于第三边．
12．（2022•黔西南州）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°，AC
与DE相交于点F．若BC∥AE，则∠AFE的度数为 105 ° ．
【分析】由三角形内角和定理可知，∠C＝30°，∠E＝45°，再利用平行线的性质可知∠CAE＝30°，最后利
用三角形内角和定理可得结论．
【解答】解：在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝30°，∠E＝180°﹣∠D﹣∠DAE＝45°，
∵BC∥AE，
∴∠CAE＝∠C＝30°，
在△AEF中，∠AFE＝180°﹣∠CAE﹣∠E＝105°．
故答案为：105°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质等相关知识，熟知相关性质是解题关键．
13．（2022•荆州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于
D，E，连接CD．若CE＝ AE＝1，则CD＝ ．
【分析】如图，连接BE，根据作图可知MN为AB的垂直平分线，从而得到AE＝BE＝3，然后利用勾股定
理求出BC，AB，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．【解答】解：如图，连接BE，
∵CE＝ AE＝1，
∴AE＝3，AC＝4，
而根据作图可知MN为AB的垂直平分线，
∴AE＝BE＝3，
在Rt△ECB中，BC＝ ＝2 ，
∴AB＝ ＝2 ，
∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线，
∴CD＝ AB＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，同时也利用勾股定理进行计算．
14．（2022•广安）若（a﹣3）2+ ＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 1 1 或 1 3 ．
【分析】先求a，b．再求第三边c即可．
【解答】解：∵（a﹣3）2+ ＝0，（a﹣3）2≥0， ≥0，
∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，
∴a＝3，b＝5，
设三角形的第三边为c，
当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，
当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，
故答案为：11或13．【点评】本题考查等腰三角形周长计算，求出a，b后确定腰和底是求解本题的关键．
15．（2022•河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，点D为AB的中点，点P在AC
上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ
的长为 或 ．
【分析】分两种情况：当点Q在CD上，当点Q在DC的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，
∴AB＝ AC＝4，
∵点D为AB的中点，
∴CD＝AD＝ AB＝2，∠ADC＝90°，
∵∠ADQ＝90°，
∴点C、D、Q在同一条直线上，
由旋转得：
CQ＝CP＝CQ′＝1，
分两种情况：
当点Q在CD上，
在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，
∴AQ＝ ＝ ＝ ，
当点Q在DC的延长线上，
在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ′＝3，
∴AQ′＝ ＝ ＝ ，综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键．
16．（2022•镇江）如图，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E、F、G分别为AB、AC、BC的
中点，若DE＝1，则FG＝ 1 ．
【分析】根据直角三角形的性质得出AB的长，进而利用三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵∠ADB＝90°，E是AB的中点，
∴AB＝2DE＝2，
∵F、G分别为AC、BC的中点，
∴FG是△ACB的中位线，
∴FG＝ AB＝1，
故答案为：1．
【点评】此题考查三角形中位线定理，关键是根据直角三角形的性质得出AB的长解答．
17．（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在
BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．
【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，
∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少 370 m（结果取
整数，参考数据： ≈1.7）．
【分析】解法一：如图，作辅助线，构建直角三角形，先根据四边形的内角和定理证明∠G＝90°，分别计
算AD，CG，AG，BG的长，由线段的和与差可得AM和AN的长，最后由勾股定理可得MN的长，计算
AM+AN﹣MN可得答案．
解法二：构建【阅读材料】的图形，根据结论可得MN的长，从而得结论．
【解答】解：解法一：如图，延长DC，AB交于点G，过点N作NH⊥AD于H，
∵∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，
∴∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，
∴∠G＝90°，
∴AD＝2DG，
Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，
∴BG＝ BC＝50，CG＝50 ，
∴DG＝CD+CG＝100+50 ，
∴AD＝2DG＝200+100 ，AG＝ DG＝150+100 ，
∵DM＝100，∴AM＝AD﹣DM＝200+100 ﹣100＝100+100 ，
∵BG＝50，BN＝50（ ﹣1），
∴AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100 ﹣50﹣50（ ﹣1）＝150+50 ，
Rt△ANH中，∵∠A＝30°，
∴NH＝ AN＝75+25 ，AH＝ NH＝75 +75，
由勾股定理得：MN＝ ＝ ＝50（ +1），
∴AM+AN﹣MN＝100+100 +150+50 ﹣50（ +1）＝200+100 ≈370（m）．
答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．
解法二：如图，延长DC，AB交于点G，连接CN，CM，则∠G＝90°，
∵CD＝DM，∠D＝60°，
∴△DCM是等边三角形，
∴∠DCM＝60°，
由解法一可知：CG＝50 ，GN＝BG+BN＝50+50（ ﹣1）＝50 ，
∴△CGN是等腰直角三角形，
∴∠GCN＝45°，
∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°，
∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝ ∠BCD，
由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（ ﹣1）＝50 +50，
∵AM+AN﹣MN＝100+100 +150+50 ﹣50（ +1）＝200+100 ≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．
故答案为：370．
【点评】此题重点考查了含30°的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识与方法，解
题的关键是作出所需要的辅助线，构造含30°的直角三角形，再利用线段的和与差进行计算即可．
18．（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于
点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为 ．
【分析】根据SAS证△ABD≌△BCE，得出∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣
CF＝4，证△APB∽△BFE，根据比例关系设BP＝x，则AP＝2x，作BH⊥AD延长线于H，利用勾股定理
列方程求解即可得出BP和AP的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，
∴∠APB＝120°，
在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，
∴∠C＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠BFE＝120°，
即∠APB＝∠BFE，∴△APB∽△BFE，
∴ ＝ ＝2，
设BP＝x，则AP＝2x，
作BH⊥AD延长线于H，
∵∠BPD＝∠APE＝60°，
∴∠PBH＝30°，
∴PH＝ ，BH＝ ，
∴AH＝AP+PH＝2x+ ＝ x，
在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，
即（ x）2+（ x）2＝62，
解得x＝ 或﹣ （舍去），
∴AP＝ ，BP＝ ，
∴△ABP的周长为AB+AP+BP＝6+ + ＝6+ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等
知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键．
19．（2022•西宁）如图，△ABC中，AB＝6，BC＝8，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，
且∠AFB＝90°，则EF＝ 1 ．【分析】利用三角形中位线定理得到DE＝ BC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF＝
AB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．
【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝4．
∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，
∴DF＝ AB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
的相关内容，题目比较好，难度适中．
三．解答题（共4小题）
20．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；（2）利用平行线的性质可得∠ADE＝∠AED，则AD＝AE，从而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝
∠EDB，可知BE＝DE，等量代换即可．
【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB．
（2）解：CD＝ED，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，
由（1）得，∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴CD＝ED．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平
行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．
21．（2022•鄂尔多斯）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与
CF的数量关系是 AE ＝ CF ，位置关系是 AE ⊥ CF ；
（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．
①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
②连接DM，求∠EMD的度数；
③若DM＝6 ，ED＝12，求EM的长．【分析】（1）证明△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，由直
角三角形的性质证出∠EMC＝90°，则可得出结论；
（2）①同（1）可证△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，∠E＝∠F，则可得出
结论；
②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，证明△DEG≌△DFH（AAS），由全等三角形的性质得出
DG＝DH，由角平分线的性质可得出答案；
③由等腰直角三角形的性质求出GM的长，由勾股定理求出EG的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线，
∴AD＝BD＝CD，AD⊥BC，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，
又∵DE＝DF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，
∵∠DAE+∠DEA＝90°，
∴∠DCF+∠DEA＝90°，
∴∠EMC＝90°，
∴AE⊥CF．
故答案为：AE＝CF，AE⊥CF；
（2）①（1）中的结论还成立，
理由：同（1）可证△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠E＝∠F，
∵∠F+∠ECF＝90°，
∴∠E+∠ECF＝90°，
∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF；
②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，
∵∠E＝∠F，∠DGE＝∠DHF＝90°，DE＝DF，
∴△DEG≌△DFH（AAS），
∴DG＝DH，
又∵DG⊥AE，DH⊥CF，
∴DM平分∠EMC，
又∵∠EMC＝90°，
∴∠EMD＝ ∠EMC＝45°；
③∵∠EMD＝45°，∠DGM＝90°，
∴∠DMG＝∠GDM，
∴DG＝GM，
又∵DM＝6 ，
∴DG＝GM＝6，
∵DE＝12，
∴EG＝ ＝ ＝6 ，
∴EM＝GM+EG＝6+6 ．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性
质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（2022•徐州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、
PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．（1）∠EDC的度数为 4 5 °；
（2）连接PG，求△APG的面积的最大值；
（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
（4）求 的最大值．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由三角形中位线定理可得DE∥AB，可求解；
（2）设AP＝x，由等腰直角三角形的性质和三角形中位线定理可求 AG的长，由三角形面积公式和二次函
数的性质可求解；
（3）由“SAS”可证△CEF≌△GDF，可得CE＝DG，∠DGF＝∠FCE，可求解；
（4）利用勾股定理和相似三角形的性质分别求出CH，CE的值，即可求解．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝12 ，
∵D、E分别为BC、PC的中点，
∴DE∥AB，DE＝ BP，
∴∠EDC＝∠ABC＝45°，
故答案为：45；
（2）设AP＝x，则BP＝12﹣x，
∵DE＝ BP，
∴DE＝6﹣ ，
∵GF⊥BC，∠EDC＝45°，
∴∠EDC＝∠DEF＝45°，
∴DF＝EF＝ DE＝3 ﹣ x，∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝6 ，
∴CF＝3 + x，
∵GF⊥BC，∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠CGF＝45°，
∴GF＝FC，
∴GC＝ FC＝6+ ，
∴AG＝6﹣ ，
∴S△APG ＝ ×AP×AG＝ ×x×（6﹣ ）＝﹣ （x﹣6）2+9，
∴当x＝6时，△APG的面积的最大值为9；
（3）PE⊥DG，DG＝PE，理由如下：
∵DF＝EF，∠CFE＝∠GFD＝90°，CF＝GF，
∴△CEF≌△GDF（SAS），
∴CE＝DG，∠DGF＝∠FCE，
∵∠DGF+∠GDF＝90°，
∴∠GDF+∠DCE＝90°，
∴∠DHC＝90°，
∴DG⊥PE，
∵点E是PC的中点，
∴PE＝EC，
∴DG＝PE；
（4）方法一、∵CF＝3 + x＝GF，EF＝3 ﹣ x，
∴EC＝ ＝ ，
∵AP＝x，AC＝12，
∴PC＝ ＝ ，
∵∠ACP＝∠GCH，∠A＝90°＝∠GHC，∴△APC∽△HGC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴GH＝ ，CH＝ ，
∴ ＝ ＝12× ＝ ≤ ＝ ＝ ＝ ，
∴ 的最大值为 ．
方法二、如图，过点H作MH∥AB，交BC于M，
∵∠DHC＝90°，
∴点H以CD为直径的 O上，
连接OH，并延长交AB⊙于N，
∵MH∥AB，
∴ ，
∵OH，OB是定长，
∴ON的取最小值时，OM有最大值，
∴当ON⊥AB时，OM有最大值，
此时MH⊥OH，CM有最大值，
∵DE∥AB，∴MH∥DE，
∴ ，
∴当CM有最大值时， 有最大值，
∵AB∥MH，
∴∠HMO＝∠B＝45°，
∵MH⊥OH，
∴∠HMO＝∠HOM＝45°，
∴MH＝HO，
∴MO＝ HO，
∵HO＝CO＝DO，
∴MO＝ CO，CD＝2CO，
∴CM＝（ +1）CO，
∴ ＝ ＝ ．
【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，
等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23．（2022•菏泽）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，
连接BE、CE．
（1）直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、
AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说
明理由；
（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝
FG，DC＝ ，求AB′的长．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，∠ABC＝∠DAB＝45°，∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，可
得结论；
（2）通过证明△ADB'∽△CDE'，可得∠DAB'＝∠DCE'，由余角的性质可得结论；
（3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得AB'＝ AD，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，延长CE交AB于H，
∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝∠DAB＝45°，
∵DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，
∴∠BHC＝∠BAD+∠AEH＝90°，
∴CE⊥AB；
（2）在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致，
理由如下：如图2，延长CE'交AB'于H，由旋转可得：CD＝DE'，B'D＝AD，
∵∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴∠CDE'＝∠ADB'，
又∵ ＝1，
∴△ADB'∽△CDE'，
∴∠DAB'＝∠DCE'，
∵∠DCE'+∠DGC＝90°，
∴∠DAB'+∠AGH＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∴CE'⊥AB'；
（3）如图3，过点D作DH⊥AB'于点H，
∵△BED绕点D顺时针旋转30°，
∴∠BDB'＝30°，B'D＝BD＝AD，
∴∠ADB'＝120°，∠DAB'＝∠AB'D＝30°，
∵DH⊥AB'，
∴AD＝2DH，AH＝ DH＝B'H，∴AB'＝ AD，
由（2）可知：△ADB'∽△CDE'，
∴∠DCE'＝∠DAB'＝30°，
∵AD⊥BC，CD＝ ，
∴DG＝1，CG＝2DG＝2，
∴CG＝FG＝2，
∵∠DAB'＝30°，CE'⊥AB'，
∴AG＝2GF＝4，
∴AD＝AG+DG＝4+1＝5，
∴AB'＝ AD＝5 ．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形
的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．
【中考挑战满分模拟练】
一．选择题（共11小题）
1．（2023•蜀山区校级一模）已知等腰△ABC，∠A的相邻外角是130°，则这个三角形的顶角为（ ）
A．65°或80° B．80° C．50°或80° D．50°
【分析】先根据邻补角的定义求出∠A，再分∠A是顶角与底角两种情况讨论求解即可．
【解答】解：∵∠A的相邻外角是130°，
∴∠A＝180°﹣130°＝50°，
①∠A是顶角时，顶角为50°，
②∠A是底角时，顶角为180°﹣50°×2＝80°，
所以，这个三角形的顶角为50°或80°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，邻补角的定义，难点在于要分情况讨论．
2．（2023•碑林区校级二模）如图，△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若
CD＝2，则BD的长为（ ）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【分析】过点A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质得出DE＝EC＝ CD＝1，由含30度角
的直角三角形的性质求出BE＝ AB＝3，那么BD＝BE﹣DE＝2．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
又∵AD＝AC，CD＝2，
∴DE＝EC＝ CD＝1，
在直角△ABE中，∠AEB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝30°，
∴BE＝ AB＝ ×6＝3，
∴BD＝BE﹣DE＝3﹣1＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线求出BE与DE
是解题的关键．
3．（2023•雁塔区校级一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【分析】过点A作AD⊥BC于D，将△ABC分成两个特殊的直角三角形：△ABD和△ACD，从而解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
∵∠B＝45°，∠ADB＝90°，
∴BD＝AD，AB＝ BD＝ AD，
∵∠C＝30°，∠ADC＝90°，
∴AC＝2AD，
∴ ，
故选：A．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特
殊的直角三角形是解题的关键．
4．（2023•泰山区校级一模）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测
灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C
处与灯塔A的距离是（ ）海里．
A．25 B．25 C．50 D．25【分析】根据题中所给信息，求出∠BCA＝90°，再求出∠CBA＝45°，从而得到△ABC为等腰直角三角形，
然后根据解直角三角形的知识解答．
【解答】解：根据题意，
∠1＝∠2＝30°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠ACB＝30°+60°＝90°，
∴∠CBA＝75°﹣30°＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵BC＝50×0.5＝25（海里），
∴AC＝BC＝25（海里）．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰直角三角形和方位角，根据方位角求出三角形各角的度数是解题的关键．
5．（2023•定远县校级一模）如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，
且AB＝8，MN＝3，则AC的长是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【分析】延长BN交AC于D，证明△ANB≌△AND，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND，∴AD＝AB＝8，BN＝ND，
∵M是△ABC的边BC的中点，
∴DC＝2MN＝6，
∴AC＝AD+CD＝14，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
6．（2023•定远县校级一模）如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，若∠A＝40°，则有（ ）
A．∠1＝50° B．∠1＝40° C．∠1＝35° D．∠1＝20°
【分析】根据垂直的定义得到∠ADC＝90°，根据∠A＝40°和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠1＝90°﹣∠ABC＝90°﹣70°＝20°．
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
7．（2023•海棠区一模）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（
）
A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°
【分析】在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，讨论：当BD在△ABC内部时，
如图1，先计算出∠BAD＝30°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACB；当BD在
△ABC外部时，如图2，先计算出∠BAD＝30°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ACB．
【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，
当BD在△ABC内部时，如图1，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣46°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝ （180°﹣30°）＝75°；
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB＝ ∠BAD＝15°，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为75°或15°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角
形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
8．（2023•黔江区一模）如图，直线l ∥l ，△ABC是等边三角形∠1＝50°，则∠2的大小为（ ）
1 2A．60° B．80° C．70° D．100°
【分析】根据等边三角形的性质及外角性质可求∠3，再根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠1＝50°，
∴∠3＝∠1+∠A＝50°+60°＝110°，
∵直线l ∥l ，
1 2
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和平行线的性质，熟记等边三角形的性质和平行线的性质是解题的
关键．
9．（2023•定远县校级一模）如图，将一副直角三角尺重叠摆放，使得60°角的顶点与等腰直角三角形的
直角顶点重合，且DE⊥AB于点D，与BC交于点F，则∠FCE的度数为（ ）A．60° B．65° C．75° D．85°
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，直角三角形的两个锐角互余解答即可．
【解答】解：∵DE⊥AB于点D，
∴∠ADF＝90°，
∵∠CDE＝45°，
∴∠ADC＝45°，
∵∠A＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠DCB＝15°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠FCE＝75°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形和直角三角形，熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解题的关
键．
10．（2023•瑶海区校级模拟）如图，在等边△ABC中，点 A、C分别在x轴、y轴上，AC＝4，当点A在
x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）
A．4 B．2+ C． +2 D．2+2
【分析】过点B作BM⊥AC于点M，连接OM，先根据等边三角形的性质求出BM，再根据直角三角形的
性质求出OM，即可得出答案．
【解答】解：过点B作BM⊥AC于点M，连接OM，如图所示：∵△ABC是等边三角形，
∴M是AC的中点，
∵AC＝4，
∴BC＝4，MC＝2，
根据勾股定理，得BM＝ ，
根据题意，得∠AOC＝90°，
∴OM＝ ＝2，
∴OM+MB＝2+ ，
∴点B到原点的最大距离是2+ ，
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形与直角三角形的综合，涉及等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的
性质，最大值问题等，综合性较强．
11．（2023•深圳模拟）如图，∠ABC＝∠ADB＝90°，DA＝DB，AB与CD交于点E，若BC＝2，AB＝4，
则点D到AC的距离是（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点D作DG⊥CB，交CB的延长线于点G，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长，再利用等腰直角三角形的性质可得∠DBA＝∠DAB＝45°，AD＝BD＝2 ，
然后在Rt△DBG中，利用锐角三角函数的定义求出 DG的长，最后根据△ADC的面积＝△ABC的面积
+△ADB的面积﹣△DBC的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点D作DG⊥CB，交CB的延长线于点G，
∵∠ABC＝90°，BC＝2，AB＝4，
∴AC＝ ＝ ＝2 ，
∵∠ADB＝90°，DA＝DB，
∴∠DBA＝∠DAB＝45°，AD＝BD＝ ＝ ＝2 ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABG＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠DBG＝90°﹣∠DBA＝45°，
在Rt△DBG中，DB＝2 ，
∴DG＝DB•sin45°＝2 × ＝2，
∴△ADC的面积＝△ABC的面积+△ADB的面积﹣△DBC的面积，
∴ AC•DF＝ AB•BC+ AD•DB﹣ BC•DG，
∴ ×2 DF＝ ×4×2+ ×2 ×2 ﹣ ×2×2，
∴ DF＝4+4﹣2，
∴DF＝ ，
∴点D到AC的距离是 ，
故选：B．【点评】本题考查了等腰直角三角形，点到直线的距离，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助
线是解题的关键．
二．填空题（共2小题）
12．（2023•金安区校级模拟）如图，AB是 O的直径，AC是弦，OD⊥AB交AC于点D，CD＝OD，则
∠BAC＝ 3 0 °． ⊙
【分析】连接OC，利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠DOC，∠A＝∠C，即∠A＝∠C＝∠DOC，然后利
用三角形内角和计算∠A的度数．
【解答】解：连接OC，
∵CD＝OD，
∴∠C＝∠DOC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠C，
∴∠A＝∠C＝∠DOC，
∵OD⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
∵∠A+∠AOC+∠C＝180°，
∴∠A+90°+∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝30°．
故答案为：30．【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等．也考查了
三角形内角和．
13．（2023•深圳模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中点，过点B作BD⊥AB，交
CE的延长线于点D，若BD＝4，CD＝8，则AC＝ ．
【分析】先根据题意作出辅助线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AE＝BE＝CE＝x，利
用勾股定理推出BE2+BD2＝DE2，即x2+42＝（8﹣x）2，解出x的值，推出AE、BE、CE和DE的长，根据
∠CFE＝∠EBD和∠CEF＝∠DEB推出△CFE∽△DBE，可求出EF和CF的长，再求出AF的长，利用勾
股定理即可求出AC的长．
【解答】解：如图所示，过点C作CF⊥AB于点F，
设CE＝x，则DE＝CD﹣CE＝8﹣x，
∵在Rt△ABC中，点E为AB的中点，
∴AE＝BE＝CE＝x，
∵BD⊥AB，
∴∠EBD＝90°，
∴BE2+BD2＝DE2，即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴AE＝BE＝CE＝3，DE＝8﹣3＝5，
∵CF⊥AB，
∴∠CFE＝∠CFA＝90°，
∴∠CFE＝∠EBD，
又∵∠CEF＝∠DEB，
∴△CFE∽△DBE，∴ ，即 ，
解得：EF＝ ，CF＝ ，
∴AF＝AE﹣EF＝ ，
∵∠CFA＝90°，
∴AC＝ ＝ ；
故答案为： ．
【点评】本题主要考查的是直角三角形斜边的中线和相似三角形，解题关键：一是求出 AE、BE、CE和
DE的长，二是证出△CFE∽△DBE．
三．解答题（共8小题）
14．（2023•阎良区一模）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， ，点D是AB
边的中点．点E是射线BC上的一动点（点E不与点B重合）．点F在ED的延长线上，且DF＝DE，
DG⊥EF，垂足为点D，DG交边AC于点G．
（1）求证：AF∥BC；
（2）当点E在线段BC上时，设AG＝x，CE＝y，求y关于x的函数解析式，并指出函数的定义域；
（3）当CE＝2时，直接写出AG的长．
【分析】（1）证明△ADF≌△BDE，根据全等三角形的性质得到∠FAD＝∠B，根据平行线的判定定理证明；
（2）连接GF，根据全等三角形的性质得到AF＝BE，根据线段垂直平分线的性质得到GF＝GE，根据勾
股定理列出关系式，得到答案；
（3）分点E在线段BC上，点E在线段BC的延长线上两种情况，根据（2）的结论，勾股定理计算即可．
【解答】（1）证明：在△ADF和△BDE中，
，
∴△ADF≌△BDE（SAS），
∴∠FAD＝∠B，
∴AF∥BC；
（2）解：连接GF，
∵△ADF≌△BDE，
∴AF＝BE，
∵DF＝DE，DG⊥EF，
∴DG是EF的垂直平分线，
∴GF＝GE，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝12 ，
∴AC＝ ＝18，
由勾股定理得，GF2＝AF2+AG2，GE2＝CE2+CG2，
∴AF2+AG2＝CE2+CG2，即（6 ﹣y）2+x2＝y2+（18﹣x）2，
整理得，y＝ x﹣6 （6＜x＜12）；
（3）解：当点E在线段BC上时，CE＝2，即y＝2，
∴ x﹣6 ＝2，
解得，x＝6+ ，即AG＝6+ ，
当点E在线段BC的延长线上时，如图2，连接GE，GF，
由（1）得，AF∥BC，∴∠GAF＝90°，
∴AF2+AG2＝CE2+CG2，即（2+6 ）2+x2＝22+（18﹣x）2，
⊆
解得，x＝6﹣ ，
综上所述，当CE＝2时，AG的长为6+ 或6﹣ ．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理的应用，掌握
全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
15．（2023•雁塔区一模）如图①，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E为△ABC内一点，连接ED
并延长到F，使得ED＝DF，连接AF、CF．
（1）求证：BE∥CF；
（2）若∠EBD＝ ∠BAC，求证：AF2＝AB2+BE2；
（3）如图②连接，探索当∠BEC与∠BAC满足什么数量关系时，AC＝AF，并说明理由．【分析】（1）利用SAS证明△BDE≅△CDF，可得∠EBD＝∠FCD，运用平行线判定定理即可证得结论；
（2）由全等三角形性质可得：BE＝CF，∠EBD＝∠FCD，由等腰三角形性质可得∠ABC＝∠ACB＝
，进而可得∠ACF＝90°，运用勾股定理即可得出答案；
（3）如图，连接BF，先证明四边形BECF是平行四边形，利用平行四边形性质可得∠BEC＝∠BFC，再
运用四边形内角和为360°即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
∵ED＝DF，∠EDB＝∠CDF，
∴△BDE≅△CDF（SAS），
∴∠EBD＝∠FCD，
∴BE∥CF；
（2）证明：由（1）可知△BDE≅△CDF（SAS），
∴BE＝CF，∠EBD＝∠FCD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝ ，
∵∠EBD＝ ∠BAC，
∴∠FCD＝ ∠BAC，
∴∠ACF＝∠ACB+∠FCD＝ + ∠BAC＝90°，
∴AF2＝AC2+CF2＝AB2+BE2；
（3）解：当∠BEC＝180°﹣ ∠BAC时，AC＝AF．理由如下：
如图，连接BF，由（1）（2）可得：BE∥CF，BE＝CF，
∴四边形BECF是平行四边形，
∴∠BEC＝∠BFC，
∵AC＝AF，AB＝AC，
∴∠ABF＝∠AFB，∠AFC＝∠ACF，
∵四边形ABFC的内角和为360°，
∴∠BAC+∠ABF+∠AFB+∠AFC+∠ACF＝360°，
∴∠BAC+2（∠AFB+∠AFC）＝360°，
∴∠BAC+2∠BFC＝360°，
∴∠BAC+2∠BEC＝360°，
∴∠BEC＝180°﹣ ∠BAC．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，四边形内角和，等腰三角形的性质，平行线的
判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等，解决问题的关键是运用全等三
角形的判定与性质和等腰三角形性质．
16．（2023•鼓楼区校级一模）已知：如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是BC边上任意一点（不与
B、C重合），在三角形外作等边△CDE，连结AE、BD．
（1）根据题意画出图形；
（2）求证：AE＝BD；
（3）△BDC能否为直角三角形？若能，求出BD长；若不能，请说明理由．【分析】（1）依题意画出图形即可；
（2）由等边三角形的性质得AC＝BC，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD＝60°，再证△ACE≌△BCD（SAS），
即可得出结论；
（3）当∠CBD＝30°时，△BDC是直角三角形，此时∠BDC＝90°，再由含30°角的直角三角形的性质得
CD＝ BC＝2，然后由勾股定理即可得出BD的长．
【解答】（1）解：如图所示；
（2）证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD＝60°，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD；
（3）解：△BDC能为直角三角形，理由如下：
由题意得：当∠CBD＝30°时，△BDC是直角三角形，
此时∠BDC＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝4，
∵∠CBD＝30°，
∴CD＝ BC＝2，
∴BD＝ ＝ ＝2 ，
即△BDC能为直角三角形，BD的长为2 ．【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角
三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题
的关键，属于中考常考题型．
17．（2023•琼山区一模）已知△ABC为等边三角形，点D、E分别是BC、AC上一点．
（1）如图1，BD＝CE，连接AD、BE，AD交BE于点F，在BE的延长线上取点G，使得FG＝AF，连接
AG，若AF＝4，求△AFG的面积；
（2）如图2，AD、BE相交于点G，点F为AD延长线上一点，连接BF、CF、CG，已知BD＝CE，∠BFG
＝60°，∠AEB＝∠BGC，探究BF、GE、CF之间的数量关系并说明理由；
（3）如图3，已知AB＝12，过点A作AD⊥BC于点D，点M是直线AD上一点，以CM为边，在CM的下
方作等边△CMN，连DN，当DN取最小值时请直接写出CM的长．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△BCE，可得∠BAD＝∠CBE，可证△AFG是等边三角形，即可求
解；
（2）由“SAS”可证△ABG≌△CBF，可得AG＝CF，由“SAS”可证△CGF≌△DBG，可得CF＝GD，由
线段的和差关系可求解；
（3）由“SAS”可证△ACM≌△BCN，可得AM＝BN，∠CAM＝∠CBN＝30°，由直角三角形的性质可求DN的最小值＝ BD＝3，BN＝ DN＝3 ，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
又∵DB＝EC，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠AFE＝∠BAD+∠ABF＝∠CBE+∠ABF＝∠ABC＝60°，
又∵AF＝FG，
∴△AFG是等边三角形，
∴S△AFG ＝ AF2＝4 ；
（2）BF+GE＝2CF，理由如下：
由（1）可知：△ABD≌△BCE，∠BGF＝60°，AD＝BE，
又∵∠BFG＝60°，
∴△BGF是等边三角形，
∴BG＝BF＝GF，∠BGF＝∠ABC＝60°，
∴∠ABG＝∠CBF，
又∵AB＝BC，
∴△ABG≌△CBF（SAS），
∴AG＝CF，
∵∠AEB＝∠BGC，
∴∠ACB+∠CBE＝∠BGF+∠FGC，∠CGE＝∠CEG，
∴∠GBD＝∠CGF，CE＝CG，
∴△CGF≌△DBG（SAS），
∴CF＝GD，
∴AG＝GD＝CF，
∴BG+GE＝BE＝AD＝2CF，
∴BF+GE＝2CF；
（3）如图3，连接BN，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠CAD＝30°，AC＝BC，BD＝CD＝6，AD＝ BD＝6 ，
∵△CMN是等边三角形，
∴CM＝CN，∠MCN＝∠ACB＝60°，
∴∠ACM＝∠BCN，
∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴AM＝BN，∠CAM＝∠CBN＝30°，
∴点N在过点B且与BC成30度的直线BN上移动，
∴当DN⊥BN时，DN有最小值，
此时，DN的最小值＝ BD＝3，
∴BN＝ DN＝3 ，
∴AM＝BN＝3 ，
∴DM＝3 ，
∴MC＝ ＝ ＝3 ．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质
等知识，证明△CGF≌△DBG是解题的关键．
18．（2023•丰台区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝ （0°＜ ≤90°），将BC边绕点C逆时针旋转
（180°﹣ ）得到线段CD． α α
（1）判断α∠B与∠ACD的数量关系并证明；
（2）将AC边绕点C顺时针旋转 得到线段CE，连接DE与AC边交于点M（不与点A，C重合）．
α①用等式表示线段DM，EM之间的数量关系，并证明；
②若AB＝a，AC＝b，直接写出AM的长．（用含a，b的式子表示）
【分析】（1）由旋转可知∠BCD＝180°﹣ ，再由∠ACD+∠BCA＝180°﹣ ，可得∠B+∠BCA＝180°﹣ ，
即可证明∠B＝∠ACD； α α α
（2）①在AB上取点N使得∠BCN＝∠CDM，先证明△CDM≌△BCN（ASA），再证明△ECM≌△CAN
（ASA），即可求解；
②由①可知CM＝BN，CM＝AN，则CM＝AN＝BN＝ AB＝ a，即可求出AM＝AC﹣CM＝b﹣ a．
【解答】解：（1）∠B＝∠ACD，理由如下：
由旋转可知∠BCD＝180°﹣ ，
∴∠ACD+∠BCA＝180°﹣ α，
∵∠A＝ ， α
∴∠B+∠αBCA＝180°﹣ ，
∴∠B＝∠ACD； α
（2）①DM＝EM，理由如下：
在AB上取点N使得∠BCN＝∠CDM，
∵BC＝CD，∠B＝∠ACD，
∴△CDM≌△BCN（ASA），
∴CN＝DM，
∵∠CMD＝∠E+∠BEM，∠BNC＝∠ACN+∠A，
又∵∠ECM＝∠A＝ ，
∴∠E＝∠ACN， α
∴△ECM≌△CAN（ASA），
∴CN＝EM，
∴DM＝EM；
②由①可知，CM＝BN，CM＝AN，∴CM＝AN＝BN＝ AB＝ a，
∴AM＝AC﹣CM＝b﹣ a．
【点评】本题考查图形旋转的性质，熟练掌握图形旋转的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
19．（2023•延安一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，点E、F分别是线段CD、AD上的点，且DE＝DF，AE与BF的延长线交于点G，则AE与
BF的数量关系是 AE ＝ BF ，位置关系是 AE ；
（2）如图2，点E、F分别在DC和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交BF于点G．
①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明：如果不成立，请说明理由；
②连接DG，若DG＝4 ，DE＝6，求EG的长．
【分析】（1）证明 ADE≌△BDF，根据全等三角形的性质得出 AE＝BF，∠DBF＝∠DAE，根据
∠DAE+∠AED＝90°得出∠DBF+∠AED＝90°，进而得出AE⊥BF；
（2）①根据（1）的方法证明△ADE≌△BDDF，进而得出结论；
②过点D作DM⊥BF，DN⊥GE，垂足分别为F，E，证明△DNE≌△DMF（AAS）得出DN＝DM，则GD
平分∠BGE，得出△GDN是等腰直角三角形，勾股定理得出GN＝DN＝4，进而在Rt△DNE中，勾股定理
求得EN，即可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线，∴△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，BD＝CD，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，∠BDF＝∠ADE，
∴△ABD，△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝BD，
在△ADE，△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴AE＝BF，∠DBF＝∠DAE
又∵∠DAE+∠AED＝90°，
∴∠DBF+∠AED＝90°
∴∠BGE＝90°，
即AE⊥BF，
故答案为：AE＝BF，AE⊥BF；
（2）①同（1）可得△ADE≌△BDF（SAS）
∴AE＝BF，∠E＝∠F
∵∠F+∠FBD＝90°，
∴∠E+∠FBD＝90°，
∴∠BGE＝90°
∴AE⊥BF；
②如图，过点D作DM⊥BF，DN⊥GE，垂足分别为F，E，
∵∠E＝∠F，∠DNE＝∠DMF＝90°，DE＝DF，
∴△DNE≌△DMF（AAS），
∴DN＝DM，
∴GD平分∠BGE，
∴∠DGN＝45°，则△GDN是等腰直角三角形，
∵ ，
∴GN＝DN＝4，
在Rt△DNE中， ，∴ ．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟
练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（2023•深圳模拟）（1）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝
5，ED⊥AB，垂足为D，求AD的长．
（2）类比探究：如图2，△ABC中，AC＝14，BC＝6，点D，E分别在线段AB，AC上，∠EDB＝∠ACB
＝60°，DE＝2．求AD的长．
（3）拓展延伸：如图3，△ABC中，点D，点E分别在线段AB，AC上，∠EDB＝∠ACB＝60°．延长
DE，BC交于点F，AD＝4，DE＝5，EF＝6，DE＜BD， ＝ ；BD＝ ．
【分析】（1）证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质得到 ＝ ，把已知数据代入计算，求出
AD；
（2）在AC上截取CH＝CB，连接BH，根据等边三角形的性质得到CH＝BH＝BC＝6，∠CHB＝60°，证
明△ADE∽△AHB，根据相似三角形的性质计算即可；
（3）过点B作BM⊥DE于点M，过点E作EN⊥AB于点N，设DM＝a，用a表示出FM、BM，证明△AEN∽△FMB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴ ＝ ，
∵AB＝10，AC＝8，AE＝5，
∴ ＝ ，
解得：AD＝4，
故答案为：4；
（2）如图2，在AC上截取CH＝CB，连接BH，
∵∠ACB＝60°，
∴△BCH为等边三角形，
∴CH＝BH＝BC＝6，∠CHB＝60°，
∴AH＝AC﹣CH＝8，∠AHB＝120°，
∵∠EDB＝60°，
∴∠ADE＝120°，
∴∠ADE＝∠AHB，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△AHB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：AD＝ ；
（3）过点B作BM⊥DE于点M，过点E作EN⊥AB于点N，
∴∠BMD＝∠BME＝∠ANE＝90°，
∵∠EDN＝60°，
∴∠DEN＝30°，
∴DN＝ DE＝ ，则EN＝ ＝ ，
∴AN＝AD+DN＝4+ ＝ ，
设DM＝a，
∵∠BDM＝60°，∠DMB＝30°，
∴∠MBD＝30°，
∴BD＝2a，
∴BM＝ ＝ a，
∵DE＝5，EF＝6，
∴MF＝DE+EF﹣DM＝11﹣a，
∵∠BCA＝∠F+∠FEC，∠BDE＝∠A+∠AED，∠AED＝∠FEC，∠BCA＝∠BDE，
∴∠A＝∠F，
∴△AEN∽△FBM，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
解得：a＝ ，
∴BD＝2a＝ ，
∵∠ABC＝∠DBF，∠ACB＝∠BDF＝60°，
∴△ABC∽△FBD，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ， ．【点评】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质，正确作出辅助线、
熟记三角形相似的判定定理是解题的关键．
21．（2023•黔江区一模）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶
点A在△ECD的斜边DE上，连接DB．
（1）证明：△EAC≌△DBC；
（2）当点A在线段ED上运动时，猜想AE、AD和AC之间的关系，并证明．
（3）在A的运动过程中，当 ， 时，求△ACM的面积．
【分析】（1）利用△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，证明∠BCD＝∠ECA，再利用（SAS）证明三角
形全等即可；
（2）作AF⊥EC交EC于点F，设AF＝EF＝a，设FC＝b，求出AD2＝2b2，AE＝2a2，AC2＝a2+b2，即可
求出AD2+AE2＝2AC2；（3）作AF⊥EC交EC于点F， ， ，利用勾股定理求出 ，
得到∠ACF＝30°，作 MG⊥AC 交 AC 于点 G，设 AG＝GM＝x，则 GC＝AC﹣AG＝2﹣x，利用
，解得： ，所以 ．
【解答】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD，
即∠BCD＝∠ECA
在△EAC和△DBC中，
，
∴△EAC≌△DBC（SAS）；
（2）解：作AF⊥EC交EC于点F，
∵∠CED＝45°，
故设AF＝EF＝a，设FC＝b，
则EC＝a+b， ，
∵△ECD是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵△AFC是直角三角形，
∴由勾股定理可得： ，
∵AD2＝2b2，AE＝2a2，AC2＝a2+b2，
∴AD2+AE2＝2AC2；（3）解：作AF⊥EC交EC于点F，
∵ ， ，△ECD是等腰直角三角形，
∴ ，
∵∠CED＝45°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在Rt△AFC中，AC2＝AF2+FC2，即 ，
∴∠ACF＝30°，
作MG⊥AC交AC于点G，
∵∠ECD＝90°，∠ACF＝30°，
∴∠ACM＝60°，
∵∠CAB＝45°，
∴AG＝GM，
故设AG＝GM＝x，则GC＝AC﹣AG＝2﹣x，
∵∠ACM＝60°，
∴ ，解得： ，
∴ ．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，30°所对的直角边等于斜边的一半，
勾股定理，解直角三角形，难度较大，考查学生对所学知识的综合运用能力．
【名校自招练】
一．选择题（共10小题）
1．（2020•西安自主招生）已知等腰三角形一个外角是110°，则它的底角的度数为（ ）
A．110° B．70° C．55° D．70°或55°
【分析】根据等腰三角形的一个外角等于110°，进行讨论可能是底角的外角是110°，也有可能顶角的外角
是110°，从而求出答案．
【解答】解：①当110°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣110°＝70°，
②当110°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣110°＝70°，
则底角为：（180°﹣70°）× ＝55°，
∴底角为70°或55°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题应注意进行分类讨论，特别注意不要忽略一种情况．
2．（2021•江夏区校级自主招生）如图，△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AB、AC上的点，∠BDE、
∠CED的平分线分别交BC于点F、G，EG∥AB，若∠BGE＝100°，则∠ADE的度数为（ ）
A．18° B．20° C．25° D．30°
【分析】根据平行线的性质得出∠B＝180°﹣∠BGE＝80°，∠CEG＝∠A，∠GED＝∠ADE．由等边对等
角以及三角形内角和定理求出∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝20°，那么∠CEG＝∠A＝20°，再根据角平分线定义
以及等量代换得出∠ADE＝20°．
【解答】解：∵EG∥AB，∠BGE＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠BGE＝80°，∠CEG＝∠A，∠GED＝∠ADE，∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝80°，∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝20°，
∴∠CEG＝∠A＝20°，
∵EG平分∠CED，
∴∠GED＝∠CEG＝20°，
∴∠ADE＝∠GED＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，属于基础题，
掌握各定义与性质是解题的关键．
3．（2022•温江区校级自主招生）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，
则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．40°
【分析】根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠3＝∠1＝20°，
∵三角形是等腰直角三角形，
∴∠2＝45°﹣∠3＝25°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（2019•南岸区自主招生）如图，某校园内有一池塘，为得到池塘边的两棵树 A，B间的距离，小亮测
得了以下数据：∠A＝∠CDE，AD＝DC，DE＝10m，则A，B间的距离是（ ）A．10m B．15m C．20m D．25m
【分析】根据已知条件求得DE是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第
三边且等于第三边的一半，即可求解．
【解答】解：∵∠A＝∠CDE，
∴DE∥AB，
∵AD＝DC，
∴CE＝BE，
∴DE是△CAB的中位线，
∴AB＝2DE＝20m，
答：A，B间的距离是20m，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理应用，正确理解定理是解题的关键．
5．（2022•巴南区自主招生）如图，a∥b，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1＝12°，
则∠2等于（ ）
A．24° B．30° C．33° D．35°
【分析】延长AB交直线a于点D，先根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝45°，再利用三角形的外角
性质可求出∠ADC＝33°，然后利用平行线的性质即可解答．
【解答】解：延长AB交直线a于点D，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵∠ABC＝∠1+∠ADC，
∴∠ADC＝∠ABC﹣∠1＝45°﹣12°＝33°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠ADC＝33°，故选：C．
【点评】本题考查了等腰直角三角形，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线
是解题的关键．
6．（2019•顺庆区校级自主招生）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，直线将△ABC分成两个三角形，如
果其中一个三角形是等腰三角形，这样的直线有（ ）条．
A．5 B．7 C．9 D．10
【分析】根据等腰三角形的判定，进行划分，即可解答．
【解答】解：如图：
∴最多画9条，
故选：C．
【点评】此题主要考查等腰三角形的判定以及三角形各角之间的关系，解决本题的关键是熟记等腰三角形
的判定．
7．（2021•黄州区校级自主招生）直线a∥b，A、B分别在直线a、b上，△ABC为等边三角形，点C在直
线a、b之间，∠1＝10°，则∠2＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【分析】作CE∥a．证明∠1+∠2＝∠ACB＝60°，即可解决问题
【解答】解：作CE∥a．∵a∥b，
∴CE∥b，
∴∠2＝∠ACE，∠1＝∠ECB，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠1+∠2＝60°，
∵∠1＝10°，
∴∠2＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平
行线解决问题．
8．（2019•汉阳区校级自主招生）如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设点P到BC、
CA、AB三边的距离分别为h ，h ，h 且满足h +h ﹣h ＝18，那么等边△ABC的面积为（ ）
1 2 3 2 3 1
A． B． C． D．
【分析】根据等边三角形的面积即可计算（h +h ﹣h ）是等边三角形ABC的高，根据等边三角形的高即可
3 2 1
求得BC的值，即可求得△ABC的面积，即可解题．
【解答】解：设等边△ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，
则S△PAB +S△PAC ﹣S△PBC ＝S△ABC ，
从而 ah + ah ﹣ ah ＝ a2，
3 2 1即 a（h +h ﹣h ）＝ a2，
3 2 1
∵（h +h ﹣h ）＝18，
3 2 1
∴a＝12 ，
∴S△ABC ＝ a2＝108 ．
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长的关系，本题中根据等边三角形的
高计算等边三角形的面积是解题的关键．
9．（2021•太仓市自主招生）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点 O，过O点作
EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．
①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+ ∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，
则S△AEF ＝ mn，正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，
即可求得②∠BOC＝90°+ ∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角
形得出EF＝BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角
平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF ＝ mn，故④正确．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣ ∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+ ∠A；故②正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF ＝S△AOE +S△AOF ＝ AE•OM+ AF•OD＝ OD•（AE+AF）＝ mn；故④正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．
故选：D．
【点评】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注
意数形结合思想的应用．
10．（2019•柯桥区自主招生）平面上任意一点到边长为 的等边三角形三顶点距离之和不可能的是（
）A．3 B．6 C．4 D．8
【分析】如图，当点P为等边△ABC的中心时，PA+PB+PC＝6最小，将△APC绕点A逆时针旋转60°得到
△ADE，连接PD，证明△PAB≌△PBC≌△PCA（SSS），得出∠APD+∠APB＝180°，∠ADP+∠ADP＝
180°，故PA+PB+PC＝BP+PD+DE＝BE，即此时PA+PB+PC最小．再判断3 ＜6，即可得出答案．
【解答】解：如图，当点P为等边△ABC的中心时，PA+PB+PC＝6最小，
将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接PD，
∵AP＝AD，∠PAD＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴∠APD＝∠ADP＝60°，PD＝AP，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝2 ，
∵点P为等边△ABC的中心，
∴PA＝PB＝PC，
∴△PAB≌△PBC≌△PCA（SSS），
∴∠APB＝∠APC＝120°，
由旋转得：∠ADE＝∠APC＝120°，
∴∠APD+∠APB＝180°，∠ADP+∠ADP＝180°，
∴PA+PB+PC＝BP+PD+DE＝BE，即此时PA+PB+PC最小，
∵∠ABP＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠AHB＝90°，
∴AH＝ AC＝ ，
∴BH＝AH•tan∠BAC＝ •tan60°＝3，
∵AE＝AC＝AB＝2 ，AH⊥BE，
∴BE＝2BH＝6，
在平面内任取一点P′，连接P′A，P′B，P′C，将△P′AC绕点A逆时针旋转60°得到△AD′E，
连接P′D′，
∵BP′，P′D′，D′E不在同一条直线上，∴BP′+P′D′+D′E＞PA+PB+PC＝6，
∵（3 ）2＝27，62＝36，27＜36，
∴3 ＜6，
故选：A．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质、旋转变换的应用、解直角三角形等知识．两点之间线段最短
的应用，有利于培养同学们钻研问题和探索问题的精神．
二．填空题（共6小题）
11．（2019•海港区校级自主招生）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，
CD＝5，则AD＝ 1 0 ．
【分析】求出∠ABC，求出∠CBD＝30°，求出BD值，即可得出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝ ∠ABC＝30°，
即在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，故∠A＝∠ABD＝30°，
∴AD＝BD＝2CD＝10（含30度角的直角三角形的性质），
故答案为：10．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，正确得出AD＝BD是解题关键．
12．（2020•西安自主招生）如图：已知∠BAD＝∠DAC＝9°，AD⊥AE，且AB+AC＝BE．则∠B＝ 48 °
．【分析】延长BA到F，使AF＝AC，由AB+AC＝BE，等量代换可得出AB+AF＝BE，而BA+AF＝BF，可得
出BF＝BE，即三角形BEF为等腰三角形，用顶角∠B，利用三角形的内角和定理表示出底角∠F，再由
AD与AE垂直，得到∠DAE为直角，又∠BAD＝∠DAC＝9°，根据平角的定义求出∠FAE＝81°，同时由
∠DAC＝9°，由直角∠DAE﹣∠DAC求出∠CAE也为81°，可得出∠CAE＝∠FAE，再由AF＝AC，AE为公
共边，利用 SAS可得出三角形 AFE与三角形 ACE全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠F＝
∠ACE，由∠ACE为三角形ABC的外角，根据外角的性质得到∠ACE＝∠B+∠BAC，由∠BAC的度数，表
示出∠ACE，即为∠F，根据表示出的∠F相等列出关于∠B的方程，求出方程的解即可得到∠B的度数．
【解答】解：延长BA到F，使AF＝AC，连接EF，如图所示：
∵AB+AC＝BE，
∴AB+AF＝BE，即BF＝BE，
∴∠F＝∠BEF＝ ，
∵∠BAD＝∠DAC＝9°，AD⊥AE，即∠DAE＝90°，
∴∠FAE＝180°﹣（∠BAD+∠DAE）＝180°﹣（9°+90°）＝81°，
∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣9°＝81°，
∴∠FAE＝∠CAE，
在△AFE和△ACE中，
∵ ，
∴△AFE≌△ACE（SAS），
∴∠F＝∠ACE，又∵∠ACE为△ABC的外角，
∴∠ACE＝∠B+∠BAC＝∠B+18°，
∴∠F＝∠B+18°，
∴∠B+18°＝ ，
则∠B＝48°．
故答案为：48°
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，以及三角
形的内角和定理，利用了转化及等量代换的思想，其中根据题意作出如图所示的辅助线是解本题的关键．
13．（2019•和平区校级自主招生）把3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点
可以排成正三角形，如图所示，则第6个三角形数是 2 8 ．
【分析】观察得出：这些三角形数都是从1开始的连续自然数的和，第1个三角形数是1+2，第2个三角
形数是1+2+3，第3个三角形数是1+2+3+4，第4个三角形数是1+2+3+4+5，……，那么，第6个三角形数
是1+2+3+4+5+6+7＝28．
【解答】解：观察图形并分析数据可知：
第1个三角形数：3＝1+2，
第2个三角形数：6＝1+2+3，
第3个三角形数：10＝1+2+3+4，
第4个三角形数：15＝1+2+3+4+5，
……
那么，第6个三角形数就是1+2+3+4+5+6+7＝28．
故答案为：28．
【点评】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件分析数据发现规律是解题关键．
14．（2019•青山区校级自主招生）如图，已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐
标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是 ．【分析】取AB的中点D，连接OD、CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OD的长度，
再根据等边三角形的性质求出CD的长，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD+CD＞OC，判
定当O、D、C三点共线时OC最长，然后求解即可．
【解答】解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，
∵正三角形ABC的边长为2，
∴OD＝ ×2＝1，CD＝ ×2＝ ，
在△ODC中，OD+CD＞OC，
∴当O、D、C三点共线时OC最长，最大值为 ×2+ ×2＝ +1．
故答案为： +1．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的三边关系，根据题意作出辅助线，判定出 O、D、C
三点共线时OC最长是解题的关键．
15．（2019•海港区校级自主招生）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝1，D在BC上，E在
AB上，使得△ADE为等腰直角三角形，∠ADE＝90°，则BE＝ 4 ﹣ 2 ．
【分析】过点EF作∥AC，交BC于点F，证明△ADC和△DEF全等，得出DF＝AC＝1，设CD＝x，利用平行线分线段成比例定理，列出比例式，列方程解答．
【解答】解：过点E作EF作∥AC，交BC于点F，
∴∠BFC＝∠C＝90°，
∵∠C＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠B＝30°
∴AB＝2AC＝2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
CB＝ ＝ ，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝DA，
∵∠DAC+∠ADC＝90°，∠EDF+∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠EDF
在△ADC和△DEF中，
，
∴△ADC≌△DEF（AAS），
∴DF＝AC＝1，
设CD＝x，所以EF＝x，BF＝ ﹣1﹣x
∵EF∥AC
∴ ＝ 即 ＝ ，解得：x＝2﹣ ．
∴BE＝2x＝4﹣2 ，
故答案为4﹣2 ．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、勾股定理、平行线分线段成比例定理，解题的关键是添加
辅助线构造全等三角形，另外利用平行线成比例定理，列方程求线段的长度，也是经常用到的方法．
16．（2019•达州自主招生）如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝12，则
AC的长等于 9 ．
【分析】过D点作DF∥BE，则DF＝ BE，F为EC中点，在Rt△ADF中求出AF的长度，根据已知条件
易知G为AD中点，因此E为AF中点，则AC＝ AF．
【解答】解：过D点作DF∥BE，
∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，
∴F为EC中点，AD⊥DF，
∵AD＝BE＝12，则DF＝6，AF＝ ＝ ＝6 ，
∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，
∴∠ABG＝∠DBG，∠AGB＝∠DGB＝90°，
∵BG＝BG，
∴△ABG≌△DBG（ASA），
∴AG＝DG，
∴G为AD中点，
∴E为AF中点，
∴AC＝ AF＝ ×6 ＝9 ．
故答案为：9 ．【点评】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，三角形中线和角平分线的性质以及勾
股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
17．（2021•衡阳县自主招生）已知以方程 的两根为腰长与底边长的等腰三角形有且
仅有1个，求实数m的取值范围．
【分析】首先可得Δ＞0，且两根均为正数，其次因两根作底和腰的等腰三角形有且只有一个，而以较大根
为腰的等腰三角形必存在，故以较小根为腰的等腰三角形不存在，故可得较小根的两倍小于等于较大根，
即可求出结果．
【解答】解：设x ，x 是方程x2﹣x+m＝0的两个实数根，依题意有：x ＞0，x ＞0，
1 2 1 2
即方程x2﹣x+m＝0有两个正实根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1•m＝1﹣4m≥0，x +x ＝0＞0，x x ＝m＞0，
1 2 1 2
∴0＜m≤ ，
∵m≠ ，
∴0＜m＜ ，
不妨设x ＜x ，则 ，
1 2
要使以方程 x2﹣x+m＝0 的两根为腰长与底边长的等腰三角形有且仅有 1 个，则 2x ≤x 即
1 2
，
即1≤3 ，
∴m≤ ，
∴0＜m≤ ．【点评】本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程相关知识，熟练掌握等腰三角形的性质、一元二次方
程的求根公式是解题的关键．
18．（2020•沙坪坝区自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，
点E是AB的中点，连接DE．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BDE的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出∠DBC＝36°，进而根据等腰三角形的判定解答
即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∠A＝36°，
∴BD＝AD，
即△ABD是等腰三角形；
（2）∵点E是AB的中点，
∴AE＝EB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣36°＝54°．
【点评】此题考查等腰三角形的判定和性质，关键是据等腰三角形的性质和三角形内角和得出∠DBC＝36°
解答．
19．（2021•黄州区校级自主招生）点P到图形 （可以是线段、三角形、圆或不规则图形等）的距离是指：
点P与图形 中所有点连接的线段中最短线段的Ω长度．如图①中的两个虚线段PQ的长度都表示点P到图
形 的距离．Ω
Ω如图②，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，1），B（0，3），C（6，
3），点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向x轴的正方向运动了t秒．
（1）当t＝0时，求点P到△ABC的距离；
（2）当点P到△ABC的距离等于线段AP的长度时，求t的范围；
（3）当点P到△ABC的距离大于 时，求t的取值范围．
【分析】（1）作AM⊥OB于M，ON⊥AB于N，根据正弦的定义求出ON，得到答案；
（2）作AF⊥x轴于F，交BC于H，过点A分别作AB与AC的垂线，与x轴分别交于点D、E，证明
△AFE∽△CHA，根据相似三角形的性质求出EF，得到答案；
（3）根据相似三角形的性质求出GH，利用待定系数法求出直线AC的解析式，求出OH，得到答案．
【解答】解：（1）如图②，作AM⊥OB于M，ON⊥AB于N，
由题意得，AM＝BM＝2
∴△AMB为等腰直角三角形，∠ABM＝45°，
∴∠OBN＝45°，
∴ON＝OB×sin45°＝ ，即当t＝0时，点P到△ABC的距离为 ；
（2）如图③，作AF⊥x轴于F，交BC于H，过点A分别作AB与AC的垂线，与x轴分别交于点D、E，
当P运动到D、E之间时，P到△ABC的距离等于PA的长度，
∵∠ABO＝45°，
∴∠ADF＝45°，
在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，
∴DF＝AF＝1，
∴OD＝OF﹣DF＝1，
∵∠FAE+∠HAC＝90°，∠HCA+∠HAC＝90°，∴∠FAE＝∠HCA，
∵∠AFE＝∠CHA＝90°，
∴△AFE∽△CHA，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，FE＝ ，
∴OE＝ ，
∴当1≤t≤ 时，点P到△ABC的距离等于线段PA的长度；
（3）∵ ＜ ，
∴点P到△ABC的距离大于 时，t＞2，
过点P作PG⊥AC于G，作GH⊥x轴于H，
则△AFE∽△GHP，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
解得，GH＝2，HP＝1，
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
则 ，
解得， ，
∴直线AC的解析式为：y＝ x，
当GH＝2时，OH＝4，
∴OP＝5，
∴当t＞5时，点P到△ABC的距离大于 ．【点评】本题考查的是点P到图形 的距离的定义、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，
正确理解点P到图形 的距离的定义Ω、掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
Ω
