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2.3 二次根式（第 1 课时） 导学案
1. 准确叙述二次根式定义及条件；熟练运用乘除法则化简、计算.
2.经历二次根式概念的抽象过程，体会从特殊到一般的数学思想，培养逻辑推理能力．在运算练习中，提
高运算的准确性和灵活性.
3.在二次根式运算的过程中，感受数学概念的严谨性，体会从具体到抽象的认知规律，增强对数学的兴趣.
重点：二次根式的概念以及有意义的条件.
难点：二次根式乘除法则的应用及与整式乘法的融合.
第一环节 自主学习
温故知新：
本节课将进入二次根式的概念与乘除法则的学习，先回顾以下知识点：
1、平方根的概念：若x2=a，则x是a的平方根，记作x=±√a．算术平方根就是当平方根结果取正数
时的结果，记作x=√a
2、算术平方根由意义的条件，√a中的a取值范围为a≥0.
3、回想整式的乘除运算：
①乘法公式：完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2
平方差公式：（a+b）(a−b)=a2−b2
②除法运算：除以一个数等于乘以这个数的倒数
新知自研：自研课本第41-42页的内容.
【学法指导】
自研课本P41页尝试思考上方的内容，完成下列问题：
1.观察以下式子，回答下列问题：
√ 49
√5、√11、√7.2、 、√(c+b)(c−b)（其中b=24，c=25）
121
（1）在上面的几个数中，它们都具有根号，且被开方数都 大于 0.
√ 49
（2）在以上这些数中，容易发现只有 、√(c+b)(c−b)（其中b=24，c=25）可以去掉根号，去
121
7
掉根号之后的结果为 、 7；
11
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司不可以去掉根号的数有：√5、√11、√7.2
（3）像上面这样不可以去掉根号的数，我们有以下定义：
一般地，形如√a（a≥0）的式子叫作二次根式，a叫作被开方数.
（4）下列式子中，属于二次根式的是（ B ）
A. √−5 B. √27 C. √0 D. √x（x<0）
（5）下列式子中，无论x取何实数，都有意义的是（ B ）
√1
A. √x−1 B.√x2+1 C. D. √−x
x
第二环节 合作探究
小组群学
先自研课本P41-P42页的内容,在小组长的带领下，思考以下问题：
1.完成下列各式，回答以下问题：
√4×√9=6， √4×9=6；
①
√16×√25=20，√16×25=20；
②
③ √4 2，√4 2； √25 5，√25 5
= = = =
√9 3 9 3 √49 7 49 7
④
2.在以上四组式子中，①中式子的结果都是6，②中式子的结果都是20
2 5
③中式子的结果都是 ，④中式子的结果都是
3 7
3.由①②容易发现，在二次根式的乘法中，两个二次根式相乘，等于它们的被开方数相乘；
符号表示为：√a×√b=√a×b
由③④容易发现，在二次根式的除法中，两个二次根式相除，等于它们的被开方数相除;
√a
符号表示为：√a÷√b=
b
4.验证猜想：
根据上面的猜想，估计每组中的两个式子是否相等.
√6 √6
① √6×√7 与 √6×7； ② 与
√7 7
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司①解：√6≈2.449，√7≈2.646，√6×√7≈2.449×2.646≈6.48；
√6×7=√42≈6.48；
故√6×√7 = √6×7
√6 2.449 √6 √6
②解：由一知 ≈ ≈0.93； = ≈0.93
√7 2.646 7 7
√6 √6
故 =
√7 7
5.由以上归纳与计算结果可知，二次根式的乘除有如下法则：
乘法法则：√a⋅√b=√ab(a≥0,b≥0)
√a √a
除法法则： = (a≥0,b>0)
√b b
6. 计算√2×√6的结果是（ B ）
A. √8 B. √12 C.√3 D. 4√3
√1
7. √8× 的结果是（ B ）
2
√ 1 √17 √ 1
A. 8+ = B. 8× =√4=2
2 2 2
√1 √2 5√2 √ 1 √15
C. √8+ =2√2+ = D. 8− =
2 2 2 2 2
7.归纳总结二次根式的概念与乘除法则（随堂笔记部分）
第三环节 自研自探
尝试完成下列例题，回答相应问题：
例1
√2 √6×√3
(1) √6× ； (2) .
3 √2
√2 √ 2
解：(1) √6× = 6× =√4=2;
3 3
(2) √6×√3 √6×3 .
= =√9=3
√2 2
例2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1) 3√2×2√3； (2) √12×√3−5；
(3) ； (4) ；
(√5+1) 2 (√13+3)(√13−3)
(5) ( √1) ； (6) √8+√18.
√12− ×√3
3 √2
解：(1) 3√2×2√3=3×2×√2×√3=3×2×√2×3=6√6；
(2) √12×√3−5=√12×3−5=√36−5=6−5=1 ；
(3) ；
(√5+1) 2=(√5) 2+2√5+12=5+2√5+1=6+2√5
(4) ；
(√13+3)(√13−3)=(√13) 2 −32=13−9=4
(5) ( √1) √1 ；
√12− ×√3=√12×√3− ×√3=√36−√1=6−1=5
3 3
√8+√18 √8 √18
(6) = + =√4+√9=2+3=5.
√2 √2 √2
1.在例一的计算中，我们发现二次根式的乘除运算主要是将被开方数进行乘除，再开方.
2.例2的计算中，如（1）中，既有整数，又有二次根式，此时可以将整数与整数相乘，再将
二次根式与二次根式相乘；同时发现，二次根式的运算依旧遵循先乘除后加减.
3.再涉及到乘法公式时，与整数运用乘法公式的规律一致.
4.拓展提升
已知二次根式 √a和 √b满足以下条件：
2
①a和 b均为正整数； ②√a×√b=6； ③√a÷√b=
3
1.据上述两个等式，求 √a和 √b的值；
2.直接写出 a 和 b的值（a=___, b=____）。
2
解：1.由③可得√a= √b
3
2
将上式带入②可得 √b×√b=6
3
解得b=9，则√b=3（取正值）
将√b=3带入②可得√a=2（取1正）
2.由1可得a=4,b=9
1.计算：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司√ 9
(1) √5× ； (2) (1+√3)(2−√3)；
20
(3) (2√3−1) 2 ； (4) ( √27+ √1) ×√3 ；
3
(5) √27−√12； (6) (√9 √98) .
− ×√2
√3 2 3
√ 9 √ 9 √45 √9 3
解：(1) √5× = 5× = = = ；
20 20 20 4 2
(2) ；
(1+√3)(2−√3)=2−√3+2√3−3=−1+√3
(3) = ；
(2√3−1) 2 (2√3) 2 −2×2√3×1+12=4×3−4√3+1=12−4√3+1=13−4√3
(4) ( √1) = √1 √1
√27+ ×√3 √27×√3+ ×√3=√27×3+ ×3=√81+√1=9+1=10
3 3 3
(5) √27−√12=√27 √12 √27 √12
− = − =√9−√4=3−2=1
√3 √3 √3 3 3
(6) (√9 √98) =√9 √98 √9 √98×2 √196 14 5
− ×√2 ×√2− ×√2= ×2− =√9− =3− =−
2 3 2 3 2 3 3 3 3
类型一：二次根式的概念辨析
1. 判断下列式子那些是二次根式：①④
① ； ； ； ； .
√15 √38 √−2 √a2+3 √3x−6
② ③ ④ ⑤
2. 下列式子中，一定是二次根式的是（ B ）
√1
A. √x−2 B. √x2+1 C. D. √−x
x
类型二：被开方数的非负性
3.求下列式子有意义的x取值范围：
① ；
√4x−8 √5−2x √x2+2
② ③
解：①4x−8≥0，由此可得x≥2；
5
②5−2x≥0，由此可得x≤ ；
2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司③x2+2≥0，由此可得x可取任何实数.
类型三：二次根式的乘除运算
4.基础乘法：
① √2×√6； ② √5×√10
解：①原式=√12
②原式=√50
5.基础除法：
√1
① √18÷√2； √20÷
5
解：①原式=√9=3③；
②原式=√100=10
类型四：二次根式的混合运算
6.
(√5+√2)(√5−√2) (√3+1) 2
① ②
解；①原式=5-2=3
②原式=3+2√3+1=4+2√3
1.（2024·云南）：式子√x−3 在实数范围内有意义，则x的取值范围是：x≥3
1
2.（2024·黑龙江）：若式子 有意义，则x的取值范围是：x<2
√2−x
3.（2024·贵州）：计算√3×√12的结果是6
4.（2024·天津·中考真题）：计算 的结果为2
(√5+√3)(√5−√3)
1、二次根式的定义： 一般地，形如√ a （ a ≥ 0 ）的式子叫作二次根式， a 叫作被开方数 。
2、二次根式的乘除运算法则：
①乘法法则：√a⋅√b=√ab(a≥0,b≥0)
②除法法则：√a √a
= (a≥0,b>0)
√b b
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