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专题 13 向量线性运算及三大定理与四心归类
目录
题型一：线性运算：等分点型
题型二：线性运算：四边形等分点型
题型三：线性运算：基底非同一起点
题型四：三大定理：奔驰定理
题型五：三大定理：极化恒等式
题型六：三大定理：等和线基础
题型七：等和线三角换元型
题型八：等和线系数不是1构造型
题型九：等和线均值型
题型十：等和线二次型
题型十一：等和线系数差型
题型十二：四心向量：外心
题型十三：四心向量：内心
题型十四：四心向量：垂心
题型十五：四心向量：重心
题型一：线性运算：等分点型
1．（23-24·河北唐山·阶段练习）如图， 中， 为 边的中点， 为 的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的基本定理与混合运算，结合图形即可得解.
【详解】在 中， 为 边的中点， 为 的中点，则 .故选：A.
2．（23-24四川乐山·阶段练习）如图，已知点 是 的重心，过点 作直线分别与 ， 两边
交于 ， 两点，设 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】C
【分析】利用三角形重心性质，得 ，再由平面向量基本定理设 ，
即 ，对照系数，得 ，最后运用常值代换法，由基本不等式即可求得
的最小值.
【详解】 如图，延长 交 于点 ，因点 是 的重心，
则 ，①
因 三点共线，则 ，使 ，
因 ， ，代入得， ，②
由①，②联立，可得， ，消去 即得， ，
则 ，当且仅当 时等号成立，
即 时， 取得最小值，为 .故选：C.
3．（23-24·陕西渭南·阶段练习）如图，在 中，已知 ，P为 上一点，且满足
，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据三点共线可得 ，且 ，结合题意可得 ，根据平面
向量基本定理列式求解即可.
【详解】因为 三点共线，则 ，且 ，
又因为 ，即 ，则 ，
且 ，则 ，解得 .故选：A.
4．（23-24天津·阶段练习）如图，在 中， ， ， 为 上一点，且
，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，可得 ，又 三点共线，可得 ，则 ，利
用向量的线性运算可得 ，进而表示出 ，计算即可.
【详解】在 中，因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，因为 三点共线，所以 ，解得 ，
所以 ，而 ，
所以 ，又 ， ， ，
则 .故选：C.
5．（23-24甘肃临夏·阶段练习）如图，在 中，点O是BC的中点， ，分别连接
MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若 ，则 （ ）A．2 B．1 C．－2 D．－1
【答案】B
【分析】利用向量共线的推论与线性关系，求解系数再结合向量减法即可求参.
【详解】因为 三点共线，所以 ，
又因为 是 中点，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，则
所以 ，因为 三点共线，所以 ，
又因为 是 中点，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，则
所以 ，所以 ，
所以 .故选：B.
题型二：线性运算：四边形等分点型
1．（23-24·江苏苏州·阶段练习）在平行四边形 中， ， 分别在边 ， 上， ，
， 与 相交于点 ，记 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】法1：设 ，根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理可得 ，进而可得结果；
法2：建系，设 ，结合向量的坐标运算分析求解；法3：做辅助线，根据几何知识分析可
知 ，进而可得结果.
【详解】法1：因为 ，设 ，则
，
因为 ， ， 三点共线，则 ，解得 ，即 ，所以
；
法2：坐标法（特殊化平行四边形建系）不妨设平行四边形为矩形，建立如图所示平面直角坐标系，设 ， ， 则 ， 所 以 直 线 ， 直 线
，
联立方程 ，解得 ，可得 ， ， ，
设 ，则 ，解得 ，
所以 ；
法3：如图，延长 ， ，交于点 ，
因为 为 中点，所以 ，
又 ，则 ，可得 ，
可知 ，所以 ；故选：C.
3．（23-24山西·阶段练习）如图，在正方形 中， , 和 相交于点G，且F为 上
一点（不包括端点），若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．15
【答案】B
【分析】先确定 的位置，接着由 进行转化，利用共线定理得 ，再利用基本不
等式“1”的妙用即可求解.
【详解】由题可设 ，
则由题意得 ，
因为 、 、 三点共线，故 ，所以 ，所以
，又 、 、 三点共线，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为 .故选：B.
3．（23-24宁夏银川·）如图所示的矩形 中， ， 满足 ， ， 为 的中点，
若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据已知条件结合平面向量基本定理将 用 表示出出来，从而可求得 的值
【详解】因为 为 的中点， ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
故选：A
4．（23-24陕西咸阳）如图所示，在正方形 中， 为 的中点， 为 的中点，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量基本定理结合题意将 用 表示，从而可求出 ，进而可求得答案.
【详解】因为在正方形 中， 为 的中点， 为 的中点，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .故选：C5．（23-24新疆乌鲁木齐·模拟）如图，在平行四边形 中， ， ， 与 交
于点 .设 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 、 三点共线，可得 、 ，利用平面向量线性
运算的应用将 表示 ，由此可得方程组求得 ，进而得到 的值.
【详解】连接 ，如图， 因为 三点共线，设 ，
则 ，所以 ；
因为 三点共线，设 ，则 ，所以 ，
则 ，解得 ，所以 ，
则 ，所以 .故选：D
题型三：线性运算：基底非同一起点1．（23-24·四川成都·）在正六边形ABCDEF中， ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算法则和运算律求解即可.
【详解】 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故选：C.
2．（23-24浙江·阶段练习）已知六边形ABCDEF为正六边形，且 ， ，以下不正确的是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据正六边形的特征求出 , ，再由向量加法的三角形法则
以及向量的减法即可求解.
【详解】如图，设
因为六边形ABCDEF为正六边形，所以 ，且
.
又 是等腰三角形，所以 ，从而可有 ，
则 ，所以 ,同理有 .
所以 ，所以选项A不符合题意；
，所以选项B不符合题意；
，所以选项C符合题意；
，所以选项D不符合题意.故选：C
3．（23-24重庆巴南·阶段练习）如图，矩形 中，点 是线段 上靠近 的三等分点，点 是线
段 的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】解法一：由平面向量的加、减、数乘运算，以及平面向量基本定理，可表示 ，
解法二：以 为原点， 分别为 轴的正方向建系，由 ，结合坐标运算，求
得 ，可表示 ．
【详解】解法一：依题意 ①， ②， ③，
由②③式解得 ， ，代入①式得 ．
解法二：以 为原点， 分别为 轴的正方向建立平面直角坐标系，
设 ，则 ，
由 ，有 ，有 ，解得 ，得
．故选：A．
4．（23-24高三河南·阶段练习）已知 为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所
示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】选取 为基底，表示出 ，结合平行向量基本定理设 ，即可求
解.
【详解】选取 为基底，
，
，
，
设
，
， ，即 .故选：A
5．（22-23甘肃天水·阶段练习）如图，四边形 是平行四边形，点 分别为 的中点，若
以向量 为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先 表示出 ，联立 ，反解出 即可
【详解】点 分别为 的中点， ， ，
， ，
，故选：C
题型四：三大定理：奔驰定理1．（23-24甘肃）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它
的具体内容是：已知 是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，且
.若 为 的垂心， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 和 得 ，从而可以得出
，设 ， ，得 ， ，再结合垂心和直角三角形余弦值即可
求解.【详解】 如图，延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，延长 交 于点
.
由 为 的垂心， ，且 ，
得 ，所以 ，
又 ，则 ，同理可得 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即 ， ，所以 ，
所以 .故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用“奔驰定理”得到 ，从而利用对顶角相等
得到 ，由此得解.
2．（23-24河北）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为 内的一点， ， ，
的面积分别为 ， ， ，则 ．因其几何表示酷似奔驰的标志，所
以称为“奔驰定理”．已知O为 的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三边，先求出角B的余弦值,再由内心可得到 ，进而由“奔驰定理”得到
，在对向量进行线性运算即可.
【详解】因为 ， ， ，所以 ，因为O为 的内心，设
，由题意 ，则 ，
同理可得 所以根据“奔驰定理”有 ，所以
，即 ，
所以 ，
．故选：A．
3．（2024上海·专题练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的
结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知
是 内一点， 的面积分别为 ，且 ．以
下命题错误的是（ ）A．若 ，则 为 的重心
B．若 为 的内心，则
C．若 ， 为 的外心，则
D．若 为 的垂心， ，则
【答案】C
【分析】取 的中点D，连接 ，结合奔驰定理可得到 ，进而即可判断A；设内切圆
半径为 ，从而可用 表示出 ，再结合奔驰定理即可判断B；设 的外接圆半径为 ，由圆
心角和圆周角的关系可得 ，从而可用 表示出 ，进而即
可判断C；延长 交 于点D，延长 交 于点F，延长 交 于点E，根据题意结合奔驰定理
可得到 ， ，从而可设 ，则 ，所以
， 进而即可求 ，从而即可判断D．
【详解】对于A：取 的中点D，连接 ，
由 ，则 ，所以 ，
所以A，M，D三点共线，且 ，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得 ， ，所以 为 的重心，故A正
确；
对于B：由 为 的内心，则可设内切圆半径为 ，
则有 ，所以
，即 ，故B正确；
对于C：由 为 的外心，则可设 的外接圆半径为 ，
又 ，
则有 ，
所以 ， ，
，所以 ，故C错误；对于D：如图，延长 交 于点D，延长 交 于点F，延长 交 于点E，
由 为 的垂心， ，则 ，
又 ，则 ， ，设 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，故D正确．故选：C．
【点睛】关键点睛：解答D选项的关键是通过做辅助线（延长 交 于点D，延长 交 于点F，
延长 交 于点E，），根据题意，结合奔驰定理得到 ， ，从而可设
，则 ，由 ，得 ，进而即可求
．
4．（2023高三河南南阳·阶段练习）奔驰定理：已知 是 内的一点， ， ， 的面积
分别为 ， ， ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若
是锐角 内的一点， ， ， 是 的三个内角，且点 满足 ，则
必有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用已知条件得到 为垂心，再根据四边形内角为 及对顶角相等，得到 ，再根
据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到 ，进而求出 的
值，最后再结合“奔驰定理”得到答案.
【详解】如图，因为 ，所以 ，同理
， ，所以 为 的垂心。因为四边形 的对角互补，所以
，．同理，
，
， ．
， ．
又 .
．由奔驰定理得 .故选C．
【点睛】本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变
形运用，属于难题.
5．（2022·安徽·三模）平面上有 及其内一点O，构成如图所示图形，若将 ， ，
的面积分别记作 ， ， ，则有关系式 ．因图形和奔驰车的 很
相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足
，则O为 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】根据平面向量基本定理可得 ， ，延长 交 于 ，延长 交 于 ，根据
面积比推出 ，结合角平分线定理推出 为 的平分线，同理推出 是 的平分
线，根据内心的定义可得答案.
【详解】由 得 ，由 得
，根据平面向量基本定理可得 ， ，所以 ， ，
延长 交 于 ，延长 交 于 ，
则 ，又 ，所以 ，所以 为 的平分线，
同理可得 是 的平分线，所以 为 的内心.故选：B题型五：三大定理：极化恒等式
1.（2023·全国·统考高考真题）正方形 的边长是2， 是 的中点，则 （ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【分析】方法一：以 为基底向量表示 ，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建
系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求 ，进而根据数量积的定义运算求
解.
【详解】方法一：以 为基底向量，可知 ，
则 ，
所以 ；
方法二：如图，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，则 ，可得
，
所以 ；
方法三：由题意可得： ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 .
方法四：极化恒等式设CD中点为O点，由极化恒等式可得： 故选：B.
2.
（江苏·高考真题）如图，在 中， 是 的中点， 是 上的两个三等分点，
， ，则 的值是 .【答案】
方法一
【详解】因为 ，
，
因此 ，
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量
积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向
量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．
方法二：极化恒等式
因为 是 上的两个三等分点,所以
联立解得: 所以
3.
如图,在 中,已知 ,点 分別在边 上,
且 ,若 为 的中点,则 的值为________
解：取 的中点 ,连接 ,则 ,
在 中, ,4.
（23-24高三·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对
角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示， ，我们称为极化恒等式. 已知
在 中， 是 中点， ， ，则 （ ）
A． B．16 C． D．8
【答案】A
【分析】可以把三角形补形为平行四边形， ,利用已知条件求解即可.
【详解】由题设， 可以补形为平行四边形 ，
由已知得 ．
故选：A．
5.
（21-22·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角
线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示： ，我们称为极化恒等式.在
中， 是 中点， ， ，则 （ ）
△
A．32 B．-32 C．16 D．-16
【答案】D
【分析】由题设有 ， 代入极化恒等式求 即可.
【详解】由题设， ， ，
.
故选：D
题型六：三大定理：等和线基础1.（2023·江西吉安·高三统考阶段练习）如图，半径为 的扇形 的圆心角为120°，点C在弧
上，且 ，若 ，则 ________.
【答案】 ；
【解析】建立直角坐标系．如图所示， ， ．
， ，即 ， ． ， ， ，
即 ， ．又 ， ， ， ， ， ， ．
，解得 ． ．故答案为：
2.（2023春·浙江温州·校考开学考试）两个单位向量 且 ， 点在弧 上动，若
，则 的取值范围是___________________
【答案】[1，2]
【解析】建立如图所示的坐标系，
则 即 ，设 ，则
，，
， ， ， ，
即 ，
所以 的取值范围是 .故答案为：
3.正六边形 中，令 ， ， 是 内含边界的动点（如图）， ，则
的最大值是（ ）
△
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
由 可得 ，然后再利用三点共线，数形结合可以求出 的最大值．
【详解】
解： ， ．令 ，则有 ．
又 ， ， ， 三点共线． ．当 达到最大为 时， ，
点 到线段 的最短距离为 ，即 恰好达到最小为 ． ．故选： ．
4.已知 是 的外心， ，则 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】由题意 ，以 为 轴建立直角坐标系，如图，不妨设 ，则 在圆O上优
弧AB上，设 ，则 ，显然 ，即 ，
，由于 ，所以 ， ，所
以 ，故选B
点睛：本题考查用坐标法解决平面向量的线性表示问题，由已知判断出 ，因此我们 以
为坐标轴建立空间直角坐标系，可以很快速地把平面向量用坐标表示出来，要注意地是解题
过程的设参要注意其取值范围，否则易出错．
5.已知在 中， ， ， ，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半
径作圆，Q为圆上任意一点，设 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
如图:设 或 的延长线交 于D,过Q作 //BC交AC或AC的延长线于 ,过圆上离BC最远点作
切线与AB的延长线交于 ,与AC的延长线交于 ,过A作 ,垂足为 ,然后根据向量知识将
的最大值转化为 的最大值来求,
【详解】如图: 设 或 的延长线交 于D,过Q作 //BC交AC或
AC的延长线于 ,过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于 ,与AC的延长线交于 ,
过A作 ,垂足为 ,交BC于K，此时圆P的圆心为 ,BC=5, ,
,其中 ,又 ,所以 ,当Q在BC的下方时,
;
当Q在BC上时, ,当Q在BC的上方时, ,根据平面几何知识,可知当Q为 、 D为K时， 最大，所以x+y取最大，
所以：x+y的最大值为： ．故选：C．
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理,三点共线的向量表示,分类讨论思想,,属难题.
题型七：等和线三角换元型
1.（2023·全国·高一假期作业）如图，扇形的半径为1，且 ，点C在弧 上运动，若
，则 的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】由题意得， ， ， ，
由 ，等式两边同时平方，得 ，所以 ，令
，则 ，
则 ，其中 ，因为
，所以 ，所以 ，即 的最大值为 .
故选：B．
2.（2023春·湖北湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）如图，扇形的半径为1，且 ，点C
在弧 上运动，若 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】由题意得， ， ，所以 ，
由 ，等式两边同时平方，
得 ，所以 ，
令 ，则 ，
则 ，其中 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 的最小值为1.
故选：C
3.（2023春·重庆万州·万州外国语学校天子湖校区校考阶段练习）如图，在半径为 的圆 中，点
为圆 上的定点，且 ，点 为圆上的一个动点，若 ，则 的取
值范围是________．
【答案】
【解析】如图所示，以 为原点，以 为 轴建立平面直角坐标系，因为圆的半径为 ，且
，可得 ，设点 ，其中 ，因为 ，可得
，
所以 ，可得 ，
因为 ，可得 ，
即 的取值范围是 .故答案为： . 4.
4.在直角梯形. 中， ， 分别为 的中点，以 为圆
心， 为半径的圆交 于 ，点 在 上运动（如图）.若 ，其中 ，则
的最大值是________.【答案】
【分析】建立直角坐标系，设 ，根据 ，表示出
，结合三角函数相关知识即可求得最大值.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：
， 分别为 的中点， ，
以 为圆心， 为半径的圆交 于 ，点 在 上运动，设 ，
，即 ， ，所以 ，两式相加：
，
即 ，要取得最大值 ，即当 时，
故答案为：
【点睛】
此题考查平面向量线性运算，处理平面几何相关问题，涉及三角换元，转化为求解三角函数的最值问题.
5.已知正三角形 的边长为2，D是边 的中点，动点P满足 ，且 ，其中
，则 的最大值为___________．
【答案】 ##2.5
【分析】
构建以 为原点， 为x、y轴的直角坐标系，确定相关点坐标并设 且 (
)，由向量线性关系的坐标表示列方程得到 关于 的三角函数式，应用正弦型函数性质求最大值.
【详解】
由题设， 在以 为圆心，1为半径的圆上或圆内，
构建以 为原点， 为x、y轴的直角坐标系，如下图示：所以 ， ， ，令 且 ( )，
所以 ， ， ，
又 ，即 ，
所以 ，而 ，
则 ，
故当 时， 有最大值 .故答案为：
【点睛】
关键点点睛：构建直角坐标系并设 且 ( )，应用平面向量线性关系的坐标表示求
得 关于参数的函数式求最值.
题型八：等和线系数不是 1 构造型
1.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 ， 为圆 上任一点，若 ，则 的最
大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】
等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.
【详解】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设 ，则 ， BC//EF， 设 ，则
，
∵ ∴
∴
故选：A.
2.（23-24·安徽芜湖·阶段练习）如图，已知点 是 的重心，过点 作直线分别与 ， 两边交
∴ ∴
于 ， 两点，设 ， ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．4 C．3 D．
【答案】C
【分析】借助平面向量线性运算与三点共线定理及基本不等式计算即可得.
【详解】由点 是 的重心， ， ，
故 ，由 、 、 三点共线，故 ，
则 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立.故选：C.
3.（2023·全国·高三专题练习）已知 是 内一点，且 ，点 在 内（不含边
界），若 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 是 内一点，且
所以O为 的重心
在 内（不含边界），且当M与O重合时， 最小，此时
所以 ，即
当M与C重合时， 最大，此时 所以 ，即
因为 在 内且不含边界所以取开区间，即 所以选B
4.（20-21·福建·阶段练习）已知平行四边形 中，点E，F分别在边 上，连接 交 于点
M，
且满足 ，则 （ ）A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，得到 ，再由E，F，M三点共线求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ．因为E，F，M三点共线，所以 ．故选：B
题型九：等和线均值型
1.（2023春·四川眉山校考阶段练习）已知点G是 的重心，过点G作直线分别与 两边相交于
点M，N两点（点M，N与点B，C不重合），设 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】4
【分析】根据三角形重心及加法、数乘运算得到 ，由向量共线的推论得 ，再
应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】由题设 ，
又 共线，如下图，则 ，即 ，故 ，
而 ，则 ，
所以 ，
仅当 ，即 时等号成立，所以目标式最小值为4.故答案为：4
2.（2023春·重庆·校联考阶段练习）在 中，点D满足 ，过点D的直线交线段AB于点
M、交线段AC的延长线于点N，记 ， ，则 的最小值为 .【答案】
【分析】先求出 ，再根据平面向量共线定理可得 ，再根据
结合基本不等式即可得解.
【详解】因为过点D的直线交线段AB于点M、交线段AC的延长线于点N，记 ， ，
所以 ，且 ， ，由 ，
得 ，
又 三点共线，所以 ，故
，
当且仅当 ，即 时，取等号，所以 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：求出 ，再根据平面向量共线定理可得
，是解决本题的关键.
3.（2023春·山东菏泽统考模拟）在 中，点 是线段 上的点，且满足 ，过点 的直
线分别交直线 于点 ，且 ， ，其中 且 ，若 的最小值为
.
【答案】
【分析】先利用向量的线性运算得到 关于 与 的表达式，再根据 三点共线可得
，从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】依题意，作出图形如下，
因为 ， ， ，则 ，所以 ，
因为 三点共线，所以 ，因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值为 .
故答案为： .
4.（2023·全国·高三专题练习）已知A、B、P是直线 上三个相异的点，平面内的点 ，若正实数x、y
满足 ，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】根据平面向量共线定理可得 ，再根据 结合基本不等式即可得解.
【详解】因为A、B、P是直线 上三个相异的点，
且 ，即 ，且x、y为正实数，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即
时，取等号，所以 的最小值为 .故答案为： .
5.（23-24高三·天津武清·阶段练习）在 中， ，E是线段 上的动点（与端点不重
合），设 ，则 的最小值是（ ）
A．10 B．4 C．7 D．13
【答案】D
【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得 ， ，则
，化简后利用基本不等式可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
因为 三点共线，所以 ， ，
，当且仅当 ，即 时取等.故选：D.
题型十：等和线二次型
1.（23-24·陕西西安·阶段练习）点 是 所在平面内一点，若
， ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】易知O为 的重心，由题意，根据重心的性质可得 ，结合基本不等式计算即
可求解.
【详解】由题意知， ，则O为 的重心，由 知，
三点共线， 三点共线， 三点共线，
如图，D为BC的中点，且 ，
由 ，得 ，又 ，
所以 ，即 ，
因为D为BC的中点，所以 ，所以 ，解得 ，所以
，
由 ，得 ，即 ，
当且仅当 时等号成立，所以 的最小值为 .故选：D2.（2019秋·江苏苏州·校考阶段练习）如图，在正方形 中， 为 的中点， 是以 为圆心，
为半径的圆弧上的任意一点，设 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】以 为坐标原点建立平面直角坐标系，设 ，可得 点轨迹，从而可设 ，
；利用向量的坐标运算可构造方程求得 ，将所求式子整理为
；令 ， ；利用导数可求得当
时， 取得最小值，利用同角三角函数平方关系可构造方程求得 ，
代入可求得最小值.
【详解】以 为坐标原点可建立如下图所示的平面直角坐标系
设 ，则 ， ， ， ，
， 由题意可得， 点轨迹方程为：
设 ，
由 得： ，解得：
设 ，
当 时， ；当 时，
当 时， 取最小值由 得： 即当 ， 时， 取最小
值
即 的最小值为 本题正确结果：
3.（2024高三·全国·专题练习）已知 的边 的中点为 ，点 在 所在平面内，且
，若 ，则 （ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
【答案】D
【分析】利用平面向量的线性运算可将 转化为 ，则得到 的值，进而
即可求解．
【详解】因为 ，边 的中点为 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，因为 ，所以 ， ，故
.
故选：D．
4.（2022·全国·高三专题练习）已知 为双曲线 上不同三点，且满足 （ 为
坐标原点），直线 的斜率记为 ，则 的最小值为
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【详解】由 有点 为线段 的中点,设 ,则 ,所以
,故 ,由于点A,B,P在双曲线上,所以
,代入上式中,有 ,所以 ,故最小值为
4.选B.
5.（2023·全国·高三专题练习）如图，在 中， 为边 上不同于 ， 的任意一点，点 满足
.若 ，则 的最小值为 .
【答案】 /0.4
【分析】根据题意，得 ，因为 ， ， 三点共线，所以 ，将
化为 的函数求最小值即可.【详解】根据题意，得 .因为 ， ， 三点共线，设
，则 ，所以 ，所以 ，所以有 ，即
，
所以 ，
所以当 时， 取得最小值 .故答案为：
题型十一：等和线系数差型
1.（四川资阳·统考一模）如图，在直角梯形 中， ， ， ， ，图
中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为 ，且点P在图中阴影部分（包∥括边界）运动．若
，其中 ，则 的最大值为
A． B．
C．2 D．
【答案】B
【详解】解：以 点为坐标原点， 方向为 轴， 轴正方向建立直角坐标系，如图所示，设点
的坐标为 ，由意可知： ，
据此可得： ，则： ，目标函数： ，
其中 为直线系 的截距，当直线与圆相切时，目标函数取得最大值 .
本题选择B选项.2.（安徽合肥·统考一模）已知向量 、 、 满足 ,若对于每一个确定
的 的最大值和最小值分别为 、 ，则对于任意的 ， 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先把向量 、 、 放入平面直角坐标系，代入数量积中得到 ，看
作是一个圆心为 ，半径为 的圆，接着利用点到圆上点的距离最值的知识点进行求解，即
可得到答案
【详解】解：不妨设 ， ， ，
则 ； ， ，
因此 ，
故选：C.
3.在 中，点 满足 .若存在点 ，使得 ，且
，则 的取值范围是___．
【答案】（﹣2，0）
【分析】
由 ，得 ，结合条件 ，得到m＝﹣3λ﹣1，n
＝3λ﹣1，利用mn＞0．可求出实数λ的取值范围，由此可计算出m﹣n的取值范围．
【详解】
由 ，可得 ，所以，
，则m＝﹣3λ﹣1，n＝3λ﹣1，
由于mn＞0，则（﹣3λ﹣1）（3λ﹣1）＞0，即（3λ+1）（3λ﹣1）＜0，解得 ，
λ＞0，所以， ，
m﹣n＝（﹣3λ﹣1）﹣（3λ﹣1）＝﹣6λ （﹣2，0），
∵
故答案为（﹣2，0）
∈
4.（22-23高三·河北唐山·阶段练习）如图，在 中， 是线段 上的一点，且 ，过点
的直线分别交直线 ， 于点 ， ，若 ， ，则 的最小值
是
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三点共线以及平面向量基本定理推出 ，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】因为 三点共线，所以可设 ，则 ，
又 ，所以
，
又 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，消去 得 ，所以
，
因为 ， ，得 ，得 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .故选：A
题型十二：四心向量：外心
1.（2023春·江苏无锡·锡东高中校考阶段练习）在 中， ， ， ，角 是锐
角， 为 的外心，若 ，其中 ，则点 的轨迹所对应图形的面积是
．
【答案】
【分析】利用三角形的面积公式求得 ，利用余弦定理求得 ，结合正弦定理求得 ，根据，其中 ，得到点 的轨迹定义的图形时边长为 的菱形，进而求得面积
值.
【详解】因为 ，且 ，解得 ，
又因为 为锐角，所以 ，
由余弦定理得 ，所以 ，
又由 ，可得 ，
根据题意知 ，其中 ，
即点 的轨迹对应的图形时边长为 的菱形，所以 ，
所以这个菱形的面积 .
故答案为： .
2.（2023春·广东佛山·南海中学校考阶段练习）如图，O为 的外心， ， ， 为钝
角， 是边 的中点，则 .
【答案】10
【分析】运用向量加法法则可得 ，再结合三角形外心性质、平面向量数量积定义及运
算求解即可.
【详解】取 的中点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，如图所示，
因为 为 的外心，则 ，
所以 ，
因为 为 的外心，则 ，
所以 ，
又 是边 的中点，根据平行四边形法则有： ，所以 .
故答案为：10.
3.（2023春·吉林长春·东北师大附中校考阶段练习）已知点O是 ABC的外心，AB＝4，AC＝2， BAC为
钝角，M是边BC的中点，则 ．
△ ∠
【答案】5
【分析】运用向量加法法则可得 ，再结合三角形外心性质、平面向量数量积定义及运
算求解即可.
【详解】如图所示，
取AB的中点E，连接OE，
因为 为 ABC的外心，则 ，
△
所以 ，
同理： ，
所以 .
故答案为：5.
4.（2023春·江西宜春·江西省清江中学校考阶段练习）设 为 的外心a，b，c分别为角A，B，C的
对边，若 ， ，则 ．
【答案】8
【分析】由三角形的外心的向量性质计算即可.
【详解】
如图所示，因为 为 的外心，取AB中点E，则OE AB，
⊥
则 ，
同理 ，
所以
．
故答案为：8
5.（2023春·辽宁·葫芦岛第一高级中学校联考阶段练习）已知 为 的外心， ， ， 分别为内角
， ， 的对边，且 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】由数量积的定义可得 ， ，即可得到 ，再转化为 的二次函数，结合 的取值范围，求出函数的值域，即可得解.
【详解】由平面向量数量积的定义可知， ，
同理可得， ，
， ，
，即 ，令 ， ，因为函数 在 上单调递
减，在 上单调递增，
所以 ，又 ， ，所以 ，
．故答案为： ．
题型十三：四心向量：内心
1.（2022春·甘肃兰州·兰州市第二中学校考模拟）在面上有 及内一点 满足关系式：
即称为经典的“奔驰定理”，若 的三边为 ， ， ，现有
，则 为 的 心.
【答案】内
【分析】利用平面向量的线性运算得到 ，再利用三角形内心的性质求解即可．
【详解】 ， ，
， ， ， 分别是 ， 方向上的
单位向量，
向量 平分 ，即 平分 ，同理 平分 ，
为 的内心，故答案为：内
2.（2023浙江·模拟预测）已知 中， ， 是 的内心， 是 内部
（不含边界）的动点，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以 为坐标原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，通过向
量线性关系 ，得出目标函数，根据三角形及其内心得出可行域，由线性规划即
可得出最值.
【详解】如图所示：以 为坐标原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，
则易得: ， ， ， ，
设点 ，则由 得 ，
所以 则 ，又由题意得点 在以 为顶点的三角形内部（不包
含边界），
由图易得当目标函数 与直线 重合时， 取得最大值1，
当目标函数 经过点 时， 取得最小值 ，又因为点 的可行域不包含边界，
所以 的取值范围为 ，即 的取值范围为 ，故选：A
3.（2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P
满足 ，则点P的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】C
【分析】根据 是以 为始点，向量 与 为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知
点轨迹，据此可求解.
【详解】因为 为 方向上的单位向量， 为 方向上的单位向量，
则 的方向与 的角平分线一致，
由 ，可得 ，即 ，
所以点P的轨迹为 的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过 的内心.故选：C.
4.（2023·全国·专题练习）已知 所在的平面上的动点 满足 ，则直线 一定
经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】C
【分析】由题意可得 ，平行四边形法则知 表示的向量在
三角形角 的平分线上，从而即可得答案.
【详解】解：因为，
根据平行四边形法则知 表示的向量在三角形角 的平分线上，
而向量 与 共线， 点的轨迹过 的内心.故选： ．
5.（2023春·全国·专题练习）已知 ， 是其内心，内角 所对的边分别 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合平面向量线性运算以及正弦定理等知识求得正确答案.
【详解】延长 ，分别交 于 .内心是三角形三个内角的角平分线的交点.
在三角形 和三角形 中，由正弦定理得：
，
由于 ，所以 ， ，
同理可得 ， ，
.
所以 ，
则 .
故选：C
题型十四：四心向量：垂心
1.（2023·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知 是 内的一点，若 、 、 的面积分
别记为 、 、 ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这
个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知 是 的垂
心，且
，则 ( )A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由O是垂心，可得 ，结合 可得
，根据三角形内角和为π，结合正切的和差角公式即可求解.
【详解】 是 的垂心，延长 交 与点 ，
∵
，同理可得 ， ：
∴
，又 ， ，
∴
又 ， ，
∴
不妨设 ，其中 ，
∴
， ，解得 或 ，
∵ ∴
当 时，此时 ，则 都是钝角，则 ，矛盾.
故 ，则 ， 是锐角， ，
∴
于是 ，解得 .故选：A.
2.（2023春·浙江绍兴·校考阶段练习）奔驰定理：已知点O是 内的一点，若 的
面积分别记为 ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是
的垂心，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】延长 交 于点P，则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得
，再利用 和 可得
，不妨设 ，利用
可求出 的值，从而可求出 的值.
【详解】延长 交 于点P， 是 的垂心， ，
．
同理可得 ， ．
又 ， ．
又 ， ．不妨设 ，其中 ．
， ，解得 ．
当 时，此时 ，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉．
故 ，则 ，故C为锐角， ，解得 ，故选：B．
∴
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的线性运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利用
垂心的性质得 ，再结合已知条件得 ，设
，再利用两角和的正切公式可得 ，从而可求得结果，考查计算能力和转化
思想，属于较难题.
3.（2020·全国·高三专题练习）设 是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点， 动点P满足
， ，则动点P的轨迹一定通过 ABC的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D △
【详解】试题分析： , ,
, ,
则动点 的轨迹一定通过 的垂心．故C正确．
4.（2023·江苏·专题练习）已知点 为 所在平面内的动点，且满足 ，则点 的轨迹
一定通过 的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心【答案】A
【分析】根据条件 得到 ，即 ，从而判断出点 的轨迹经过 的
垂心.
【详解】因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以点 的轨迹经过 的垂心.
故选：A.
5.（2020春·天津和平·耀华中学校考阶段练习）已知点O为 ABC所在平面内一点，且
，则O一定为 ABC的（ ）
△
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【答案】C △
【解析】利用向量的等式关系 ，转化成 ，利用向量加减
法运算化简得到 ，即证 ，再同理证得 ，即得 是 的垂心．
【详解】由 得： ，
即 ，故 ，
故 ， ，
又 ， ，
，即 ，
同理 ，即 ，所以 是 的垂心．故选：C.
题型十五：四心向量：重心
1.（2023·全国·专题练习）在 中， ， ，且 ， ，
则点 的轨迹一定通过 的（ ）
A．重心 B．内心
C．外心 D．垂心
【答案】A
【分析】过C作 ，交AB于H，取AB中点D，连接CD，所以 ，根据向
量的线性运算法则，化简可得 ，根据三角形的性质，分析即可得答案.
【详解】过C作 ，交AB于H，取AB中点D，连接CD，如图所示：
根据三角函数定义可得 ，因为
，所以 ，即 ，即点P的轨迹在中线CD上，而三角形三边中线的交点为
该三角形的重心，所以点 的轨迹一定通过 的重心.故选：A
2.（2023·全国·高三专题练习）已知 的三个内角分别为 为平面内任意一点，动点 满足
则动点P的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
【答案】A
【分析】利用正弦定理及向量的线性运算可判断.
【详解】在 中，令线段 的中点为 ，由正弦定理 ，
得 ，由 ，得
即 ，而 ，
则 ，于是得 与 同向共线，而它们有公共起点，即动点 的轨迹是射线 除
点A外),又重心在线段 上， 动点 的轨迹一定经过 的重心．故选：A.
3.（2021春·重庆渝中重庆复旦中学校考阶段练习）设 是 内任意一点， 表示 的面积，
， ， ，定义 .若 是 的重心， ，则
（ ）
A．点 与点 重合 B．点 在 内
C．点 在 内 D．点 在 内
【答案】D
【分析】分析理解题中所给定义的含义，将 值转化为三角形高的比值，找出特殊的 值并比较大小即可
得出答案.
【详解】如图，过点 作 ,由三角形重心性质知 ,同理 ,
由题中定义易得 ，
由 知 在直线 上，
又因为 ，取 中点 ,取 中点 ,连接 ,则 是 中位线，
由题中所给定义可知，点 在直线 上，
综上，如图，点 在 内
故选:D
4.（2022·全国·高三专题练习）设 的内角 的对边分别为 ，点 为 的重心且满足向
量 ，若 ，则实数A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】因为 ，化简即可得出答案.
【详解】
， ，
如图，连接 ，延长 交 于 ， 由于 为重心，故 为 中点，
，
，
由于 为重心，由重心的性质， ， ，因为 ，
，
，
， ， ，
．故选:C．
