文档内容
2.3 二次根式（第 1 课时） 教学设计
1.教学内容
本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》八年级上册（以下统称“教材”）第二章“实
数”2.3.1二次根式（1），内容包括：理解二次根式的概念，掌握二次根式的乘法与除法法则．
2.内容解析
学生在学习本节课前，已掌握算术平方根和平方根的基本概念，并能进行一般的开方运
算，这为理解二次根式打下了良好的基础. 但学生在这一阶段仍然以形象思维为主，对二次
根式的理解还需要借助大量的实操与例子辅助. 本节内容将通过解决问题，引导学生通过具
体计算，猜想二次根式的乘除规律，再进行验证，最终归纳出普遍规律。这是首次系统建立
无理式的运算体系，不仅深化对无理数的理解，更为高阶知识提供代数工具支持.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：二次根式的概念以及有意义的条件.
1.教学目标
（1）准确叙述二次根式定义及条件；熟练运用乘除法则化简、计算.
（2）经历二次根式概念的抽象过程，体会从特殊到一般的数学思想，培养逻辑推理能力．
在运算练习中，提高运算的准确性和灵活性.
（3）在二次根式运算的过程中，感受数学概念的严谨性，体会从具体到抽象的认知规律，
增强对数学的兴趣.
2.目标解析
（1）能识别形如√a(a≥0)的式子为二次根式，明确其两个核心特征：含开方运算、被开
方数a是非负数(a≥0)；能直接应用乘除法则计算简单的二次根式计算，掌握 “被开方数相
乘或相除，根号不变” 的操作步骤.
（2）学生在探索二次根式的乘除运算法则中，要观察规律、提出猜想，再通过更多实例
或计算器验证，最终归纳出二次根式的乘除法则，培养学生的抽象概括能力和推理能力，体
会 “转化” 在数学中的应用.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（3）学生探究具体问题中的规律，感受数学的逻辑性和趣味性，增强学习数学的自信心，
同时鼓励学生小组讨论、分享猜想和验证结果，培养合作精神和表达能力.
学生已经学习了有理数、实数的概念，掌握了平方、开平方运算，并理解 “平方数是非
负数” 这一性质，这为理解 “二次根式中被开方数非负” 提供了直接依据；同时，学生已
掌握整式的乘除法则和乘法公式（完全平方公式、平方差公式），这与本节课中 “二次根式
乘法法则的应用”“混合运算” 存在知识迁移的可能性，是重要的学习基础.但学生易混淆
“二次根式的形式” 与 “被开方数的限制”；同时容易忽略法则的前提条件，也就是二次
根式不小0这一条件；更可能存在二次根式与系数分离困难这一问题.
1.学生可能仅记住 “带根号的式子是二次根式”，忽略 “被开方数a必须是非负数”，
从而错误判断√−a（a≥0）等式子为二次根式.
2.在学习二次根式的计算的过程中，可能忽略 “a≥0，b≥0” 的限制，同时可能仅会
“从左到右” 进行乘除运算，但难以反向应用，因此在学习的过程中要抓准时机，将典型错
误进行展示，同时组织小组，进行小组合作交流，培养学生的团队协作能力.
3. 学生对 “从特殊到一般” 的归纳过程可能仅停留在 “记住结论”，难以理解 “为
什么这样归纳是合理的”；对类比思想（如类比整式乘法理解二次根式乘法）的应用意识较
弱，需要教师引导关联新旧知识，再这一过程中发展学生的归纳能力与类比思想.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：二次根式乘除法则的应用及与整式乘法的融
合.
1.温故知新
本节课将进入二次根式的概念与乘除运算的学习，先回顾以下问题：
(1) 平方根与算术平方根的概念是什么？
若x2=a，则x是a的平方根，记作x=±√a；其中非负的平方根√a(a≥0)称为a的算术平
方根．
(2) 回想算术平方根√a有意义的条件是什么？
a≥0，即a为非负数.
(3) 在学习二次根式的乘除时，会与整式的乘除类比学习，那么在整式乘法中，平方差公式
与完全平方差公式是什么?
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司平方差公式：（a+b）(a−b)=a2−b2;
完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2
通过以上问题，猜测一下：怎样根式？怎样进行二根式的乘除运算？让我们赶紧进入本节课
的学习吧！
（设计意图：由学生回忆并回答，为学习本节的知识做铺垫）
（教学建议：教师提问，指定学生代表回答．回顾平方根以及乘法公式等概念，有利于学生
类比平方根以及正式的乘除展开二次根式的学习）
2.情景引入
教师在多媒体设备上一个长方形，并标注好其边长分别为√12与√6。
问题: 我们都知道长方形的面积是长×宽，那么这个长方形的面积如何计算呢？
若是按照以往的计算思路，我们会估算出√12与√6的近似数并相乘，但这样不仅很麻烦，误差也会比较
大，有没有一种更为直接的方式让√12与√6相乘，得出更为精确的结果？今天我们一起进入本节课的学习，
探索这一运算方法.
(设计意图：用长方形的面积计算引入，让学生感受能够将新知识与旧知识联系并应用，不仅
激发学生的学习兴趣与探索欲望，更能体现本节内容的实际应用价值)
探究点1 二次根式的概念
1.观察以下式子，它们有什么特点？
√ 49
√5、√11、√7.2、 、√(c+b)(c−b)（其中b=24，c=25）
121
答：都含有开方运算，且被开方数都是非负数.
（1）这些数进行开放运算后能否都去掉“√ ”？哪些数可以？哪些数不可以？
√ 49 7
答： 可以去掉根号，结果为 ；
121 11
、 、 （其中 ， ）等数计算后仍有根号.
√5 √11 √7.2、√(c+b)(c−b) b=24 c=25
（3）这类计算后依旧保留根号的数该怎样定义.
二次根式的定义：一般地，形如√a（a≥0）的式子叫作二次根式，a叫作被开方数.
（4）下列式子中，属于二次根式的是（ B ）
A. √−5 B. √27 C. √0 D. √x（x<0）
（5）下列式子中，无论x取何实数，都有意义的是（ B ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司√1
A. √x−1 B.√x2+1 C. D. √−x
x
（设计意图：引入二次根式的概念）
（教学建议：教师引导学生通过观察与归纳，引导学生总结二次根式的特点并得出概念，培
养学生主动参与、归纳总结的意识，同时检测了学生的学习效果）
探究点2 二次根式的乘除
1.计算下列各式.
① √4×√9=√36=6，√4×9=√36=6 ；
② √16×√25=√400=20，√16×25=√400=20；
③ √4 2，√4 2； √25 5，√25 5.
= = = =
√9 3 9 3 √49 7 49 7
④
2.仔细观察以上四组计算，有什么规律？
答：在以上四组计算中，每一组计算的两个式子的结果都相等
3.根据上面的猜想，估计每组中的两个式子是否相等，并用计算器验证：
① √6×√7 与 √6×7；
解：√6≈2.449，√7≈2.646，√6×√7≈2.449×2.646≈6.48；
√6×7=√42≈6.48；
故√6×√7 = √6×7
√6 √6
② 与
√7 7
√6 2.449 √6 √6
解：由一知 ≈ ≈0.93； = ≈0.93
√7 2.646 7 7
√6 √6
故 =
√7 7
4.用字母表示你发现的猜想.
乘法法则：√a⋅√b=√ab(a≥0,b≥0)
通过以上计算可得：
√a √a
除法法则： = (a≥0,b>0)
√b b
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5. 计算√2×√6的结果是（ B ）
A. √8 B. √12 C.√3 D. 4√3
√1
6. √8× 的结果是（ B ）
2
√ 1 √17 √ 1
A. 8+ = B. 8× =√4=2
2 2 2
√1 √2 5√2 √ 1 √15
C. √8+ =2√2+ = D. 8− =
2 2 2 2 2
（设计意图：通过解决以上计算，验证并总结，得出二次根式的乘除法则.）
（教学建议：引导学生计算二次根式的乘除运算，并在这一过程中首先进行乘法运算法则进
行猜想，验证，最后得出结论．在这一学习过程中，体会数学数学中从特殊到一般的探索学
习方法，提升学生的归纳能力．）
典例分析
例1
√2 √6×√3
(1) √6× ； (2) .
3 √2
√2 √ 2
解：(1) √6× = 6× =√4=2;
3 3
(2) √6×√3 √6×3 √6×3 .
= = =√9=3
√2 √2 2
例2
(1) 3√2×2√3； (2) √12×√3−5；
(3) ； (4) ；
(√5+1) 2 (√13+3)(√13−3)
(5) ( √1) ； (6) √8+√18.
√12− ×√3
3 √2
解：(1) 3√2×2√3=3×2×√2×√3=3×2×√2×3=6√6；
(2) √12×√3−5=√12×3−5=√36−5=6−5=1 ；
(3) ；
(√5+1) 2=(√5) 2+2√5+12=5+2√5+1=6+2√5
(4) ；
(√13+3)(√13−3)=(√13) 2 −32=13−9=4
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(5) ( √1) √1 ；
√12− ×√3=√12×√3− ×√3=√36−√1=6−1=5
3 3
√8+√18 √8 √18
(6) = + =√4+√9=2+3=5.
√2 √2 √2
已知二次根式 √a和 √b满足以下条件：
①a和 b均为正整数；
②√a×√b=6；
2
③√a÷√b=
3
1.据上述两个等式，求 √a和 √b的值；
2.直接写出 a 和 b的值（a=___, b=____）。
2
解：1.由③可得√a= √b
3
2
将上式带入②可得 √b×√b=6
3
解得b=9，则√b=3（取正值）
将√b=3带入②可得√a=2（取1正）
2.由1可得a=4,b=9
（设计意图：将二次根式与方程知识结合，不仅加深学生对二次根式得理解，更是了提高数
学运用能力.）
（教学建议：学生分组讨论探究作答，教师汇总后订正．提醒学生：综合性题目．在求解时，
要学会将√a,√b看作一个整体，再利用一元二次方程组得思想来解决，思路清晰，逻辑严
密）
1.计算：
√ 9
(1) √5× ； (2) (1+√3)(2−√3)；
20
(3) (2√3−1) 2 ； (4) ( √27+ √1) ×√3 ；
3
(5) √27−√12； (6) (√9 √98) .
− ×√2
√3 2 3
√ 9 √ 9 √45 √9 3
解：(1) √5× = 5× = = = ；
20 20 20 4 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2) ；
(1+√3)(2−√3)=2−√3+2√3−3=−1+√3
(3) = ；
(2√3−1) 2 (2√3) 2 −2×2√3×1+12=4×3−4√3+1=12−4√3+1=13−4√3
(4) ( √1) = √1 √1
√27+ ×√3 √27×√3+ ×√3=√27×3+ ×3=√81+√1=9+1=10
3 3 3
(5) √27−√12=√27 √12 √27 √12
− = − =√9−√4=3−2=1
√3 √3 √3 3 3
(6) (√9 √98) =√9 √98 √9 √98×2 √196 14 5
− ×√2 ×√2− ×√2= ×2− =√9− =3− =−
2 3 2 3 2 3 3 3 3
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学
生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策
略.
类型一：二次根式的概念辨析
1. 判断下列式子那些是二次根式：①④
① ； ； ； ； .
√15 √38 √−2 √a2+3 √3x−6
② ③ ④ ⑤
2. 下列式子中，一定是二次根式的是（ B ）
√1
A. √x−2 B. √x2+1 C. D. √−x
x
类型二：被开方数的非负性
3.求下列式子有意义的x取值范围：
① ；
√4x−8 √5−2x √x2+2
② ③
解：①4x−8≥0，由此可得x≥2；
5
②5−2x≥0，由此可得x≤ ；
2
③x2+2≥0，由此可得x可取任何实数.
类型三：二次根式的乘除运算
4.基础乘法：
① √2×√6； ② √5×√10
解：①原式=√12
②原式=√50
5.基础除法：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司√1
① √18÷√2； √20÷
5
解：①原式=√9=3③；
②原式=√100=10
类型四：二次根式的混合运算
6.
(√5+√2)(√5−√2) (√3+1) 2
① ②
解；①原式=5-2=3
②原式=3+2√3+1=4+2√3
1.（2024·云南）：式子√x−3 在实数范围内有意义，则x的取值范围是：x≥3
1
2.（2024·黑龙江）：若式子 有意义，则x的取值范围是：x<2
√2−x
3.（2024·贵州）：计算√3×√12的结果是6
4.（2024·天津·中考真题）：计算 的结果为2
(√5+√3)(√5−√3)
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉
考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
设计意图：运用思维导图将本节课主要知识点清晰呈现，增强学习的主动性与连贯性.
1.必做题：随堂练习第1题
2.探究性作业：习题2.3 第4题.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司2.3.1 二次根式的概念与乘除运算
1. 概念：一般地，形如√a（a≥0）的式子叫作二次根式，a叫作被开方数.
2. 乘除运算
乘法运算：√a⋅√b=√ab(a≥0,b≥0)
√a √a
除法运算： = (a≥0,b>0)
√b b
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