文档内容
2.2.1 平方根与立方根（第 1 课时） 教学设计
1.教学内容
本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》八年级上册（以下统称“教材”）第二章“平方根与
立方根”2.2.1 算术平方根（1），内容包括：理解算术平方根的定义，能熟练计算整数、分数、小数的
算术平方根，能够灵活运用算术平方根的性质解决问题．
2.内容解析
学生在学习算术平方根之前已经掌握了平方运算的概念与计算. 平方运算与求算术平方根在形式上互
为逆运算，两者的运算过程是有一定关联的的，这为学生学习算术平方根提供了良好的认知基础. 但在学
生的认知中，平方运算是顺理成章的，而求算术平方根是它的逆运算，这种差异也正是学生学习过程中需
要重点关注和区分的地方. 算术平方根作为代数知识的重要组成部分，是对数学运算认识的进一步拓展. 它
与平方运算的逆反关系是代数学中研究逆运算的基础范畴. 通过学习算术平方根，学生能够深入理解算术
平方根的性质，获得解决实际问题的有力工具.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握算术平方根的定义，会利用算术平方根进行简单计算.
1.教学目标
（1）理解算术平方根的定义，能熟练计算整数、分数、小数的算术平方根.
（2）经历几何图形探索算术平方根的概念的过程，体会数形结合思想．
（3）在探索算术平方根的性质的过程中，发展运算能力与逻辑推理能力，培养应用意识．
2.目标解析
（1）学生要能深入地理解算术平方根地定义，明确其基本结构. 在计算方面，学生应能熟练求解整数、
分数、小数等常规数字的算术平方根，并且理解理解其与平方运算构成逆运算的本质，能准确无误地得出
正确答案.
（2）学生在学习过程中，要通过结合图形与勾股定理，发现不用于已接触过的运算过程，归纳出算
术平方根的概念. 在探索算术平方根概念的过程中，要归纳总结出计算算术平方根时所使用的基本形式，
感受数形结合思想和归纳思想的作用，提高分析问题和解决问题的能力.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1（3）学生在反复计算算术平方根的过程中，要能够灵活的运用算术平方根的性质（如： ），
√a2=|a|
发展学生的计算能力 更要能从所遇到的数学问题中抽象出相应的性质，运用该性质解决问题，增强对数
学知识实用性的认识..
学生在学习本节课之前，已经掌握了平方运算的相关知识，包括概念和算法，这为学习算术平方根奠
定了一定基础. 但学生可能会受到平方运算的思维定式影响，在解不等式时忽略算术平方根本身拥有的性
质，从而导致计算结果错误. 另外，对于从代数问题中抽象出数学性质，部分学生可能存在困难，因为这
需要较强的运算和理解能力.
1.在运用性质 时，忘记绝对值符号的非负性，导致解题错误. 因此，在教学过程中应加强该
√a2=|a|
性质在取负数时的练习，给出一系列包含a为负数的求算术平方根的题目，让学生通过练习强化记忆，并
且引导学生总结规律，加深该性质的使用与理解.
2.在运用性质 时，学生容易忽略被开方数的双重非负性，误将负数带入计算，因此在教
（√a）
2=a
学时要多举反例，防止学生犯此类错误。同时，鼓励学生小组合作交流，共同探讨分析解决问题的方法，
培养学生的合作能力和思维能力.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：掌握并能灵活运用 .
√a2=|a|与（√a） 2=a
1.温故知新
本节课将进入算术平方根的学习，先回顾以下问题：
(1)什么是平方运算？
一个数乘与它自身的过程．
(2)你能写出平方运算的数学表示吗？
对于任意实数a，a的平方表示为a×a，记作a2.
(3)0的平方是多少？
0的平方还是0．
通过以上问题，猜测一下：什么是算术平方根？如何求算术平方根？让我们赶紧进入本节课的学习吧！
（设计意图：由学生回忆并回答，为学习本节的知识做铺垫）
（教学建议：教师提问，指定学生代表回答．回顾平方运算的有关概念，有利于学生对比平方运算展开算
术平方根的学习）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 22.情景引入
教师一张正方形纸片。
问题1: 一个正方形的面积是4平方厘米，它的边长是多少？能否是负数？
问题2：一张正方形桌子的桌面面积是25平方分米，它的边长是多少？
待学生回答之后，教师总结。原来在实际问题中，我们需要的是“正数的正平方根”——因为长度、面积
等物理量不能为负。这时候，我们就需要一个新的概念来表示这种数，这种数就是我们今天将要学习的数。
(设计意图：通过简单易懂的数学例子,引出本节课的教学内容，激发学生兴趣,同时感受新知识在日常学
习中的使用)
探究点1 算术平方根的概念
1.根据图中信息填空：
x2=2; y2=3;
z2=4; w2=5
2、认真思观察以上四个式子，可以发现，他们最终都是x2=a的形式，且x,y,z,w都是正数（正数/负
数）
3、概念形成：
（1）一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x就叫作 a的算术平
方根，记作 √a，读作“根号 a”。
（2）0的算术平方根是0，即 √0=0
（设计意图：引入算术平方根的概念）
（教学建议：教师引导学生通过观察，自行归纳得到算术平方根的概念，培养学生主动参与、合作交流、
归纳总结的意识）
典例分析
1．以上x,y,z,w个数字中，x=2； y=√2； z=√3； w=√5
有理数是z； 无理数是x，y，w.
2.下列各数没有算术平方根的是（ C ）
A. 0.81 B. 0
16
C. −36 D.
25
3.已知x2=21，则x的算是平方根是√21
探究点2 算术平方根的运算性质
1. 即 ，那么 成立吗？下面完成表格，我们一起探索其中的该等式是否成
√900=30 √302=30 √a2=a
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3立。
a的 a2（是否有意 结果与a的关
√a2
值 义） 系
√52
5 有意义（25） 等于a
=5
√02=
0 有意义（0） 等于a
0
√(−5) 2
−5 有意义（25） 等于-a
=5
2.（1）无论a取何数， 始终成立，且当 时， ；当 时，
√a2 a≥0 √a2=a a<0 √a2=−a
（2）若不看a的取值范围，则
√a2=|a|
B.类比以上的探究过程，在小组长的组织下，共同交流探讨 与a的关系，这里的数a还能取
2
（√a）
任意数吗？如果不能，它的取值范围是什么？
由算术平方根的定义可知，此处 只能大于或等于 ，当 时，
≥ （√a） 2=a
a 0 a 0
综上可得，当a≥0时 ， ， ；当a<0时 ， .
√a2=a (√a) 2=a √a2=−a
（设计意图：通过探索算术平方根的计算过程，使学生思考与感悟求算术平方根的思路，从而总结出算术
平方根的性质.）
（教学建议：在探索 时，利用表格分析了a取不同数时所得的结果，使学生在自主探索和合作交
√a2=|a|
流的过程中不知不觉地学到了新知识，理解并掌握算术平方根的运算性质，教学重点得以基本达成，教学
难点也取得相应突破．在归纳出算术平方根的第一条性质之后，引导学生将其与 进行对比，加深
(√a)
2=a
理解，体会化归思想和类比思想．注意强调：在计算的过程中更多的使用到 这条性质，使用该
√a2=|a|
性质时，不能忽略结果的非负性．）
典例分析
3.下列说法正确的是（ B ）
A. √9=±3 B. −√16=−4
C. D.
√(−4) 2=−4 √0.01=0.1
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 44.下列等式成立的是（ C ）
A. B.
√72=−7 (√11) 2=−11
C. D.
√(−9) 2=9 (−√5) 2=−5
已知实数a、b在数轴上的位置如图所示（数轴标注：b<-1<00；b+1<0；1−a>0；a−b>0；
根据算术平方根的性质：当m≥0时，√m2=m；当m<0时，√m2=−m；n≥0时，(√n) 2=n因
为a>0，所以√a2=a
因为b+1<0，所以√(b+1) 2=−(b+1)=−b−1
因为1−a>0，所以(√1−a) 2=1−a
因为a−b>0，所以√(a−b) 2=a−b
将上述化简结果代入原式得：
√a2+√(b+1) 2−(√1−a) 2+√(a−b) 2
a+(−b−1)−(1−a)+(a−b)¿=¿a−b−1−1+a+a−b¿=¿(a+a+a)+(−b−b)+(−1−1)¿=¿3a−2b−2¿
¿
（设计意图：利用算术平方根的运算性质解决数形结合的难题，进而巩固强化练习.）
（教学建议：学生分组讨论探究作答，教师汇总后订正．提醒学生：此类利用算术平方根的性质化简的题
目，先要准确判断被开方数的正负性，然后确定结果．在确定特殊解时，一定要注意是否忽略了非负性这
一重要性质）
1.若 √a=5，则 a 的值是（ A ）
A. 25 B. -25
C. 5 D. ±5
2
2..一个数的算术平方根是 ，这个数是（ A ）
3
4 2
A. B.
9 9
4 9
C. D.
3 4
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 53.下列说法正确的是（ B ）
A. √9=±3 B. −√16=−4
C. D.
√(−4) 2=−4 √0.01=0.1
4.下列等式成立的是（ C ）
A. B.
√72=−7 (√11) 2=−11
C. D.
√(−9) 2=9 (−√5) 2=−5
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知
的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
类型一：理解定义
1.填空：若 x2=64（x>0），则 x=8
2. 判断正误：（1）√100=10 （ √ ）
（2）√−25=−5 （ × ）
类型二：直接计算题
3.求下列数的算术平方根：
9
36， ，17，0.81，10−4
16
√ 9 3
解：√36=6； = ；
16 4
的算术平方根为：√17； √0.81=0.9；
17
√10−4=10−2=0.01
.
类型三：性质运用题（等式 和 ）
√a2=∣a∣ (√a) 2=a
4. 计算：
（1） 8 （2） 15
√(−8) 2= (√15) 2=
类型四：实际运用题
5.在△ABC中，∠C=90∘，BC=3，AC=5，求AB的长
解：在△ABC中，∠C=90∘，根据勾股定理：
AB2=AC2+BC2=52+32=25+9=34
所以，AB=√34
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 66. 如图，从帐篷支撑杆AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷。若绳子的长度为8m，地面固定点C
到帐篷支撑杆底部B的距离为6.4m，则帐篷支撑杆的高是多少？
解：由题意△ABC为直角三角形，则∠B=90∘
根据勾股定理：
AB2+BC2=AC2
代入数值（AC=8 m，BC=6.4 m）：
AB2=AC2−BC2=82−6.42=64−40.96=23.04
.因此，AB=√23.04=4.8 m
1.（2024•广东）若代数式√(x−1)意义，则x的取值范围是（A ）
A. x≥1 B. x>1 C. x≤1 D. x<1．
2.（2024•浙江）若√a+(b+2)2=0，则a-b的值为（ A ）
A. -2 B. 2 C. 3 D. -3．
3.（2024•湖北）计算( )2+ 的结果是（A ）
√5 √（−3）2
A. 5 + 3 = 8 B. 5 + (-3) = 2 C. -5 + 3 = -2 D. -5 + (-3) = -8
4.（2024•河南）计算√9结果是（A ）
A. 3 B. -3 C. ±3 D. 9
5.（2024•江苏）估计√7值在（A ）
A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检
验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7设计意图：运用思维导图将本节课主要知识点清晰呈现，同时体现不等式与方程，一元一次不等式与
一元一次方程的类比关系，增强学习的主动性与连贯性.
1.必做题：随堂练习 第1、2题
2.探究性作业：习题2.2 第1题.
2.2.1算术平方根
1、定义：若x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根（0 的算术平方根是 0）。
2、核心性质
（1）被开方数非负：√a 中 a≥0
（2）结果非负：√a≥0
（3）逆运算：(√a) 2=a；
√a2=∣a∣
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