文档内容
2.2.1 平方根与立方根（第一课时） 导学案（解析版）
1.理解算术平方根的定义，能熟练计算整数、分数、小数的算术平方根.
2.经历几何图形探索算术平方根的概念的过程，体会数形结合思想．
3.在探索算术平方根的性质的过程中，发展运算能力与逻辑推理能力，培养应用意识．
重点：算术平方根的概念与计算.
难点：灵活运用
√a2=∣a∣
和
(√a) 2=a
（强调
a≥0
）.
第一环节 自主学习
温故知新：
平方运算：
①一个数（或量）与它自身相乘的运算
②如果一个数是 n，那么它的平方写作 n ²．
③零的平方是零
新知自研：自研课本第31-32页的内容
【学法指导】
自研课本P31页内容，思考：
1、观察下图：
根据图中信息填空：
= + =2; = + =1+2=3;
x2 12 12 y2 12 x2
= + =1+3=4; = + =1+4=5
z2 12 y2 w2 12 z2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 12、认真思观察以上四个式子，可以发现，他们最终都是x2 的形式，且x,y,z,w都是正数（正数/负数）
3、概念形成：
=a
（1）一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x就叫作 a的算术平方根，记
作 √a，读作“根号 a”。
（2）0的算术平方根是 ，即 √0=0
4、以上x,y,z,w个数字中，x= ； y=√2； z=√3； w=√5
0
有理数是 ；无理数是 x ， y ， w .
2
5.下列各数没有算术平方根的是（ C ）
z
A. 0.81 B. 0
16
C. −36 D.
25
6.已知x2=21，则x的算是平方根是√21.
【自研自探】
自研课本31-32页例1内容，回答问题：
例1 求下列各数的算术平方根：
(1) 900 (2) 1
49
(3) (4) 14
64
解：（1）因为 302=900 所以 √900=30
（2）因为 12=1 所以 √1=1
（3）因为 (7) 2 49 所以 √49 7
= =
8 64 64 8
（4）14 的算术平方根是 √14
1、观察例题（1）、（2）、（3）的结果， 它们和原式相比，有什么区别？这类数字具有什么特点？
它们的结果都不再具有根号；这类数字都是完全平方数
2、例题（4）中的结果和前面几个数的结果有什么不一样？这类数具有什么特点？
例（ 4 ）中的结果具有“ √ ”；这类数字都是非完全平方数 .
4、下列分数中，不能化为完全平方数的是（ C ）
16 9
A. B.
25 16
7 81
C. D.
9 100
5、 18，36，50，75
以上各数中，属于完全平方数的是36，它的算术平方根是6
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2第二环节 合作探究
小组群学
A.在小组长的带领下：探究 的结果与 的关系
√a2 a
1. 即 ，那么 成立吗？下面完成表格，我们一起探索其中的该等式是否成立。
√900=30 √302=30 √a2=a
a的值 a2（是否有意义） √a2 结果与a的关系
5 有意义（25） √52=5 等于a
0 有意义（0） √02=0 等于a
√(−5) 2=
5 有意义（25） 等于-a
5
−
2.（1）无论a取何数， 始终成立，且当 时， ；当 时，
√a2 a≥0 √a2=a a<0 √a2=−a
（2）若不看a的取值范围，则
√a2=|a|
B.类比以上的探究过程，在小组长的组织下，共同交流探讨 与a的关系，这里的数a还能取任意
2
（√a）
数吗？如果不能，它的取值范围是什么？
由算术平方根的定义可知，此处 a 只能大于或等于 0 ，当 a 0 时， =a
≥ （√a） 2
C. 总结归纳算术平方根的定义，性质以及易错点（完成在随堂笔记处）
D,拓展提升
已知实数a、b在数轴上的位置如图所示（数轴标注：b<-1<00；b+1<0；1−a>0；a−b>0；
根据算术平方根的性质：当m≥0时，√m2=m；当m<0时，√m2=−m；n≥0时，(√n) 2=n因
为a>0，所以√a2=a
因为b+1<0，所以√(b+1) 2=−(b+1)=−b−1
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3因为1−a>0，所以(√1−a) 2=1−a
因为a−b>0，所以√(a−b) 2=a−b
将上述化简结果代入原式得：
√a2+√(b+1) 2−(√1−a) 2+√(a−b) 2
a+(−b−1)−(1−a)+(a−b)¿=¿a−b−1−1+a+a−b¿=¿(a+a+a)+(−b−b)+(−1−1)¿=¿3a−2b−2¿
¿
1.若 √a=5，则 a 的值是（ A ）
A. 25 B. -25
C. 5 D. ±5
2
2..一个数的算术平方根是 ，这个数是（ A ）
3
4 2
A. B.
9 9
4 9
C. D.
3 4
3.下列说法正确的是（ B ）
A. √9=±3 B. −√16=−4
C. D.
√(−4) 2=−4 √0.01=0.1
4.下列等式成立的是（ C ）
A. B.
√72=−7 (√11) 2=−11
C. D.
√(−9) 2=9 (−√5) 2=−5
类型一：理解定义
1.填空：若 x2=64（x>0），则 x=8
2. 判断正误：（1）√100=10 （ √ ）
（2）√−25=−5 （ × ）
类型二：直接计算题
3.求下列数的算术平方根：
9
36， ，17，0.81，10−4
16
√ 9 3
解：√36=6； = ；
16 4
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4的算术平方根为：√17； √0.81=0.9；
17
√10−4=10−2=0.01
.
类型三：性质运用题（等式 和 ）
√a2=∣a∣ (√a) 2=a
4. 计算：
（1） 8 （2） 15
√(−8) 2= (√15) 2=
类型四：实际运用题
5.在△ABC中，∠C=90∘，BC=3，AC=5，求AB的长
解：在△ABC中，∠C=90∘，根据勾股定理：
AB2=AC2+BC2=52+32=25+9=34
所以，AB=√34
6. 如图，从帐篷支撑杆AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷。若绳子的长度为8m，地面固定点C
到帐篷支撑杆底部B的距离为6.4m，则帐篷支撑杆的高是多少？
解：由题意△ABC为直角三角形，则∠B=90∘
根据勾股定理：
AB2+BC2=AC2
代入数值（AC=8 m，BC=6.4 m）：
AB2=AC2−BC2=82−6.42=64−40.96=23.04
.因此，AB=√23.04=4.8 m
1.（2024•广东）若代数式√(x−1)意义，则x的取值范围是（A ）
A. x≥1 B. x>1 C. x≤1 D. x<1．
2.（2024•浙江）若√a+(b+2)2=0，则a-b的值为（ A ）
A. -2 B. 2 C. 3 D. -3．
3.（2024•湖北）计算( )2+ 的结果是（A ）
√5 √（−3）2
A. 5 + 3 = 8 B. 5 + (-3) = 2 C. -5 + 3 = -2 D. -5 + (-3) = -8
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 54.（2024•河南）计算√9结果是（A ）
A. 3 B. -3 C. ±3 D. 9
5.（2024•江苏）估计√7值在（A ）
A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间
1.一般地，如果一个正数x的平方等于a（即x2=a），那么这个正数x叫做a的算术平方根。记作√a
2. 算术平方根的性质
（1）双重非负性：√a≥0
（2）平方还原：
(√a)
2=a
（3）根号下平方：
√a2=∣a∣
易错点提醒
（1）忽略被开方数非负；
（2）混淆算术平方根与平方根：算术平方根只有1个非负值
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