文档内容
2.2.2 平方根与立方根(第 2 课时) 导学案
1.理解平方根的定义，掌握平方根与算术平方根的区别与联系.
2. 经历从特殊到一般归纳平方根概念的过程，培养数学抽象能力；在对比“算术平方根”与“平方根”的
差异中，发展逻辑推理能力．
3. 在使用符号±√a的过程中，发展符号意识；在体会“被开方数非负性”时，培养严谨的数学态度，体会
平方根在“解方程”等数学场景中的应用价值。
重点：平方根的定义、符号表示及与算术平方根的本质区别.
难点：理解平方根的双重性及被开方数的非负性.
第一环节 自主学习
温故知新：
算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方
根，记作___________.
① 算术平方根的结果是___________（正数/负数/非负）；
②若a>0， √−a有意义吗？为什么？_________________________________
新知自研：自研课本第25--26页的内容
【学法指导】
自研课本P32页随堂练习下方的内容，思完成下列内容：
1、3的平方是9，还有其他数的平方也是9吗?
_________________________________
4
2、平方等于 的数有几个?平方等于0.64的数呢?
25
_______________________________________________________
_______________________________________________________
3、概念形成：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫作a的___________（也叫
作二次方根）
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下，思考以下问题：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 11、平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点?
相同点：（1）平方根包含___________，算术平方根是平方根中非负的结果.
（2）只有___________才有平方根和算术平方根
不同点：（1）一个正数的平方根有___________个，一个正数的算术平方根只有___________个
（2）正数的平方根一______一_____，正数的算术平方根一定是正数
2、一个正数有几个平方根？0有几个平方根?负数呢?
一个正数有___________平方根，0___________平方根，它是_____；负数_____平方根
3、一个正数a有两个平方根，一个是_____,另一个是_____，这两个平方根合起来可以记作_____；读作：
____________________.
4、求一个数a的平方根的运算，叫做__________，a叫做__________.
5、计算以下数字的平方根：
（1）169的平方根是__________；
（2）10−6的平方根是__________；
16
（3） 的平方根是__________；
49
9
（4） 的平方根是__________；
4
（5）18的平方根是_______________.
6、总结归纳平方根的特点以及其与开平方的区别与联系.（完成在随堂笔记处）
【自研自探】
一、自研课本p33页例1的内容，回答问题：
例1 求下列各数的平方根：
49
(1)64； (2) ； (3)0.000 4； (4)(-25)2； (5)11.
121
m
1、对于形如 （m,n为整数，n≠0）的数，求平方根时可分别对__________和__________开方；
n
2、平方根的表示方法：若x2=a（a≥0a 0），则x=__________,其中√a表示a的算术平方根；
3、平方和开平方互为__________
⩾
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2100
4、求下列各数的平方根:1.44, 0, 8, , 441, 196, 10−4。
49
二、自研课本p33页例2的内容，回答问题
例2 求下列各式的值：
(1) √225； (2) -
√169
； (3) √(-8)2.
4
√m
1、对于形如− （m,n为正整数）的式子：先将__________分别开方，再取其__________.
n
2、对于 （ 为实数）：结果为__________
√a2 a
3、填空:（1）25 的平方根是_____ （2） =_____
√(−5) 2
（3） =_____ （4） =_____
2 2
(√5) (−√5)
4.拓展提升
一个正方形的面积变为原来的4倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的9倍，
它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的100倍呢？面积变为原来的n倍呢？．
1.、16的平方根是（ ）
A. 4 B. -4 C. ±4 D. 8
2、若 (m+2)² = 81，则 m 的值可能是（ ）
A. 7或11 B. 7或-11 C. -7或11 D. -7或-11
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 33、若一个正方形的面积是 144 cm²，其边长是（ ）
A. 12 cm B. ±12 cm C. 14.4 cm D. 72 cm
4、满足条件√ (x−1) + √(4−x) 有意义的整数 x 有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5、√25 =_____，25的平方根是_____.
6、.若 x² = 36，则 x =_____；若√ x = 6，则 x = _____.
7、若 2a-1 的平方根是 ±3，则 a =_____.
8、若 a 的算术平方根是 b，且 b² = 16，则 a =_____.
类型一：平方根基础概念辨析
1、下列说法错误的是（ ）
A. 4的平方根是±2 B. √9 表示9的算术平方根
C. -√16 = -4 D. 0.25的平方根是0.5
类型二：平方根与算术平方根对比
2、填空：(1) 81的平方根是 _____；
(2) √81 =_____； (3) -√81 =_____.
类型三：平方根性质应用
3、若一个正数的两个平方根分别是a+3和2a-15，则这个数是_____.
类型四：解简单平方根方程
4、求x的值：(1) x² = 121 (2) (x-1)² = 64
类型五：几何背景下的应用
5、将面积为48 cm²的正方形纸片裁剪成边长为整厘米的小正方形，剩余部分面积最小是_____.
类型六：代数式求平方根
6、若m=3x-1，且m的平方根是±5，则x=_____.
1.（2024·四川）下列说法错误的是（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4A. 1的平方根是1 B. 0的算术平方根是0
C. √4=2 D. −√9=−3
2. （2024·江苏） 下列说法正确的是（ ）
A. √16=±4 B. −√25=−5
C. D. 的平方根是 3
√(−5) 2=−5 √9
3.（2024·江苏） 若 x2=10，则 x=
4.（2024·黑龙江）若 a2=7，则 a=
5.（2024·浙江） 计算：
(√5) 2+√16−√(−3) 2
1、平方根的定义：_______________________________________________________
2、平方根的特点：
（1）任何正数都有两个平方根：一个_____（主平方根），一个_____.
（2）0的平方根只有_____
（2）负数在实数范围内_____平方根
3、平方根 vs 开平方：
（1）联系：同一个运算的不同方面
（2）区别：______________________________
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