文档内容
2.2.2 平方根与立方根（第 2 课时） 导学案
1.理解平方根的定义，掌握平方根与算术平方根的区别与联系.
2. 经历从特殊到一般归纳平方根概念的过程，培养数学抽象能力；在对比“算术平方根”与“平方根”的
差异中，发展逻辑推理能力．
3. 在使用符号±√a的过程中，发展符号意识；在体会“被开方数非负性”时，培养严谨的数学态度，体会
平方根在“解方程”等数学场景中的应用价值.
重点：平方根的定义、符号表示及与算术平方根的本质区别.
难点：理解平方根的双重性及被开方数的非负性.
第一环节 自主学习
温故知新：
算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方
根，记作√a．
① 算术平方根的结果是正数（正数/负数/非负）；
②若a>0， √−a有意义吗？为什么？无意义，因为根号下的数一定是非负数。
新知自研：自研课本第25--26页的内容
【学法指导】
自研课本P32页随堂练习下方的内容，思完成下列内容：
1、3的平方是9，还有其他数的平方也是9吗?
- 3 的平方也是 9
4
2、平方等于 的数有几个?平方等于0.64的数呢?
25
4 2
平方等于 的数有两个，是 ± ；
25 5
平方等于 0.6 4 的数也有两个，是 ±0.8 .
3、概念形成：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫作a的平方根（也叫作二
次方根）
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下，思考以下问题：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 11、平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点?
相同点：（1）平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中非负的结果.
（2）只有非负数才有平方根和算术平方根
不同点：（1）一个正数的平方根有两个，一个正数的算术平方根只有一个
（2）正数的平方根一正一负，正数的算术平方根一定是正数
2、一个正数有几个平方根？0有几个平方根?负数呢?
一个正数有两个平方根，0只有一个平方根，它是 0 本身 ；负数没有平方根
3、一个正数a有两个平方根，一个是√a，另一个是-√a，这两个平方根合起来可以记作±√a；读作： 正 、
负根号 a.
4、求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数.
5、计算以下数字的平方根：
（1）169的平方根是±13； （2）10−6的平方根是±10−3；
16 4 9 3
（3） 的平方根是± ；（4） 的平方根是± ；
49 7 4 2
（5）18的平方根是±√18
6、总结归纳平方根的特点以及其与开平方的区别与联系.（完成在随堂笔记处）
【自研自探】
一、自研课本p33页例1的内容，回答问题：
例1 求下列各数的平方根：
49
(1)64； (2) ； (3)0.000 4； (4)(-25)2； (5)11.
121
解：(1)因为(±8)2=64，
所以64的平方根是±8，即±√64=±8；
7 49
(2)因为(± )2= ，
11 121
49 7 √49 7
所以 的平方根是± ，即± =± ；
121 11 121 11
(3)因为(±0.02)2=0.000 4，
所以0.000 4的平方根是±0.02，即±√0.000 4=±0.02；
(4)因为(±25)2=(-25)2，
所以(-25)2的平方根是±25，即±√(-25)2=±25；
(5)因为(±√11)2=11，
所以11的平方根是±√11.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2m
1、对于形如 （m,n为整数，n≠0）的数，求平方根时可分别对分子和分母开方；
n
2、平方根的表示方法：若x2=a（a≥0a 0），则x=±√a，其中√a表示a的算术平方根；
3、平方和开平方互为 逆运算 .
⩾
100
4、求下列各数的平方根:1.44, 0, 8, , 441, 196, 10−4。
49
（1）因为(±1.2) 2=1.44，所以1.44的平方根是±1.2
（2）因为02=0，所以0的平方根是0。
（3）因为(±2√2) 2=8，所以8的平方根是±2√2
( 10) 2 100 100 10
（4）因为 ± = ，所以 的平方根是± 。
7 49 49 7
（5）因为(±21) 2 =441，所以441的平方根是±21。
（6）因为(±14) 2 =196，所以196的平方根是±14。
（7）因为10−4= 1 ， ( ± 1 ) 2 = 1 =10−4 ，所以10−4的平方根是± 1 。
10000 100 10000 100
二、自研课本p33页例2的内容，回答问题
例2 求下列各式的值：
(1) √225； (2) -
√169
； (3) √(-8)2.
4
解：(1) = =15；
√225 √152
(2) -√169= -√ 13 2 =- 13；
( ) 2
4 2 2
(3) =8.
√(−8) 2
√m
1、对于形如− （m,n为正整数）的式子：先将分子分母分别开方，再取其负值.
n
2、对于 （ 为实数）：结果为
√a2 a ∣a∣
3、填空:（1）25 的平方根是±5 （2） =5
√(−5) 2
（3） =5 （4） = 5
2 2
(√5) (−√5)
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 34.拓展提升
一个正方形的面积变为原来的4倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的9倍，
它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的100倍呢？面积变为原来的n倍呢？．
解：设原正方形的边长为a，则原正方形的面积为a2.
1. 面积变为原来的4倍时
新面积为4a2，设新边长为x，则：x2=4a2，解得x=2a
边长变为原来的2倍.
2. 面积变为原来的9倍时
新面积为9a2，设新边长为y，则：y2=9a2，解得y=3a.
边长变为原来的3倍.
3. 面积变为原来的100倍时
新面积为100a2，设新边长为z，则：z2=100a2 ，解得z=10a.
边长变为原来的10倍.
4. 面积变为原来的n倍时
新面积为na2，设新边长为m，则：m2=na2 ，解得m=√na（边长为正数，√n算术平方根）.
边长变为原来的√n倍.
1、16的平方根是（C ）
A. 4 B. -4 C. ±4 D. 8
2、若 (m+2)² = 81，则 m 的值可能是（B ）
A. 7或11 B. 7或-11 C. -7或11 D. -7或-11
3、若一个正方形的面积是 144 cm²，其边长是（A ）
A. 12 cm B. ±12 cm C. 14.4 cm D. 72 cm
4、满足条件√ (x−1) + √(4−x) 有意义的整数 x 有（D ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5、√25 =5，25的平方根是 ±5.
6、若 x² = 36，则 x =±6；若√ x = 6，则 x = 36.
7、若 2a-1 的平方根是 ±3，则 a = 5 .
8、若 a 的算术平方根是 b，且 b² = 16，则 a =16.
类型一：平方根基础概念辨析
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 41、下列说法错误的是（D ）
A. 4的平方根是±2 B. √9 表示9的算术平方根
C. -√16 = -4 D. 0.25的平方根是0.5
类型二：平方根与算术平方根对比
2、填空：(1) 81的平方根是 ± 9；
(2) √81 =9； (3) -√81 =-9.
类型三：平方根性质应用
3、若一个正数的两个平方根分别是a+3和2a-15，则这个数是 49 .
类型四：解简单平方根方程
4、求x的值：(1) x² = 121 (2) (x-1)² = 64
解：(1) x=±11； (2) x=9或x=-7
类型五：几何背景下的应用
5、将面积为48 cm²的正方形纸片裁剪成边长为整厘米的小正方形，剩余部分面积最小是 12cm ².
类型六：代数式求平方根
26
6、若m=3x-1，且m的平方根是±5，则x= .
3
1.（2024·四川）下列说法错误的是（ A ）
A. 1的平方根是1 B. 0的算术平方根是0
C. √4=2 D. −√9=−3
2. （2024·江苏） 下列说法正确的是（B ）
A. √16=±4 B. −√25=−5
C. D. 的平方根是 3
√(−5) 2=−5 √9
3.（2024·江苏） 若 x2=10，则 x=±√10
4.（2024·黑龙江）若 a2=7，则 a= ±√7
5.（2024·浙江） 计算：
(√5) 2+√16−√(−3) 2
解：原式= 5+4−3=6
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 51、平方根的定义： 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a ，即 x 2 = a ，那么这个数 x 就叫作 a 的平方根
2、平方根的特点：
（1）任何正数都有两个平方根：一个正数（主平方根），一个负数
（2）0的平方根只有 0
（2）负数在实数范围内没有平方根
3、平方根 vs 开平方：
（1）联系：同一个运算的不同方面
（2）区别： 平方根： 指的是一类数（ 结果）
开平方： 指的是一种运算或操作（过程）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6
