文档内容
2.2.2 平方根与立方根（第 2 课时） 教学设计
1.教学内容
本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》八年级上册（以下统称“教材”）第二章“平方根与
立方根”2.2.2 平方根（2），内容包括：理解平方根的定义，掌握平方根与算术平方根的区别与联系，
能根据平方根的定义进行计算。
2.内容解析
学生在学习平方根之前已经掌握了算术平方根的概念及应用. 算术平方根和平方根在形式和概念上有
相似性，在解答过程中有诸多相似之处，这为学生通过类比学习平方根提供了良好的认知基础. 但算术平
方根的结果非负，而平方根的结果具有双重性，这种差异也正是学生学习过程中需要重点关注和区分的地
方. 平方根作为代数知识的重要组成部分，是对运算方式的进一步拓展. 它与平方运算成为了代数学中研
究逆运算的基础范畴. 通过学习平方根，学生能够深入理解平方根的性质，获得理解代数知识的有力工具.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：平方根的定义、符号表示及与算术平方根的本质区别.
1.教学目标
（1）理解平方根的定义，掌握平方根与算术平方根的区别与联系.
（2）经历从特殊到一般归纳平方根概念的过程，培养数学抽象能力；在对比“算术平方根”与“平
方根”的差异中，发展逻辑推理能力．
（3）在使用符号±√a的过程中，发展符号意识；在体会“被开方数非负性”时，培养严谨的数学态
度，体会平方根在“解方程”等数学场景中的应用价值．
2.目标解析
（1）学生要能准确区分平方根与算术平方根的本质区别，明确二者结果的符号性质. 在理解定义方面，
学生应能熟练的在解答过程中计算平方根，并且理解其与开平方运算的关系，通过开平方得出正确答案.
（2）学生在学习过程中，要通过对比算术平方根和平方根，自主发现两者的异同点，归纳出平方根
的概念. 在计算平方根的过程中，明白结果为何是一正一负，感受类比思想的作用，提高分析问题和解决
问题的能力.
（3）学生在反复运算求平方根的过程中，提高运算的准确性和速度，培养严谨认真的学习态度. 学生
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1要能从代数运算中抽象出开平方的模型，运用所学知识解决数学与实际问题，增强对数学知识实用性的认
识.
学生在学习本节课之前，已经掌握了算术平方根的相关知识，包括定义和性质，这为学习平方根奠定
了一定基础. 但学生可能会受到算术平方根结果非负性的影响，在求平方根是忽略符号的差异性. 此外，对
于被开方数非负的理解，部分学生可能存在困难，因为这需要较强的分析和理解能力.
1.在开平方运算时时，忘记根据结果的双重性，即结果一正一负，导致解题错误. 因此，在教学过程中
应加强对比练习，给出一系列求算术平方根与平方根的题目，让学生通过练习强化记忆，区分二者在计算
结果上的差异，提高开方运算的正确率.
2.在教学过程中多引入易错点，如将算术平方根与求平方根结合在一起的题目，引导学生逐步分析题
目中的要求，确定到底是求算术平方根还是平方根. 同时，鼓励学生多总结解题的规律，培养学生的归纳
能力和解题思维.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解平方根的双重性及被开方数的非负性.
1.温故知新
本节课将进入平方根的学习，先回顾以下问题：
（1）算术平方根的概念：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根，记作√a．
（2）算术平方根的结果是正数（正数/负数/非负）；
（2）若a>0， √−a有意义吗？为什么？
无意义，因为根号下的数一定是非负数。
通过以上问题，猜测一下：什么是平方根？它与算术平方根有什么区别？让我们赶紧进入本节课的学习吧！
（设计意图：由学生回忆并回答，为学习本节的知识做铺垫）
（教学建议：教师提问，指定学生代表回答．回顾平方根的有关概念，有利于学生类比算术平方根展开平
方根的学习）
2.情景引入
教师通过投影呈现考古队发现一块千年泥板
上面刻着： “正方形祭坛的面积为9时，其边长使部落获得双倍祝福”
紧接着展示问题：这个正负下的边长是多少？部落巫师居然说答案有两个！学生也惊奇的发现，边长居然
会是负数！这样的结果是否非常荒谬？本节课将会揭示答案!
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2(设计意图：此导入将抽象概念转化为可辩论的哲学问题，用“不合理”的负根打破思维惯性,激发学生学
习兴趣，为本节课的顺利教学作了良好的铺垫)
探究点1 平方根的概念
1、3的平方是9，还有其他数的平方也是9吗?
-3 的平方也是 9
4
2、平方等于 的数有几个?平方等于0.64的数呢?
25
4 2
平方等于 的数有两个，是 ± ；
25 5
平方等于 0.6 4 的数也有两个，是 ±0.8 .
3、概念形成：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫作a的平
方根（也叫作二次方根）
（设计意图：引入平方根的概念）
（教学建议：教师引导学生通过计算、观察与类比，自行归纳得到平方根的概念，培养学生主动参与、合
作交流、归纳总结的意识）
典例分析
1．下列说法错误的是（ D ）
A. 4的平方根是±2 B. √9 表示9的算术平方根
C. -√16 = -4 D. 0.25的平方根是0.5
2．若 x² = 36，则 x =±6；若√ x = 6，则 x = 36.
探究点2 平方根与算术平方根的区别
1、平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点?
相同点：（1）平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中非负的结果.
（2）只有非负数才有平方根和算术平方根
不同点：（1）一个正数的平方根有两个，一个正数的算术平方根只有一个
（2）正数的平方根一正一负，正数的算术平方根一定是正数
2、一个正数有几个平方根？0有几个平方根?负数呢?
一个正数有两个平方根，0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根
3、一个正数a有两个平方根，一个是√a，另一个是 √a，这两个平方根合起来可以记作±√a；读作：
正、负根号 . -
4、求一a个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数.
5、计算以下数字的平方根：
（1）169的平方根是±13； （2）10−6的平方根是±10−3；
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（3） 的平方根是± ；（4） 的平方根是± ；
49 7 4 2
（5）18的平方根是±√18
一般地，在进行开平方运算或是求平方根时，取一正一负的结果．
（设计意图：通过对比算术平方根与平方根的差异，使学生思考与感悟平方根的性质，从而在解题的过程
中增加计算的正确率.）
（教学建议：把平方根与算术平方根进行对比，实现了知识的自然迁移，使学生在自主探索和合作交流的
过程中不知不觉地学到了新知识，理解并掌握了平方根的性质与特点，教学重点得以基本达成，教学难点
也取得相应突破．在归纳出平方根的特点与性质之后，引导学生将平方根的计算结果与算术平方根的计算
结果进行对比，加深理解，体会化归思想和类比思想．注意强调：开平方运算的实质就是求平方根．）
典例分析
例1 求下列各数的平方根：
49
(1)64； (2) ； (3)0.000 4； (4)(-25)2； (5)11.
121
解：(1)因为(±8)2=64，
所以64的平方根是±8，即±√64=±8；
7 49
(2)因为(± )2= ，
11 121
49 7 √49 7
所以 的平方根是± ，即± =± ；
121 11 121 11
(3)因为(±0.02)2=0.000 4，
所以0.000 4的平方根是±0.02，即±√0.000 4=±0.02；
(4)因为(±25)2=(-25)2，
所以(-25)2的平方根是±25，即±√(-25)2=±25；
(5)因为(±√11)2=11，
所以11的平方根是±√11.
例2 求下列各式的值：
√169
(1) √225； (2) - ； (3) √(-8)2.
4
解：(1) = =15；
√225 √152
(2) -√169= -√ 13 2 =- 13；
( ) 2
4 2 2
(3) =8.
√(−8) 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4一个正方形的面积变为原来的4倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的9倍，
它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的100倍呢？面积变为原来的n倍呢？．
解：设原正方形的边长为a，则原正方形的面积为a2.
1. 面积变为原来的4倍时
新面积为4a2，设新边长为x，则：x2=4a2，解得x=2a
边长变为原来的2倍.
2. 面积变为原来的9倍时
新面积为9a2，设新边长为y，则：y2=9a2，解得y=3a.
边长变为原来的3倍.
3. 面积变为原来的100倍时
新面积为100a2，设新边长为z，则：z2=100a2 ，解得z=10a.
边长变为原来的10倍.
4. 面积变为原来的n倍时
新面积为na2，设新边长为m，则：m2=na2 ，解得m=√na（边长为正数，√n算术平方根）.
边长变为原来的√n倍.
（设计意图：对于求结合图形求平方根的题型进行巩固强化练习.）
（教学建议：学生分组讨论探究作答，教师汇总后订正．提醒学生：此类数形结合的题目，先要从已知的
图形中找到相应的关系．在求解时，一定要注意是否图形的边长一定是正数，不能取负数）
1、16的平方根是（C ）
A. 4 B. -4 C. ±4 D. 8
2、若 (m+2)² = 81，则 m 的值可能是（B ）
A. 7或11 B. 7或-11 C. -7或11 D. -7或-11
3、若一个正方形的面积是 144 cm²，其边长是（A ）
A. 12 cm B. ±12 cm C. 14.4 cm D. 72 cm
4、满足条件√ (x−1) + √(4−x) 有意义的整数 x 有（D ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5、√25 =5，25的平方根是 ±5.
6、若 x² = 36，则 x =±6；若√ x = 6，则 x = 36.
7、若 2a-1 的平方根是 ±3，则 a = 5 .
8、若 a 的算术平方根是 b，且 b² = 16，则 a =16.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
类型一：平方根基础概念辨析
1、下列说法错误的是（D ）
A. 4的平方根是±2 B. √9 表示9的算术平方根
C. -√16 = -4 D. 0.25的平方根是0.5
类型二：平方根与算术平方根对比
2、填空：(1) 81的平方根是 ± 9；
(2) √81 =9； (3) -√81 =-9.
类型三：平方根性质应用
3、若一个正数的两个平方根分别是a+3和2a-15，则这个数是 49 .
类型四：解简单平方根方程
4、求x的值：(1) x² = 121 (2) (x-1)² = 64
解：(1) x=±11； (2) x=9或x=-7
类型五：几何背景下的应用
5、将面积为48 cm²的正方形纸片裁剪成边长为整厘米的小正方形，剩余部分面积最小是 12cm ².
类型六：代数式求平方根
26
6、若m=3x-1，且m的平方根是±5，则x= .
3
1.（2024·四川）下列说法错误的是（ A ）
A. 1的平方根是1 B. 0的算术平方根是0
C. √4=2 D. −√9=−3
2. （2024·江苏） 下列说法正确的是（B ）
A. √16=±4 B. −√25=−5
C. D. 的平方根是 3
√(−5) 2=−5 √9
3.（2024·江苏） 若 x2=10，则 x=±√10
4.（2024·黑龙江）若 a2=7，则 a= ±√7
5.（2024·浙江） 计算：
(√5) 2+√16−√(−3) 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6解：原式= 5+4−3=6
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检
验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
设计意图：运用思维导图将本节课主要知识点清晰呈现，同时体现平方根与算术平方根的类比关系，
增强学习的主动性与连贯性.
1.必做题：随堂练习1 、2题
2.探究性作业：习题2.2 第11、12题.
2.2.2平方根
1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根，记作
√a
2.开平方：开平方求一个数的平方根的运算
3. 平方运算与开平方互为互逆运算
4.性质：
（1）任何正数都有两个平方根
（2）0的平方根是0
（3）负数没有平方根
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